라디안

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1. 개요
2. 정의
3. 단위 환산
4. 응용
- 4.1. 삼각 함수
- 4.2. 호의 길이와 부채꼴의 넓이
5. 역사
6. 파생 단위
7. 符号位置(부호 위치)
참조

1. 개요

라디안은 평면 각도의 크기를 나타내는 데 사용되는 무차원 단위이다. 원의 중심에서 원의 반지름과 같은 길이의 호를 지나는 각도로 정의되며, 호의 길이와 반지름의 비율로 계산된다. 1 라디안은 약 57.2958도에 해당하며, 도, 그레이드와 상호 변환이 가능하다. 미적분학, 삼각 함수, 물리학 등 다양한 분야에서 활용되며, 특히 삼각 함수의 미분과 테일러 급수 전개에서 간결한 표현을 가능하게 한다. 라디안은 각속도, 각가속도, 위상각 차이 등 파생 단위로도 사용된다.

2. 정의

평면 위의 각이 주어졌을 때, 이 각의 꼭짓점을 중심으로 하는 원을 생각할 수 있다. 이 원의 반지름을

r>0

이라 하고, 원에서 주어진 각이 마주보는 호의 길이를

l

이라고 하자. 원주율은 모든 원에서 일정하므로, 호의 길이와 반지름의 비율, 즉

\frac lr

은 어떤 원을 선택하는지와 관계없이 항상 같다. 이 비율 값을 주어진 각의 라디안 값으로 정의한다.

1 라디안은 원의 반지름과 같은 길이의 호에 해당하는 중심각의 크기이다.^[4] 즉, 각의 크기

\theta

(라디안)는 호의 길이

s

와 반지름

r

의 비율과 같다:

\theta = \frac{s}{r}

. 예를 들어, 평각(180°)은 길이가

\pi r

인 반원의 둘레에 해당하므로

\pi

라디안이고, 직각(90°)은

\frac{\pi}{2}

라디안이다. 한 바퀴 회전(360°)은 원 전체 둘레인

2\pi r

을 반지름

r

으로 나눈 값이므로

2\pi

라디안이며, 이는 360°와 같다.

라디안은 길이와 길이의 비율로 정의되므로 무차원 단위이다. 따라서 단위를 생략해도 무방하다. 국제단위계(SI)에서는 라디안을

1 \text{ rad} = 1 \text{ m}/\text{m} = 1

로 정의한다.^[6]^[8] 수학과 과학 전반에서

\text{rad} = 1

로 사용하는 것은 오래된 관례이다.^[9] 다만, 라디안은 일반적인 길이 비율이 아닌 각도를 표현할 때만 사용해야 한다. 원호로 둘러싸인 부채꼴의 넓이

A

를 이용한 계산

\theta = \frac{2A}{r^2}

역시 1 라디안을

1 \text{ m}^2/\text{m}^2 = 1

로 나타낸다.^[7]

국제단위계에서 중심각이

\theta

라디안, 반지름이

r

인 부채꼴의 호의 길이

l

과 면적

S

는 다음과 같다.

:

l=r\theta

:

S=\frac{1}{2} r^2 \theta =\frac{1}{2} rl

이를 통해 각도

\theta

는 다음과 같이 표현할 수도 있다.

:

\theta =\frac{l}{r} =\frac{S}{r^2/2}

과거 라디안은 스테라디안과 함께 SI의 보조단위로 분류되었으나, 1995년 보조단위 분류가 폐지되면서 길이 단위 미터(m)의 비(比)인

\text{rad} = \text{m}/\text{m} = 1

로 구성되는 조합단위로 재분류되었다. 라디안은 단위 방정식에 숫자 계수를 포함하지 않는 일관성 있는 조합단위이다.

라디안 개념은 로저 코츠(Roger Cotes)의 저작에서도 찾아볼 수 있으나, '라디안'이라는 용어 자체는 19세기 제임스 톰슨(James Thomson)이 처음 사용했다.^[42] 일본의 계량법 체계에서는 라디안을 “원의 반지름과 같은 길이의 호의 중심에 대한 각도”로 정의하고 있다.^[43] 원의 영문 표기인 circular의 머리글자를 따서 ^c라는 기호가 사용되기도 하지만, 도(°) 기호와 혼동하기 쉬워 잘 쓰이지 않는다. SI 및 일본 계량법에서 라디안의 기호는 'rad'만을 인정한다.^[44]^[45]

라디안이 무차원 단위(rad=1)라는 점 때문에 물리 방정식의 차원 분석에서 혼란을 야기하기도 한다.^[10] 예를 들어, 도르래가

\theta

라디안 회전할 때 물체가 이동하는 거리

y = r\theta

나, 회전하는 바퀴의 각속도

\omega = v/r

같은 식에서 라디안 단위가 나타나거나 사라지는 것처럼 보일 수 있다.^[11] 이 때문에 1993년 미국 물리 교사 협회는 각도 측정(rad), 각속도(rad/s), 각가속도(rad/s²) 등 다른 각도 단위를 사용했을 때 수치가 달라지는 양에는 'rad'를 명시하고, 토크(N⋅m)나 각운동량(kg⋅m²/s)처럼 그렇지 않은 양에는 명시하지 않을 것을 권고했다.^[14]

일부 과학자들은 라디안을 각도의 기본량 및 기본 측정 단위로 취급하자고 제안하기도 했다.^[15]^[16] 하지만 이는 기존의 많은 수학 및 물리 공식을 수정해야 하는 어려움이 따른다. 현재 SI 체계는 사실상

1 \text{ rad} = 1

이라는 관례를 따르고 있다. 특정 소프트웨어(예: Boost 단위 라이브러리, 매스매티카)에서는 계산의 명확성을 위해 각도를 독립적인 차원으로 다루기도 한다.^[18]^[19]

3. 단위 환산

라디안은 다른 각도 단위인 도(degree)나 그레이드(gradian)로 환산할 수 있다.

1 라디안은 원의 반지름과 같은 길이의 호에 해당하는 각으로 정의되므로, $\frac{180^\circ}{\pi}$ 와 같으며, 이는 약 57.2958°에 해당한다. 반대로 1°는 $\frac{\pi}{180}$ 라디안이며, 이는 약 0.0175 라디안이다. 라디안을 도로 변환하려면 $\frac{180^\circ}{\pi}$ 를 곱하고, 도를 라디안으로 변환하려면 $\frac{\pi}{180}$ 를 곱한다.

또한, 한 바퀴(360°)는 $2\pi$ 라디안에 해당하므로, 라디안 값 $\theta$ 는 $\frac{\theta}{2\pi}$ 회전수로 변환할 수 있다.

한 바퀴는 400 그레이드(400^g)이기도 하므로, $2\pi$ 라디안은 400 그레이드와 같다. 따라서 라디안을 그레이드로 변환하려면 $\frac{200^\text{g}}{\pi}$ 를 곱하고, 그레이드를 라디안으로 변환하려면 $\frac{\pi}{200}$ 를 곱한다. 1 라디안은 약 63.6620^g에 해당한다.

3. 1. 라디안과 도

라디안과 도 사이의 환산은 다음과 같다.

:

1\operatorname{rad}=\frac{180^\circ}\pi\approx 57.2958^\circ

:

1^\circ=\frac\pi{180}\operatorname{rad}\approx 0.0175\operatorname{rad}

1 라디안은

\frac{180^\circ}{\pi}

와 같으므로, 라디안 값을 도로 변환하려면

\frac{180^\circ}{\pi}

를 곱한다.

:

\text{각도(도)} = \text{각도(라디안)} \cdot \frac {180^\circ} {\pi}

예를 들어 다음과 같이 계산할 수 있다.

:

1 \text{ rad} = 1 \cdot \frac {180^\circ} {\pi} \approx 57.2958^\circ

:

2.5 \text{ rad} = 2.5 \cdot \frac {180^\circ} {\pi} \approx 143.2394^\circ

:

\frac {\pi} {3} \text{ rad} = \frac {\pi} {3} \cdot \frac {180^\circ} {\pi} = 60^\circ

반대로, 도 값을 라디안으로 변환하려면

\frac{\pi}{180}

를 곱한다.

:

\text{각도(라디안)} = \text{각도(도)} \cdot \frac {\pi} {180}

예를 들어 다음과 같이 계산할 수 있다.

:

1^\circ = 1 \cdot \frac {\pi} {180} \text{ rad}\approx 0.0175 \text{ rad}

:

23^\circ = 23 \cdot \frac {\pi} {180} \text{ rad}\approx 0.4014 \text{ rad}

라디안 값은 2π로 나누어 회전수(한 바퀴 도는 것을 기준으로 한 값)로 변환할 수도 있다.

3. 2. 라디안과 그레이드

라디안과 그레이드 사이의 변환 관계는 다음과 같다.

$1\operatorname{rad}=\frac{200^{\operatorname g}}\pi\approx 63.6620^{\operatorname g}$
$1^{\operatorname g}=\frac\pi{200}\operatorname{rad}\approx 0.0157\operatorname{rad}$

한 바퀴는

2\pi

라디안이며, 이는 1회전과 같고, 정의에 따라 400그라디안(400 곤 또는 400^g)과 같다.

따라서 라디안을 그레이드로 변환하려면

\frac{200^\text{g}}{\pi}

를 곱하고, 그레이드를 라디안으로 변환하려면

\frac{\pi \text{ rad}}{200}

를 곱한다. 예를 들면 다음과 같다.

$1.2 \text{ rad} = 1.2 \cdot \frac {200^\text{g}} {\pi} \approx 76.3944^\text{g}$
$50^\text{g} = 50 \cdot \frac {\pi} {200} \text{ rad}\approx 0.7854 \text{ rad}$

3. 3. 자주 쓰이는 각

자주 쓰이는 각들의 단위 환산은 다음과 같다.

바퀴	라디안 (rad)	도 (°)	그레이드 (^g)
0	0	0	0
$\frac 1{24}$	$\frac\pi{12}$	15	$16\frac 23$
$\frac 1{12}$	$\frac\pi 6$	30	$33\frac 13$
$\frac 1{10}$	$\frac\pi 5$	36	40
$\frac 18$	$\frac\pi 4$	45	50
$\frac 16$	$\frac\pi 3$	60	$66\frac 23$
$\frac 15$	$\frac{2\pi}5$	72	80
$\frac 14$	$\frac\pi 2$	90	100
$\frac 13$	$\frac{2\pi}3$	120	$133\frac 13$
$\frac 25$	$\frac{4\pi}5$	144	160
$\frac 12$	$\pi$	180	200
$\frac 34$	$\frac{3\pi}2$	270	300
1	$2\pi$	360	400

4. 응용

미적분학이나 실용적인 기하학을 넘어선 대부분의 수학 분야에서는 각도를 측정할 때 라디안을 사용한다. 라디안은 수학적으로 자연스러워 여러 중요한 결과를 더 간결하고 명확하게 표현할 수 있게 해주기 때문이다. 특히 해석학 분야에서 삼각함수 관련 공식을 다룰 때 라디안의 유용성이 두드러지지만, 이는 하위 섹션에서 더 자세히 설명한다.

라디안은 각도 측정이 필요한 물리학 분야에서도 널리 사용된다. 예를 들어, 물체의 회전 속도를 나타내는 각속도는 보통 초당 라디안(rad/s) 단위로 표현한다. 1초에 한 바퀴 회전하는 것은 초당 2π 라디안의 각속도에 해당한다. 마찬가지로, 각속도의 변화율을 나타내는 각가속도의 단위로는 초당 제곱 라디안(rad/s²)이 자주 사용된다. 차원 분석 관점에서 보면, 각속도와 각가속도의 단위는 각각 s⁻¹과 s⁻²로 간주될 수 있다.

또한, 두 파동의 위상 차이를 나타낼 때도 라디안을 사용한다. 예를 들어, 두 파동의 위상 차이가 (''n''⋅2π) 라디안 (여기서 ''n''은 정수)이면 두 파동은 같은 위상(동위상)에 있다고 보며, 위상 차이가 (''n''⋅2π + π) 라디안이면 서로 반대 위상에 있다고 본다.

역라디안(rad^-1) 단위는 미터 매 라디안(각 파장)이나 뉴턴미터 매 라디안(비틀림 강성)과 같은 유도 단위를 만들 때 사용되기도 한다.

4. 1. 삼각 함수

삼각 함수는 독립 변수로 라디안 값을 사용하는 경우가 많으며, 이 경우 삼각 함수의 여러 성질을 더 간결하게 나타낼 수 있다. 예를 들어, 사인 함수와 코사인 함수에 대하여 라디안을 사용하면 다음과 같은 간단한 미분 공식을 얻는다.

:

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\sin x=\cos x

반면, 도를 단위로 하는 사인 함수

f(x)=\sin\frac{\pi x}{180}

와 코사인 함수

g(x)=\cos\frac{\pi x}{180}

의 미분 공식에는 다음과 같이

\frac{\pi}{180}

라는 계수가 붙어 형태가 복잡해진다.

:

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}f(x)=\frac\pi{180}g(x)

미적분학과 실용적인 기하학을 넘어서는 대부분의 수학 분야, 특히 해석학에서는 각도를 라디안으로 측정하는 것이 일반적이다. 라디안은 수학적으로 자연스러워 여러 중요한 결과를 더 우아하게 표현할 수 있기 때문이다.

라디안을 사용하면 간단한 극한 공식

:

\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sin h}{h}=1

을 얻을 수 있으며, 이는 다음을 포함한 수학의 다른 많은 항등식의 기초가 된다.

:

\frac{d}{dx} \sin x = \cos x

:

\frac{d^2}{dx^2} \sin x = -\sin x

이러한 특성 때문에 삼각함수는 함수의 기하학적 의미와 직접적 관련이 없어 보이는 수학 문제의 해에도 나타난다. 예를 들어 미분 방정식

\tfrac{d^2 y}{dx^2} = -y

의 해나, 적분

\textstyle\int \frac{dx}{1+x^2}

의 계산 등이 그렇다. 이런 경우 함수의 인수는 각도라는 물리적 의미보다는 (차원 없는) 숫자로 취급하는 것이 자연스럽다.

삼각함수의 테일러 급수 전개 역시 라디안을 사용할 때 간단하고 우아하다. 예를 들어, ''x''가 라디안일 때 sin ''x''의 테일러 급수는 다음과 같다.

:

\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots

만약 ''x''를 도 단위로 표현한 각도 ''y'' (즉, ''y'' = ''πx'' / 180)를 사용하면, 급수에는

\frac{\pi}{180}

의 거듭제곱을 포함하는 복잡한 계수가 붙게 된다.

:

\sin y = \frac{\pi}{180} x - \left (\frac{\pi}{180} \right )^3\ \frac{x^3}{3!} + \left (\frac{\pi}{180} \right )^5\ \frac{x^5}{5!} - \left (\frac{\pi}{180} \right )^7\ \frac{x^7}{7!} + \cdots

마찬가지로 사인, 코사인 함수와 지수 함수 사이의 중요한 관계(예: 오일러의 공식) 역시 라디안을 사용할 때 더 간결하고 우아하게 표현된다.

비록 일부에서는 삼각함수 공식의 간결성이 단위 선택보다는 각도라는 물리량의 정의 자체에 의해 결정된다고 주장하기도 하지만^[46]^[47], 실제 계산에서는 단위 변환이 필요 없는 라디안을 사용하는 것이 편리하다. 예를 들어 전기 공학에서는 교류 계산 등에 편리하기 때문에 호도법(라디안)이 일반적으로 사용된다.^[48]

4. 2. 호의 길이와 부채꼴의 넓이

원의 반지름을

r

, 호의 길이를

l

, 호에 대한 중심각의 크기를 라디안으로

\theta

라고 할 때, 호의 길이는 다음과 같이 구할 수 있다.

:

l=r\theta

또한, 이 호와 두 반지름으로 이루어진 부채꼴의 넓이

A

는 다음과 같이 계산한다.

:

A=\frac 12r^2\theta

5. 역사

호도법으로 각도를 측정하는 개념은 초기부터 수학자들이 사용했다. 예를 들어, 알 카시(c. 1400)는 "지름 부분"이라는 단위를 사용했는데, 이는 1/60 라디안에 해당하며, 이 단위의 60진법 하위 단위도 사용했다.^[20] 뉴턴은 1672년에 "천체의 원운동의 각량"을 언급했지만, 이는 상대적인 측정으로만 사용되었다.^[21]

라디안 측정 개념의 정립은 일반적으로 1716년에 사망한 로저 코츠의 공으로 여겨진다. 1722년 그의 사촌 로버트 스미스가 코츠의 수학 저술을 모아 ''Harmonia mensurarum''이라는 책으로 출판했다.^[22] 스미스는 편집자 논평에서 코츠의 메모를 인용하며 라디안을 도로 환산한 최초의 계산을 제시했을 가능성이 있다. 스미스는 '라디안'이라는 이름만 빼고 모든 면에서 이를 설명하며("이 숫자는 원의 반지름과 원주 반의 비와 같이, 1:3.141592653589와 같다"), 각도 측정 단위로서의 자연스러움을 인식했다.^[23]^[24]

1765년, 레온하르트 오일러는 라디안을 각도 단위로 암묵적으로 채택했다.^[21] 그는 각속도를 "회전 운동에서의 각속도는 그 점의 속도이며, 회전축으로부터의 거리가 1로 표현된다"고 정의했다.^[25] 오일러는 각속도 공식 $\omega = v/r$ 을 간단하게 만드는 이 관례(라디안 규칙)를 처음 채택한 인물일 수 있다.

'라디안'이라는 용어가 널리 쓰이기 전에는 '원형 측정(circular measure)'이라고 불렸다.^[26] '라디안(radian)'이라는 용어는 1873년 6월 5일, 제임스 톰슨(켈빈 경의 형제)이 벨파스트 퀸즈 대학교에서 출제한 시험 문제에 처음 인쇄되어 등장했다. 그는 1871년에도 이 용어를 사용했으며, 1869년 세인트앤드루스 대학교의 토마스 뮤어는 'rad', 'radial', 'radian' 사이에서 고민하다가 1874년 톰슨과 상의 후 'radian'을 채택했다.^[27]^[28]^[29] 하지만 '라디안'이라는 이름이 보편적으로 받아들여지기까지는 시간이 걸려, 1890년 출판된 ''Longmans' School Trigonometry''에서도 여전히 '원형 측정'이라는 용어를 사용했다.^[30]

1893년 알렉산더 맥퍼레인은 "원형 비율에 대한 참된 분석적 주장은 호와 반지름의 비율이 아니라 부채꼴의 두 배 넓이와 반지름의 제곱의 비율이다"라고 썼다.^[31] 그러나 이 논문은 시카고에서 열린 세계 컬럼비아 박람회와 관련하여 열린 수학 회의의 발표된 회의록에서 철회되었고, 그의 ''Papers on Space Analysis''(1894)에서 개인적으로 출판되었다. 맥퍼레인은 유사하게 정의된 쌍곡선 각도의 기초를 고려하면서 이 면적 비율의 아이디어에 도달했다.^[32]

국제단위계(SI)에서 라디안의 지위는 오랫동안 논쟁거리였다.^[33] 1960년 SI 제정 당시 라디안은 스테라디안과 함께 SI 보조 단위로 분류되었다. 이는 라디안이 기본단위인지 유도단위인지 결정하지 못했기 때문이며, 공식적으로는 "기본단위 또는 유도단위 모두"로 간주되었다.^[34] 리처드 넬슨은 "보조단위의 분류에서 이러한 모호성은 그들의 적절한 해석에 대한 활발한 논의를 촉구했다"고 적었다.^[36] 1980년 5월, 단위자문위원회(CCU)는 상수 $\alpha_0 = 1 \text{ rad}$ 를 사용하여 라디안을 SI 기본단위로 만드는 제안을 고려했지만,^[35] 현재 관행에 대한 대변혁을 피하기 위해 거절했다.

1980년 10월 국제도량형총회(CGPM)는 보조단위는 CGPM이 SI 유도 단위의 표현에서 사용하거나 사용하지 않을 자유를 허용한 무차원 유도단위라고 결정했다.^[36] 이는 "[동시에 일관성 있고 편리하며 평면각과 입체각을 기본량으로 간주할 수 있는 형식]이 존재하지 않으며", "[라디안과 스테라디안을 SI 기본단위로 취급할 가능성은] 단 7개의 기본단위에 기반한 SI의 내부 일관성을 손상시킨다"는 근거에서였다. 1995년 CGPM은 보조단위 종류를 없애고 라디안과 스테라디안을 "무차원 유도단위로, 그 명칭과 기호는 편리하다면 다른 SI 유도단위의 표현에 사용할 수도 있고 사용하지 않을 수도 있다"고 정의했다. 2019년에 글을 쓴 미하일 칼리닌은 1980년 CGPM 결정을 "근거 없는 것"이라고 비판하고 1995년 CGPM 결정은 일관성 없는 주장을 사용했고 SI의 "수많은 불일치, 모순 및 모순된 어구"를 도입했다고 말한다.^[37]

2013년 CCU 회의에서 피터 모어는 라디안을 무차원 단위가 아닌 기본 단위로 정의함으로써 발생하는 것으로 주장되는 불일치에 대한 발표를 했다. CCU 위원장 이안 M. 밀스는 이것을 "엄청난 문제"라고 선언했고, "SI에서 각도와 무차원량에 관한 CCU 작업반"이 설립되었다.^[38] CCU는 2021년에 회의를 가졌지만 합의에 이르지 못했다. 소수의 회원들은 라디안이 기본 단위여야 한다고 강력히 주장했지만, 대다수는 현상 유지가 허용될 수 있다고 생각했거나 변화가 해결하는 것보다 더 많은 문제를 야기할 것이라고 생각했다. 작업반은 다른 활동들 중에서 "SI 보조단위의 역사적 사용을 검토하고 재도입이 유익할지 여부를 고려하기" 위해 설립되었다.^[39]^[40]

일본의 계량법 체계에서는 라디안을 “원의 반지름과 같은 길이의 호의 중심에 대한 각도”로 정의하고 있다.^[43] 1 rad는 각도법으로는 180°/π이며, 약 57.29578°에 해당한다. 180°는 호도법에서는 π rad이며, 360°는 2π rad이다.

국제단위계(SI)에서 각도는 “호와 반지름 길이의 비”로서의 무차원량이며, 그 단위인 라디안도 무차원량이다. 일관성 있는 무차원량의 조합단위는 1과 같으며, 그 의미에서 종종 단위 rad는 생략되어 쓰인다. 또한, circular의 머리글자에서 ^c라는 기호가 사용되기도 하지만, 도의 기호인 「°」와 혼동하기 쉽다. SI 및 계량법에서는 라디안의 기호는 rad만을 인정하고 있다.^[44]^[45] 과거 라디안은 스테라디안과 함께 SI의 보조단위 중 하나로 분류되었지만, 1995년에 보조단위의 분류가 폐지되고, 라디안은 길이의 단위 미터의 비 rad = m/m = 1로 구성되는 조합단위로 분류되고 있다.

6. 파생 단위

라디안은 다른 SI 단위와 결합하여 다양한 물리량을 나타내는 파생 단위를 형성하는 데 사용된다. 라디안 자체가 무차원 단위이므로 때로는 표기에서 생략되기도 하지만, 특정 물리량에서는 그 존재를 명확히 하는 것이 중요하다.

1993년 미국 물리 교사 협회는 각도 측정 단위를 라디안이 아닌 다른 단위(예: 도)로 사용했을 때 수치가 달라지는 물리량의 경우, 라디안(rad)을 명시적으로 표기할 것을 권고했다. 예를 들어 각속도(rad/s), 각가속도(rad/s²), 비틀림 강성(N⋅m/rad) 등이 여기에 해당한다. 반면, 토크(N⋅m)나 각운동량(kg⋅m²/s)과 같은 물리량에서는 최종 단위에 라디안이 포함되지 않는 경우가 일반적이다.^[14]

라디안을 기반으로 한 구체적인 파생 단위로는 밀리라디안(mrad), 마이크로라디안(μrad)과 같이 작은 각도를 나타내는 단위, 각속도를 나타내는 라디안 매 초(rad/s), 각가속도를 나타내는 라디안 매 초 제곱(rad/s²) 등이 있다. 이들 단위는 과학 및 공학의 다양한 분야에서 활용된다.

6. 1. 밀리라디안과 마이크로라디안

미터법 접두어인 밀리(milli-)를 붙인 밀리라디안(milliradian, 기호 mrad)은 라디안의 1000분의 1 (0.001 rad)에 해당하는 각도 단위이다. 즉, 1 rad = 10³ mrad 관계가 성립한다. 하나의 원(360°)은 2π 라디안이므로, 이를 밀리라디안으로 환산하면 2π × 1000 ≈ 6283.185 mrad가 된다. 따라서 1 밀리라디안은 원 전체 각도의 약 1/6283에 해당한다.

밀리라디안은 특히 작은 각도를 측정하고 표현하는 데 유용하게 쓰인다. 대표적으로 망원경 조준경 제조사들은 조준경 내부에 새겨진 눈금인 레티클을 이용해 사정거리 측정을 할 때 밀리라디안 단위를 흔히 사용한다. 또한 레이저 빔이 퍼지는 정도, 즉 빔 발산을 나타내는 데에도 밀리라디안이 널리 사용된다.

군사 분야에서는 밀리라디안과 유사하지만 약간 다른 정의를 가진 밀(mil)이라는 단위를 사용하기도 한다. NATO 및 여러 국가의 군대에서는 포병 사격이나 표적 지정 시 밀 단위를 활용한다. NATO에서 정의하는 밀은 원 둘레를 6400 등분한 각도(1/6400 원)로, 이는 실제 밀리라디안보다 약 1.875% (또는 15/8%) 작다. 이렇게 근사값을 사용하는 이유는 실제 야전에서 복잡한 계산 대신 6400과 같이 나누어 떨어지기 쉬운 숫자를 사용하여 계산의 편의성을 높이기 위함이며, 작은 각도에서는 이로 인한 오차가 무시할 만하다고 간주된다. NATO 밀 기준으로, 약 1000m 떨어진 거리에서 1밀의 각도는 약 1m의 길이에 해당한다 (매우 작은 각도에서는 호의 길이와 현의 길이를 거의 같다고 볼 수 있다). 과거에는 국가별로 다른 기준의 밀 단위를 사용하기도 했는데, 예를 들어 스웨덴은 원의 1/6300에 해당하는 '스트렉(streck)'을, 구 소련은 1/6000에 해당하는 단위를 사용했다.

밀리라디안보다 더욱 작은 각도를 측정해야 할 경우에는 마이크로(micro-)나 나노(nano-) 접두어를 사용한다. 마이크로라디안(μrad)은 라디안의 100만분의 1(10^-6 rad)이고, 나노라디안(nrad)은 라디안의 10억분의 1(10^-9 rad)이다. 이러한 매우 작은 각도 단위는 천문학 연구나 극도로 낮은 발산율을 가진 레이저 빔의 품질을 정밀하게 측정하는 등의 분야에서 사용된다. 참고로, 각도의 작은 단위로 흔히 사용되는 각초(arcsecond, ″)는 약 4.8481 마이크로라디안(π/648,000 rad)에 해당한다.

6. 2. 라디안 매 초

'''라디안 매초'''(기호: rad/s)는 국제단위계(SI)에서 사용하는 각속도의 단위로, 1초 동안 1라디안의 각속도를 의미한다. 물리학에서는 각도를 측정할 때 라디안을 널리 사용하며, 특히 각속도는 주로 라디안 매초 단위로 표현한다. 예를 들어, 물체가 1초에 한 바퀴 회전하는 속도는 초당 2π 라디안(2π rad/s)에 해당한다.

6. 3. 라디안 매 초 제곱

'''라디안 매 초 제곱'''(rad/s²)은 국제단위계(SI)에서 사용하는 각가속도의 단위이다. 라디안 매 초 제곱은 1초 동안 1 라디안 매 초(rad/s)의 각가속도로 정의된다.

차원 분석을 위해 각가속도의 단위는 s⁻²이다.

7. 符号位置(부호 위치)

기호	유니코드 (16진)	JIS X 0213	문자 참조 (10진)	명칭
㎭	U+33AD	-	㎭	라디안
㎮	U+33AE	-	㎮	라디안 매 초
㎯	U+33AF	-	㎯	라디안 매 초 제곱

유니코드에는 라디안과 그 파생 단위를 나타내는 위 표의 문자들이 포함되어 있다. 이 문자들은 CJK 호환용 문자로 분류되며, 기존 문자 코드와의 하위 호환성을 위해 포함된 것이기 때문에 사용하는 것은 권장되지 않는다.^[50]^[51]

참조

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_[2] 논문 One radian corresponds to the angle for which s = r, thus 1 rad = 1. 2019
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_[5] 웹사이트 ISO 80000-3:2006 Quantities and Units - Space and Time https://www.iso.org/[...] 2017-01-17
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_[7] 논문 Also, as alluded to in Mohr|Phillips|2015, the radian can be defined in terms of the area A of a sector, in which case it has the units m2⋅m−2. 2016
_[8] 논문 One radian corresponds to the angle for which s = r, thus 1 rad = 1. 2019
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_[46] 문서 VIM 3rd ed. 1.22 quantity equation
_[47] 서적 Short Calculus: The Original Edition of “A First Course in Calculus” https://www.google.c[...] Springer New York
_[48] 웹사이트 交流瞬時値の三角関数表示式音声付き電気技術解説講座公益社団法人日本電気技術者協会 https://jeea.or.jp/c[...] 2022-08-18
_[49] 문서 ここで用いている記号 θ は角度という量を表してはいない。単位 ° までを含めた θ° が角度を表す。sin* や cos* は実際には引数が角度ではない「三角関数」を定義しているだけであって、角度の単位を ° に選んでいるわけではない。
_[50] 웹사이트 CJK Compatibility https://www.unicode.[...] 2015-01-01
_[51] 웹사이트 The Unicode Standard, Version 8.0.0 http://www.unicode.o[...] The Unicode Consortium 2015-01-01

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