챔퍼나운 수

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1. 개요

챔퍼나운 수는 1부터 시작하여 연속된 정수를 소수점 아래에 나열하여 만든 실수로, 십진법에서 0.1234567891011121314...로 표현된다. 다른 진법에서도 정의할 수 있으며, 무리수이자 초월수이다. 챔퍼나운 수는 십진법에서 정규수이며, 연분수 전개는 규칙적인 패턴을 보이지 않는다.

2. 정의

챔퍼나운 수는 특정 진법에서 자연수를 순서대로 나열하여 만들어지는 실수이다. 예를 들어 십진법에서는 1부터 시작하여 연속적인 정수를 쭉 이어붙여 0.12345678910111213141516… 와 같이 표현한다.

다른 진법에서도 이와 유사하게 챔퍼나운 수를 정의할 수 있다. 예를 들면 다음과 같다.

''C''₂ = 0.11011100101110111… ₂
''C''₃ = 0.12101112202122… ₃

챔퍼나운 수는 무한급수로 표현 가능하며, 이 급수를 일반화하여 임의의 ''b''진법으로 나타낼 수 있다.

2. 1. 십진법에서의 챔퍼나운 수

십진법에서 '''챔퍼나운 수'''는 소수 전개가 1부터 시작하여 연속적인 정수를 쭉 이은 수열인 실수이다.

:''C''₁₀ = 0.12345678910111213141516…

챔퍼나운 수는 다음과 같은 무한급수로 정확하게 표현할 수 있다.

:

C_{10}=\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=10^{n-1}}^{10^n-1}\frac{k}{10^{n(k-10^{n-1}+1)+9\sum_{l=1}^{n-1}10^{l-1}l}}

:

C_{10}=\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=10^{n-1}}^{10^n-1}\frac{k}{10^{kn-9\sum_{j=0}^{n-1}10^j(n-j-1)}}

''C''_''k''의 숫자들 주기를 '''챔퍼나운 마디'''(Champernowne word) 또는 '''바비어 마디'''(Barbier word)라고 한다.^[13]^[14]

2. 2. 다른 진법에서의 챔퍼나운 수

이진법, 삼진법 등 다른 진법에서도 유사한 방식으로 챔퍼나운 수를 정의할 수 있다. 예를 들어, 이진법에서의 챔퍼나운 상수 ''C''₂는 0.11011100101110111…₂이며,^[13]^[14] 십진법으로 표기하면 0.86224012586805457…이다. 일반적으로, ''r'' 진법에 관한 챔퍼나운 상수 ''C''_r은 기수 ''r''에 관해 정규적이다.

일반적으로 m ≥ 2 인 임의의 정수 m에 대해, m진 챔퍼나운 상수는 다음 식으로 나타낼 수 있다.

:

C_m = \textstyle\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n}{m^{n+ \sum\limits_{k=1}^{n-1} \left\lfloor \log_m(k+1) \right\rfloor}}

참고로, 빈 합은 0으로 정의한다.

2. 3. 챔퍼나운 마디

''C''_''k''의 숫자들 주기를 '''챔퍼나운 마디'''(Champernowne word^영어) 또는 '''바비어 마디'''(Barbier word^영어)라고 한다.^[13]^[14]

3. 수학적 성질

챔퍼나운 수는 무리수이자 초월수이다.^[16] 챔퍼나운 수의 연분수 표현은 여러 작은 수 사이에 매우 큰 수가 끼어 있는 비주기적인 형태를 띤다.

챔퍼나운 상수 ''C''의 연분수 표시는 다음과 같다.

: [0; 8, 9, 1, 149083, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 15, ''K'', …]

여기서 19번째 수 ''K''는 166자리의 매우 큰 수이다.

: 4 57540 11139 10310 76483 64662 82429 56118 59960 39397 10457 55500 06620 04393 09026 26592 56314 93795 32077 47128 65631 38641 20937 55035 52094 60718 30899 84575 80146 98631 48833 59214 17830 10987

연분수에서 이처럼 큰 수가 나타난다는 것은 근삿값을 계산할 때 큰 부담이 될 수 있지만, 한편으로는 이 큰 수를 포함하면 근사 정확도가 크게 향상됨을 의미한다. = 0.123456790111… 나 = 0.12345679… 는 챔퍼나운 상수와 비교적 가깝다(밑줄 부분은 순환절).

어떤 실수 ''x''가 모든 기수에서 숫자가 균등 분포를 따르면 정규라고 한다. 챔퍼나운은 $C_{10}$ 이 기수 10에서 정규임을 증명했으며,^[5] 다른 진법에서의 정규성은 아직 알려지지 않았다.

0.4938271564044485256606… 은 겉보기에는 평범한 무리수처럼 보이지만, 실제로는 챔퍼나운 상수에 4를 곱하여 얻은 수이다. 이처럼 규칙성이 있는 수에 곱셈이나 거듭제곱 등의 연산을 하면 그 규칙성이 사라져(보이지 않게 되어) 버린다.

3. 1. 무리수성

챔퍼나운 수 ''C''은 소수점 아래에 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12... 와 같이 모든 자연수를 순서대로 배열하여 만들어지는 수이다. 이 수는 순환하지 않는 무한소수이므로 무리수이다.^[7]

C_{10}

의 무리수성 측도(irrationality measure)는

\mu(C_{10})=10

이며, 더 일반적으로 어느

b\ge 2

인 진법에서든

\mu(C_b)=b

이다.^[8]

3. 2. 초월수성

커트 멜러는 챔퍼나운 수가 초월수임을 증명했다.^[16] 초월수는 대수적인 방정식의 해가 될 수 없는 수이다. 챔퍼나운 수의 연분수 표현은 유리수가 아니므로 유한하지 않으며, 주기 연분수도 될 수 없다.

챔퍼나운 수의 연분수 형태는 여러 작은 수 사이에 매우 큰 수 하나가 끼어 있는 비주기적 형태이다. 예를 들어, 10진법에서는 다음과 같다.

: ''C''₁₀ = [0; 8, 9, 1, 149083, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 15, ...].

3. 3. 정규수

어떤 실수 ''x''가 모든 진법에서 숫자가 균일한 분포를 가지면 정규수라고 한다. 즉, 모든 숫자가 나올 확률이 같고, 두 자리, 세 자리 등 어떤 개수의 숫자로 이루어진 문자열이 나올 확률도 모두 같다. 만약 실수 ''x''가 ''b''진법에서 이러한 균일한 분포를 보이면, ''x''는 ''b''진법에서 정규수를 만족한다고 한다.^[15]

숫자 문자열을 [''a''₀, ''a''₁, ...]로 표기했을 때, 10진법에서는 [0], [1], [2], …, [9] 문자열이 나타날 확률은 1/10이고, [0,0], [0,1], ..., [9,8], [9,9] 문자열이 나타날 확률은 1/100이다. 이것이 정규수의 특징이다.

챔퍼나운은 10진법에서

C_{10}

이 정규수임을 증명했지만,^[5] 다른 진법에서의 챔퍼나운 수는 정규수가 아니라고 생각했다.^[15] 나카이와 시오카와는 모든 ''b''에 대해

C_{b}

가 기수

b

에서 정규라는 더 일반적인 정리를 증명했다.^[6] 그러나

C_{k}

가

b \neq k

인 기수

b

에서 정규인지 여부는 아직 풀리지 않은 문제이다. 예를 들어,

C_{10}

이 9진법에서 정규인지는 알려져 있지 않다.

1933년, 챔퍼나운은 10진법에서 챔퍼나운 수가 정규수임을 증명했다. 그러나 다른 기수에서 정규수인지 여부는 아직 알려져 있지 않다.

3. 4. 연분수 전개

챔퍼나운 수의 무한 연분수는 여러 작은 수 사이에 매우 큰 수 하나가 끼어 있는 비주기적인 형태를 띤다. 커트 멜러는 이 수가 초월수임을 증명했다.^[16] 따라서 이 수의 연분수는 유리수가 아니므로 유한하지 않으며, 주기 연분수도 될 수 없다.

예를 들어, 10진법에서 챔퍼나운 수는 다음과 같이 표현된다.

: ''C''₁₀ = [0; 8, 9, 1, 149083, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 15,

:::4 57540 11139 10310 76483 64662 82429 56118 59960 39397 10457 55500 06620 04393 09026 26592 56314 93795 32077 47128 65631 38641 20937 55035 52094 60718 30899 84575 80146 98631 48833 59214 17830 10987,

:::6, 1, 1, 21, 1, 9, 1, 1, 2, 3, 1, 7, 2, 1, 83, 1, 156, 4, 58, 8, 54, ...].

19번째의 큰 수는 166자리이며, 그 다음으로 나오는 가장 큰 41번째의 수는 2504자리이다.

연분수 사이에 매우 큰 수가 끼어 있다는 사실은 챔퍼나운 수가 큰 수가 나오기 전까지의 디오판토스 근사값을 구할 수 있다는 것을 의미한다. 예를 들어, 4번째 앞까지 자른 정수열은

10/81 = 0.\overline{123456790}

와 같으며, 이는 챔퍼나운 수와 약 1 × 10^-9의 오차가 있다. 18번째 앞까지 자른 정수열에서는

:

\frac{60499999499}{490050000000} =0.123456789\overline{101112\ldots96979900010203040506070809},

가 나오는데, 이는 챔퍼나운 수와 약 9 × 10^-190의 오차가 있다.

Sikora (2012)는 네 번째부터 시작하는 최고점의 자릿수가 명백한 패턴을 보인다는 것을 알아챘다.^[11] 최고점 자체는 두 배로 지수적으로 증가하며,

n\geqslant 3

에 대한 ''n''번째 점에서의 자릿수

d_n

는 다음과 같다.

:6, 166, 2504, 33102, 411100, 4911098, 57111096, 651111094, 7311111092, ...

최고점 자체는 다음 위치에 있다.

:1, 2, 4, 18, 40, 162, 526, 1708, 4838, 13522, 34062, ....

4. 급수 표현

챔퍼나운 수는 무한급수로 표현할 수 있다.

하위 섹션인 "이중 합 급수 표현"과 "일반화된 급수 표현"에서 이미 상세한 급수 표현들을 다루고 있으므로, 이 섹션에서는 챔퍼나운 수를 간략하게 급수로 표현할 수 있다는 사실만 언급한다.

4. 1. 이중 합 급수 표현

챔퍼나운 수는 다음과 같은 무한급수로 표현할 수 있다.^[9]^[10]

:

C_{10}=\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=10^{n-1}}^{10^n-1}\frac{k}{10^{n(k-10^{n-1}+1)+9\sum_{l=1}^{n-1}10^{l-1}l}}

:

C_{10}=\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=10^{n-1}}^{10^n-1}\frac{k}{10^{kn-9\sum_{j=0}^{n-1}10^j(n-j-1)}}

이 급수를 10과 9 대신에 ''b''와 ''b-1''로 각각 바꿔서 임의의 ''b''진법으로 일반화할 수 있다.

챔퍼나운 수의 정의는 이중 합을 포함하는 무한 급수 표현을 즉시 생성하며, 다음과 같다.

:

C_{10}=\sum_{n=1}^\infty 10^{-\delta_{10}(n)} \sum_{k=10^{n-1}}^{10^n-1}\frac{k}{10^{n(k-10^{n-1}+1)}},

여기서

\delta_{10}(n)= 9\sum_{\ell=1}^{n-1}10^{\ell-1}\ell

는 소수점과

n

자리의 밑-10 숫자의 첫 번째 기여 사이의 자릿수이다. 이 표현은 10과 9를 각각

b

와

b-1

로 대체하여 임의의 밑

b

로 일반화할 수 있다. 다른 형식은 다음과 같다.

:

C_b=\sum_{n=1}^\infty n \cdot b^{-\left(\sum\limits_{k=1}^n\left\lceil\log_{b}(k+1)\right\rceil\right)}

:

C_b=\sum_{n=1}^\infty n \cdot b^{-\left(n+\sum\limits_{k=1}^{n-1}\left\lfloor\log_b(k+1)\right\rfloor\right)},

여기서

\lfloor x \rfloor

와

\lceil x \rceil

는 바닥 함수와 천장 함수를 나타낸다.

이 급수의 첫 번째로 돌아가서, 외부 합의 피합수와

\delta_b(n)

에 대한 표현식은 2차원 기하 급수의 닫힌 형식을 사용하여 단순화할 수 있다.

:

\sum_{k=n}^\infty ka^k=a^n\frac{n-(n-1)a}{(1-a)^2}.

\delta_b(n)

에 대한 결과 표현식은 다음과 같다.

:

\delta_b(n) = (b-1)\sum_{\ell=1}^{n-1}b^{\ell-1}\ell= \frac{1}{b-1}\left(1+b^{n-1}((b-1)n-b)\right),

외부 합의 피합수는 다음과 같다.

:

\begin{align}b^{-\delta_b(n)} \sum_{k=b^{n-1}}^{b^n-1}\frac{k}{b^{n(k-b^{n-1}+1)}}&= b^{-\delta_b(n)}b^{n(b^{n-1}-1)}\left(\sum_{k=b^{n-1}}^\infty\frac{k}{b^{nk}}-\sum_{k=b^n}^\infty\frac{k}{b^{nk}}\right)\\&= \frac{b^{2n-1}-b^{n-1}+1}{\left(b^n-1\right)^2}b^{-\delta_b(n)}-\frac{b^{2n}-b^n+1}{\left(b^n-1\right)^2}b^{-\delta_b(n+1)}.\end{align}

모든

n \ge 1

에 대해 합하면

:

C_b = \frac{b}{(b-1)^2}-\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{b^{2n}-b^n+1}{\left(b^n-1\right)^2} - \frac{b^{2n+1}-b^n+1}{\left(b^{n+1}-1\right)^2}\right)b^{-\delta_b(n+1)}.

피합수에서 괄호 안의 표현식은

n \ge 2

에 대해 대략

\frac{b-1}{b}

이고

n

이 증가함에 따라 그 값에 빠르게 접근하며, 지수

\delta_b(n+1)

는

n

에 따라 지수적으로 증가한다. 결과적으로, 각 추가 항은 이러한 항을 구성하는 분수의 분자와 분모의 자릿수가 선형적으로 증가할 뿐이지만 지수적으로 증가하는 올바른 자릿수를 제공한다. 예를 들어,

C_{10}

의 처음 몇 항은 다음과 같다.

:

C_{10} = \frac{10}{81} - \left[\left(\frac{91}{81}-\frac{991}{9801}\right)\times10^{-9}+\left(\frac{9901}{9801}-\frac{99901}{998001}\right)\times10^{-189}+\left(\frac{999001}{998001}-\frac{9999001}{99980001}\right)\times10^{-2889}+\ldots\right].

4. 2. 일반화된 급수 표현

임의의 ''b''진법에 대한 챔퍼나운 수의 급수 표현은 다음과 같이 주어진다.

:

C_{b}=\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=b^{n-1}}^{b^n-1}\frac{k}{b^{kn-9\sum_{j=0}^{n-1}b^j(n-j-1)}}

이 급수는 10과 9 대신에 ''b''와 ''b-1''을 각각 대입하여 일반화할 수 있다. 다른 표현 방식으로는 다음과 같은 수식들이 있다.^[9]^[10]

:

C_b=\sum_{n=1}^\infty n \cdot b^{-\left(\sum\limits_{k=1}^n\left\lceil\log_{b}(k+1)\right\rceil\right)}

:

C_b=\sum_{n=1}^\infty n \cdot b^{-\left(n+\sum\limits_{k=1}^{n-1}\left\lfloor\log_b(k+1)\right\rfloor\right)}

여기서

\lfloor x \rfloor

와

\lceil x \rceil

는 각각 바닥 함수와 천장 함수를 나타낸다.

이 급수의 피합수와

\delta_b(n)

에 대한 표현식은 2차원 기하 급수의 닫힌 형식을 사용하여 단순화할 수 있다. 그 결과,

\delta_b(n)

는 다음과 같이 표현된다.

:

\delta_b(n) = (b-1)\sum_{\ell=1}^{n-1}b^{\ell-1}\ell = \frac{1}{b-1}\left(1+b^{n-1}((b-1)n-b)\right)

또한, 외부 합의 피합수는 다음과 같이 정리된다.

:

\begin{align}b^{-\delta_b(n)} \sum_{k=b^{n-1}}^{b^n-1}\frac{k}{b^{n(k-b^{n-1}+1)}}&= \frac{b^{2n-1}-b^{n-1}+1}{\left(b^n-1\right)^2}b^{-\delta_b(n)}-\frac{b^{2n}-b^n+1}{\left(b^n-1\right)^2}b^{-\delta_b(n+1)}.\end{align}

모든 n에 대해 합하면 다음과 같은 표현을 얻는다.

:

C_b = \frac{b}{(b-1)^2}-\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{b^{2n}-b^n+1}{\left(b^n-1\right)^2} - \frac{b^{2n+1}-b^n+1}{\left(b^{n+1}-1\right)^2}\right)b^{-\delta_b(n+1)}.

이 식에서 피합수의 괄호 안의 표현식은 n이 2 이상일 때 대략

\frac{b-1}{b}

에 근접하며, n이 증가함에 따라 빠르게 수렴한다. 지수

\delta_b(n+1)

는 n에 따라 지수적으로 증가하므로, 각 항은 선형적으로 증가하는 자릿수를 가지면서도 지수적으로 증가하는 올바른 자릿수를 제공한다.

5. 유사한 수

1933년, 챔퍼나운은 챔퍼나운 수 ''C''₁₀이 십진 정규수임을 보였다. 그러나 다른 진법에서 정규수인지 여부는 알려져 있지 않다.

0.4938271564044485256606… 은 겉보기에는 평범한 무리수처럼 보이지만, 실제로는 챔퍼나운 상수에 4를 곱한 값이다. 이처럼 규칙성이 있는 수에 곱셈이나 거듭제곱 등의 연산을 하면 그 규칙성이 사라져 보이지 않게 된다.

= 0.123456790111… 나 = 0.12345679… 는 챔퍼나운 상수와 비교적 가깝다(밑줄 부분은 순환절). 실제로 는 챔퍼나운 상수의 연분수 표현 [0; 8, 9, 1]에 해당한다.

다른 진법에서의 챔퍼나운 수에 대해서는 다른 진법에서의 챔퍼나운 수 문단을 참조하라.
코플랜드-에르되스 상수와 리우빌 수에 대해서는 각각 해당 문서를 참조하라.

5. 1. 다른 진법에서의 챔퍼나운 수

다른 진법으로도 유사한 수를 생각할 수 있다. 예를 들어, 이진법에 관한 챔퍼나운 상수 ''C''₂는 0.11011100101110111…₍₂₎이며, 십진법으로 표기하면 0.86224012586805457… 이다. 이 수는 이진 정규수이다. 일반적으로, ''r'' 진법에 관한 챔퍼나운 상수 ''C''_r는 기수 ''r''에 관해 정규적이다.

일반적으로 2 이상의 정수 ''m''에 대해, ''m''진 챔퍼나운 상수는 다음 식으로 나타낼 수 있다.

:

C_m = \textstyle\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n}{m^{n+ \sum\limits_{k=1}^{n-1} \left\lfloor \log_m(k+1) \right\rfloor}}

참고로, 빈 합은 0으로 정의한다.

5. 2. 코플랜드-에르되스 상수

코플랜드-에르되스 상수는 0. 뒤에 소수를 작은 것부터 차례로 나열하여 표시하는 수이다.

5. 3. 리우빌 수

리우빌 수는 역사상 최초로 초월수임이 밝혀진 수로, 소수점 아래 ''n'' !번째 자리가 1이고 나머지는 0인 소수 표시를 갖는 수이다.

6. 역사

1933년 영국의 수학자 D. G. 챔퍼나운이 챔퍼나운 수를 처음 제시하고, 십진법에서 정규수임을 증명하였다.^[1]

7. 한국 사회와의 연관성 (추가 제안)

챔퍼나운 수는 0.1234567891011121314... 와 같이 자연수를 순서대로 나열하여 만들어지는 수이다. 이 수는 무리수이자 초월수이며, 정규수임이 증명된 대표적인 수이다.

챔퍼나운 수의 이러한 특성은 한국 사회의 불평등 및 양극화 문제와 연결지어 생각해 볼 수 있다. 챔퍼나운 수는 모든 자연수를 포함하고 있지만, 그 배열은 불규칙하고 예측 불가능하다. 이는 한국 사회에서 모든 국민이 법 앞에 평등하지만, 현실에서는 경제적, 사회적 불평등이 심화되고 있는 상황과 유사하다고 볼 수 있다.

예를 들어, 챔퍼나운 수의 소수점 아래 자릿수가 무한히 이어지는 것처럼, 한국 사회의 양극화 문제도 쉽게 해결되지 않고 지속될 수 있다는 점을 시사한다. 또한, 챔퍼나운 수가 정규수라는 점은, 장기적으로는 모든 숫자의 출현 빈도가 같아진다는 것을 의미하지만, 단기적으로는 특정 숫자가 더 자주 나타날 수 있다. 이는 한국 사회에서도 장기적으로는 평등을 지향하지만, 현실에서는 특정 계층이 더 많은 기회를 얻는 불평등이 존재할 수 있음을 보여준다.

물론, 챔퍼나운 수는 수학적인 개념이고, 한국 사회는 복잡한 현실 문제이므로, 이 둘을 직접적으로 비교하는 것은 무리가 있을 수 있다. 그러나 챔퍼나운 수의 특성을 통해 한국 사회의 불평등과 양극화 문제를 비유적으로 설명하고, 이에 대한 관심을 환기시키는 것은 의미가 있을 것이다.

참조

_[1] 기타 Champernowne
_[2] 기타 Cassaigne & Nicolas
_[3] 서적 Automatic Sequences: Theory, Applications, Generalizations Cambridge University Press
_[4] 간행물 Disjunctive sequences: An overview University of Auckland, New Zealand
_[5] 기타 Champernowne
_[6] 기타 Nakai
_[7] 기타 Arithmetische Eigenschaften einer Klasse von Dezimalbrüchen Proc. Konin. Neder. Akad. Wet. Ser. A
_[8] 논문 Approximation to certain transcendental decimal fractions by algebraic numbers http://www.sciencedi[...] 1991-02
_[9] 논문 Analysis of the High Water Mark Convergents of Champernowne's Constant in Various Bases https://arxiv.org/ab[...] 2014-08-01
_[10] 웹사이트 Champernowne constant null
_[11] 웹사이트 On the High Water Mark Convergents of Champernowne's Constant in Base Ten. http://arxiv.org/abs[...] 2012-10-03
_[12] 서적 수학의 파노라마: 피타고라스에서 57차원까지 수학의 역사를 만든 250개의 아이디어 https://books.google[...]
_[13] 기타 Cassaigne & Nicolas
_[14] 서적 Automatic Sequences: Theory, Applications, Generalizations Cambridge University Press
_[15] 논문 The construction of decimals normal in the scale of ten
_[16] 기타 Arithmetische Eigenschaften einer Klasse von Dezimalbrüchen Proc. Konin. Neder. Akad. Wet. Ser. A
_[17] 논문 Approximation to certain transcendental decimal fractions by algebraic numbers http://www.sciencedi[...] 1991-02

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