종단속도

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1. 개요
2. 종단 속도의 정의 및 원리
3. 종단 속도 계산
4. 종단 속도의 예시 및 응용
5. 추가 정보
- 5.1. 대한민국 관련 연구
- 5.2. 관련 자료
6. 같이 보기
참조

1. 개요

종단 속도는 유체 내에서 낙하하는 물체가 중력, 부력, 항력의 평형을 이루어 더 이상 가속되지 않고 일정한 속도로 떨어지는 속도를 의미한다. 종단 속도는 물체의 질량, 유체의 밀도, 물체의 형상, 항력 계수 등에 의해 결정되며, 스카이다이빙, 빗방울 낙하, 퇴적물 침강 등 다양한 현상에 적용된다. 스토크스 법칙은 유체의 점성이 항력에 큰 영향을 미치는 낮은 레이놀즈 수 영역에서 종단 속도를 계산하는 데 사용되며, 항력 계수는 물체의 모양과 레이놀즈 수에 따라 달라진다.

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종단속도

2. 종단 속도의 정의 및 원리

물체가 유체 내에서 낙하할 때, 중력, 부력, 항력(저항력) 등 세 가지 힘이 작용한다.^[15] 중력은 물체를 아래로 끌어당기는 힘이며, 부력은 유체가 물체를 위로 밀어 올리는 힘이다. 항력은 물체의 운동 방향과 반대로 작용하여 운동을 방해하는 힘이다. 아래방향의 중력(mg)과 위방향의 힘(drag force, Fd)이 같을 때, 자유낙하 하는 물체는 종단속도를 갖게 된다.^[8] 이것은 물체의 알짜힘이 0이 되는, 즉 결과적으로 가속도가 0이 되게 작용한다.

낙하 초기에는 중력이 항력보다 커서 물체가 가속되지만, 속도가 증가함에 따라 항력도 커져 결국 중력, 부력, 항력이 평형을 이루는 지점에 도달한다. 이 특정한 순간에, 물체는 가속에 대한 모든것을 멈추고 종단속도라고 불리는 일정한 속도로 떨어지게 된다. 평형 상태에서, 순 힘은 0(''F''_net = 0)이다.^[9] 종단속도는 무게에 따른 항력(drag force)의 비율을 비례적으로 바꾼다. 증가된 무게는 더 큰 종단속도를 의미하는 반면에 더 많은 항력(drag force)은 적은 종단속도를 의미한다.

주변 유체가 물체에 가하는 상향력으로 인한 부력 효과는 아르키메데스 원리를 사용하여 고려할 수 있다. 물체의 종단 속도는 유체의 특성, 물체의 질량 및 투영된 단면 표면적에 따라 변한다. 공기 밀도는 고도가 감소함에 따라 증가하며, 약 80m당 1%씩 증가한다. 대기 중을 낙하하는 물체의 경우, 160m 낙하할 때마다 종단 속도가 1% 감소한다. 국소 종단 속도에 도달한 후 낙하를 계속하는 동안 속도는 국소 종단 속도에 따라 ''감소''한다.

수학적으로 시간에대한 속도함수에서 시간을 무한대로 보냈을때의 값을 의미한다. 낙하 속도에서 공기 중 낙하는 점성이 항력에 비해 무시할 수 있고 부력 효과를 고려하지 않을 때, 낙하 속도는 다음과 같다.

: $V_t= \sqrt\frac{2 m g}{\rho A C_d}$

$V_t$ 는 종단 속도
$m$ 은 낙하하는 물체의 질량
$g$ 는 중력 가속도
$C_d$ 는 항력 계수
$\rho$ 는 물체가 낙하하는 유체의 밀도
$A$ 는 물체의 투영 면적이다.^[8]

유체의 매우 느린 움직임의 경우, 유체의 관성력은 다른 힘에 비해 무시할 수 있다 (무질량 유체 가정). 이러한 흐름을 크리핑 또는 스토크스 흐름이라고 하며, 흐름이 크리핑 흐름이 되기 위해 충족되어야 하는 조건은 레이놀즈 수,

Re \ll 1

이다. 구 주위의 크리핑 흐름에 대한 해석적 해는 1851년에 스토크스에 의해 처음 제시되었다.^[10] 스토크스의 해로부터, 지름

d

인 구에 작용하는 항력은 다음과 같이 얻을 수 있다.

:

D = 3\pi \mu d V \qquad \text{or} \qquad C_d = \frac{24}{Re}

3. 종단 속도 계산

물체가 자유낙하할 때의 공기 저항력은 $F=kv$ 로 알려져 있다. 물체의 질량을 $m$ 이라 하고, 중력가속도를 $g$ 라고 할 때 물체는 아랫 방향으로 $mg$ 의 힘을 받고, 윗 방향으로 $kv$ 의 힘을 받으므로 물체가 받는 합력 $F$ 는 $F=ma=mg-kv, a = g-(kv)/m$ 와 같이 나타낼 수 있다. 가속도 $a$ 는 $dv/dt$ 이므로, $dv/dt = (-k/m){v-(mg)/k} = (-k/m)(v-v_f)$ 로 표현된다.

낙하 속도에서 점성이 항력에 비해 무시할 수 없고 부력 효과를 고려하지 않을 때, 낙하 속도는 다음과 같다.^[8]

: $V_t= \sqrt\frac{2 m g}{\rho A C_d}$

$V_t$ 는 종단 속도, $m$ 은 낙하하는 물체의 질량, $g$ 는 중력 가속도, $C_d$ 는 항력 계수, $\rho$ 는 물체가 낙하하는 유체의 밀도, $A$ 는 물체의 투영 면적이다.^[8]

아르키메데스 원리에 따르면 주변 유체가 물체에 가하는 상향력으로 인한 부력 효과를 고려할수 있으며, 이때 질량

m

은 변위된 유체 질량

\rho V

만큼 감소해야 한다. 여기서

V

는 물체의 부피이다.^[8] 따라서, 감소된 질량

m_r = m-\rho V

를 사용한다.^[8]

물체의 종단 속도는 유체의 특성, 물체의 질량 및 투영된 단면 표면적에 따라 변한다.^[8] 공기 밀도는 고도가 감소함에 따라 증가하며, 대기 중을 낙하하는 물체의 경우, 낙하할 때마다 종단 속도가 감소한다.^[8] 국소 종단 속도에 도달한 후 낙하를 계속하는 동안 속도는 국소 종단 속도에 따라 ''감소''한다.^[8]

수학적 용어를 사용하여 아래쪽을 양수로 정의하면, 지구 표면 근처에서 낙하하는 물체에 작용하는 순 힘은 (항력 방정식에 따르면) 다음과 같다.^[9]

:

F_\text{net} = m a = m g - \frac{1}{2} \rho v^2 A C_d,

여기서 ''v''(''t'')는 시간 ''t''의 함수로 나타낸 물체의 속도이다. 평형 상태에서, 순 힘은 0(''F''_net = 0)이고 속도는 종단 속도가 된다.^[9]

:

m g - {1 \over 2} \rho V_t^2 A C_d = 0.

''V''_''t''를 구하기 위해 풀면 다음과 같다.

:

V_t = \sqrt\frac{2mg}{\rho A C_d}.

항력 방정식은—''ρ'', ''g'' 및 ''C''_''d''가 상수라고 가정한다.

:

m a = m \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = m g - \frac{1}{2} \rho v^2 A C_d.

변수 분리를 통해 이 방정식을 풀면,

:

v = \sqrt\frac{2mg}{\rho A C_d} \tanh \left(t \sqrt{\frac{g \rho A C_d }{2m}}\right).

시간이 무한대에 접근함에 따라, 쌍곡 탄젠트는 1에 접근하여 종단 속도가 된다.

:

V_t = \lim_{t \to \infty} v(t) = \sqrt\frac{2mg}{\rho A C_d}.

thumb, 항력 ''F''_d 및 중력 ''F''_g]]

유체의 매우 느린 움직임의 경우, 유체의 관성력은 다른 힘에 비해 무시할 수 있다(무질량 유체 가정). 이러한 흐름을 크리핑 또는 스토크스 흐름이라고 하며, 레이놀즈 수

Re \ll 1

조건을 만족한다. 구 주위의 크리핑 흐름에 대한 해석적 해는 1851년에 스토크스에 의해 처음 제시되었다.^[10] 스토크스의 해로부터, 지름

d

인 구에 작용하는 항력은 다음과 같다.

:

D = 3\pi \mu d V \qquad \text{or} \qquad C_d = \frac{24}{Re}

여기서 레이놀즈 수는

Re = \frac{\rho d}{\mu}  V

이다. 이 항력에 대한 표현은 스토크스 법칙이라고 한다.

C_d

의 값을 위의 종단 속도 공식에 대입하면, 크리핑 흐름 조건에서 움직이는 구형 물체의 종단 속도에 대한 표현을 얻는다.^[11]

:

V_t = \frac{g d^2}{18 \mu} \left(\rho_s - \rho \right),

여기서

\rho_s

는 물체의 밀도이다.

물체가 유체를 통과하여 낙하할 때, 물체에 작용하는 순 힘이 0이 되면 종단 속도(침강 속도)에 도달한다.^[15] 종단 속도에서 물체의 무게(

W

)는 부력(

F_b

)과 항력(

D

)의 합과 같아진다.^[15]

:

W = F_b + D

낙하하는 물체가 구형일 때, 각 힘은 다음과 같이 표현된다.^[15]

$W = \frac{\pi}{6} d^3 \rho_s g,$
$F_b = \frac{\pi}{6} d^3 \rho g,$
$D = C_d \frac{1}{2} \rho V^2 A,$

여기서,

$d$ 는 구형 물체의 직경,
$g$ 는 중력 가속도,
$\rho$ 는 유체의 밀도,
$\rho_s$ 는 물체의 밀도,
$A = \frac{1}{4} \pi d^2$ 는 구의 투영 면적,
$C_d$ 는 항력 계수,
$V$ 는 특성 속도(종단 속도 $V_t$ )이다.

위 식들을

W = F_b + D

에 대입하고 종단 속도

V_t

에 대해 풀면 다음과 같다.^[15]

:

V_t = \sqrt{\frac{4 g d}{3 C_d} \left( \frac{\rho_s - \rho}{\rho} \right)}.

이 식은 물체가 유체보다 밀도가 높다고 가정한 경우다. 그렇지 않으면 항력의 부호를 음수로 바꿔야 하며, 이 경우 종단 속도는 음수 값을 갖는다.^[15]

구형 물체가 중력에 의해 낙하하면서 부력과 공기 저항을 받는 경우, 물체의 운동 방정식은 다음과 같다.^[15]

:

\rho_\mathrm{s}V \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} = (\rho_\mathrm{s}-\rho_\mathrm{f})Vg-c_\mathrm{D} S\frac{\rho_\mathrm{f} u^2}{2}

여기서,

}} : 물체의 밀도 [kg/m]
}} : 공기의 밀도
$V=\frac{\pi}{6}d^3$ : 물체의 부피 [m]
$S=\frac{\pi}{4}d^2$ : 물체의 운동 방향으로의 투영 면적 [m]
* : 물체의 직경 [m]
: 물체의 속도 [m/s]
: 중력 가속도 [m/s]
}} : 항력 계수

항력 계수 }}는 레이놀즈 수(

Re=\frac{du\rho_\mathrm{f}}{\mu_\mathrm{f}}

)에 따라 달라지며, 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[15]

:

c_\mathrm{D} = \begin{cases}\dfrac{24}{Re} & (Re<2) \\\dfrac{10}{\sqrt{Re}} & (2

여기서,

}} : 물체의 밀도 [kg/m]
}} : 공기의 밀도
$V=\frac{\pi}{6}d^3$ : 물체의 부피 [m]
$S=\frac{\pi}{4}d^2$ : 물체의 운동 방향으로의 투영 면적 [m]
* : 물체의 직경 [m]
: 물체의 속도 [m/s]
: 중력 가속도 [m/s]
}} : 항력 계수
}} : 공기의 점성 계수 [kg/m s]

이 흐름은 레이놀즈 수 의 범위에 따라 다음과 같이 분류된다.

: 스토크스 영역 (층류 영역)
: 알렌 영역 (중간 영역)
}} : 뉴턴 영역 (난류 영역)

특히

Re<2

인 경우의 해는 스토크스 법칙이라고 불린다.

항력 계수(

C_d

)는 물체의 모양과 레이놀즈 수(Re)에 따라 달라진다.^[8] 낮은 레이놀즈 수 (층류 영역)에서는 유체의 점성이 항력에 큰 영향을 미치며, 크리핑 또는 스토크스 흐름 조건(

Re \ll 1

)이 적용된다. 이 경우, 스토크스가 제시한 해에 따라 항력은 다음과 같이 표현된다.^[10]

:

D = 3\pi \mu d V \qquad \text{or} \qquad C_d = \frac{24}{Re}

여기서 레이놀즈 수는

Re = \frac{\rho d}{\mu}  V

이다. 이 식은 스토크스 법칙으로 알려져 있으며,^[11] `Re < 2` 일 때, `Cd = 24 / Re` 로 다양한 문헌에서 적용 영역에 차이가 있는데, ^[16], ^[17], (JIS Z 8820-1)^[17] 등이 있다.

thumb, drag force ''F''_d and force by gravity ''F''_g]]

중간 레이놀즈 수 영역에서는 다양한 실험식 및 근사식이 존재한다.

$c_\mathrm{D} = 10/\sqrt{Re}$ (Allen)^[19]
$c_\mathrm{D} = \left( 0.55 + \frac{4.8}{\sqrt{Re}} \right)^2$ (}} ^[17], 또는 }} ^[16])
$c_\mathrm{D} = 18/Re^{0.6}$ (}})^[16]
$c_\mathrm{D} = 18.5/Re^{0.6}$ (Bird)^[19]
$c_\mathrm{D} = \frac{24}{Re}(1+0.15 Re^{0.687})$ (Schiller 등)^[19]

비교적 고속의 난류역(뉴턴 영역, 아임계 영역^[18])에서는 0.44}}이다. 이 값은 프란틀(1914)에 의한 것이다^[18]. 적용 영역으로는 }} ^[16], < ''Re'' < 3}} ^[17] 등이 있다.

}}를 초과하는 고속 영역(초임계 영역^[18])에서는 뉴턴 영역보다 저항 계수가 낮아져, 0.1 - 0.2}} 정도가 된다^[18].

액적의 경우, 형상 변형과 내부 유동으로 인해 강체구와 다른 종단 속도를 갖는다.^[20] 직경이 작으면 종단 속도는 강체구의 그것과 거의 일치하지만, 직경이 커질수록 편평한 형태로 변형이 일어나 강체구보다 낮은 종단 속도가 된다. 강체구의 스토크스 영역에서의 식에 보정을 더한 Hadamard-Rybczinski의 식}}이 제안되었다.

:

u_t = \frac{d^2(\rho_\mathrm{s}-\rho_\mathrm{f})g}{18\mu_\mathrm{f/Hadamard–Rybczynski equation

^영어 \cdot \frac{3\mu_s+3\mu_f}{3\mu_s+2\mu_f}.

3. 1. 일반적인 경우

물체가 자유낙하할 때의 공기 저항력은

F=kv

로 알려져 있다. 물체의 질량을

m

이라 하고, 중력가속도를

g

라고 할 때 물체는 아랫 방향으로

mg

의 힘을 받고, 윗 방향으로

kv

의 힘을 받으므로 물체가 받는 합력

F

는

F=ma=mg-kv, a = g-(kv)/m

와 같이 나타낼 수 있다. 가속도

a

는

dv/dt

이므로,

dv/dt = (-k/m){v-(mg)/k} = (-k/m)(v-v_f)

로 표현된다.

낙하 속도에서 점성이 항력에 비해 무시할 수 없고 부력 효과를 고려하지 않을 때, 낙하 속도는 다음과 같다.^[8]

:

V_t= \sqrt\frac{2 m g}{\rho A C_d}

$V_t$ 는 종단 속도, $m$ 은 낙하하는 물체의 질량, $g$ 는 중력 가속도, $C_d$ 는 항력 계수, $\rho$ 는 물체가 낙하하는 유체의 밀도, $A$ 는 물체의 투영 면적이다.^[8]

아르키메데스 원리에 따르면 주변 유체가 물체에 가하는 상향력으로 인한 부력 효과를 고려할수 있으며, 이때 질량

m

은 변위된 유체 질량

\rho V

만큼 감소해야 한다. 여기서

V

는 물체의 부피이다.^[8] 따라서, 감소된 질량

m_r = m-\rho V

를 사용한다.^[8]

물체의 종단 속도는 유체의 특성, 물체의 질량 및 투영된 단면 표면적에 따라 변한다.^[8] 공기 밀도는 고도가 감소함에 따라 증가하며, 대기 중을 낙하하는 물체의 경우, 낙하할 때마다 종단 속도가 감소한다.^[8] 국소 종단 속도에 도달한 후 낙하를 계속하는 동안 속도는 국소 종단 속도에 따라 ''감소''한다.^[8]

수학적 용어를 사용하여 아래쪽을 양수로 정의하면, 지구 표면 근처에서 낙하하는 물체에 작용하는 순 힘은 (항력 방정식에 따르면) 다음과 같다.^[9]

:

F_\text{net} = m a = m g - \frac{1}{2} \rho v^2 A C_d,

여기서 ''v''(''t'')는 시간 ''t''의 함수로 나타낸 물체의 속도이다. 평형 상태에서, 순 힘은 0(''F''_net = 0)이고 속도는 종단 속도가 된다.^[9]

:

m g - {1 \over 2} \rho V_t^2 A C_d = 0.

''V''_''t''를 구하기 위해 풀면 다음과 같다.

:

V_t = \sqrt\frac{2mg}{\rho A C_d}.

항력 방정식은—''ρ'', ''g'' 및 ''C''_''d''가 상수라고 가정한다.

:

m a = m \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = m g - \frac{1}{2} \rho v^2 A C_d.

변수 분리를 통해 이 방정식을 풀면,

:

v = \sqrt\frac{2mg}{\rho A C_d} \tanh \left(t \sqrt{\frac{g \rho A C_d }{2m}}\right).

시간이 무한대에 접근함에 따라, 쌍곡 탄젠트는 1에 접근하여 종단 속도가 된다.

:

V_t = \lim_{t \to \infty} v(t) = \sqrt\frac{2mg}{\rho A C_d}.

유체의 매우 느린 움직임의 경우, 유체의 관성력은 다른 힘에 비해 무시할 수 있다(무질량 유체 가정). 이러한 흐름을 크리핑 또는 스토크스 흐름이라고 하며, 레이놀즈 수

Re \ll 1

조건을 만족한다. 구 주위의 크리핑 흐름에 대한 해석적 해는 1851년에 스토크스에 의해 처음 제시되었다.^[10] 스토크스의 해로부터, 지름

d

인 구에 작용하는 항력은 다음과 같다.

:

D = 3\pi \mu d V \qquad \text{or} \qquad C_d = \frac{24}{Re}

여기서 레이놀즈 수는

Re = \frac{\rho d}{\mu}  V

이다. 이 항력에 대한 표현은 스토크스 법칙이라고 한다.

C_d

의 값을 위의 종단 속도 공식에 대입하면, 크리핑 흐름 조건에서 움직이는 구형 물체의 종단 속도에 대한 표현을 얻는다.^[11]

:

V_t = \frac{g d^2}{18 \mu} \left(\rho_s - \rho \right),

여기서

\rho_s

는 물체의 밀도이다.

구형 물체가 중력에 의해 낙하하면서 부력과 공기 저항을 받는 경우, 물체의 운동 방정식은 다음과 같다.^[15]

:

\rho_\mathrm{s}V \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} = (\rho_\mathrm{s}-\rho_\mathrm{f})Vg-c_\mathrm{D} S\frac{\rho_\mathrm{f} u^2}{2}

여기서,

}} : 물체의 밀도 [kg/m]
}} : 공기의 밀도
$V=\frac{\pi}{6}d^3$ : 물체의 부피 [m]
$S=\frac{\pi}{4}d^2$ : 물체의 운동 방향으로의 투영 면적 [m]
* : 물체의 직경 [m]
: 물체의 속도 [m/s]
: 중력 가속도 [m/s]
}} : 항력 계수

항력 계수 }}는 레이놀즈 수에 따라 달라지며, 레이놀즈 수는

Re=\frac{du\rho_\mathrm{f}}{\mu_\mathrm{f}}

로 정의된다. 여기서 }}는 공기의 점성 계수이다. 이 흐름은 레이놀즈 수 의 범위에 따라 스토크스 영역, 알렌 영역, 뉴턴 영역으로 분류된다.

3. 2. 부력을 고려하는 경우

물체가 유체를 통과하여 낙하할 때, 물체에 작용하는 순 힘이 0이 되면 종단 속도(침강 속도)에 도달한다.^[15] 종단 속도에서 물체의 무게(

W

)는 부력(

F_b

)과 항력(

D

)의 합과 같아진다.^[15]

:

W = F_b + D

낙하하는 물체가 구형일 때, 각 힘은 다음과 같이 표현된다.^[15]

$W = \frac{\pi}{6} d^3 \rho_s g,$
$F_b = \frac{\pi}{6} d^3 \rho g,$
$D = C_d \frac{1}{2} \rho V^2 A,$

여기서,

$d$ 는 구형 물체의 직경,
$g$ 는 중력 가속도,
$\rho$ 는 유체의 밀도,
$\rho_s$ 는 물체의 밀도,
$A = \frac{1}{4} \pi d^2$ 는 구의 투영 면적,
$C_d$ 는 항력 계수,
$V$ 는 특성 속도(종단 속도 $V_t$ )이다.

위 식들을

W = F_b + D

에 대입하고 종단 속도

V_t

에 대해 풀면 다음과 같다.^[15]

:

V_t = \sqrt{\frac{4 g d}{3 C_d} \left( \frac{\rho_s - \rho}{\rho} \right)}.

이 식은 물체가 유체보다 밀도가 높다고 가정한 경우다. 그렇지 않으면 항력의 부호를 음수로 바꿔야 하며, 이 경우 종단 속도는 음수 값을 갖는다.^[15]

항력 계수 }}는 레이놀즈 수(

Re=\frac{du\rho_\mathrm{f}}{\mu_\mathrm{f}}

)에 따라 달라지며, 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[15]

:

c_\mathrm{D} = \begin{cases}\dfrac{24}{Re} & (Re<2) \\\dfrac{10}{\sqrt{Re}} & (2

여기서,

}} : 물체의 밀도 [kg/m]
}} : 공기의 밀도
$V=\frac{\pi}{6}d^3$ : 물체의 부피 [m]
$S=\frac{\pi}{4}d^2$ : 물체의 운동 방향으로의 투영 면적 [m]
* : 물체의 직경 [m]
: 물체의 속도 [m/s]
: 중력 가속도 [m/s]
}} : 항력 계수
}} : 공기의 점성 계수 [kg/m s]

이 흐름은 레이놀즈 수 의 범위에 따라 다음과 같이 분류된다.

: 스토크스 영역 (층류 영역)
: 알렌 영역 (중간 영역)
}} : 뉴턴 영역 (난류 영역)

3. 3. 스토크스 법칙 (Stokes' Law)

thumb, 항력 ''F''_d 및 중력 ''F''_g]]

유체의 매우 느린 움직임의 경우, 유체의 관성력은 다른 힘에 비해 무시할 수 있다(무질량 유체 가정). 이러한 흐름을 크리핑 또는 스토크스 흐름이라고 하며, 흐름이 크리핑 흐름이 되기 위해 충족되어야 하는 조건은 레이놀즈 수

Re \ll 1

이다.^[10] 크리핑 흐름 (간소화된 나비에-스토크스 방정식)에 대한 운동 방정식은 다음과 같다.

:

{\mathbf \nabla} p = \mu \nabla^2 {\mathbf v}

여기서:

$\mathbf v$ 는 유체 속도 벡터장이고,
$p$ 는 유체 압력장이고,
$\mu$ 는 액체/유체의 점성이다.

구 주위의 크리핑 흐름에 대한 해석적 해는 1851년에 스토크스에 의해 처음 제시되었다.^[10] 스토크스의 해로부터, 지름

d

인 구에 작용하는 항력은 다음과 같이 얻을 수 있다.

:

D = 3\pi \mu d V \qquad \text{or} \qquad C_d = \frac{24}{Re}

여기서 레이놀즈 수는

Re = \frac{\rho d}{\mu}  V

이다. 이 항력에 대한 표현을 스토크스 법칙이라고 한다.

C_d

의 값을 종단 속도 공식에 대입하면, 크리핑 흐름 조건에서 움직이는 구형 물체의 종단 속도에 대한 표현을 얻는다.^[11]

:

V_t = \frac{g d^2}{18 \mu} \left(\rho_s - \rho \right),

여기서

\rho_s

는 물체의 밀도이다.

특히

Re<2

인 경우의 해는 스토크스 법칙이라고 불린다.

3. 4. 항력 계수 (Drag Coefficient)

항력 계수(

C_d

)는 물체의 모양과 레이놀즈 수(Re)에 따라 달라진다.^[8] 낮은 레이놀즈 수 (층류 영역)에서는 유체의 점성이 항력에 큰 영향을 미치며, 크리핑 또는 스토크스 흐름 조건(

Re \ll 1

)이 적용된다. 이 경우, 스토크스가 제시한 해에 따라 항력은 다음과 같이 표현된다.^[10]

:

D = 3\pi \mu d V \qquad \text{or} \qquad C_d = \frac{24}{Re}

여기서 레이놀즈 수는

Re = \frac{\rho d}{\mu}  V

이다. 이 식은 스토크스 법칙으로 알려져 있으며,^[11] `Re < 2` 일 때, `Cd = 24 / Re` 로 다양한 문헌에서 적용 영역에 차이가 있는데, ^[16], ^[17], (JIS Z 8820-1)^[17] 등이 있다.

thumb, drag force ''F''_d and force by gravity ''F''_g]]

중간 레이놀즈 수 영역에서는 다양한 실험식 및 근사식이 존재한다.

$c_\mathrm{D} = 10/\sqrt{Re}$ (Allen)^[19]
$c_\mathrm{D} = \left( 0.55 + \frac{4.8}{\sqrt{Re}} \right)^2$ (}} ^[17], 또는 }} ^[16])
$c_\mathrm{D} = 18/Re^{0.6}$ (}})^[16]
$c_\mathrm{D} = 18.5/Re^{0.6}$ (Bird)^[19]
$c_\mathrm{D} = \frac{24}{Re}(1+0.15 Re^{0.687})$ (Schiller 등)^[19]

비교적 고속의 난류역(뉴턴 영역, 아임계 영역^[18])에서는 0.44}}이다. 이 값은 프란틀(1914)에 의한 것이다^[18]. 적용 영역으로는 }} ^[16], < ''Re'' < 3}} ^[17] 등이 있다.

}}를 초과하는 고속 영역(초임계 영역^[18])에서는 뉴턴 영역보다 저항 계수가 낮아져, 0.1 - 0.2}} 정도가 된다^[18].

액적의 경우, 형상 변형과 내부 유동으로 인해 강체구와 다른 종단 속도를 갖는다.^[20] 직경이 작으면 종단 속도는 강체구의 그것과 거의 일치하지만, 직경이 커질수록 편평한 형태로 변형이 일어나 강체구보다 낮은 종단 속도가 된다. 강체구의 스토크스 영역에서의 식에 보정을 더한 Hadamard-Rybczinski의 식}}이 제안되었다.

:

u_t = \frac{d^2(\rho_\mathrm{s}-\rho_\mathrm{f})g}{18\mu_\mathrm{f/Hadamard–Rybczynski equation

^영어 \cdot \frac{3\mu_s+3\mu_f}{3\mu_s+2\mu_f}.

4. 종단 속도의 예시 및 응용

스카이다이버는 엎드린 자세에서 약 55 m/s의 종단 속도에 도달한다.^[3] 팔다리를 오므리면 종단 속도는 약 90 m/s로 증가한다.^[3]^[4] 머리를 아래로 향하는 자세에서는 약 150 m/s의 속도에 도달할 수 있다. 펠릭스 바움가르트너는 낮은 공기 밀도로 인해 약 380 m/s의 종단 속도를 기록했다.^[6]

빗방울은 크기에 따라 종단 속도가 다르다. 작은 빗방울은 느리게, 큰 빗방울은 빠르게 떨어진다. 액적은 형상의 변형이나 내부의 유동 현상이 있기 때문에 운동 해석이 복잡하다.^[20] 직경이 커질수록 편평한 형태로 변형되어 강체구보다 낮은 종단 속도를 가진다.

해저나 강바닥에서 퇴적물이 가라앉는 속도는 종단 속도에 의해 결정되며, 이는 지형 형성에 중요한 역할을 한다. 낙구 점도계는 종단 속도 원리를 이용하여 유체의 점성을 측정하는 장치이다.

5. 추가 정보

5. 1. 대한민국 관련 연구

5. 2. 관련 자료

6. 같이 보기

참조

_[1] 웹사이트 6.4 Drag Force and Terminal Speed - University Physics Volume 1 https://openstax.org[...] 2023-07-15
_[2] 학술지 The drag coefficient and settling velocity of natural sediment particles 2019-01
_[3] 웹사이트 Speed of a skydiver (terminal velocity) https://hypertextboo[...] 2022-01-25
_[4] 웹사이트 All About the Peregrine Falcon http://www.fws.gov/e[...] U.S. Fish and Wildlife Service 2007-12-20
_[5] 웹사이트 Bullets in the Sky http://www.loadammo.[...] W. Square Enterprises, 9826 Sagedale, Houston, Texas 77089 2001-03
_[6] 학술지 Physiological Monitoring and Analysis of a Manned Stratospheric Balloon Test Program 2014-02
_[7] 잡지 On Being the Right Size https://harpers.org/[...] 1926-03
_[8] 서적 Dispersal in Plants: A Population Perspective https://books.google[...] Oxford University Press 2008
_[9] 서적 Fluid Mechanics for Marine Ecologists https://books.google[...] Springer Science+Business Media 1999
_[10] 학술지 On the effect of internal friction of fluids on the motion of pendulums https://babel.hathit[...] 1851
_[11] 서적 Hydrodynamics Cambridge University Press
_[12] 서적 力学岩波書店
_[13] 서적 物質移動の基礎と応用丸善
_[14] 서적 液相中の粒子分散・凝集と分離操作日刊工業新聞社
_[15] 문서 重力でなく遠心力場であれば重力加速度の代わりに遠心加速度を、また静止した空気中でなく運動する流体中であれば物体の速度の代わりに相対速度を用いればよい。
_[16] 웹사이트 流体中の粒子・気泡の運動 https://chemeng.web.[...] 2021-08-21
_[17] 웹사이트 沈降法による粒子径測定 https://staff.aist.g[...] 2018-12-08
_[18] 서적 流体力学シュプリンガージャパン
_[19] 학술지 球形粒子の沈降速度について https://doi.org/10.4[...] 2020-04-14
_[20] 서적 高温界面化学（上）アグネ技術センター

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