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준동형 정리

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목차

1. 개요

준동형 정리는 대수 구조 A와 B 사이의 준동형 φ가 주어졌을 때, A 위에 정의된 합동 관계를 통해 새로운 준동형 χ를 유일하게 구성할 수 있다는 정리이다. 이 정리는 준동형 사상, 전사 함수, 단사 함수와 관련된 여러 명제를 포함하며, 제1 동형 정리를 따름 정리로 얻을 수 있다. 군, 환, 가군 등 다양한 대수 구조에 적용되며, 군의 준동형적 상은 몫군과 동형이라는 형태로도 표현된다.

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2. 정의

같은 형의 대수 구조 A와 B 및 그 사이의 준동형 \phi\colon A\to B가 주어졌다고 하자. 그렇다면 A 위에 합동 관계 \sim_\phi를 다음과 같이 정의할 수 있다.

:a\sim_\phi a'\iff\phi(a)=\phi(a')\;\forall a,a'\in A

\sim_\theta가 \sim_\phi보다 더 고른 A 위의 합동 관계라고 하자. 즉, 다음이 성립한다고 가정한다.

:a\sim_\theta a'\implies a\sim_\phi a'

또한, \theta\colon A\to A/{\sim}_\theta가 자연스러운 몫 준동형이라고 하자. '''준동형 정리'''에 따르면, 다음 명제들이 성립한다.


이로부터 제1 동형 정리를 따름정리로 얻을 수 있다.

'''군에 관한 준동형 정리'''

군 G, H 및 군 준동형 f\colon G \to H가 주어졌다고 하자. 이때, G의 정규 부분군 K 및 자연 사영 \varphi\colon G \to G/K (여기서 G/K는 잉여군)에 대해, 만약 K \subseteq \operatorname{ker}(f) (f의 핵)이 성립한다면, f = h \circ \varphi를 만족하는 군 준동형 h\colon G/K \to H가 유일하게 존재한다.

이 상황은 다음의 가환도로 나타낼 수 있다.

자연 사영의 보편성


이는 자연 사영 \varphi가 K를 단위원으로 보내는 G 상의 준동형 중에서 가장 일반적인 것임을 의미한다.

특히, 정리에서 K = \operatorname{ker}(f)로 놓으면 제1 동형 정리를 바로 얻을 수 있다.

3. 예

이 정리는 보편 대수학의 정리이므로, 임의의 대수 구조에 대하여 성립한다. 아래에서는 대표적인 대수 구조인 군, 환, 가군 등에서 준동형 정리가 어떻게 적용되는지 구체적인 예를 살펴본다.

3. 1. 군에 대한 형태

군 준동형 \phi\colon G\to H 와 정규 부분군 K\vartriangleleft G 가 주어져 있고, K가 \phi의 핵 \ker\phi의 부분군 (K\subseteq\ker\phi)이라고 하자. 또한, \theta\colon G\to G/K를 자연스러운 몫 준동형이라고 하자. 이때 다음 명제들이 성립한다.[1]

  • \chi\circ\theta=\phi를 만족하는 유일한 군 준동형 \chi\colon G/K\to H가 존재한다.
  • 만약 \phi가 전사 함수라면, \chi 역시 전사 함수이다.
  • 만약 K=\ker\phi라면, \chi는 단사 함수이다.


이 정리는 자연스러운 몫 준동형 \theta가 K를 항등원으로 보내는 G 위의 준동형들 중에서 보편적임을 의미한다. 특히 K = \ker\phi일 경우, \chi는 단사 준동형이 된다. 만약 \phi가 전사 함수이면서 K = \ker\phi이면, \chi는 동형 사상이 되며, 이는 제1 동형 정리의 내용과 같다. 즉, 군의 준동형적 상(\phi(G))은 그 핵에 대한 몫군 (G/\ker\phi)과 동형이다.

3. 1. 1. 군론적 형태의 추가 설명 (영문판)

준동형 정리의 도해, 여기서 f는 준동형사상이고, N는 G의 정규 부분군이며, e는 G의 항등원이다.


두 개의 군 G와 H가 주어지고 군 준동형사상 f: G \rarr H가 주어졌다고 하자. 이때 N을 G의 정규 부분군이라고 하고, \phi를 자연스러운 전사 함수 준동형사상 \phi: G \rarr G / N (여기서 G / N은 N에 의한 G의 몫군이다)이라고 하자. 만약 N이 f의 커널 \ker(f)의 부분 집합이라면, 즉 N \subseteq \ker(f) 라면, 다음을 만족하는 유일한 준동형사상 h: G / N \rarr H가 존재한다.[1]

:f = h \circ \phi

다시 말해, 자연 투영 \phi는 N을 항등원으로 보내는 G 상의 준동형사상들 중에서 보편적이다.

이 상황은 다음의 가환도표로 설명될 수 있다.

준동형 정리의 가환도표


여기서 준동형사상 h는 N = \ker(f)일 때, 그리고 오직 그때만 단사 함수이다.[1] 따라서, N을 f의 커널 \ker(f)로 설정하면, 즉시 제1 동형 정리를 얻게 된다. 이는 군의 준동형 정리가 "군의 모든 준동형적 상은 그 커널에 대한 몫군과 동형이다"라는 사실을 함의하기 때문이다.

3. 1. 2. 증명 (영문판)

증명은 준동형 사상에 대한 두 가지 기본적인 사실, 즉 군 연산의 보존과 항등원의 항등원 매핑에서 비롯된다. \phi: G \to H가 군의 준동형 사상이라면 다음을 보여야 한다.

  • \text{im}(\phi)는 H의 부분군이다.
  • G / \ker(\phi)는 \text{im}(\phi)와 동형이다.

3. 1. 3. 응용 (영문판)

군론에서 준동형 정리는 두 군이 동형임을 보이는 데 사용될 수 있다. 다음은 두 가지 예시이다.

3. 2. 환에 대한 형태

환 준동형 \phi\colon R\to S 및 R의 아이디얼 \mathfrak a\subset R가 있고, \mathfrak a\subset\phi^{-1}(0)이라고 하자. 또한, \theta\colon R\to R/\mathfrak a가 몫 준동형이라고 하자. 그렇다면 다음 명제들이 성립한다.

  • \chi\circ\theta=\phi인 환 준동형 \chi\colon R/\mathfrak a\to S가 유일하게 존재한다.
  • 만약 \phi가 전사 함수라면 \chi 역시 전사 함수이다.
  • 만약 \mathfrak a=\phi^{-1}(0)이라면, \chi는 단사 함수이다.

3. 3. 가군에 대한 형태

환 R의 왼쪽 가군 M,N 사이의 가군 준동형 \phi\colon M\to N 및 M의 부분 가군 P\subset M가 있고, P\subset\phi^{-1}(0)이라고 하자. 또한, \theta\colon M\to M/P가 몫 준동형이라고 하자. 그렇다면 다음 명제들이 성립한다.

  • \chi\circ\theta=\phi인 가군 준동형 \chi\colon M/P\to N이 유일하게 존재한다.
  • 만약 \phi가 전사 함수라면 \chi 역시 전사 함수이다.
  • 만약 P=\phi^{-1}(0)이라면, \chi는 단사 함수이다.

4. 정리의 주장 (일본어판)

군 G, H 및 군 준동형 f: G \to H가 주어졌다고 하자. 이때, G의 정규 부분군 K와 자연 사영 \phi: G \to G/K (여기서 G/K는 잉여군이다)에 대해, 만약 K \subseteq \ker(f) (f의 핵)이 성립한다면, f = h \circ \phi를 만족하는 군 준동형 h: G/K \to H가 유일하게 존재한다.[1]

이 상황은 다음의 가환도로 나타낼 수 있다.

이는 곧 자연 사영 \phi가 K를 단위원으로 보내는 G 상의 준동형 중에서 가장 일반적인 것임을 의미한다.

정리에서 K = \ker(f)로 놓으면 바로 제1 동형 정리를 얻을 수 있다.


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