종순 바나흐 대수

1. 개요

종순 바나흐 대수는 바나흐 대수의 일종으로, 특정 조건을 만족하는 대수이다. 바나흐 쌍가군, 유계 미분 등의 개념을 통해 정의되며, 1차 유계 호흐실트 호몰로지가 자명하다는 조건과 동치이다. 폰 노이만 대수의 경우 종순성은 초유한성과 동치이며, C* 대수의 경우 핵 C* 대수와 동치이다. 모든 C* 대수는 약종순 바나흐 대수이다. 가환 C*-대수, 유한 차원 C*-대수 등이 종순 바나흐 대수의 예시이며, 1972년에 개념이 도입되었다.

2. 정의

종순 바나흐 대수의 정의는 다소 기술적이지만, 핵심 아이디어는 복소수 바나흐 대수 $A$ 위의 특정 종류의 함수인 유계 미분($\backslash partial$)이 항상 대수 구조 내부의 어떤 요소($\backslash phi$)를 이용하여 "내부적"인 형태, 즉 $\backslash partial(a)\; =\; a\backslash phi\; -\; \backslash phi\; a$ (보통 $\backslash partial\; =\; [-,\; \backslash phi]$로 표기)로 표현될 수 있다는 것이다. 이는 해당 대수의 구조적 성질과 밀접한 관련이 있다.

이 정의를 정확하게 이해하기 위해서는 바나흐 쌍가군과 유계 미분의 개념이 선행되어야 하며, 이에 대한 자세한 내용은 아래 하위 섹션에서 다룬다.

간단히 말해, 어떤 바나흐 대수 $A$가 종순이라는 것은, 그 대수와 관련된 모든 바나흐 쌍가군 $M$에 대해, $A$에서 $M$의 연속 쌍대 공간 $M^*$로 가는 모든 유계 미분이 위에서 언급한 내부 미분($[-,\; \backslash phi]$)의 형태를 가진다는 것을 의미한다.

호흐실트 호몰로지의 언어를 사용하면, 이 조건은 1차 유계 호흐실트 호몰로지 군 $H^1(A,\; M^*)$이 모든 $M$에 대해 항상 자명하다(즉, 0과 같다)는 것과 동등하다. 이는 모든 유계 미분(1차 호흐실트 순환)이 내부 미분(1차 호흐실트 경계)임을 의미한다.

만약 위 조건을 모든 바나흐 쌍가군 $M$이 아닌, 특별히 $M=A$인 경우에만 만족하도록 약화시키면, 약종순 바나흐 대수(弱從順, weakly amenable Banach algebra^영어)라는 더 약한 개념을 얻게 된다.

2.1. 바나흐 쌍가군

두 복소수 바나흐 대수 $A$, $B$ 위의 바나흐 쌍가군 $\_AM\_B$는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* $(A,B)$-쌍가군 $\_AM\_B$
* $M$ 위의 복소수 바나흐 공간 구조 $(M,\backslash |\backslash |)$

이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.
:
:

이 경우, 연속 쌍대 공간 $M^*$은 자연스럽게 $(B,A)$-바나흐 쌍가군을 이룬다.

2.2. 유계 미분

복소수 바나흐 대수 $A$와 $(A,A)$-바나흐 쌍가군 $\_AM\_A$가 주어졌다고 하자.
$M$의 값을 가지는 유계 미분(bounded derivation^영어)은 다음 두 조건을 만족시키는 복소수 선형 변환 $\backslash partial\backslash colon\; A\backslash to\; M$이다.
* $\backslash partial$는 미분이다. 즉, $A$에 속하는 임의의 원소 $a,b$에 대하여 $\backslash partial(ab)=(\backslash partial\; a)b+a\backslash partial\; b$를 만족시킨다.
* $\backslash partial$는 유계 작용소이다.

2.3. 종순 바나흐 대수

복소수 바나흐 대수 $A$가 다음 조건을 만족시킨다면, 종순 바나흐 대수라고 한다.
* 임의의 $(A,A)$-바나흐 쌍가군 $\_AM\_A$ 및 유계 미분 $\backslash partial\backslash colon\; A\backslash to\; M^*$에 대하여, $\backslash partial=[-,\; \backslash phi]$가 되는 $\backslash phi\backslash in\; M^*$가 존재한다. (여기서 $M^*$는 $M$의 연속 쌍대 공간이다.)

여기서 유계 미분들의 군은 1차 유계 호흐실트 순환들의 군으로, $[-,\; \backslash phi]$ 꼴의 유계 미분들의 군은 1차 완전 호흐실트 순환들의 군으로 생각할 수 있다. 따라서 종순 바나흐 대수의 정의는 1차 유계 호흐실트 호몰로지가 자명하다는 조건과 동일하다.

만약 위 조건을 $M=A$인 경우에만 성립하도록 약화시키면, 약종순 바나흐 대수(弱從順, weakly amenable Banach algebra^영어)의 개념을 얻는다.

3. 성질

종순 바나흐 대수는 폰 노이만 대수 및 C* 대수와 관련하여 다음과 같은 중요한 성질을 가진다.

폰 노이만 대수 $A$가 종순 바나흐 대수인 것은 그것이 초유한성(hyperfiniteness^영어)이라는 특정 조건과 동치이다. 이러한 성질을 만족하는 폰 노이만 대수는 단사 폰 노이만 대수(injective von Neumann algebra^영어) 또는 초유한 폰 노이만 대수(hyperfinite von Neumann algebra^영어)라고도 불린다.

C* 대수 $A$의 경우, $A$가 종순 바나흐 대수인 것은 $A$로 생성되는 폰 노이만 대수가 종순 바나흐 대수인 것과 동치이다. 이러한 성질을 만족하는 C* 대수는 핵 C* 대수(nuclear C*-algebra^영어)라고도 불린다.

또한, 모든 C* 대수는 약종순 바나흐 대수이다.

3.1. 폰 노이만 대수

폰 노이만 대수 $A$에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.
* $A$가 종순 바나흐 대수이다.
* $A$가 초유한성(hyperfiniteness^영어)을 만족한다. 이는 부분 폰 노이만 대수들의 증가하는 열 $A\_0\backslash subseteq\; A\_1\backslash subseteq\; A\_2\backslash subseteq\backslash cdots\backslash subseteq\; A$가 존재하여, 다음 두 가지 조건을 모두 만족시키는 것을 의미한다.
각 $A\_i$는 모두 유한 차원 폰 노이만 대수이다.
이들의 합집합 $\backslash textstyle\backslash bigcup\_\{i=0\}^\backslash infty\; A\_i$는 $A$의 (노름 거리 위상에서의) 조밀 집합을 이룬다.

이러한 조건을 만족하는 종순 폰 노이만 대수는 단사 폰 노이만 대수(injective von Neumann algebra^영어) 또는 초유한 폰 노이만 대수(hyperfinite von Neumann algebra^영어)라고도 불린다.

3.2. C*-대수

C* 대수 $A$의 경우 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 종순 바나흐 대수이다.
* $A$로 생성되는 폰 노이만 대수는 종순 바나흐 대수이다.
종순 C* 대수는 핵 C* 대수(nuclear C*-algebra^영어)라고도 불린다.

모든 C* 대수는 약종순 바나흐 대수이다.

4. 예

모든 가환 C*-대수는 종순 바나흐 대수이다. 모든 유한 차원 C*-대수는 종순 바나흐 대수이다.
* 어떤 국소 컴팩트 군 G에 대한 군 대수 L¹(G)가 종순일 필요충분조건은 G가 가산 군인 것이다.
* C*-대수가 종순일 필요충분조건은 핵 C*-대수인 것이다.
* 콤팩트 공간이자 하우스도르프 공간인 X 위의 균등 대수가 종순일 필요충분조건은 그 대수가 자명한 경우, 즉 X 위의 모든 연속 함수(복소수 값을 가지는 함수)들의 대수인 C(X)인 것이다.
* 만약 바나흐 대수 A가 종순이고, A에서 다른 바나흐 대수로 가는 연속 대수 준동형사상 θ가 존재하면, θ(A)의 폐포 역시 종순이다.

5. 역사

종순 바나흐 대수의 개념은 1972년에 도입되었다. 이후 알랭 콘이 폰 노이만 대수의 경우 종순성이 초유한성 등 여러 다양한 조건들과 동치임을 증명하였다.