주양자수

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1. 개요
2. 역사적 배경 및 유도
- 2.1. 슈뢰딩거 방정식과 주양자수
- 2.2. 보어 모형과 주양자수
3. 주양자수의 특징
4. 주양자수와 관련된 개념
- 4.1. 전자 껍질
- 4.2. 원자 궤도 함수 (오비탈)
5. 현대적 응용
참조

1. 개요

주양자수는 원자 내 전자의 에너지 준위를 나타내는 양자수이다. 주양자수 n은 1, 2, 3 등과 같은 양의 정수 값을 가지며, 전자의 에너지와 전자 껍질의 크기를 결정하는 데 중요한 역할을 한다. 주양자수는 슈뢰딩거 방정식의 해에서 유도되며, 보어 모형에서 각운동량의 양자화를 설명하는 데 사용되었다. 주양자수는 방사상 양자수와 방위 양자수와 관련되며, 전자 껍질, 원자 궤도 함수, 주기율표, 분광학 등 다양한 분야에서 활용된다.

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주양자수
기본 정보
이름	주양자수
영어	principal quantum number
기호	n
정의	원자 내에서 전자가 가질 수 있는 에너지 준위를 나타내는 양자수
값	양의 정수 (1, 2, 3, ...)
다른 양자수와의 관계	방위 양자수와 자기 양자수의 범위를 결정
에너지 준위	n 값이 클수록 에너지 준위가 높아짐
껍질	n 값에 따라 전자 껍질(K, L, M, ...)이 결정됨
역사
개념 도입	닐스 보어의 보어 모형에서 처음 제시
발전	양자역학 발전에 따라 개념이 확장됨
물리적 의미
전자 에너지	원자 내 전자의 주요 에너지 준위를 결정
원자 크기	n 값이 클수록 전자의 평균 거리가 증가하여 원자 크기가 커짐
스펙트럼	원자 스펙트럼의 뤼드베리 공식과 밀접한 관련
수학적 표현
보어 모형	에너지 준위 En = -13.6 eV / n²
슈뢰딩거 방정식	수소 원자 문제에서 에너지 고유값으로 나타남
기타
응용	원자 및 분자 구조 연구, 분광학, 재료 과학 등 다양한 분야에서 활용
주의 사항	다전자 원자의 경우 에너지 준위는 주양자수 외에도 다른 요인에 영향을 받음

2. 역사적 배경 및 유도

몇몇 양자수는 원자의 에너지 상태와 관련되어 있다. ''n'', ''L'', ''m'', ''s'' 네 개의 양자수는 원자 내에서 한 전자의 파동함수 또는 오비탈이라 불리는 유일한 양자 상태를 정의한다. 파울리 배타 원리에 따라 한 원자 내에서 두 전자는 같은 네 개의 양자수를 가지지 못한다. 양자역학에서 원자의 오비탈에 대한 슈뢰딩거 방정식을 풀었을 때 처음 세 개의 양자수가 나타난다. 따라서 세 양자수에 관한 방정식들은 서로 연관되어 있으며, 주 양자수는 파동 방정식의 방사상 부분의 해에서 나타난다.

슈뢰딩거 방정식은 실수 ''E_n'' 을 지닌 에너지 고유상태(eigenstate)를 ''E_n'' 이 정의하는 전체 에너지로 나타낸다. 수소원자 내에서 전자의 에너지는 다음과 같다.

: $E_n = \frac {E_1}{n^2} = \frac {-13.6\text{ eV}}{n^2}, \quad n=1,2,3,\ldots$

변수 ''n''은 자연수이며 에너지 준위의 개념과 표기법은 보어 모형에서 유래한다. 슈뢰딩거 방정식은 보어의 이차원 모형을 삼차원 파동함수 모형으로 개발한 것이다.

보어 모형에서 허용된 궤도는 전자의 궤도 각운동량(''L'')이 양자화(불연속적)된다는 조건에서 유도되었다. 각운동량 ''L''은 아래와 같이 주양자수(''n'' = 1, 2, 3, ...)와 플랑크 상수(''h'')로 표현된다.

: $L = n \cdot \hbar = n \cdot {h \over 2\pi}$

이 공식은 각운동량의 크기가 방위 양자수에 의해 설명되기 때문에 양자 역학에서는 정확하지 않다. 하지만 보어 모형은 주양자수의 개념을 통해 에너지 준위의 양자화를 설명하는 데 중요한 역할을 했다. 수소 원자에서 전자의 결합 상태 에너지는 다음과 같이 주양자수 n으로 표현된다.

주 양자수 ''n'' 은 전체적인 오비탈의 에너지를 나타내고 핵과의 거리가 멀어짐에 따라 높은 에너지를 갖게 된다. 같은 ''n'' 을 가진 오비탈들의 집합을 흔히 전자 껍질 혹은 에너지 준위라고 부른다.

주 양자수는 지름 양자수, ''n''_''r'' 과 관련이 있다.

: $n = n_r + \ell + 1 \,$

''L'' 은 방위 양자수이고 ''n''_''r'' 은 방사상 파동함수의 마디의 수와 같다.

같은 ''n'' 값을 갖는 궤도 집합을 전자 껍질이라고 하며, 주기율표에서는 K (''n'' = 1), L (''n'' = 2), M (''n'' = 3) 등으로 표시한다.

슈뢰딩거 파동 방정식은 명확한 총 에너지 값 ''E_n''을 갖는 에너지 고유 상태를 설명한다. 보어의 원자 모형은 슈뢰딩거의 방정식에 의해 평면적인 2차원에서 3차원 파동 함수 모형으로 발전하였다.

쿨롱 장에서 입자 운동에 대한 명확한 총 에너지는 다음과 같다.

: $E_n = - \frac{Z^2 \hbar^2}{2 m_0 a_0^2 n^2} = -\frac {Z^2 e^4 m_0}{2 \hbar^2 n^2} ,$

여기서 $a_0$ 는 보어 반지름이다. 이 불연속 에너지 스펙트럼은 전자의 운동에 대한 양자 역학적 문제 해결의 결과로 얻어졌으며, 고전 방정식에 보어-좀머펠트 양자화 규칙을 적용하여 얻은 스펙트럼과 일치한다.^[2]

2. 1. 슈뢰딩거 방정식과 주양자수

몇몇 양자수는 원자의 에너지 상태와 관련되어 있다. ''n'', ''L'', ''m'', ''s'' 네 개의 양자수는 원자 내에서 한 전자의 파동함수 또는 오비탈이라 불리는 유일한 양자 상태를 정의한다. 파울리 배타 원리에 따라 한 원자 내에서 두 전자는 같은 네 개의 양자수를 가지지 못한다. 양자역학에서 원자의 오비탈에 대한 슈뢰딩거 방정식을 풀었을 때 처음 세 개의 양자수가 나타난다. 따라서 세 양자수에 관한 방정식들은 서로 연관되어 있으며, 주 양자수는 파동 방정식의 방사상 부분의 해에서 나타난다.

슈뢰딩거 방정식은 실수 ''E_n'' 을 지닌 에너지 고유상태(eigenstate)를 ''E_n'' 이 정의하는 전체 에너지로 나타낸다. 수소원자 내에서 전자의 에너지는 다음과 같다.

:

E_n = \frac {E_1}{n^2} = \frac {-13.6\text{ eV}}{n^2}, \quad n=1,2,3,\ldots

변수 ''n''은 자연수이며 에너지 준위의 개념과 표기법은 보어 모형에서 유래한다. 슈뢰딩거 방정식은 보어의 이차원 모형을 삼차원 파동함수 모형으로 개발한 것이다.

보어 모형에서 허용된 궤도는 양자화된 각운동량에서 유도되었다.

:

\mathbf{L} = n \cdot \hbar = n \cdot {h \over 2\pi}

여기서 ''n'' = 1, 2, 3, … 는 주 양자수이고 ''h''는 플랑크 상수이다. 각운동량의 크기는 방위 양자수로 나타내기 때문에 양자역학에서 이 공식은 옳지 않으나 에너지 준위는 정확하고 이는 고전적으로 포텐셜과 운동에너지의 합에 해당한다.

주 양자수 ''n'' 은 전체적인 오비탈의 에너지를 나타내고 핵과의 거리가 멀어짐에 따라 높은 에너지를 갖게 된다. 같은 ''n'' 을 가진 오비탈들의 집합을 흔히 전자 껍질 혹은 에너지 준위라고 부른다.

주 양자수는 지름 양자수, ''n''_''r'' 과 관련이 있다.

:

n = n_r + \ell + 1 \,

''L'' 은 방위 양자수이고 ''n''_''r'' 은 방사상 파동함수의 마디의 수와 같다.

2. 2. 보어 모형과 주양자수

보어 모형에서 허용된 궤도는 전자의 궤도 각운동량(''L'')이 양자화(불연속적)된다는 조건에서 유도되었다. 각운동량 ''L''은 아래와 같이 주양자수(''n'' = 1, 2, 3, ...)와 플랑크 상수(''h'')로 표현된다.

:

L = n \cdot \hbar = n \cdot {h \over 2\pi}

이 공식은 각운동량의 크기가 방위 양자수에 의해 설명되기 때문에 양자 역학에서는 정확하지 않다. 하지만 보어 모형은 주양자수의 개념을 통해 에너지 준위의 양자화를 설명하는 데 중요한 역할을 했다. 수소 원자에서 전자의 결합 상태 에너지는 다음과 같이 주양자수 n으로 표현된다.

:

E_n = \frac {E_1}{n^2} = \frac {-13.6\text{ eV}}{n^2}, \quad n=1,2,3,\ldots

주양자수 ''n''은 각 궤도의 상대적인 전체 에너지를 나타내며, 핵으로부터의 거리가 증가함에 따라 에너지 준위가 증가한다. 같은 ''n'' 값을 갖는 궤도 집합을 전자 껍질이라고 하며, 주기율표에서는 K (''n'' = 1), L (''n'' = 2), M (''n'' = 3) 등으로 표시한다.

슈뢰딩거 파동 방정식은 명확한 총 에너지 값 ''E_n''을 갖는 에너지 고유 상태를 설명한다. 보어의 원자 모형은 슈뢰딩거의 방정식에 의해 평면적인 2차원에서 3차원 파동 함수 모형으로 발전하였다.

쿨롱 장에서 입자 운동에 대한 명확한 총 에너지는 다음과 같다.

:

E_n = - \frac{Z^2 \hbar^2}{2 m_0 a_0^2 n^2} = -\frac {Z^2 e^4 m_0}{2 \hbar^2 n^2} ,

여기서

a_0

는 보어 반지름이다. 이 불연속 에너지 스펙트럼은 전자의 운동에 대한 양자 역학적 문제 해결의 결과로 얻어졌으며, 고전 방정식에 보어-좀머펠트 양자화 규칙을 적용하여 얻은 스펙트럼과 일치한다.^[2]

3. 주양자수의 특징

주양자수(''n'')는 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7과 같은 양의 정수값을 가진다.^[3] 주양자수는 전자껍질 이론과 관련이 있으며, 아직 발견되지 않은 8주기 원소에 대해서는 ''n'' = 8 (그리고 아마도 9)의 포함이 예상된다.^[3] 원자 물리학에서는 여기 상태를 설명하기 위해 더 높은 ''n'' 값이 때때로 사용된다.^[3] 성간 매질 관측 결과 ''n''이 수백 정도인 수소 원자 스펙트럼 선이 드러나는데, 최대 766까지 검출되었다.^[3]

주양자수는 원자 내 전자의 에너지 준위를 결정하는 가장 중요한 양자수이다. 같은 주양자수를 갖는 전자들은 같은 전자 껍질에 속하며, 주양자수가 클수록 전자 껍질의 크기와 에너지 준위가 높아진다. 주양자수는 방사상 양자수(''n''_r)와 방위 양자수(''l'')와 관계를 갖는다. 여기서 ''n''_r은 방사상 파동 함수의 마디(node)의 개수를 나타내며, ''l''은 전자의 각운동량 크기를 나타내는 양자수이다.

4. 주양자수와 관련된 개념

4. 1. 전자 껍질

화학에서 주양자수 ''n'' = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7은 전자껍질 이론과 관련하여 사용되며, 아직 발견되지 않은 8주기 원소에 대해서는 ''n'' = 8(그리고 아마도 9)의 포함이 예상된다.^[3] 원자 물리학에서는 여기 상태를 설명하기 위해 더 높은 ''n'' 값이 때때로 사용된다.^[3] 성간 매질 관측 결과 ''n''이 수백 정도인 수소 원자 스펙트럼 선이 드러나는데, 최대 766까지 검출되었다.^[3] 전자 껍질은 원자핵 주위에 전자가 존재할 수 있는 영역을 나타내며, 주양자수에 따라 K 껍질(n=1), L 껍질(n=2), M 껍질(n=3) 등으로 분류된다. 각 전자 껍질은 최대 2n²개의 전자를 수용할 수 있다.

4. 2. 원자 궤도 함수 (오비탈)

5. 현대적 응용

5. 1. 주기율표와 전자 배치

5. 2. 분광학

5. 3. 확장 주기율표

5. 4. 성간 매질

성간 매질 관측 결과 ''n''이 수백 정도인 수소 원자 스펙트럼 선이 드러나는데, 최대 766까지 검출되었다.^[3]

참조

_[1] 문서 Here we ignore spin. Accounting for ''s'', ''every'' orbital (determined by ''n'' and ''ℓ'') is degenerate, assuming absence of external [[magnetic field]].
_[2] 서적 Atomic spectroscopy. Introduction of theory to Hyperfine Structure 2006-01-01 # 날짜 정보가 년도만 제공되어 01-01로 설정
_[3] 서적 Astronomical Spectroscopy http://fulviofrisone[...] Imperial College Press

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