방위 양자수

1. 개요

방위 양자수는 원자 내 전자의 궤도 각운동량의 크기를 나타내는 양자수이다. 슈뢰딩거 방정식을 통해 각운동량의 양자화를 설명하며, 0 이상의 정수 값을 갖는다. 이 값에 따라 원자 궤도 함수의 모양이 결정되며, s, p, d, f 등으로 표기된다. 방위 양자수는 고립된 원자뿐만 아니라 고체, 액체, 기체 상태의 원자에도 적용되며, 분광학, 밀도 범함수 이론, 광 다중 통신 등 다양한 분야에 응용된다.

2. 정의 및 유도

"방위 양자수"라는 용어는 아놀드 조머펠트가 1915년에 원자 스펙트럼의 에너지 구조를 임시적으로 설명하는 과정에서 도입했다. 나중에 원자의 양자 모델이 개발되면서 이 수가 궤도 각운동량의 양자화에서 비롯된다는 것이 이해되었다. 일부 교과서와 ISO 표준 80000-10:2019에서는 이 값을 궤도 각운동량 양자수라고 부른다.

소문자 는 단일 입자의 궤도 각운동량을 나타내는 데 사용된다. 다수의 입자로 이루어진 계의 경우에는 대문자 를 사용한다.

2.1. 고전역학에서의 각운동량

고전역학에서 각운동량 L은 위치 벡터 r과 운동량 벡터 p의 외적으로 정의된다.

2.2. 양자역학에서의 궤도 각운동량

고전역학에서 각운동량의 정의 $\backslash boldsymbol\{L\}\; =\; \backslash boldsymbol\{x\}\backslash times\backslash boldsymbol\{p\}$에서 위치 $\backslash boldsymbol\{x\}$와 운동량 $\backslash boldsymbol\{p\}$을 형식적으로 위치 연산자와 운동량 연산자로 치환하면 궤도 각운동량 연산자를 얻을 수 있다. 궤도 각운동량 연산자는 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash hat\{\backslash boldsymbol\{L\}\}$
=
(\hat{L}_x,\hat{L}_y,\hat{L}_z)
=\left(
-i\hbar \left(
y\frac{\partial}{\partial z}
-z\frac{\partial}{\partial y}
\right),
-i\hbar \left(
z\frac{\partial}{\partial x}
-x\frac{\partial}{\partial z}
\right),
-i\hbar \left(
x\frac{\partial}{\partial y}
-y\frac{\partial}{\partial x}
\right)
\right)


여기서 위치 연산자와 운동량 연산자는 다음과 같다.

:$\backslash hat\{\backslash boldsymbol\{x\}\}$
=(\hat{x},\hat{y},\hat{z})
=(x\cdot,y\cdot,z\cdot)


:$\backslash hat\{\backslash boldsymbol\{p\}\}$
=(\hat{p}_x,\hat{p}_y,\hat{p}_z)
=(
-i\hbar{\partial\over \partial x},
-i\hbar{\partial\over \partial y},
-i\hbar{\partial\over \partial z}
)


보다 일반적으로, 3차원 공간의 단위 벡터 $\{\backslash boldsymbol\{n\}\}=(n\_1,n\_2,n\_3)$ 에 대해, 내적

:$\backslash hat\{L\}\_\{\backslash boldsymbol\{n\}\}$
=\boldsymbol{n}\cdot\hat{\boldsymbol{L}}
=n_1\hat{L}_x+n_2\hat{L}_y+n_3\hat{L}_z


를 $\backslash boldsymbol\{n\}$을 회전축으로 하는 궤도 각운동량 연산자라고 한다.

2.3. 슈뢰딩거 방정식과 각운동량의 양자화

회전하는 입자의 에너지는 고전적으로 각운동량 L을 이용해서 다음과 같이 표현된다.

::$E=\{L^2\; \backslash over\; 2I\}$

이것을 슈뢰딩거 방정식을 통해 푼 에너지 식과 비교하면 에너지가 양자화되어 있기 때문에 각운동량 또한 양자화된다는 사실을 알 수 있다.

::$E=\{l(l+1)h^2\; \backslash over\; \{2I\}\},\; (l=0,1,2,3...)$

이것을 식으로 정리하면 다음과 같다.

::$L=\backslash hbar\backslash sqrt\{l(l+1)\}\; (l=0,1,2,3...)$

위의 식은 보어의 가설을 증명하는데 사용되었다. 보어는 각운동량 $L\; =\; \{nh\backslash over\; 2\backslash pi\}$이라는 가설을 설정했다. 보어는 이를 사용하여 궤도의 양자화를 설명하였고, 이를 통해 우리가 아는 보어의 수소 원자 모형이 탄생하였다. 후에 슈뢰딩거가 파동방정식을 통해 각운동량을 구하였고, 아래와 같은 식을 유도하였다.

::$L\; =\; \backslash hbar\backslash sqrt\{l(l+1)\}$

이는 주양자수 $n$ 대신 $\backslash sqrt\{l(l+1)\}$을 사용하여 양자화를 의미한 것으로 보어의 가설이 옳았다는 것을 의미한다. 슈뢰딩거의 각운동량을 통해 주양자수에 따른 각운동량을 구할 수 있었고 그 결과는 아래와 같다.

* $l=0$ , s 오비탈 $L=0$
* $l=1$ , p 오비탈 $L=\; \{h\backslash sqrt\{2\}\}\backslash over\; 2\backslash pi$
* $l=2$ , d 오비탈 $L=\; \{h\backslash sqrt\{6\}\}\backslash over\; 2\backslash pi$

이는 $l$이 증가하면 각운동량이 증가함을 의미한다.

2.4. 보어의 가설과 슈뢰딩거 방정식

회전하는 입자의 에너지는 고전적으로 각운동량 L을 이용해서 다음과 같이 표현된다.

:$E=\{L^2\; \backslash over\; 2I\}$

이것을 슈뢰딩거 방정식을 통해서 푼 에너지 식과 비교하면 에너지가 양자화되어 있기 때문에 각운동량 또한 양자화 된다는 사실을 알 수 있다.

:$E=\{l(l+1)h^2\; \backslash over\; \{2I\}\},\; (l=0,1,2,3...)$

이것을 식으로 정리하면 다음과 같다.

:$L=\backslash hbar\backslash sqrt\{l(l+1)\}\; (l=0,1,2,3...)$

위의 식은 보어의 가설을 증명하는데 사용되었다. 보어는 각운동량 $L\; =\; \{nh\backslash over\; 2\backslash pi\}$이라는 가설을 설정했다. 보어는 이를 사용하여 궤도의 양자화를 설명하였고, 이를 통해 보어의 수소 원자 모형이 탄생하였다. 후에 슈뢰딩거가 파동방정식을 통해 각운동량을 구하였고, 아래와 같은 식을 유도하였다.

:$L\; =\; \backslash hbar\backslash sqrt\{l(l+1)\}$

이는 주양자수 $n$ 대신 $\backslash sqrt\{l(l+1)\}$을 사용하여 양자화를 의미한 것으로 보어의 가설이 옳았다는 것을 의미한다. 슈뢰딩거의 각운동량을 통해 주양자수에 따른 각운동량을 구할 수 있었고 그 결과는 아래와 같다.

* $l=0$ , s오비탈 $L=0$
* $l=1$ , p오비탈 $L=\; \{h\backslash sqrt\{2\}\}\backslash over\; 2\backslash pi$
* $l=2$ , d오비탈 $L=\; \{h\backslash sqrt\{6\}\}\backslash over\; 2\backslash pi$

이는 $l$이 증가하면 각운동량이 증가함을 의미한다.

3. 성질

궤도 각운동량은 위치, 운동량 연산자와 특정한 교환 관계를 만족하며, 구면 좌표계에서 유용한 표현을 갖는다.

3.1. 교환 관계

orbital angular momentum^영어 연산자의 각 성분은 서로 교환하지 않는다. 궤도 각운동량 연산자는 위치 및 운동량 연산자와 특정한 교환 관계를 갖는다.

:$(x\_1,x\_2,x\_3)=(x,y,z)$로 표기하면, 궤도 각운동량은 다음과 같은 교환 관계를 만족한다.

:$[\backslash hat\{L\}\_i,\; \backslash hat\{x\}\_j]\; =i\backslash hbar\backslash varepsilon\_\{ijk\}\backslash ,\; \backslash hat\{x\}\_k$

:$[\backslash hat\{L\}\_i,\; \backslash hat\{p\}\_j]\; =i\backslash hbar\backslash varepsilon\_\{ijk\}\backslash ,\; \backslash hat\{p\}\_k$

:$[\backslash hat\{L\}\_i,\; \backslash hat\{L\}\_j]\; =i\backslash hbar\backslash varepsilon\_\{ijk\}\backslash ,\; \backslash hat\{L\}\_k$

여기서 $\backslash varepsilon\_\{ijk\}$는 레비-치비타 기호이다. 특히 마지막 궤도 각운동량끼리의 교환 관계의 형태는 각운동량 대수라고 불린다.

3.2. 구면 좌표계 표현

구면 좌표계 (r, θ, φ)^영어를 사용하면, 궤도 각운동량 연산자 $\backslash hat\{\backslash mathbf\{L\}\}$은 다음과 같이 표현된다.

$(\backslash hat\{L\}\_x,\backslash hat\{L\}\_y,\backslash hat\{L\}\_z)$
=\left(
i\hbar
\left(
\sin\varphi{\partial \over \partial \theta}
+ \cot \theta \cos \varphi {\partial \over \partial \varphi},
\right),

i\hbar
\left(
-\cos \varphi {\partial \over \partial \theta}
+\cot\theta\sin\varphi
{\partial \over \partial \varphi}
\right),
-i\hbar{\partial \over \partial \varphi}
\right)

또한 구면좌표로 나타낸 곡선 1=R(r)=(r,0,0)^영어, 1=Θ(θ)=(0,θ,0)^영어, 1=Φ(φ)=(0,0,φ)^영어의 원점에서의 접선 방향의 단위 벡터를 e_r, e_θ, e_φ^영어라고 할 때, 이들 방향의 궤도 각운동량 연산자 {{Hat^영어는 다음과 같다.

$L\_r\; =0$

$L\_\backslash theta\; =\; i\backslash hbar\backslash frac\{1\}\{\backslash sin\backslash theta\}$
\frac{\partial}{\partial\phi}

$L\_\backslash phi\; =\; -i\backslash hbar\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\backslash theta\}$

4. 궤도 각운동량의 제곱

궤도 각운동량의 제곱 연산자는 각 성분과 교환 가능하다. 또한 라플라시안의 구면 좌표계 표현과 관련이 있다.

4.1. 정의

궤도 각운동량의 제곱은 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash hat\{\backslash boldsymbol\{L\}^2\}\; =(\backslash hat\{L\}\_x)^2\; +(\backslash hat\{L\}\_y)^2\; +(\backslash hat\{L\}\_z)^2$

4.2. 교환 관계

궤도 각운동량의 제곱 연산자는 각 성분과 교환 가능하다.

:$[\backslash hat\{\backslash boldsymbol\{L\}^2\},\backslash hat\{L\}\_x]$
=[\hat{\boldsymbol{L}^2},\hat{L}_y]
=[\hat{\boldsymbol{L}^2},\hat{L}_z]
=0

4.3. 라플라시안과의 관계

궤도 각운동량의 제곱 연산자는 라플라시안의 구면 좌표계 표현과 관련이 있다.

극좌표로 나타내면 다음과 같다.

:$\backslash hat\{\backslash boldsymbol\{L\}^2\}=$
-\hbar^2\left(
\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}\right)


라플라시안을 극좌표로 표현하면

:$\backslash Delta=\{1\backslash over\; r^2\}(\backslash Delta\_r+\backslash Delta\_S)$

으로 반지름 방향과 구면 방향으로 나눌 수 있으며, 다음이 성립한다.

:$\backslash Delta\_r=\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; r\}\backslash left(r^2\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; r\}\backslash right)$ 、$\backslash Delta\_S=-\{1\backslash over\; \backslash hbar^2\}\backslash hat\{\backslash boldsymbol\{L\}^2\}$

5. 회전 대칭성과의 관계

궤도 각운동량 연산자는 파동 함수의 회전과 관련이 있으며, 이는 회전 대칭성에서 유도되는 교환 관계를 통해 설명할 수 있다.

3차원 공간에서 회전 행렬의 집합은 $\backslash mathrm\{SO\}(3)$로 정의되며, 파동 함수 전체 공간 $L^2(\backslash mathbf\{R\}^3)$ 위에 유니터리 연산자를 정의하여 파동 함수의 회전을 나타낼 수 있다.

단위 벡터 n=(x,y,z)에 대해, $\backslash hat\{L\}\_\{\backslash boldsymbol\{n\}\}(\backslash psi)$는 n을 축으로 하는 회전에서의 궤도 각운동량 연산자를 나타내며, 이는 z축 주위의 궤도각운동량 $\backslash hat\{L\}\_z$와 구면좌표계를 통해 표현될 수 있다.

궤도 각운동량은 다음과 같은 교환 관계를 만족한다.

:$[\backslash hat\{L\}\_i,\; \backslash hat\{x\}\_j]\; =i\backslash hbar\backslash varepsilon\_\{ijk\}\backslash ,\; \backslash hat\{x\}\_k$

:$[\backslash hat\{L\}\_i,\; \backslash hat\{p\}\_j]\; =i\backslash hbar\backslash varepsilon\_\{ijk\}\backslash ,\; \backslash hat\{p\}\_k$

:$[\backslash hat\{L\}\_i,\; \backslash hat\{L\}\_j]\; =i\backslash hbar\backslash varepsilon\_\{ijk\}\backslash ,\; \backslash hat\{L\}\_k$

여기서 $\backslash varepsilon\_\{ijk\}$는 레비-치비타 기호이며, 특히 마지막 궤도 각운동량끼리의 교환 관계는 각운동량 대수라고 불린다.

$R\_\{\backslash boldsymbol\{n\}\}(s)$의 미분을 계산하면 다음과 같다.

:$\backslash left.\{\backslash operatorname\{d\}\; R(s)\backslash over\; \backslash operatorname\{d\}\; s\}\; \backslash right|\_\{s=0\}$
=
\begin{pmatrix}
0 &-z &y\\
z& 0 &-x\\
-y&x&0
\end{pmatrix}
=:F_\boldsymbol{n}

$\backslash lambda\_*([F,G])=[\backslash lambda\_*(F),\backslash lambda\_*(G)]$가 성립함이 알려져 있으므로, 궤도 각운동량의 교환 관계는 $F\_\{\backslash boldsymbol\{n\}\}$의 교환 관계에서 유도된다.

$F\_\{\backslash boldsymbol\{n\}\}$는 외적을 통해 표현될 수 있으며, 이를 통해 궤도 각운동량의 교환 관계를 계산하면 앞서 언급한 교환 관계와 일치함을 알 수 있다.

5.1. 파동 함수의 회전

3차원 공간 $\backslash mathbf\{R\}^3$에서 모든 회전 행렬의 집합은 다음과 같이 정의된다.

$\backslash mathrm\{SO\}(3)=\backslash \{R~:~$3차원 실수 계수 행렬로, $\{\}^tRR=I,~\backslash det\; R\; >\; 0\backslash \}$

(여기서 $I$는 단위 행렬이고, $\{\}^tR$은 $R$의 전치 행렬이다.)

회전 행렬 $R\; \backslash in\; \backslash mathrm\{SO\}(3)$에 대해, 파동 함수 전체 공간 $L^2(\backslash mathbf\{R\}^3)$ 위에 다음과 같은 유니터리 연산자를 정의한다.

$\backslash lambda(R)\; ~:~\; L^2(\backslash mathbf\{R\}^3)\backslash to\; L^2(\backslash mathbf\{R\}^3),~~$$\backslash phi(\backslash boldsymbol\{x\})\; \backslash mapsto\; \backslash phi(R^\{-1\}\backslash boldsymbol\{x\})$

이는 파동 함수의 "회전"으로 간주할 수 있다.

5.2. 궤도 각운동량 연산자와의 관계

단위 벡터 n=(x,y,z)에 대해, 를 n을 축으로 하는 오른손 계에서 라디안만큼 회전하는 행렬이라고 하면, 다음이 성립한다.

:$\backslash hat\{L\}\_\{\backslash boldsymbol\{n\}\}(\backslash psi)$$=i\backslash hbar\backslash left.\{\backslash mathrm\{d\}\; \backslash over\; \backslash mathrm\{d\}\; s\}\backslash lambda(R\_\{\backslash boldsymbol\{n\}\}(s))(\backslash psi)\backslash right|\_\{s=0\}$

여기서 $\backslash hat\{L\}\_\{\backslash boldsymbol\{n\}\}$는 n을 회전축으로 하는 궤도각운동량 연산자이다. 본 절에서는 $\backslash hat\{L\}\_\{\backslash boldsymbol\{n\}\}$이 z축 주위의 궤도각운동량 $\backslash hat\{L\}\_z$인 경우만 증명하지만, 다른 경우도 마찬가지이다.

이미 언급했듯이 $\backslash hat\{L\}\_z$는 구면좌표계 (r, θ, φ)를 이용하여
:$\backslash hat\{L\}\_z=-i\backslash hbar\{\backslash partial\; \backslash over\; \backslash partial\; \backslash varphi\}$
로 표기할 수 있으므로, 임의의 파동함수 ψ에 대해, ψ를 극좌표로 표시하면,
:$i\backslash hbar\backslash left(\{\backslash operatorname\{d\}\backslash over\; \backslash operatorname\{d\}\; s\}\backslash lambda(R\_\{(0,0,1)\}(s))(\backslash psi)\backslash Bigg|\_\{s=0\}\backslash right)\backslash psi(r,\backslash theta,\backslash varphi)$

:$=\; i\backslash hbar\{\backslash operatorname\{d\}\backslash over\; \backslash operatorname\{d\}\; s\}\backslash psi(r,\backslash theta,\backslash varphi-s)\backslash Bigg|\_\{s=0\}$
:$=\; -i\backslash hbar\{\backslash partial\; \backslash over\; \backslash partial\; \backslash varphi\}\backslash psi(r,\backslash theta,\backslash varphi)$
:$=\backslash hat\{L\}\_z\backslash psi(r,\backslash theta,\backslash varphi)$
가 되어, 주장이 증명되었다.

5.3. 회전 대칭성에서 유도되는 교환 관계

$(x\_1,x\_2,x\_3)=(x,y,z)$
로 표기하면, 궤도 각운동량은 다음과 같은 교환 관계를 만족한다.

:$[\backslash hat\{L\}\_i,\; \backslash hat\{x\}\_j]\; =i\backslash hbar\backslash varepsilon\_\{ijk\}\backslash ,\; \backslash hat\{x\}\_k$



:$[\backslash hat\{L\}\_i,\; \backslash hat\{p\}\_j]\; =i\backslash hbar\backslash varepsilon\_\{ijk\}\backslash ,\; \backslash hat\{p\}\_k$


:$[\backslash hat\{L\}\_i,\; \backslash hat\{L\}\_j]\; =i\backslash hbar\backslash varepsilon\_\{ijk\}\backslash ,\; \backslash hat\{L\}\_k$


여기서 ε{{sub^영어는 레비-치비타 기호이다. 특히 마지막 궤도 각운동량끼리의 교환 관계의 형태는 각운동량 대수라고 불린다.

R{{sub^영어의 미분을 계산하면,

:$\backslash left.\{\backslash operatorname\{d\}\; R(s)\backslash over\; \backslash operatorname\{d\}\; s\}\; \backslash right|\_\{s=0\}$
=
\begin{pmatrix}
0 &-z &y\\
z& 0 &-x\\
-y&x&0
\end{pmatrix}
=:F_\boldsymbol{n}

이 된다.

함수 λ{{sub^영어를,

:$\backslash lambda\_*\backslash left(\backslash left.\{\backslash operatorname\{d\}\; R(s)\backslash over\; \backslash operatorname\{d\}\; s\}\; \backslash right|\_\{s=0\}\backslash right)(\backslash psi)$
=
\left.{
\operatorname{d}
\over
\operatorname{d} s
}
\lambda(R(s))(\psi)
\right|_{s=0}

가 임의의 파동 함수 ψ^영어와 SO(3)^영어에 값을 취하는 임의의 R(θ)^영어에 대해 성립하도록 정의한다면,

:$\backslash lambda\_*([F,G])=[\backslash lambda\_*(F),\backslash lambda\_*(G)]$


가 성립하는 것이 알려져 있다. 따라서

:$\backslash left[\; \backslash hat\{L\}\_x\; ,\; \backslash hat\{L\}\_y\; \backslash right]$
= (i\hbar)^2\lambda_*(F_{(1,0,0)}),\lambda_*(F_{(0,1,0)})]
= (i\hbar)^2\lambda_*([F_{(1,0,0)},F_{(0,1,0)}])


즉, 궤도 각운동량의 교환 관계는 F{{sub^영어의 교환 관계에서 유도된 것이다.

F{{sub^영어는 다음을 만족하는 것이 알려져 있다. 여기서 「×^영어」는 외적이다.

:$[F\_\{\backslash boldsymbol\{x\}\},F\_\{\backslash boldsymbol\{y\}\}]=F\_\{\backslash boldsymbol\{x\}\backslash times\backslash boldsymbol\{y\}\}$

따라서 궤도 각운동량의 교환 관계는

:$\backslash left[\; \backslash hat\{L\}\_x\; ,\; \backslash hat\{L\}\_y\; \backslash right]$
= (i\hbar)^2\lambda_*([F_{(1,0,0)},F_{(0,1,0)}])
=(i\hbar)^2\lambda_*(F_{(1,0,0)\times (0,1,0)})
=i\hbar\cdot i\hbar\lambda_*(F_{(0,0,1)})=i\hbar\hat{L}_z


이다. 이것은 앞 절에서 언급한 교환 관계와 일치한다. 다른 축에 대한 궤도 각운동량의 교환 관계도 마찬가지로 구할 수 있다.

6. 구면 조화 함수

궤도 각운동량 연산자의 고유 함수는 구면조화함수로 기술된다. 구면조화함수는 수학과 물리학에서 정의가 다르므로, 여기서는 양쪽 정의를 소개하고 그 관계를 설명한다. 더 자세한 내용은 구면조화함수 문서를 참고하면 된다.

6.1. 정의

구면 조화 함수는 수학적 정의와 물리학적 정의가 있다. 물리학에서 구면 조화 함수는 르장드르 연관 다항식을 포함하는 형태로 정의된다. 3차원 공간 R^영어3을 구면좌표 (r,θ,φ)^영어로 나타낼 때, 함수 $Y\_\{\backslash ell,m\}(\backslash theta,\backslash varphi)$는 다음과 같이 정의된다.

:$$
Y_{\ell,m}(\theta, \phi)
= (-1)^{(m+|m|)/2}
\sqrt{ \frac{2\ell+1}{4\pi} \frac{(\ell-|m|)!}{(\ell+|m|)!} \,}
P_\ell^

7.1. 고유 함수

슈뢰딩거 방정식을 풀어 파동 함수를 얻을 때, 이 방정식은 세 가지 양자수(n, ℓ, m_ℓ)와 관련된 세 방정식으로 분해된다. 이 세 방정식은 서로 연관되어 있으며, 방위 양자수는 파동 방정식의 극좌표 부분을 풀 때 나타난다. 이는 구면 좌표계에서 가장 잘 표현되는 구면 대칭성을 가진 모델에 적합하다.

전자의 각운동량 L은 다음 방정식에 의해 양자수 ℓ과 관련된다.

:$\backslash mathbf\{L\}^2\backslash Psi\; =\; \backslash hbar^2\; \backslash ell(\backslash ell\; +\; 1)\; \backslash Psi,$

여기서 ℏ는 환산 플랑크 상수, L은 궤도 각운동량 연산자, Ψ는 전자의 파동 함수이다. 양자수 ℓ은 항상 음이 아닌 정수(0, 1, 2, 3, ...)이다.

원자 궤도 함수는 고유한 모양을 가지며, 문자 s, p, d, f 등은 (분광법에서 유래) 원자 궤도 함수의 모양을 나타낸다. 이러한 궤도 함수의 파동 함수는 구면 조화 함수의 형태를 취하며, 르장드르 다항식으로 설명된다. 서로 다른 (정수) ℓ 값과 관련된 여러 궤도 함수를 때때로 부껍질이라고 부르며, 소문자 라틴 문자로 표기한다.

궤도 각운동량 연산자의 고유 함수는 구면조화함수로 기술할 수 있다.

수학에서 구면 조화 함수 p는 $\backslash hat\{\backslash boldsymbol\{L\}^2\}$의 고유함수이다.

:$\backslash hat\{\backslash boldsymbol\{L\}^2\}p(\backslash boldsymbol\{x\})=\backslash hbar^2\backslash ell(\backslash ell+1)p(\backslash boldsymbol\{x\})$

여기서 $\backslash ell$은 구면 조화 함수 p의 차수이다. $\backslash chi(|\backslash boldsymbol\{x\}|)$를 임의의 제곱적분 가능한 방향 함수라고 하면, 위 식으로부터

:$\backslash hat\{\backslash boldsymbol\{L\}^2\}\backslash chi(|\backslash boldsymbol\{x\}|)p(\backslash boldsymbol\{x\})=\backslash hbar^2\backslash ell(\backslash ell+1)\backslash chi(|\backslash boldsymbol\{x\}|)p(\backslash boldsymbol\{x\})$

이므로, $\backslash chi(|\backslash boldsymbol\{x\}|)p(\backslash boldsymbol\{x\})$도 $\backslash hat\{\backslash boldsymbol\{L\}^2\}$의 고유함수이다.

$\backslash hat\{L\}\_z$를 물리학에서의 구면조화함수 $Y\_\{\backslash ell\; m\}(\backslash theta,\backslash phi)$에 작용시키면

:$\backslash hat\{L\}\_z\; Y\_\{\backslash ell\; m\}(\backslash theta,\; \backslash phi)$
=m\hbar Y_{\ell m}(\theta, \phi)

이 된다.

* $Y\_\{\backslash ell\; m\}(\backslash theta,\backslash phi)$는 $S^2$ 위의 면적 요소 $\backslash sin\; \backslash theta\; d\backslash theta\; d\backslash phi$에 대해 정규화되어 있다.
* $Y\_\{\backslash ell\; m\}(\backslash theta,\backslash phi)$는 서로 직교한다.
* $\backslash hat\{L\_z\}$ 와 $\backslash hat\{L\}^2$의 임의의 제곱적분가능 함수는 구면조화함수를 이용하여 고유값 전개가 가능하다.

7.2. 양자수

회전하는 입자의 에너지는 고전적으로 각운동량 L을 이용하여 표현되며, 슈뢰딩거 방정식을 통해 푼 에너지 식과 비교하면 에너지가 양자화되어 있기 때문에 각운동량 또한 양자화된다는 것을 알 수 있다.

:$L=\backslash hbar\backslash sqrt\{l(l+1)\}\; (l=0,1,2,3...)$

위 식은 슈뢰딩거가 플랑크 상수를 도입하여 각운동량($L\; =\; \{nh\backslash over\; 2\backslash pi\}$)을 양자화한 보어의 가설을 증명하는데 사용되었다. 보어는 자신의 가설을 통해 궤도의 양자화를 설명하였고, 이를 통해 보어의 수소 원자 모형이 탄생하였다. 이후 슈뢰딩거가 파동방정식을 통해 각운동량을 구하여, 아래와 같은 식을 유도하였다.

:$L\; =\; \backslash hbar\backslash sqrt\{l(l+1)\}$

이는 주양자수 $n$ 대신 $\backslash sqrt\{l(l+1)\}$을 사용하여 양자화를 의미한 것으로 보어의 가설이 옳았다는 것을 의미한다. 슈뢰딩거의 각운동량을 통해 주양자수에 따른 각운동량을 계산할 수 있다.

이는 $l$이 증가하면 각운동량이 증가함을 의미한다.

"방위 양자수"라는 용어는 조머펠트가 1915년에 원자 스펙트럼의 에너지 구조를 설명하는 과정에서 도입했다. 나중에 원자의 양자 모델이 개발되면서 이 수()가 궤도 각운동량의 양자화에서 비롯된다는 것이 밝혀졌다. 일부 교과서와 ISO 표준 80000-10:2019에서는 을 궤도 각운동량 양자수라고 부른다.

외부 자기장 내 원자의 에너지 준위는 값에 따라 달라지므로 자기 양자수라고도 한다.

소문자 는 단일 입자의 궤도 각운동량을 나타내는 데 사용된다. 다수의 입자로 이루어진 계의 경우에는 대문자 를 사용한다.

고립된 원자의 전자 에너지 상태와 관련된 네 가지 양자수—n, ℓ, m_ℓ, m_s—가 있다. 이 네 가지 수는 원자 내의 단일 전자의 고유하고 완전한 양자 상태를 나타내며, 전자의 파동 함수 또는 궤도 함수를 구성한다.

슈뢰딩거 방정식은 처음 세 가지 양자수로 이어지는 세 가지 방정식으로 분해된다. 즉, 세 가지 방정식은 상호 연관되어 있다. '방위 양자수'는 파동 방정식의 극좌표 부분을 풀 때 나타나는데, 일반적으로 구면 대칭성을 가진 모델에 가장 적합한 구면 좌표계에 의존한다.

전자의 각운동량 은 다음 방정식에 의해 양자수 와 관련된다.

:$$\backslash mathbf\{L\}^2\backslash Psi\; =\; \backslash hbar^2\; \backslash ell(\backslash ell\; +\; 1)\; \backslash Psi,$$

여기서 는 환산 플랑크 상수이고, 은 궤도 '각운동량 연산자'이며, $\backslash Psi$는 전자의 파동 함수이다. 양자수 는 항상 음이 아닌 정수이다.

원자 궤도 함수는 독특한 모양을 가지고 있으며, 문자 s, p, d, f 등은 (분광법에서 유래한 관례를 사용하여) 원자 궤도 함수의 모양을 나타낸다. 이러한 궤도 함수의 파동 함수는 구면 조화 함수의 형태를 취하므로 르장드르 다항식으로 설명된다. 서로 다른 (정수) ℓ 값과 관련된 여러 궤도 함수를 때때로 부껍질이라고 부르는데, 역사적인 이유로 소문자 라틴 문자로 표기한다.

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📌 열 고정 해제

방위 양자수에 대한 양자 부껍질

방위 양자 수 (ℓ)	역사적 문자	역사적 명칭	최대 전자 수	모양
0	s	sharp	2	구형 (-- 참조).
1	p	principal	6	세 개의 아령 모양의 극성 정렬 궤도 함수.
2	d	diffuse	10	아령 모양 아홉 개와 도넛 하나, 또는 "고유 모양 #1" (-- 참조).
3	f	fundamental	14	"고유 모양 #2" (-- 참조).
4	g		18
5	h		22
6	i		26
g 부껍질 다음의 문자는 알파벳 순서로 따른다.

각각의 다른 각운동량 상태는 2(2ℓ + 1)개의 전자를 가질 수 있다. 세 번째 양자수 m_ℓ가 정수 단위로 −ℓ에서 ℓ까지 실행되므로 2ℓ + 1개의 가능한 상태가 있다. 각각의 구별되는 n, ℓ, m_ℓ 궤도는 반대 스핀을 가진 두 개의 전자(양자수 m_s = ±로 주어짐)에 의해 점유될 수 있으며, 전체적으로 2(2ℓ + 1)개의 전자를 제공한다.

각운동량 양자수 ℓ과 해당 구면 조화 함수는 핵을 통과하는 평면 노드의 수를 결정한다. 평면 노드는 전자기파에서 크레스트와 트로프 사이의 중간점으로, 크기가 0이다. s 궤도 함수에서는 핵을 통과하는 노드가 없으므로 해당 방위 양자수 ℓ의 값은 0이다. p 궤도 함수에서는 하나의 노드가 핵을 통과하므로 ℓ의 값은 1이다. $L$의 값은 $\backslash sqrt\{2\}\backslash hbar$이다.

n의 값에 따라 각운동량 양자수 ℓ와 다음과 같은 계열이 존재한다.

궤도 각운동량 연산자의 고유 함수는 구면 조화 함수로 기술할 수 있다.

$\backslash ell$을 궤도각운동량 양자수(방위 양자수), 을 궤도자기 양자수라고 한다.

:$\backslash ell=0,1,2,\backslash ldots$
:$m=0,\backslash pm\; 1,\backslash pm\; 2,\backslash ldots,\; \backslash pm\; \backslash ell$

8. 사다리 연산자

사다리 연산자는 궤도 자기 양자수를 변화시키는 연산자이다.

8.1. 정의

사다리 연산자는 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash hat\{L\}\_+\; =\backslash hat\{L\}\_x\; +\; i\backslash hat\{L\}\_y$
:$\backslash hat\{L\}\_-\; =\backslash hat\{L\}\_x\; -\; i\backslash hat\{L\}\_y$

이 둘을 합쳐 $\backslash hat\{L\}\_\{\backslash pm\}$로 약기한다.

8.2. 성질

간단한 계산으로부터 교환 관계
:$[\backslash hat\{L\}\_z,\backslash hat\{L\}\_\{\backslash pm\}]=\backslash pm\; \backslash hbar\; \backslash hat\{L\}\_\{\backslash pm\}$
를 만족한다. ψ를 고윳값 mħ에 대한 $\backslash hat\{L\}\_z$의 고유함수라고 하면 다음 식이 성립한다.
:$\backslash hat\{L\}\_z(\backslash hat\{L\}\_\{\backslash pm\}\backslash psi)=\backslash hat\{L\}\_\{\backslash pm\}\backslash hat\{L\}\_z\backslash psi\; +\; [\backslash hat\{L\}\_z,\backslash hat\{L\}\_\{\backslash pm\}]\backslash psi\; =\; (m\backslash pm\; 1)\backslash hbar\; (\backslash hat\{L\}\_\{\backslash pm\}\backslash psi)$
따라서 $\backslash hat\{L\}\_\{\backslash pm\}\backslash psi$는 $\backslash hat\{L\}\_z$의 고유함수이며, 그 고윳값은 $(m\backslash pm\; 1)\backslash hbar$이다.

즉, 승강 연산자는 mħ에 대응하는 고유함수를 $(m\backslash pm\; 1)\backslash hbar$에 대응하는 고유함수로 변환시킨다.

그러므로 특히
:$Y\_\{\backslash ell,m\}\; =\; L\_\{+\}\{\}^mY\_\{\backslash ell,0\}$ ×(상수)
가 성립한다.

9. 원자 궤도 함수와의 관계

슈뢰딩거 방정식을 풀 때 나타나는 세 가지 방정식 중 하나는 방위 양자수와 관련되며, 이는 전자의 각운동량과 관계가 있다. 전자의 각운동량 L은 다음 방정식으로 양자수 ℓ과 관련된다.

:$\backslash mathbf\{L\}^2\backslash Psi\; =\; \backslash hbar^2\; \backslash ell(\backslash ell\; +\; 1)\; \backslash Psi,$

여기서 $\backslash hbar$는 환산 플랑크 상수이며, ℓ은 음이 아닌 정수(0, 1, 2, 3, ...)이다.

원자 궤도 함수는 ℓ 값에 따라 고유한 모양을 가지며, 분광법에서 유래한 s, p, d, f 등의 문자로 표시된다. 각 궤도는 2(2ℓ + 1)개의 전자를 가질 수 있다. 주양자수 n 값에 따라 ℓ의 가능한 값은 0에서 n - 1까지이다.

수소 원자와 같은 단순한 일전자 모델에서는 에너지 준위가 주양자수(n)에만 의존한다. 그러나 복잡한 원자에서는 n > 1에 대해 에너지 준위가 분리되어, 더 높은 ℓ 값을 갖는 상태가 더 낮은 ℓ 값을 갖는 상태보다 위에 놓인다. 이러한 에너지 준위 분리는 주기율표의 블록 구조를 형성한다.

각운동량 양자수 ℓ과 해당 구면 조화 함수는 핵을 통과하는 평면 노드의 수를 결정한다. s 궤도에서는 노드가 없고, p 궤도에서는 하나의 노드가 핵을 통과한다.

n 값에 따른 각운동량 양자수 ℓ와 관련된 계열은 다음과 같다.

* n = 1, L = 0, 라이먼 계열 (자외선)
* n = 2, L = $\backslash sqrt\{2\}\backslash hbar$, 발머 계열 (가시광선)
* n = 3, L = $\backslash sqrt\{6\}\backslash hbar$, 리츠-파셴 계열 (근적외선)
* n = 4, L = $2\backslash sqrt\{3\}\backslash hbar$, 브라켓 계열 (단파장 적외선)
* n = 5, L = $2\backslash sqrt\{5\}\backslash hbar$, 푼트 계열 (중파장 적외선)

9.1. 원자 궤도 함수

고립된 원자의 전자 에너지 상태는 네 가지 양자수(n, ℓ, m_ℓ, m_s)로 결정된다. 이 수들은 원자 내 단일 전자의 고유하고 완전한 양자 상태를 나타내며, 전자의 파동 함수 또는 궤도 함수를 구성한다. 슈뢰딩거 방정식을 풀어 파동 함수를 얻을 때, 이 방정식은 처음 세 가지 양자수(주양자수, 방위 양자수, 자기 양자수)와 관련된 세 개의 방정식으로 분해된다. 방위 양자수는 파동 방정식의 극좌표 부분을 풀 때 나타나며, 구면 대칭성을 가진 모델에 적합한 구면 좌표계를 사용한다.

전자의 각운동량 L은 다음 방정식에 의해 양자수 ℓ과 관련된다.

$$\backslash mathbf\{L\}^2\backslash Psi\; =\; \backslash hbar^2\; \backslash ell(\backslash ell\; +\; 1)\; \backslash Psi,$$

여기서 ħ는 환산 플랑크 상수, L은 궤도 각운동량 연산자, $\backslash Psi$는 전자의 파동 함수이다. 양자수 ℓ은 0, 1, 2, 3과 같이 항상 음이 아닌 정수이다.

원자 궤도 함수는 고유한 모양을 가지며, s, p, d, f 등의 문자는 (분광법에서 유래) 원자 궤도 함수의 모양을 나타낸다. 이러한 궤도 함수의 파동 함수는 구면 조화 함수 형태를 취하며 르장드르 다항식으로 설명된다. 서로 다른 ℓ 값과 관련된 궤도 함수는 부껍질이라고 불리며, 소문자 라틴 문자로 표기된다. (표 "방위 양자수에 대한 양자 부껍질" 참조).



각 각운동량 상태는 2(2ℓ + 1)개의 전자를 가질 수 있다. 세 번째 양자수 m_ℓ은 −ℓ에서 ℓ까지 정수 단위로 변하며 2ℓ + 1개의 가능한 상태를 나타낸다. 각 n, ℓ, m_ℓ 궤도는 반대 스핀(m_s = ±1/2)을 가진 두 개의 전자를 가질 수 있어, 총 2(2ℓ + 1)개의 전자를 수용한다.

주양자수 n의 값에 따라 ℓ의 가능한 값은 0에서 n-1까지이다. 예를 들어, n=1 껍질은 s 부껍질만 가지며 2개의 전자만 가질 수 있고, n=2 껍질은 s 및 p 부껍질을 가지며 총 8개의 전자를 가질 수 있다.

단순 일전자 모델에서는 에너지 준위가 주양자수에만 의존한다. 그러나 복잡한 원자에서는 n>1에 대해 에너지 준위가 분리되어, 더 높은 ℓ 상태가 더 낮은 ℓ 상태 위에 놓인다. 이러한 에너지 준위 분리 효과는 주기율표의 블록 구조를 형성한다. 현재까지 알려진 어떤 원자도 바닥 상태에서 ℓ이 3(f)보다 높은 전자를 가지고 있지 않다.

핵을 통과하는 평면 노드의 수는 각운동량 양자수 ℓ과 관련된다. s 궤도 함수는 핵을 통과하는 노드가 없어 ℓ 값이 0이다. p 궤도 함수는 하나의 노드가 핵을 통과하므로 ℓ 값은 1이며, L의 값은 $\backslash sqrt\{2\}\backslash hbar$이다.

n 값에 따른 각운동량 양자수 ℓ와 관련된 계열은 다음과 같다.

9.2. 부껍질

같은 궤도 각운동량 양자수를 갖는 궤도 함수들을 부껍질이라고 한다. 서로 다른 (정수) ℓ 값과 관련된 여러 궤도 함수를 때때로 부껍질이라고 부르며, 역사적인 이유로 소문자 라틴 문자로 표기한다. 각 부껍질은 최대 2(2ℓ + 1)개의 전자를 가질 수 있다.

각각의 다른 각운동량 상태는 2(2ℓ + 1)개의 전자를 가질 수 있다. 세 번째 양자수 m_ℓ(이는 대략적으로 z축에 대한 각운동량 벡터의 양자화된 투영으로 생각할 수 있다)가 정수 단위로 −ℓ에서 ℓ까지 실행되므로 2ℓ + 1개의 가능한 상태가 있다. 각각의 구별되는 n, ℓ, m_ℓ 궤도는 반대 스핀을 가진 두 개의 전자(양자수 m_s = ±1/2로 주어짐)에 의해 점유될 수 있다.

주양자수 n의 주어진 값에 대해, ℓ의 가능한 값은 0에서 n - 1까지이다. 예를 들어 껍질 (n = 1)은 s 부껍질만 가지며 2개의 전자만 가질 수 있고, 껍질 (n = 2)은 s 및 p 부껍질을 가지며 전체적으로 8개의 전자를 가질 수 있으며, 껍질 (n = 3)은 s, p, d 부껍질을 가지며 최대 18개의 전자를 가질 수 있다.

단순한 일전자 모델은 주양자수에만 의존하는 에너지 준위를 생성한다. 더 복잡한 원자에서 이러한 에너지 준위는 n > 1에 대해 분리되어 더 높은 ℓ의 상태를 더 낮은 ℓ의 상태 위에 놓는다. 예를 들어, 2p의 에너지는 2s보다 높고, 3d는 3p보다 높으며, 3p는 3s보다 높다. 이러한 효과는 결국 주기율표의 블록 구조를 형성한다. 알려진 어떤 원자도 바닥 상태에서 ℓ이 3(f)보다 높은 전자를 가지고 있지 않다.

9.3. 에너지 준위

고립된 원자의 전자 에너지 상태는 네 가지 양자수(n, ℓ, m_ℓ, m_s)로 결정된다. 이 중 방위 양자수(ℓ)는 슈뢰딩거 방정식을 풀 때 나타나는 세 가지 방정식 중 하나와 관련되며, 전자의 각운동량과 관련이 있다.

전자의 각운동량 L은 다음 방정식에 의해 양자수 ℓ과 관련된다.

: $\backslash mathbf\{L\}^2\backslash Psi\; =\; \backslash hbar^2\; \backslash ell(\backslash ell\; +\; 1)\; \backslash Psi,$

여기서 ħ는 환산 플랑크 상수이고, ℓ은 음이 아닌 정수(0, 1, 2, 3, ...)이다.

원자 궤도 함수는 방위 양자수(ℓ) 값에 따라 독특한 모양을 가지며, s, p, d, f 등의 문자로 표시된다. 각 궤도는 2(2ℓ + 1)개의 전자를 가질 수 있다.

주양자수 n의 값에 따라 ℓ의 가능한 값은 0에서 n-1까지이다. 예를 들어, n=1 껍질은 s 부껍질만 가지며 최대 2개의 전자를 가질 수 있고, n=2 껍질은 s와 p 부껍질을 가지며 최대 8개의 전자를 가질 수 있다.

수소 원자와 같은 단순한 일전자 모델에서는 에너지 준위가 주양자수(n)에만 의존한다. 그러나 더 복잡한 원자에서는 n>1에 대해 에너지 준위가 분리되어, 더 높은 ℓ 값을 갖는 상태가 더 낮은 ℓ 값을 갖는 상태보다 위에 놓인다. 예를 들어, 2p의 에너지는 2s보다 높다. 이러한 에너지 준위의 분리는 주기율표의 블록 구조를 형성하는 원인이 된다.

각운동량 양자수 ℓ과 해당 구면 조화 함수는 핵을 통과하는 평면 노드의 수를 결정한다. s 궤도에서는 노드가 없고, p 궤도에서는 하나의 노드가 핵을 통과한다.

n 값에 따른 각운동량 양자수 ℓ와 관련된 계열은 다음과 같다.

* n = 1, L = 0, 라이먼 계열 (자외선)
* n = 2, L = √2ħ, 발머 계열 (가시광선)
* n = 3, L = √6ħ, 리츠-파셴 계열 (근적외선)
* n = 4, L = 2√3ħ, 브라켓 계열 (단파장 적외선)
* n = 5, L = 2√5ħ, 푼트 계열 (중파장 적외선)

10. 총 각운동량

전자는 궤도 각운동량과 스핀 각운동량을 가지며, 이 둘을 합하여 총 각운동량 J로 나타낸다. 총 각운동량은 다음과 같이 정의된다.

$\backslash mathbf\{J\}\; =\; \backslash mathbf\{L\}\; +\; \backslash mathbf\{S\}$

두 개의 양자화된 각운동량 $\backslash boldsymbol\{\backslash ell\}\_1$과 $\backslash boldsymbol\{\backslash ell\}\_2$가 주어졌을 때, 이들의 합으로 나타나는 양자화된 총 각운동량 $\backslash mathbf\{j\}$의 크기에 해당하는 양자수 $j$는 $|\backslash ell\_1\; -\; \backslash ell\_2|$부터 $\backslash ell\_1\; +\; \backslash ell\_2$까지 정수 단위로 변한다. 여기서 $\backslash ell\_1$과 $\backslash ell\_2$는 각각의 각운동량 크기에 대응하는 양자수이다.

분류:양자역학

10.1. 스핀-궤도 상호작용

원자 내에서 스핀-궤도 상호작용으로 인해 궤도 각운동량은 더 이상 교환하지 않으며, 스핀 또한 그렇다. 따라서 이들은 시간에 따라 변한다. 그러나 전체 각운동량 J는 단일 전자 해밀토니안과 교환하므로 일정하다. J는 다음과 같이 정의된다.

J = L + S

여기서 L은 궤도 각운동량이고 S는 스핀이다. 전체 각운동량은 궤도 각운동량과 동일한 교환 관계를 만족한다. 즉,

[J_i, J_j] = i ħ ε_ijk J_k

이로부터 다음이 유도된다.

[J_i, J²] = 0

여기서 J_i는 J_x, J_y, J_z를 나타낸다.

시간에 따라 일정한 시스템을 설명하는 양자수는 이제 파동함수 $\backslash Psi$에 대한 J의 작용을 통해 정의된 j와 m_j이다.

J²$\backslash Psi$ = ħ² j(j+1) $\backslash Psi$

J_z$\backslash Psi$ = ħ m_j$\backslash Psi$

따라서 j는 전체 각운동량의 크기와 관련이 있고, m_j는 특정 축을 따라 투영된 값과 관련이 있다. j 양자수는 상대론적 양자 화학에서 특히 중요하며, 스핀-궤도 결합이 중요한 코어 근처의 더 깊은 상태에 대한 아래첨자로 자주 나타난다.

양자 역학의 모든 각운동량과 마찬가지로, 다른 축을 따라 J의 투영은 J_z와 함께 정의될 수 없다. 왜냐하면 그것들이 교환하지 않기 때문이다.

j, s, m_j 및 패리티의 고유벡터는 해밀토니안의 고유벡터이기도 하며, ℓ, s, m_ℓ 및 m_s의 고유벡터의 선형 결합이다.

11. 응용

궤도 각운동량 양자수는 X선 광전자 분광법 및 전자 에너지 손실 분광법과 같은 분광법에서 관찰되는 특징을 설명하는 데 사용되는 특정 구면조화함수에 해당한다.

또한, 각운동량 양자수는 Kohn–Sham 밀도 범함수 이론과 같은 방법이나 가우스 궤도함수를 사용하여 전자 상태를 설명할 때에도 사용된다. 예를 들어, 실리콘의 반도체 소자에 사용되는 전자적 특성은 각 원자에 중심을 둔 l^영어=1인 p 유사 상태 때문인 반면, 많은 전이 금속의 특성은 l^영어=2인 d 유사 상태에 따라 달라진다.

전자기파(광 포함)가 궤도각운동량을 가지며, 이것이 다르면 동일 주파수 및 동일 방향에서 송신하더라도 특수한 수신 장치를 이용하면 (적어도 아주 짧은 거리에서는) 혼신을 피할 수 있다는 사실이 밝혀졌다. 이를 광 다중 통신 또는 궤도각운동량 다중 통신이라고 한다. 전송 거리의 상한 등을 개선하여 각종 무선 통신은 물론 광섬유 통신에 응용하기 위한 연구가 진행되고 있다.

11.1. 분광학

궤도 각운동량 양자수는 특정 구면조화함수에 해당하며, X선 광전자 분광법 및 전자 에너지 손실 분광법과 같은 분광법에서 관찰되는 특징을 설명하는 데 일반적으로 사용된다.

11.2. 밀도 범함수 이론

각운동량 양자수는 Kohn–Sham 밀도 범함수 이론과 같은 방법이나 가우스 궤도함수를 사용하여 전자 상태를 설명할 때에도 사용된다. 예를 들어, 실리콘의 반도체 소자에 사용되는 전자적 특성은 각 원자에 중심을 둔 l^영어=1인 p 유사 상태 때문인 반면, 많은 전이 금속의 특성은 l^영어=2인 d 유사 상태에 따라 달라진다.

11.3. 광 다중 통신 (궤도 각운동량 다중 통신)

전자기파(광 포함)가 궤도각운동량을 가지며, 이것이 다르면 동일 주파수 및 동일 방향에서 송신하더라도 특수한 수신 장치를 이용하면 (적어도 아주 짧은 거리에서는) 혼신을 피할 수 있다는 사실이 밝혀졌다. 이를 광 다중 통신 또는 궤도각운동량 다중 통신이라고 한다. 전송 거리의 상한 등을 개선하여 각종 무선 통신은 물론 광섬유 통신에 응용하기 위한 연구가 진행되고 있다.

12. 역사

"방위 양자수"라는 용어는 아놀드 조머펠트가 1915년에 원자 스펙트럼의 에너지 구조를 임시적으로 설명하는 과정에서 도입했다. 나중에 원자의 양자 모델이 개발되면서 이 수(ℓ^영어)가 궤도 각운동량의 양자화에서 비롯된다는 것이 밝혀졌다.

방위 양자수는 보어 원자 모형에서 이어져 왔으며, 아르놀트 조머펠트에 의해 제안되었다. 보어 모형은 원자의 분광 분석과 러더퍼드 원자 모형을 결합하여 유도되었다. 가장 낮은 양자 준위는 각운동량이 0인 것으로 밝혀졌다. 각운동량이 0인 궤도는 1차원에서 진동하는 전하로 간주되어 "진자" 궤도로 설명되었지만, 자연에서는 발견되지 않았다. 3차원에서는 궤도가 핵을 통과하는 마디점 없이 구형이 되는데, 이는 (가장 낮은 에너지 상태에서) 큰 원을 그리며 진동하는 줄넘기와 유사하다.