삼진법

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1. 개요

삼진법은 3을 밑으로 하는 위치 기수법으로, 0, 1, 2의 세 숫자를 사용한다. 십진법의 3은 삼진법에서 10으로, 4는 11로 표기된다. 삼진법의 각 자릿수는 3의 거듭제곱 값을 가지며, 덧셈과 곱셈 연산이 정의된다. 삼진법은 이진법보다 자릿수가 빨리 길어지지 않으며, 유리수 ⅓을 편리하게 나타낼 수 있지만, ½과 같은 분수는 유한 표현이 불가능하다. 삼진법은 특정 아날로그 회로, 야구 기록, 자기 유사 구조 표현, 컴퓨터, 부호화된 자릿수 표현 등에 활용된다. 특히 소련의 세툰 컴퓨터가 균형 삼진법을 사용한 사례가 있다. 또한, 삼진법은 3치 논리와 관련이 있지만, 동일한 개념은 아니다.

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삼진법
삼진법
삼진법을 사용한 손가락 셈
일반적인 정보
명칭	삼진법
유형	위치 기수법
기수	3
기호	0, 1, 2
속성
활용	일부 튜링 기계 균형 삼진법
관련 주제	이진법 십진법 기수법

2. 기수법

삼진법은 3을 밑으로 하는 위치 기수법이다. 0, 1, 2 세 가지 숫자를 사용하며, 3부터 자릿수가 올라간다. 삼진법에서 3은 10, 4는 11로 표기된다.

수열의 진행 방식 (1~18)
이진법	삼진법	육진법	십진법
0	0	0	0
1	1	1	1
10	2	2	2
11	10	3	3
100	11	4	4
101	12	5	5
110	20	10	6
111	21	11	7
1000	22	12	8
1001	100	13	9
1010	101	14	10
1011	102	15	11
1100	110	20	12
1101	111	21	13
1110	112	22	14
1111	120	23	15
10000	121	24	16
10001	122	25	17
10010	200	30	18

수열의 진행 방식 (19~27, 36, 49, 54, 64, 81, 100)
이진법	삼진법	육진법	십진법
10011	201	31	19
10100	202	32	20
10101	210	33	21
10110	211	34	22
10111	212	35	23
11000	220	40	24
11001	221	41	25
11010	222	42	26
11011	1000	43	27
100100	1100	100	36
110001	1211	121	49
110110	2000	130	54
1000000	2101	144	64
1010001	10000	213	81
1100100	10201	244	100

2. 1. 자릿값

삼진법에서 각 자릿수는 3의 거듭제곱 값을 가진다. 정수 부분은 오른쪽부터 3⁰, 3¹, 3², ... 순서로 커지고, 소수 부분은 3^-1, 3^-2, 3^-3, ... 순서로 작아진다.

임의의 양수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

a_N3^N + a_{N-1}3^{N-1} + \cdots + a_1 3 + a_0 + {a_{-1}\over 3} + {a_{-2}\over 3^2} + \cdots

( ''a_m''은 0, 1, 2 중 하나) 이때,

:

a_Na_{N-1}\ldots a_1a_0.a_{-1}a_{-2}\ldots

와 같이 쓰는 것이 삼진법이다.

삼진법의 자릿값
자릿수	삼진법의 자릿수	이진수로 환산	삼진수	육진수로 환산	십진수로 환산
정수 7번째 자리	729번째 자리	1011011001	1000000	3213	729
정수 6번째 자리	243번째 자리	11110011	100000	1043	243
정수 5번째 자리	81번째 자리	1010001	10000	213	81
정수 4번째 자리	27번째 자리	11011	1000	43	27
정수 3번째 자리	9번째 자리	1001	100	13	9
정수 2번째 자리	3번째 자리	11	10	3	3
정수 1번째 자리	1번째 자리	1	1	1	1
소수 1번째 자리	1/3번째 자리	1/11	0.1	0.2	1/3
소수 2번째 자리	1/9번째 자리	1/1001	0.01	0.04	1/9
소수 3번째 자리	1/27번째 자리	1/11011	0.001	0.012	1/27
소수 4번째 자리	1/81번째 자리	1/1010001	0.0001	0.0024	1/81

※ 자릿수는 십진수로 표기한다.

2. 2. 다른 진법과의 비교

삼진법은 0, 1, 2 세 개의 숫자를 사용하여 수를 나타내는 방식이다. 이진법이 2를 밑으로 하는 것처럼, 삼진법은 3을 밑으로 한다. 따라서 3은 10, 4는 11과 같이 표기된다. 3마다 자릿수가 올라가므로, 3을 사용할 수 있는 N진법은 사진법 이후부터 가능하다. 또한, 1/3이 분할되는 N진법은 육진법 이후부터 가능하다. 삼진법에서는 3의 거듭제곱으로 자릿수가 늘어난다.

삼진법은 이진법에 비해 자릿수가 급격하게 늘어나지는 않는다. 예를 들어 십진법 365는 이진법으로 01101101 (9자리), 삼진법으로 111112 (6자리)로 나타낼 수 있다. 하지만, 십진법에 비해서는 여전히 간결하지 않다.

유리수의 경우, 삼진법은 ⅓을 0.1과 같이 간단하게 나타낼 수 있다. 이는 십진법에서 ⅓을 0.333...과 같이 무한 순환소수로 표현해야 하는 것과 비교된다. 하지만, 삼진법은 2가 기수의 소인수분해 인수가 아니기 때문에 ½, ¼, ⅛ 등은 유한한 표현을 제공하지 못한다. 이는 이진법에서도 마찬가지이다.

삼진법은 구진법(9진법)이나 27진법을 사용하여 간결하게 나타낼 수 있는데, 이는 팔진법이나 십육진법이 이진법 대신 사용되는 것과 유사하다.

2. 2. 1. 수열의 진행 방식 (표)

수열의 진행 방식 (18까지)
이진법	삼진법	육진법	십진법
0	0	0	0
1	1	1	1
10	2	2	2
11	10	3	3
100	11	4	4
101	12	5	5
110	20	10	6
111	21	11	7
1000	22	12	8
1001	100	13	9
1010	101	14	10
1011	102	15	11
1100	110	20	12
1101	111	21	13
1110	112	22	14
1111	120	23	15
10000	121	24	16
10001	122	25	17
10010	200	30	18

수열의 진행 방식 (19 이후)
이진법	삼진법	육진법	십진법
10011	201	31	19
10100	202	32	20
10101	210	33	21
10110	211	34	22
10111	212	35	23
11000	220	40	24
11001	221	41	25
11010	222	42	26
11011	1000	43	27
100100	1100	100	36
110001	1211	121	49
110110	2000	130	54
1000000	2101	144	64
1010001	10000	213	81
1100100	10201	244	100

2. 2. 2. 삼진법의 자릿수 (표)

삼진법의 자릿수
자릿수	삼진법의 자릿수	이진수로 환산	삼진수	육진수로 환산	십진수로 환산
정수 7번째 자리	729번째 자리	1011011001	1000000	3213	729
정수 6번째 자리	243번째 자리	11110011	100000	1043	243
정수 5번째 자리	81번째 자리	1010001	10000	213	81
정수 4번째 자리	27번째 자리	11011	1000	43	27
정수 3번째 자리	9번째 자리	1001	100	13	9
정수 2번째 자리	3번째 자리	11	10	3	3
정수 1번째 자리	1번째 자리	1	1	1	1
소수 1번째 자리	번째 자리		0.1	0.2
소수 2번째 자리	번째 자리		0.01	0.04
소수 3번째 자리	번째 자리		0.001	0.012
소수 4번째 자리	번째 자리		0.0001	0.0024

※ 자릿수는 십진수로 표기한다.

2. 3. 연산

삼진법의 덧셈 및 곱셈 표는 다음과 같다.

덧셈
+	0	1	2
0	0	1	2
1	1	2	10
2	2	10	11

곱셈
×	1	2
0	0	0
1	1	2
2	2	11

3은 2로 나누어떨어지지 않으므로(즉, 홀수이다), 삼진법에서는 1/2 = 0.1111…이 되고, "'''1÷짝수'''"가 모두 나누어떨어지지 않는다. 삼진법이나 오진법과 같은 홀수 진법은 1/2가 나누어떨어지지 않기 때문에, 어떤 자릿수에서 반올림을 하려고 할 때, 예를 들어 육진법의 0.3이나 십진법의 0.5와 같은 "이등분하면 같은 수"가 발생하지 않는다는 특징이 있다. 또한 후술하는 평형삼진법은 어떤 자릿수에서 잘라내기만 해도 "반올림"이 되는 특징을 갖는다.

하지만, 2의 다음 수인 3을 밑으로 하고 있으므로, "3으로 나누면 같은 수"가 발생한다는 특징을 갖는다. 이것은 육진법의 0.2나 구진법의 0.3 등과 같다.

삼진법의 소수와 나눗셈
단위분수	분모의 소인수분해	삼진 소수	육진 소수	십진 소수
1/2	2	0.1111…	0.3	0.5
1/3	3	0.1	0.2	0.3333…
1/4	2²	0.0202…	0.13	0.25
1/5	5	0.0121…	0.1111…	0.2
1/6	2×3	0.0111…	0.1	0.1666…
1/7	7	0.010212…	0.0505…	0.142857…
1/8	2³	0.0101…	0.043	0.125
1/9	3²	0.01	0.04	0.1111…
1/10	2×5	0.0022…	0.03333…	0.1
1/11	11	0.00211…	0.0313452421…	0.0909…
1/12	2²×3	0.00202…	0.03	0.08333…
1/16	2⁴	0.0012…	0.0213	0.0625
1/18	2×3²	0.00111…	0.02	0.05555…
1/20	2²×5	0.0011…	0.01444…	0.05
1/25	5²	0.00100201102212202112…	0.01235…	0.04
1/27	3³	0.001	0.012	0.037…
1/36	2²×3²	0.000202…	0.01	0.02777…
1/64	2⁶	0.0001021011122022…	0.003213	0.015625
1/81	3⁴	0.0001	0.0024	0.012345679…

※ 단위분수와 분모의 소인수분해는 십진법 표기.

2. 3. 1. 덧셈표

덧셈
+	0	1	2
0	0	1	2
1	1	2	10
2	2	10	11

2. 3. 2. 곱셈표

삼진법 곱셈표
×	1	2	10	11	12	20	21	22	100
1	1	2	10	11	12	20	21	22	100
2	2	11	20	22	101	110	112	121	200
10	10	20	100	110	120	200	210	220	1000
11	11	22	110	121	202	220	1001	1012	1100
12	12	101	120	202	221	1010	1022	1111	1200
20	20	110	200	220	1010	1100	1120	1210	2000
21	21	112	210	1001	1022	1120	1211	2002	2100
22	22	121	220	1012	1111	1210	2002	2101	2200
100	100	200	1000	1100	1200	2000	2100	2200	10000

2. 4. 소수와 나눗셈

3은 2로 나누어떨어지지 않으므로(홀수), 삼진법에서 1/2은 0.1111…과 같이 순환소수가 된다. 따라서 "'''1÷짝수'''"는 모두 나누어떨어지지 않는다. 삼진법이나 오진법과 같은 홀수 진법에서는 1/2가 나누어떨어지지 않기 때문에, 반올림을 할 때 육진법의 0.3이나 십진법의 0.5처럼 "이등분했을 때 같은 수"가 나오지 않는다. 한편, 평형삼진법은 어떤 자릿수에서 잘라내기만 해도 반올림이 된다는 특징이 있다.

2의 다음 수인 3을 밑으로 사용하므로, 삼진법에서는 "3으로 나누면 같은 수"가 된다. 이는 육진법의 0.2, 구진법의 0.3 등과 같은 특징이다.

2. 4. 1. 삼진법의 소수와 나눗셈 (표)

삼진법의 소수와 나눗셈
단위분수	제수의 소인수분해	삼진 소수	육진 소수	십진 소수
1/2	2	0.1111…	0.3	0.5
1/3	3	0.1	0.2	0.3333…
1/4	2²	0.0202…	0.13	0.25
1/5	5	0.0121…	0.1111…	0.2
1/6	2×3	0.0111…	0.1	0.1666…
1/7	7	0.010212…	0.0505…	0.142857…
1/8	2³	0.0101…	0.043	0.125
1/9	3²	0.01	0.04	0.1111…
1/10	2×5	0.0022…	0.03333…	0.1
1/11	11	0.00211…	0.0313452421…	0.0909…
1/12	2²×3	0.00202…	0.03	0.08333…
1/16	2⁴	0.0012…	0.0213	0.0625
1/18	2×3²	0.00111…	0.02	0.05555…
1/20	2²×5	0.0011…	0.01444…	0.05
1/25	5²	0.00100201102212202112…	0.01235…	0.04
1/27	3³	0.001	0.012	0.037…
1/36	2²×3²	0.000202…	0.01	0.02777…
1/64	2⁶	0.0001021011122022…	0.003213	0.015625
1/81	3⁴	0.0001	0.0024	0.012345679…

※ 단위분수와 제수의 소인수분해는 십진법으로 표기한다.

3. 평형 삼진법

평형 삼진법은 각 자릿값을 -1, 0, 1로 갖는 가중치 위치 기수법의 가장 단순한 방식이다. -1은 $\bar{1}$ 로 표기한다. 음수를 별도 기호 없이 표현할 수 있어, 도널드 커누스는 "아마도 모든 기수법 중에서 가장 아름답다"고 평했다.^[4]^[5] 그러나 이진법 등에 비해 응용 분야가 많지 않아 거의 쓰이지 않는다. 이 표기법은 저울로 "1g, 3g, 9g, 27g의 분동을 사용하여 1~40g의 질량을 측정하는 방법"과도 비슷하다.

3. 1. 평형 삼진법의 연산

평형 삼진법은 각 자릿값이 -1, 0, 1을 가지는 가중치를 이용하는 기수법이다. -1은

\bar{1}

로 표기한다. 이 표기법은 음수를 포함하여 숫자를 간결하게 표현할 수 있다는 특징이 있다. 도널드 커누스는 이를 "아마도 모든 기수법 중에서 가장 아름답다"고 평가했다.^[4]^[5] 그러나 이진법 등에 비해 응용되는 경우가 적어 흔히 쓰이지는 않는다.

평형 삼진법의 연산은 일반적인 연산과 약간 다르다. 덧셈과 곱셈은 아래 표와 같고, 뺄셈은 덧셈표를 활용하거나

\bar{1}

과

1

을 서로 바꿔 더하는 방법을 쓸 수 있다. 나눗셈은 다소 복잡하다.

3. 1. 1. 덧셈표

평형삼진법에서는 통상과 약간 다른 연산이 필요하다. 덧셈 결과는 다음과 같다.

덧셈
+	$\bar{1}$	0	1
$\bar{1}$	$\bar{1}1$	$\bar{1}$	0
0	$\bar{1}$	0	1
1	0	1	$1\bar{1}$

윗자리에 영향을 미치는 것은 덧셈 2개뿐이다.

3. 1. 2. 곱셈표

평형삼진법 곱셈표
×	$\bar{1}$	1
$\bar{1}$	1	$\bar{1}$
0	0	0
1	$\bar{1}$	1

곱셈에서는 이진법과 마찬가지로 윗자리에 영향을 미치지 않는다.

3. 2. 일반적인 N진법과의 차이

가중치를 갖는 각 자리의 값을 음수 쪽에도 돌리는 평형 기수법의 가장 단순한 방식이다(같은 생각을 확장하면 평형 오진법이나 평형 칠진법을 생각할 수 있다). ''a_m''의 값을 -1, 0, 1로 한다. 자릿수 기수법 안에 음수도 포함해 깨끗하게 표현할 수 있다는 성질이 있으며 도널드 크누스처럼 "아마 모든 기수법 중 가장 아름답다"고 말하는 사람도 있다.^[4]^[5] 그러나 이진법 등과 비교해서 응용도 많지 않기 때문에 거의 쓰이지 않는다. 여기에서는 -1을

\bar{1}

로 표시하도록 한다. 또한 이 표기법은 저울로 "1g, 3g, 9g, 27g의 분동을 이용하여 1 ~ 40g의 질량을 재는 방법"과도 비슷하다.

십진법	육진법	일반적인 삼진법	평형삼진법
			양수	음수
0	0	0	$0$
1	1	1	$1$	$\bar{1}$
2	2	2	$1\bar{1}$	$\bar{1}1$
3	3	10	$10$	$\bar{1}0$
4	4	11	$11$	$\bar{1}\bar{1}$
5	5	12	$1\bar{1}\bar{1}$	$\bar{1}11$
6	10	20	$1\bar{1}0$	$\bar{1}10$
7	11	21	$1\bar{1}1$	$\bar{1}1 \bar{1}$
8	12	22	$10\bar{1}$	$\bar{1}01$
9	13	100	$100$	$\bar{1}00$

4. 활용

특정 아날로그 논리 회로에서는 회로의 상태를 삼진법으로 표현하는 경우가 많다. 이는 CMOS 회로에서 가장 일반적으로 볼 수 있으며, 토템폴 출력을 사용하는 트랜지스터-트랜지스터 논리에서도 볼 수 있다. 출력은 저(접지), 고, 또는 개방(하이-Z) 중 하나이다.

삼진법은 시어핀스키 삼각형이나 칸토어 집합과 같은 자기 유사 구조를 편리하게 전달하는 데 사용될 수 있다. 또한, 삼진법 표현은 칸토어 집합의 구성 방식 때문에 칸토어 집합 및 관련 점 집합을 정의하는 데 유용하다. 칸토어 집합은 1이라는 숫자를 포함하지 않는 삼진법 표현을 갖는 0에서 1 사이의 점들로 구성된다.

잉여 이진 표현의 한 형태인 부호화된 자릿수 표현의 한 형태인 이진 부호화 자릿수 수 체계는 캐리 연산을 제거할 수 있기 때문에 저수준 소프트웨어와 하드웨어에서 정수의 빠른 덧셈을 수행하는 데 사용되기도 한다.

4. 1. 컴퓨터

CMOS 회로 및 트랜지스터-트랜지스터 논리(토템-폴(Totem-Pole) 출력)에서 회로의 상태가 삼진법으로 표현되는 경우가 많다. 출력은 낮거나(접지됨), 높음 또는 열림(하이 Z(High-Z)) 상태를 가진다. 이 구성에서 회로의 출력은 어떤 전압 기준에도 연결되지 않는다. 신호가 일반적으로 특정 기준 또는 전압 레벨로 접지되는 경우, 상태는 개방되어 있고 자체 기준을 제공하기 때문에 고임피던스라고 불린다.

삼진법은 가장 낮은 밑 경제(Radix economy)를 가진 정수의 밑이며, 이진법과 사진법이 그 뒤를 따른다. 이는 자연로그의 밑(''e'')에 근접했기 때문이며, 이러한 효율성으로 인해 일부 컴퓨팅 시스템에 활용되어 왔다. 또한 모든 분기에 간단한 경로를 허용하는 전화 메뉴 시스템과 같은 3가지 옵션 "트리"(Trees)를 나타내는 데에도 사용된다. 난해한 프로그래밍 언어인 말레볼제에서는 삼진법 가상 머신이 사용된다.

컴퓨터 등에서 N진법으로 한 자릿수를 표현·저장하는 비용이 N에 비례한다고 가정하면, 최대값 M까지 표현·저장하는 비용은 ''N'' × log_''N''''M''이다. 이 값은 ''N''이 네이피어 수 ''e''일 때 최소가 되지만, e진법은 일반적인 수의 표현에 적합하지 않다. 근처 정수에서는 2진법과 4진법이 같고, 3진법은 약간 더 작다. 따라서 위 가정 하에서는 3진법 채택이 가장 경제적이지만, 3값 소자는 2값 소자에 비해 다루기 어렵고 드물다. 하지만 균형 삼진법을 사용했던 소련의 컴퓨터 세툰과 같은 예도 있다.

실제로는 하나의 소자로 두 가지 상태(온·오프) 또는 세 가지 상태의 것을 사용하는 것이 일반적이므로, 애초에 가정이 실제와 다르다. 균형 삼진법을 채택한 컴퓨터로는 세툰이 있다.

4. 2. 야구 기록

미국 야구에서는 투구 이닝의 소수 부분을 나타내기 위해 삼진법을 사용한다. 공격 팀은 아웃을 3번 당하면 이닝이 종료되는데, 각 아웃은 수비 이닝의 1/3로 간주되어 '.1'로 표시된다. 예를 들어, 한 투수가 4, 5, 6회를 모두 투구하고 7회에 2아웃을 잡았다면, 그 투수의 투구 이닝은 3.2로 표기된다. 이는 3과 2/3 이닝을 의미하며, 이 경우 숫자의 소수 부분만 삼진법 형태로 작성된다.^[6]^[7]

4. 3. 이진 코드 삼진법

이진법 컴퓨터에서 삼진법을 시뮬레이션하거나 삼진법-이진법 간 인터페이스를 위해 이진화 삼진법(Binary-coded ternary, BCT)이 사용될 수 있다.^[11]^[12] BCT 인코딩은 이진화 십진법(BCD) 인코딩과 유사하다. 삼진법 값 0, 1, 2가 각각 00, 01, 10으로 인코딩된 경우에는 이진화 삼진법과 이진법 사이의 어느 방향으로든 변환은 로그 시간으로 수행될 수 있다.^[13] BCT 연산을 지원하는 C 코드 라이브러리가 있다.^[14]

4. 4. 트라이트

세툰과 같은 일부 삼진법 컴퓨터에서는 '''트라이트(tryte)'''를 6개의 트릿(trit) 또는 약 9.5비트 (사실상의 이진 바이트보다 많은 정보를 담고 있음)로 정의했다.

5. 3치 논리와의 관련성

다치 논리의 일종이자 가장 단순한 형태인 3치 논리와 삼진법은 어떤 면에서는 관련이 있다고 볼 수 있지만, 이 둘을 동일시하는 것은 오류이다. 3치 논리에는 여러 가지 논리 연산이 제안되어 있지만, 이것들이 반드시 기수법으로서의 삼진법(일반적인 삼진법 또는 평형 삼진법)과 대응되는 것은 아니며, 대응시켜야 하는 것도 아니다. 논리 소자·회로로서 3상태 방식을 사용하고, 수의 표현과 수치 계산에 삼진법을 채용한 컴퓨터가 있었다고 해도, 그 컴퓨터가 논리 연산으로서 3치 논리의 논리 연산을 가지는지 여부(혹은 그것이 어떤 논리 체계를 구현한 것인지)는 설계에 따라 달라진다.^[1] (앞서 언급한 소련의 세툰(Setun)에 관하여, 삼진법 회로 방식을 3치 논리라고 해석한 것으로 보이는 해설 등이 있는 경우가 있다.^[1])

참조

_[1] 저널 Research and Development of Trinary Power Cycles 2022
_[2] 웹사이트 A complete beginner's guide to baseball stats: Pitching statistics, and what they mean https://www.blessyou[...] 2020-07-30
_[3] 웹사이트 Stats - Team - Pitching https://www.mlb.com/[...] MLB (Major League Baseball) 2020-07-30
_[4] 서적 The Art of Computer Programming 아스키
_[5] 서적 The Art of Computer Programming Addison Wesley Longman
_[6] 웹인용 A complete beginner’s guide to baseball stats: Pitching statistics, and what they mean https://www.blessyou[...] 2020-07-30
_[7] 웹인용 Stats - Team - Pitching https://www.mlb.com/[...] 2020-07-30
_[8] 저널 On A sequence of cantor Fractals 2006
_[9] 저널 A Different Description of A Family of Middle–α Cantor Sets 2006
_[10] 저널 Hybrid signed–digit number systems: a unified framework for redundant number representations with bounded carry propagation chains http://www.cs.umbc.e[...] 1994
_[11] 저널 Algorithms for Binary Coded Balanced and Ordinary Ternary Operations 1975-02
_[12] 저널 Arithmetic with Binary-Encoded Balanced Ternary Numbers 2013-11-03
_[13] 웹인용 Binary Coded Ternary and its Inverse http://www.cs.uiowa.[...] 2016-06
_[14] 웹인용 Ternary Data Types for C Programmers http://www.cs.uiowa.[...] 2015-12-29
_[15] 서적 Perspectives on Soviet and Russian Computing: First IFIP WG 9.7 Conference, SoRuCom 2006, Petrozavodsk, Russia, July 3—7, 2006, Revised Selected Papers https://books.google[...] Springer 2011-09-06
_[16] 웹인용 Development of ternary computers at Moscow State University http://www.computer-[...] 2010-01-20

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