준동형 정리

1. 개요

준동형 정리는 대수 구조 A와 B 사이의 준동형 φ가 주어졌을 때, A 위에 정의된 합동 관계를 통해 새로운 준동형 χ를 유일하게 구성할 수 있다는 정리이다. 이 정리는 준동형 사상, 전사 함수, 단사 함수와 관련된 여러 명제를 포함하며, 제1 동형 정리를 따름 정리로 얻을 수 있다. 군, 환, 가군 등 다양한 대수 구조에 적용되며, 군의 준동형적 상은 몫군과 동형이라는 형태로도 표현된다.

2. 정의

같은 형의 대수 구조 $A$와 $B$ 및 그 사이의 준동형 $\backslash phi\backslash colon\; A\backslash to\; B$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 $A$ 위에 합동 관계 $\backslash sim\_\backslash phi$를 다음과 같이 정의할 수 있다.
:$a\backslash sim\_\backslash phi\; a\text{'}\backslash iff\backslash phi(a)=\backslash phi(a\text{'})\backslash ;\backslash forall\; a,a\text{'}\backslash in\; A$
$\backslash sim\_\backslash theta$가 $\backslash sim\_\backslash phi$보다 더 고른 $A$ 위의 합동 관계라고 하자. 즉, 다음이 성립한다고 가정한다.
:$a\backslash sim\_\backslash theta\; a\text{'}\backslash implies\; a\backslash sim\_\backslash phi\; a\text{'}$
또한, $\backslash theta\backslash colon\; A\backslash to\; A/\{\backslash sim\}\_\backslash theta$가 자연스러운 몫 준동형이라고 하자. 준동형 정리에 따르면, 다음 명제들이 성립한다.
* $\backslash chi\backslash circ\backslash theta=\backslash phi$인 준동형 $\backslash chi\backslash colon\; A/\{\backslash sim\}\_\backslash theta\backslash to\; B$가 유일하게 존재한다.
* 만약 $\backslash phi$가 전사 함수라면 $\backslash chi$ 역시 전사 함수이다.
* 만약 $\{\backslash sim\}\_\backslash theta=\{\backslash sim\}\_\backslash phi$라면, $\backslash chi$는 단사 함수이다.
이로부터 제1 동형 정리를 따름정리로 얻을 수 있다.

군에 관한 준동형 정리

군 $G,\; H$ 및 군 준동형 $f\backslash colon\; G\; \backslash to\; H$가 주어졌다고 하자. 이때, $G$의 정규 부분군 $K$ 및 자연 사영 $\backslash varphi\backslash colon\; G\; \backslash to\; G/K$ (여기서 $G/K$는 잉여군)에 대해, 만약 $K\; \backslash subseteq\; \backslash operatorname\{ker\}(f)$ ($f$의 핵)이 성립한다면, $f\; =\; h\; \backslash circ\; \backslash varphi$를 만족하는 군 준동형 $h\backslash colon\; G/K\; \backslash to\; H$가 유일하게 존재한다.

이 상황은 다음의 가환도로 나타낼 수 있다.

이는 자연 사영 $\backslash varphi$가 $K$를 단위원으로 보내는 $G$ 상의 준동형 중에서 가장 일반적인 것임을 의미한다.

특히, 정리에서 $K\; =\; \backslash operatorname\{ker\}(f)$로 놓으면 제1 동형 정리를 바로 얻을 수 있다.

3. 예

이 정리는 보편 대수학의 정리이므로, 임의의 대수 구조에 대하여 성립한다. 아래에서는 대표적인 대수 구조인 군, 환, 가군 등에서 준동형 정리가 어떻게 적용되는지 구체적인 예를 살펴본다.

3.1. 군에 대한 형태

군 준동형 $\backslash phi\backslash colon\; G\backslash to\; H$ 와 정규 부분군 $K\backslash vartriangleleft\; G$ 가 주어져 있고, $K$가 $\backslash phi$의 핵 $\backslash ker\backslash phi$의 부분군 ($K\backslash subseteq\backslash ker\backslash phi$)이라고 하자. 또한, $\backslash theta\backslash colon\; G\backslash to\; G/K$를 자연스러운 몫 준동형이라고 하자. 이때 다음 명제들이 성립한다.

* $\backslash chi\backslash circ\backslash theta=\backslash phi$를 만족하는 유일한 군 준동형 $\backslash chi\backslash colon\; G/K\backslash to\; H$가 존재한다.
* 만약 $\backslash phi$가 전사 함수라면, $\backslash chi$ 역시 전사 함수이다.
* 만약 $K=\backslash ker\backslash phi$라면, $\backslash chi$는 단사 함수이다.

이 정리는 자연스러운 몫 준동형 $\backslash theta$가 $K$를 항등원으로 보내는 $G$ 위의 준동형들 중에서 보편적임을 의미한다. 특히 $K\; =\; \backslash ker\backslash phi$일 경우, $\backslash chi$는 단사 준동형이 된다. 만약 $\backslash phi$가 전사 함수이면서 $K\; =\; \backslash ker\backslash phi$이면, $\backslash chi$는 동형 사상이 되며, 이는 제1 동형 정리의 내용과 같다. 즉, 군의 준동형적 상($\backslash phi(G)$)은 그 핵에 대한 몫군 ($G/\backslash ker\backslash phi$)과 동형이다.

3.1.1. 군론적 형태의 추가 설명 (영문판)

두 개의 군 $G$와 $H$가 주어지고 군 준동형사상 $f:\; G\; \backslash rarr\; H$가 주어졌다고 하자. 이때 $N$을 $G$의 정규 부분군이라고 하고, $\backslash phi$를 자연스러운 전사 함수 준동형사상 $\backslash phi:\; G\; \backslash rarr\; G\; /\; N$ (여기서 $G\; /\; N$은 $N$에 의한 $G$의 몫군이다)이라고 하자. 만약 $N$이 $f$의 커널 $\backslash ker(f)$의 부분 집합이라면, 즉 $N\; \backslash subseteq\; \backslash ker(f)$ 라면, 다음을 만족하는 유일한 준동형사상 $h:\; G\; /\; N\; \backslash rarr\; H$가 존재한다.
:$f\; =\; h\; \backslash circ\; \backslash phi$

다시 말해, 자연 투영 $\backslash phi$는 $N$을 항등원으로 보내는 $G$ 상의 준동형사상들 중에서 보편적이다.

이 상황은 다음의 가환도표로 설명될 수 있다.

여기서 준동형사상 $h$는 $N\; =\; \backslash ker(f)$일 때, 그리고 오직 그때만 단사 함수이다. 따라서, $N$을 $f$의 커널 $\backslash ker(f)$로 설정하면, 즉시 제1 동형 정리를 얻게 된다. 이는 군의 준동형 정리가 "군의 모든 준동형적 상은 그 커널에 대한 몫군과 동형이다"라는 사실을 함의하기 때문이다.

3.1.2. 증명 (영문판)

증명은 준동형 사상에 대한 두 가지 기본적인 사실, 즉 군 연산의 보존과 항등원의 항등원 매핑에서 비롯된다. $\backslash phi:\; G\; \backslash to\; H$가 군의 준동형 사상이라면 다음을 보여야 한다.

* $\backslash text\{im\}(\backslash phi)$는 $H$의 부분군이다.
* $G\; /\; \backslash ker(\backslash phi)$는 $\backslash text\{im\}(\backslash phi)$와 동형이다.

3.1.3. 응용 (영문판)

군론에서 준동형 정리는 두 군이 동형임을 보이는 데 사용될 수 있다. 다음은 두 가지 예시이다.

3.2. 환에 대한 형태

환 준동형 $\backslash phi\backslash colon\; R\backslash to\; S$ 및 $R$의 아이디얼 $\backslash mathfrak\; a\backslash subset\; R$가 있고, $\backslash mathfrak\; a\backslash subset\backslash phi^\{-1\}(0)$이라고 하자. 또한, $\backslash theta\backslash colon\; R\backslash to\; R/\backslash mathfrak\; a$가 몫 준동형이라고 하자. 그렇다면 다음 명제들이 성립한다.
* $\backslash chi\backslash circ\backslash theta=\backslash phi$인 환 준동형 $\backslash chi\backslash colon\; R/\backslash mathfrak\; a\backslash to\; S$가 유일하게 존재한다.
* 만약 $\backslash phi$가 전사 함수라면 $\backslash chi$ 역시 전사 함수이다.
* 만약 $\backslash mathfrak\; a=\backslash phi^\{-1\}(0)$이라면, $\backslash chi$는 단사 함수이다.

3.3. 가군에 대한 형태

환 $R$의 왼쪽 가군 $M,N$ 사이의 가군 준동형 $\backslash phi\backslash colon\; M\backslash to\; N$ 및 $M$의 부분 가군 $P\backslash subset\; M$가 있고, $P\backslash subset\backslash phi^\{-1\}(0)$이라고 하자. 또한, $\backslash theta\backslash colon\; M\backslash to\; M/P$가 몫 준동형이라고 하자. 그렇다면 다음 명제들이 성립한다.
* $\backslash chi\backslash circ\backslash theta=\backslash phi$인 가군 준동형 $\backslash chi\backslash colon\; M/P\backslash to\; N$이 유일하게 존재한다.
* 만약 $\backslash phi$가 전사 함수라면 $\backslash chi$ 역시 전사 함수이다.
* 만약 $P=\backslash phi^\{-1\}(0)$이라면, $\backslash chi$는 단사 함수이다.

4. 정리의 주장 (일본어판)

군 $G,\; H$ 및 군 준동형 $f:\; G\; \backslash to\; H$가 주어졌다고 하자. 이때, $G$의 정규 부분군 $K$와 자연 사영 $\backslash phi:\; G\; \backslash to\; G/K$ (여기서 $G/K$는 잉여군이다)에 대해, 만약 $K\; \backslash subseteq\; \backslash ker(f)$ ($f$의 핵)이 성립한다면, $f\; =\; h\; \backslash circ\; \backslash phi$를 만족하는 군 준동형 $h:\; G/K\; \backslash to\; H$가 유일하게 존재한다.

이 상황은 다음의 가환도로 나타낼 수 있다.

이는 곧 자연 사영 $\backslash phi$가 $K$를 단위원으로 보내는 $G$ 상의 준동형 중에서 가장 일반적인 것임을 의미한다.

정리에서 $K\; =\; \backslash ker(f)$로 놓으면 바로 제1 동형 정리를 얻을 수 있다.