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철학적 논리학

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목차

1. 개요

철학적 논리학은 철학적 문제에 논리적 방법을 적용하는 분야로, 고전 논리를 확장하거나 수정하여 새로운 논리 체계를 개발하는 연구를 수행한다. 비고전 논리, 논리 체계의 분류, 고전 논리, 확장 논리, 일탈 논리 등을 다루며, 양상 논리, 의무 논리, 시간 논리, 인식 논리, 고차 논리, 직관 논리, 자유 논리, 다치 논리, 반모순 논리, 관련성 논리와 같은 다양한 논리 체계를 탐구한다. 이러한 논리 체계들은 타당한 추론에 대한 연구를 통해 논리적 직관을 형식적으로 표현하며, 진리, 지식, 의무 등과 같은 철학적 개념들을 논리적으로 분석한다.

2. 철학적 논리학의 정의 및 관련 분야

철학적 논리학은 철학적 문제에 논리적 방법을 적용하는 분야이다. 양상 논리, 의무 논리 등 다양한 비고전 논리를 연구하며, 여러 철학적 개념을 논리적으로 명확하게 다룬다. 고전 논리를 확장하거나 수정하여 새로운 논리 체계를 개발하기도 한다.

논리학은 타당한 추론을 연구한다. 추론은 전제에서 결론으로 이어지는 단계를 의미하며, 전제가 참이고 결론이 거짓일 수 없을 때 타당하다. 서로 다른 논리 체계는 다른 추론 규칙을 통해 타당성에 대한 다양한 설명을 제공한다. 철학적 논리학은 고전 논리뿐만 아니라 대안적인 추론 체계인 비고전 논리도 연구한다.

넓은 의미에서 철학적 논리학은 논리의 범위와 본질에 대한 연구를 포함하며, 이는 논리철학과 동일하게 볼 수 있다. 좁은 의미에서는 철학적 문제에 논리적 방법을 적용하는 철학의 한 분야로, 논리철학의 하위 분야이다.

2. 1. 철학적 논리학의 정의

"철학적 논리학"이라는 용어는 여러 이론가들이 약간씩 다르게 사용한다.[2] 이 문서에서 논의하는 좁은 의미로 이해될 때, 철학적 논리학은 철학적 문제에 논리적 방법을 적용하는 것을 연구하는 철학의 한 분야이다. 이는 일반적으로 고전 논리를 새로운 영역으로 확장하거나, 고전 논리로는 제대로 다루어지지 않는 특정 논리적 직관을 포함하도록 수정하기 위해 새로운 논리 체계를 개발하는 형태로 나타난다.[1][2][3][4] 이러한 의미에서 철학적 논리학은 양상 논리, 의무 논리와 같은 다양한 형태의 비고전 논리를 연구한다. 이와 같은 방식으로 가능성, 필연성, 의무, 허용, 시간과 같은 다양한 기본적인 철학적 개념들은 서로 간의 추론적 역할들을 형식적으로 표현함으로써 논리적으로 정확하게 다루어진다.[19][4][2][3]

어떤 이론가들은 철학적 논리학을 더 넓은 의미, 즉 논리의 범위와 본질에 대한 연구로 이해한다. 이러한 관점에서 볼 때, 이는 논리의 기본 개념을 포함하여 논리에 의해 제기되는 다양한 철학적 문제들을 탐구한다. 이러한 더 넓은 의미에서는 논리철학과 동일하게 이해될 수 있다.[16][5][6][2] 현재 문서는 철학적 논리학의 좁은 개념만을 다룬다. 이러한 의미에서 철학적 논리학은 논리철학의 한 분야를 형성한다.[2]

2. 2. 논리학과의 관계

철학적 논리학의 핵심은 논리가 무엇이며, 철학적 논리가 논리에서 어떤 역할을 하는지에 대한 이해이다. 논리는 타당한 추론에 대한 연구로 정의될 수 있다.[4][16][53] 추론은 전제에서 결론으로 나아가는 단계이다.[7] 전제가 참이고 결론이 거짓인 것이 불가능할 때 추론은 타당하며, 이러한 의미에서 전제의 진실성은 결론의 진실성을 보장한다.[8][7][9][2]

서로 다른 논리 체계는 추론이 언제 타당한지에 대한 서로 다른 설명을 제공하며, 이는 그들이 서로 다른 추론 규칙을 사용한다는 것을 의미한다.[4] 타당성에 대한 전통적인 접근 방식은 고전 논리라고 불리지만, 철학적 논리학은 비고전 논리, 즉 대안적인 추론 체계를 연구한다.[1][2][3][4]

비고전 논리를 연구하는 동기는 크게 두 가지로 나눌 수 있다. 첫째, 고전 논리가 너무 좁아 철학적으로 흥미로운 많은 문제들을 제외한다는 관점이다. 이는 추가적인 기호를 사용하여 고전 논리를 확장함으로써 해결할 수 있다.[16][11][10] 둘째, 고전 논리 자체에 결함이 있다고 보고, 추론에 대한 경쟁적인 설명을 제시하려는 관점이다. 이는 일반적으로 일탈 논리의 개발로 이어지며, 각각은 고전 논리의 기본 원리를 수정하여 그들이 주장하는 결함을 수정한다.[16][11][10]

2. 3. 논리철학과의 관계

"철학적 논리학"이라는 용어는 이론가마다 다르게 사용된다.[2] 좁은 의미에서 철학적 논리학은 철학적 문제에 논리적 방법을 적용하는 것을 연구하는 철학의 한 분야이다. 이는 보통 고전 논리를 확장하거나 수정하여 새로운 논리 체계를 개발하는 형태로 나타난다.[1][2][3][4] 이러한 의미에서 철학적 논리학은 양상 논리, 의무 논리와 같은 다양한 비고전 논리를 연구한다. 이를 통해 가능성, 필연성, 의무, 허용, 시간과 같은 기본적인 철학적 개념들을 논리적으로 정확하게 다룬다.[19][4][2][3]

어떤 이론가들은 철학적 논리학을 더 넓은 의미, 즉 논리의 범위와 본질에 대한 연구로 이해한다. 이러한 관점에서 철학적 논리학은 논리의 기본 개념을 포함하여 논리에 의해 제기되는 다양한 철학적 문제들을 탐구하며, 논리철학과 동일하게 이해될 수 있다.[16][5][6][2] 그러나 이 문서는 철학적 논리학의 좁은 개념만을 다루며, 이러한 의미에서 철학적 논리학은 논리철학의 한 분야를 형성한다.[2]

3. 논리 체계의 분류

현대 논리학은 2천 년 이상 유일한 정본으로 여겨졌던 아리스토텔레스 논리학과는 달리, 다양한 논리 체계가 나타나는 급격한 변화를 겪었다.[11][2] 학계에서는 수잔 해크(Susan Haack)의 분류를 따라 고전 논리, 확장 논리, 일탈 논리로 구분하는 경우가 많다.[16][11][12]

고전 논리는 명제 논리와 일차 논리를 포함하며, 가장 일반적인 논리적 직관을 형식화하여 타당한 추론의 기본 공리를 제공한다.[4][53] 확장 논리는 고전 논리의 기본 설명을 받아들이고, 필요성, 의무, 시간 등을 표현하는 새로운 어휘를 추가하여 영역을 확장한다.[11][2][4][53] 반면, 일탈 논리는 고전 논리의 기본 가정 일부를 거부하며, 논리의 법칙에 대한 다른 설명을 제공하는 경쟁 체계로 간주된다.[11][12]

확장 논리와 일탈 논리는 기술적인 관점에서 다르게 구분되기도 한다. 확장 논리는 고전 논리의 모든 잘 형성된 공식과 타당한 추론을 포함하는 반면,[11][12][13] 일탈 논리는 잘 형성된 공식은 같지만, 고전 논리의 일부 타당한 추론을 포함하지 않는다.[11][12][14] 준일탈 논리는 새로운 어휘를 도입하지만 고전 논리의 잘 형성된 공식을 따르며, 고전 논리의 어휘만 사용하는 추론에서 일부 타당한 추론을 포함하지 않는 경우를 의미한다.[11][12] "일탈 논리"라는 용어는 때때로 준일탈 논리도 포함하는 의미로 사용된다.[11]

이러한 다양한 논리 체계는 참된 논리가 하나 이상일 수 있는지, 그리고 이 모든 형식 체계가 실제로 '논리적' 체계를 구성하는지에 대한 철학적 질문을 제기한다.[11][2][4] 이는 특히 퍼지 논리와 같이 고전 논리의 직관에서 크게 벗어나는 일탈 논리의 경우 더욱 그렇다.[11][17][4]

3. 1. 고전 논리

고전 논리는 대부분의 분야에서 사용되는 지배적인 형태의 논리이다.[18] 이 용어는 주로 명제 논리와 1차 논리를 지칭한다.[16] 고전 논리는 배중률, 이중 부정 제거, 폭발 원리와 같은 특정 법칙을 따른다는 특징을 가지며, 이러한 원칙 중 하나 이상을 부정하는 다양한 변칙 논리와 구별된다.[18][11][19]

1차 논리에서, 명제 자체는 술어, 단칭 항, 양화사와 같은 명제 이하의 부분으로 구성된다.[6][21] 단칭 항은 객체를 지칭하고, 술어는 객체의 속성과 객체 간의 관계를 표현한다.[6][22] 양화사는 "어떤 ~에 대해"와 "모든 ~에 대해"와 같은 개념을 형식적으로 다룬다.[23]

3. 2. 확장 논리

확장 논리는 고전 논리의 기본 원리를 수용하면서 새로운 어휘와 추론 규칙을 추가하여 더 넓은 영역을 다룬다.[11][2][4][53] 고전 논리는 명제 논리 및 일차 논리가 가장 일반적인 논리적 직관의 일부를 형식화한다는 생각에 기반하며, 타당한 추론을 지배하는 공리에 대한 기본적인 설명을 구성한다.[4][53] 확장 논리는 이러한 기본적인 설명을 받아들이고, 필요성, 의무, 시간 등을 표현하기 위해 새로운 어휘를 추가하여 추가적인 영역으로 확장한다.[11][2][4][53] 그런 다음 이러한 새로운 기호는 가능성이 필요에서 비롯된다는 것과 같이, 적용되는 새로운 추론 규칙을 명시하여 논리적 메커니즘에 통합된다.[12][11]

확장 논리는 다음 두 가지 조건을 충족한다.[11][12][13]

  • (1) 고전 논리의 모든 잘 형성된 공식은 확장 논리에서도 잘 형성된 공식이다.
  • (2) 고전 논리의 모든 타당한 추론은 확장 논리에서도 타당한 추론이다.


양상 논리, 의무 논리, 시간 논리, 인식 논리 등이 확장 논리에 속한다.

3. 3. 일탈 논리

수잔 해크(Susan Haack)는 자신의 저서에서 고전 논리와 구분되는 논리 체계를 일탈 논리로 분류했다.[16][11][12] 일탈 논리는 고전 논리의 기본적인 가정 중 일부를 거부하는 논리 체계이다.[11][12] 이러한 점에서, 일탈 논리는 고전 논리의 단순한 확장이 아니라 논리의 법칙에 대한 다른 설명을 제공하는 경쟁 체계로 간주된다.[11][12]

일탈 논리는 고전 논리와 동일한 잘 형성된 공식을 사용하지만, 고전 논리에서 타당한 추론 중 일부는 일탈 논리에서 타당하지 않다.[11][12][14]

일탈 논리가 제기하는 철학적 문제 중 하나는 참된 논리가 하나 이상일 수 있는지에 대한 질문이다.[11][2] 마이클 더밋(Michael Dummett)과 같은 철학자는 직관주의 논리가 모든 영역에서 고전 논리를 대체해야 한다고 주장하는 반면,[11][48] 다른 이론가들은 서로 다른 유형의 논리가 서로 다른 영역에 적용될 수 있다고 본다.[11][48]

또한, 이러한 형식 체계가 실제로 '논리적' 체계를 구성하는지에 대한 의문이 제기된다.[2][4] 특히 퍼지 논리와 같이 고전 논리와 관련된 일반적인 논리적 직관에서 크게 벗어나는 일탈 논리의 경우, 이러한 체계가 진정한 논리인지에 대한 논쟁이 있다.[11][17][4]

4. 확장 논리

확장 논리는 고전 논리를 기반으로 다양한 철학적 개념을 다룰 수 있도록 확장한 논리 체계이다.

4. 1. 양상 논리

알레틱 양상 논리는 '가능적으로' 또는 '필연적으로' 참인 것을 표현하는 논리적 형식주의를 제공하여 논리학과 철학에서 큰 영향력을 가지고 있다.[9][53][25][26][27][28][10] 이는 '단순히' 참인 것만을 표현할 수 있는 일차 논리의 확장이다. 이 확장은 가능성을 나타내는 "\Diamond" 기호와 필연성을 나타내는 "\Box" 기호 두 가지를 도입하여 이루어진다. 이 기호들은 명제를 수정하는 데 사용된다. 예를 들어, "W(s)"가 "소크라테스는 현명하다"라는 명제를 나타낼 경우, "\Diamond W(s)"는 "소크라테스가 현명할 수 있다"라는 명제를 표현한다. 이러한 기호들을 논리적 형식주의에 통합하기 위해, 다양한 공리들이 일차 논리의 기존 공리들에 추가된다.[25][26][28] 이들은 추론의 타당성이 이러한 기호들이 포함되어 있다는 사실에 어떻게 의존하는지를 결정함으로써, 이러한 기호들의 논리적 행위를 규정한다. 일반적으로 이는 만약 명제가 필연적이라면 그 부정은 불가능하다는 생각, 즉 "\Box A"는 "\lnot \Diamond \lnot A"와 동치라는 생각을 포함한다. 또 다른 원리는 어떤 것이 필연적이라면, 또한 가능해야 한다는 것이다. 이는 "\Box A"로부터 "\Diamond A"가 따라 나온다는 것을 의미한다.[25][26][28]

양상 논리를 정확히 어떤 공리들이 지배하는지에 대해서는 이견이 있다. 다양한 형태의 양상 논리는 종종 가장 기본적인 시스템인 'K 시스템'과 같은 계층적 시스템으로 제시되는데, K 시스템은 가장 기본적인 공리들만 포함하는 반면, 인기 있는 S5 시스템과 같은 다른 시스템은 이에 추가적인 공리를 포함하여 구축된다.[25][26][28] 이런 의미에서, K 시스템은 일차 논리의 확장인 반면, S5 시스템은 K 시스템의 확장이다. 철학적 논리학 내에서 중요한 논의는 어떤 양상 논리 시스템이 올바른가에 대한 질문과 관련이 있다.[25][26][28] 많은 다양한 추론을 이끌어낼 수 있도록 가능한 가장 강력한 시스템을 갖는 것이 보통 유리하다. 그러나 이것은 이러한 추가적인 추론 중 일부가 특정 경우에서 기본적인 양상적 직관과 모순될 수 있다는 문제를 야기한다. 이는 보통 보다 기본적인 공리 시스템을 선택하도록 동기를 부여한다.[25][26][28]

가능 세계 의미론은 양상 논리에서 매우 영향력 있는 형식 의미론이며, S5 시스템을 동반한다.[25][26][28] 언어의 형식 의미론은 이 언어의 문장이 참 또는 거짓이 되는 조건을 특징짓는다. 형식 의미론은 타당성의 모델 이론적 개념에서 중심적인 역할을 한다.[4][7] 이는 추론이 타당한지 여부에 대한 명확한 기준을 제공할 수 있다. 즉, 추론은 진리 보존적일 경우, 다시 말해, 전제가 참일 때마다 결론도 참일 경우에만 타당하다.[53][7][29] 참인지 거짓인지는 형식 의미론에 의해 명시된다. 가능 세계 의미론은 양상 논리로 표현된 문장의 진리 조건을 가능 세계의 관점에서 명시한다.[25][26][28] 가능 세계는 사물이 어떠했을 수 있는지에 대한 완전하고 일관된 방식이다.[30][31] 이 관점에서, \Diamond 연산자에 의해 수정된 문장은 적어도 하나의 가능 세계에서 참이면 참이고, \Box 연산자에 의해 수정된 문장은 모든 가능 세계에서 참이면 참이다.[25][26][28] 따라서 "\Diamond W(s)" (소크라테스가 현명할 수 있다)라는 문장은 소크라테스가 현명한 세계가 적어도 하나 있기 때문에 참이다. 그러나 "\Box W(s)" (소크라테스가 필연적으로 현명하다)는 소크라테스가 모든 가능 세계에서 현명하지 않기 때문에 거짓이다. 가능 세계 의미론은 양상 논리의 형식 의미론으로서 순환적인 것으로 보이기 때문에 비판을 받아왔다.[6] 그 이유는 가능 세계 자체가 양상적인 용어, 즉 사물이 어떠할 *수* 있었는지의 방식으로 정의되기 때문이다. 이러한 방식으로, 이는 양상적 표현을 포함하는 문장의 진리를 결정하기 위해 양상적 표현을 사용한다.[6]

4. 2. 의무 논리

의무론적 논리는 윤리학 분야로 고전 논리를 확장한다.[32][10][33] 윤리학에서 핵심적인 것은 의무와 허가의 개념, 즉 행위자가 해야 하거나 할 수 있는 행위이다. 의무론적 논리는 일반적으로 이러한 아이디어를 연산자 O와 P로 표현한다.[32][10][33][25] 만약 "J(r)"이 "라미레즈가 조깅을 간다"는 명제를 나타낸다면, "O J(r)"은 라미레즈가 조깅을 해야 할 의무가 있다는 것을 의미하고, "P J(r)"은 라미레즈가 조깅을 할 허가가 있다는 것을 의미한다.

의무론적 논리는 연산자의 논리적 행동을 지배하는 공리가 동일하다는 점에서 진리 양상 논리와 밀접한 관련이 있다. 이것은 의무와 허가가 유효한 추론과 관련하여 필요성과 가능성이 하는 것과 똑같이 작동한다는 것을 의미한다.[32][10][33][25] 이러한 이유로, 때로는 동일한 기호가 연산자로 사용되기도 한다.[34] 진리 양상 논리와 마찬가지로, 의무적 추론을 지배하는 일반적인 직관을 표현하기 위한 올바른 공리 체계가 무엇인지에 대한 철학적 논리학에서의 논의가 있다.[32][10][33] 그러나 이러한 연산자의 의미가 다르기 때문에 여기에서의 논쟁과 반례는 약간 다르다. 예를 들어, 윤리학에서 흔한 직관은 행위자에게 무언가를 해야 할 의무가 있다면 그들은 자동으로 그것을 할 수 있는 허가도 있다는 것이다. 이것은 공리 스키마 "O A \to P A"를 통해 공식적으로 표현될 수 있다.[32][10][33] 철학적 논리학에서 관심 있는 또 다른 문제는 진리 양상 논리와 의무론적 논리의 관계에 관한 것이다. 이와 관련하여 자주 논의되는 원칙은 할 수 있다는 것은 해야 함을 함축한다는 것이다. 이것은 행위자가 무언가를 할 수 있을 경우에만 그것을 할 의무가 있을 수 있다는 것을 의미한다.[35][36] 공식적으로 표현하면: "O A \to \Diamond A".[32]

4. 3. 시간 논리

시간 논리는 시간 관계를 표현하기 위해 논리적 메커니즘을 사용하는 논리 체계이다.[37][10][33][39] 가장 단순한 형태에서 시간 논리는 어떤 일이 한 시점에 일어났다는 것을 표현하는 연산자와 어떤 일이 항상 일어나고 있다는 것을 표현하는 연산자를 포함한다. 이 두 연산자는 인식론적 양상 논리에서 가능성과 필연성에 대한 연산자와 동일하게 동작한다. 과거와 미래의 차이는 인간사에 매우 중요하기 때문에, 이러한 연산자는 종종 이러한 차이를 고려하도록 수정된다. 예를 들어, 아서 프라이어의 시제 논리는 네 개의 연산자 P(그랬었다), F(그럴 것이다), H(항상 그랬었다), G(항상 그럴 것이다)를 사용하여 이 아이디어를 구현한다.[37][10][33][39] 따라서 "런던에 항상 비가 올 것이다"는 "math|G(Rainy(london))"으로 표현할 수 있다. 다양한 공리가 나타나는 연산자에 따라 어떤 추론이 유효한지 제어하는 데 사용된다. 예를 들어, 이 공리에 따르면 "math|G(Rainy(london))"(런던에 항상 비가 올 것이다)에서 "math|F(Rainy(london))"(런던에 언젠가는 비가 올 것이다)을 추론할 수 있다. 더 복잡한 형태의 시간 논리에서는 두 명제를 연결하는 이항 연산자도 정의되어, 어떤 일이 다른 일이 일어날 때까지 계속된다는 것을 표현할 수 있다.[37]

시간 양상 논리는 시간을 단일 항의 형태로 취급하고 술어의 아리티를 하나 증가시킴으로써 고전적인 일차 논리로 번역될 수 있다.[39] 예를 들어, 시제 논리 문장 "math|dark \land P(light) \land F(light)" (어둡고, 빛이 있었고, 다시 빛이 있을 것이다)는 순수 일차 논리로 "math|dark(t_1) \land \exists t_0(t_0 < t_1 \land light(t_0)) \land \exists t_2(t_1 < t_2 \land light(t_2))"로 번역될 수 있다.[38] 비슷한 접근 방식이 물리학에서 자주 보이지만, 논리학자들은 일반적으로 연산자를 통해 시간을 자율적으로 처리하는 방식을 선호한다. 이는 또한 대부분 동사 활용을 통해 사건의 과거 또는 미래를 표현하는 문법을 사용하는 자연 언어와 더 가깝다.[39]

4. 4. 인식 논리

인식 논리는 인식론 분야에 적용된 양상 논리의 한 형태이다.[40][41][33][53] 이는 지식과 믿음의 논리를 포착하는 것을 목표로 한다. 지식과 믿음을 나타내는 양상 연산자는 일반적으로 기호 ''K''와 ''B''를 통해 표현된다. 따라서 ''W(s)''가 "소크라테스는 현명하다"는 명제를 나타낸다면, ''K W(s)''는 "에이전트는 소크라테스가 현명하다는 것을 안다"는 명제를, ''B W(s)''는 "에이전트는 소크라테스가 현명하다고 믿는다"는 명제를 표현한다. 이러한 연산자를 지배하는 공리는 다양한 인식 원리를 표현하기 위해 공식화된다.[33][40][41] 예를 들어, 공리 도식 ''K A → A''는 어떤 것이 알려져 있을 때마다 그것이 참이라는 것을 표현한다. 이는 참인 것만 알 수 있으며, 그렇지 않으면 지식이 아니라 다른 정신 상태라는 생각을 반영한다.[33][40][41] 에이전트가 어떤 것을 알 때, 그들이 그것을 알고 있다는 것도 안다는 사실은 공리 도식 ''K A → KK A''로 표현될 수 있다.[33][40][41] 지식과 믿음을 연결하는 추가 원칙은 지식이 믿음을 함축한다는 것이다. 즉, ''K A → B A''이다. 동적 인식 논리는 믿음과 지식의 변화가 발생하는 상황에 초점을 맞춘 인식 논리의 별개의 형태이다.[42]

4. 5. 고차 논리

고차 논리는 양화를 술어에 대해서도 허용하여 일차 논리를 확장한 것이다.[9][24][43][44] 일차 논리에서는 양화가 단일 항으로 제한되어, "어떤 사과가 달콤하다"와 같은 명제를 표현할 수 있다. 반면 고차 논리에서는 "메리와 존이 공유하는 어떤 자질이 있다"와 같이 술어에 대한 양화를 통해 특정 개인이 술어의 일부 또는 전부를 공유하는지 여부를 표현할 수 있다.[9][24][43][44]

이러한 변화로 고차 논리는 일차 논리보다 더 강력한 표현력을 갖는다. 페아노 산술과 체르멜로-프렝켈 집합론과 같이, 다양한 수학 이론을 일차 논리보다 고차 논리에서 훨씬 더 간결하게 표현할 수 있다. 일차 논리에서는 무한히 많은 공리가 필요하지만, 고차 논리에서는 단 몇 개의 공리만으로 표현 가능하다.[9]

그러나 이러한 장점에도 불구하고 일차 논리가 고차 논리보다 훨씬 널리 사용된다. 고차 논리가 불완전성을 띠기 때문이다.[9] 즉, 고차 논리로 공식화된 이론에서는 해당 이론과 관련된 모든 참 문장을 증명하는 것이 불가능하다.[4] 또한, 고차 논리는 존재론적 약속과 관련된 단점을 갖는다. 존재 양화사가 적용되는 개체에 대한 존재론적 약속을 수반한다는 주장이 제기된다.[53][45][46][47] 일차 논리에서는 개별 개체에만 해당되어 문제가 없지만, 고차 논리에서는 속성과 관계에도 양화가 적용된다.[53][24][16] 이는 고차 논리가 플라톤주의, 즉 개별 개체 외에 보편적인 속성과 관계가 존재한다는 견해를 수반한다는 의미로 해석되기도 한다.[9][43]

5. 일탈 논리

일탈 논리는 고전 논리의 기본 가정을 따르지 않는 다양한 논리 체계를 포괄하는 용어이다. 이러한 논리 체계들은 기존 논리 체계의 문제점을 해결하거나 새로운 관점을 제시하기 위해 등장하였다.

5. 1. 직관 논리

직관 논리는 고전 논리보다 제한적인 논리 체계이다.[48][49][10] 고전 논리에서 사용되는 특정 추론 규칙이 직관 논리에서는 유효하지 않기 때문이다. 특히 배중률과 이중 부정 제거가 그러하다.[48][49][10] 배중률은 모든 문장에 대해 해당 문장 또는 그 부정 중 하나가 참이라고 말한다. 공식적으로 표현하면 A \lor \lnot A 와 같다. 이중 부정 제거는 어떤 문장이 두 번 부정되지 않으면 참이라는 것을 의미한다. 즉, \lnot \lnot A \to A 이다.[48][10] 이러한 제한 때문에 많은 증명이 더 복잡해지고, 고전 논리에서는 허용되는 일부 증명이 직관 논리에서는 불가능해진다.[49]

고전 논리가 이렇게 수정된 이유는 진리가 증명을 통해 검증되어야 한다는 생각 때문이다. 즉, "참"은 "검증 가능"하다는 의미로 해석된다.[49][10] 원래는 수학 분야에만 적용되었지만, 이후 다른 분야에서도 사용되었다.[48] 이러한 관점에서 배중률은 모든 수학적 문제에 증명 형태의 해답이 있다는 가정을 포함한다. 따라서 직관주의는 이러한 가정을 거부한다.[48][10] 이는 경험되지 않거나 검증을 초월하는 진리가 없다고 말하는 것과 같다.[49] 이러한 의미에서 직관 논리는 일종의 형이상학적 관념론에 의해 동기가 부여된다. 수학에 적용하면, 수학적 대상은 마음속에서 구성되는 정도까지만 존재한다고 할 수 있다.[49]

5. 2. 자유 논리

자유 논리는 고전 논리에서 발견되는 일부 실존적 전제를 거부하는 논리 체계이다.[52][50][51] 고전 논리에서는 모든 특칭 항이 양화 영역의 객체를 지칭해야 하지만,[52] 자유 논리는 "산타클로스"나 "페가수스"처럼 실제 존재하지 않는 대상을 지칭하는 특칭 항, 즉 비지칭 특칭 항을 허용한다.[50] 이는 고유명사뿐만 아니라 정의 기술 및 함수 표현에도 적용된다.[52][51]

자유 논리에서는 "\lnot \exists x (x = santa)" (산타클로스는 존재하지 않는다)와 같은 표현이 참이 될 수 있다.[52] 또한, 고전 논리에서 유효한 추론 형식(예: "Beard(santa)" (산타클로스는 수염이 있다)에서 "\exists x (Beard(x))" (어떤 것이 수염을 가지고 있다)를 추론)이 자유 논리에서는 유효하지 않다.[52]

카렐 람베르트는 "자유 논리"라는 용어를 만들었으며, 자유 논리가 아리스토텔레스 논리가 술어 논리의 일반화인 것처럼 고전 술어 논리의 일반화라고 제안했다.[52]

자유 논리의 중요한 문제는 빈 특칭 항을 포함하는 표현의 진리 값을 결정하는 방법, 즉 자유 논리에 대한 형식 의미론을 공식화하는 것이다.[56] 이 문제에 대한 세 가지 일반적인 접근 방식은 다음과 같다.[51]

  • 음성 의미론: 빈 항을 포함하는 모든 원자 공식이 거짓이라고 주장한다. 예를 들어, "Beard(santa)"는 거짓이다.[56][51]
  • 양성 의미론: 빈 항을 가진 적어도 일부 표현(예: "santa = santa")이 참이 되도록 허용한다. 일부 버전은 존재하지 않는 객체를 위한 두 번째 외부 영역을 도입하기도 한다.[56][51]
  • 중립 의미론: 빈 항을 포함하는 원자 공식이 참도 거짓도 아니라고 주장한다. 이는 종종 3치 논리와 같이 참과 거짓 외에 제3의 진리 값이 도입되는 것으로 이해된다.[56][51][57]

5. 3. 다치 논리

다치 논리는 둘 이상의 진리값을 허용하는 논리 체계이다.[58][10][59] 이는 고전 논리의 핵심 가정 중 하나인 진리 이원론 원칙을 거부한다. 다치 논리의 가장 단순한 형태는 삼치 논리이며, 세 번째 진리값을 포함한다. 예를 들어, 스티븐 콜 클리니의 삼치 논리에서 이 세 번째 진리값은 "정의되지 않음"이다.[58][59] 누엘 벨냅의 사치 논리에 따르면 "참", "거짓", "참도 거짓도 아님", "참이면서 거짓임"의 네 가지 가능한 진리값이 있다. 이는 예를 들어, 어떤 상태가 존재하는지에 대한 정보를 나타내는 것으로 해석될 수 있는데, 즉, 그 상태가 존재한다는 정보, 그 상태가 존재하지 않는다는 정보, 정보 없음, 그리고 상충하는 정보이다.[58] 다치 논리의 가장 극단적인 형태 중 하나는 퍼지 논리이다. 퍼지 논리는 0과 1 사이의 모든 정도에서 진리가 발생하도록 허용한다.[60][58][10] 0은 완전히 거짓에 해당하고, 1은 완전히 참에 해당하며, 그 사이의 값은 어떤 정도의 진리, 예를 들어 약간 참 또는 매우 참에 해당한다.[60][58] 퍼지 논리는 자연어의 모호한 표현을 다루는 데 자주 사용된다. 예를 들어, "페트르(Petr)"가 23세의 사람을 지칭하는 것보다 3세의 사람을 지칭할 때 "페트르는 젊다"는 표현이 더 잘 들어맞는다(즉, "더 참이다").[60] 유한한 수의 진리값을 가진 다치 논리는 고전 논리와 마찬가지로 진리표를 사용하여 논리적 연결사를 정의할 수 있다. 차이점은 더 많은 가능한 입력과 출력을 고려해야 하므로 이러한 진리표가 더 복잡하다는 것이다.[58][59] 예를 들어, 클리니의 삼치 논리에서, 접속사 연산자의 입력이 "참"과 "정의되지 않음"일 경우 출력은 "정의되지 않음"이 된다. 반면에, 입력이 "거짓"과 "정의되지 않음"인 경우에는 "거짓"이 출력된다.[61][59]

5. 4. 반모순 논리

반모순 논리는 모순이 발생해도 전체가 무의미한 상태로 이어지지 않도록 처리할 수 있는 논리 체계이다.[62][10][66] 이는 고전 논리에서 발견되는 폭발 원리를 피함으로써 달성된다. 폭발 원리에 따르면, 모순으로부터 무엇이든 추론될 수 있다. 이것은 고전 논리에서 유효한 두 가지 추론 규칙, 즉 선언지 도입과 선언적 삼단논법 때문에 발생한다.[62][10][66] 선언지 도입에 따르면, 어떤 명제든 참인 명제와 짝을 이룰 때 선언 형태로 도입될 수 있다.[63] 예를 들어 "태양이 달보다 크다"는 것이 사실이므로, "태양이 달보다 크거나 스페인이 우주 토끼에게 지배당한다"는 것을 추론할 수 있다. 선언적 삼단논법에 따르면, 다른 쪽이 거짓인 경우 이러한 선언지 중 하나가 참이라고 추론할 수 있다.[63] 따라서 논리 체계에 이 명제의 부정, 즉 "태양이 달보다 크지 않다"가 포함되어 있다면, "스페인이 우주 토끼에게 지배당한다"는 명제와 같은 이 체계에서 어떤 명제든 추론할 수 있다. 반모순 논리는 폭발 원리에 따른 추론을 무효화하는 다른 추론 규칙을 사용함으로써 이를 피한다.[62][10][66]

반모순 논리를 사용하는 중요한 동기는 진리양립론이다. 진리양립론은 모순이 실수로 이론에 도입되는 것이 아니라, 현실 자체가 모순적이며 이론 내의 모순이 현실을 정확하게 반영하는 데 필요하다는 믿음이다.[66][64][62][65] 반모순 논리가 없다면, 모든 것이 참이면서 거짓이 될 것이므로 진리양립론은 성립할 수 없을 것이다.[65] 반모순 논리는 모순을 전체 시스템을 '폭발'시키지 않고 국소적으로 유지할 수 있게 해준다.[10] 그러나 이러한 조정에도 불구하고 진리양립론은 여전히 매우 논쟁적이다.[66][65] 반모순 논리의 또 다른 동기는, 전체 그룹이 다른 구성원 간의 불일치로 인해 일관성이 없는 믿음을 가질 수 있는 토론 및 그룹 신념에 대한 논리를 제공하는 것이다.[66]

5. 5. 관련성 논리

관련성 논리는 비모순 논리의 한 유형이다. 관련성 논리는 폭발의 원리를 피하는데, 이는 주된 목표는 아니지만 결과적으로 폭발의 원리를 피하게 된다. 관련성 논리는 주로 고전 논리에서 나타나는 물질 조건문의 직관적이지 않은 적용을 피하고자 만들어졌다.[67][10][68] 고전 논리는 물질 조건문을 진리 함수적인 용어로 정의한다. 즉, "p \to q"는 "p"가 참이고 "q"가 거짓일 때만 거짓이고, 그 외의 경우에는 참이다. 이러한 정의에 따르면 "p"와 "q"가 서로 관련이 있는지 여부는 중요하지 않다.[67][10][68] 예를 들어, "모든 레몬이 빨간색이면 시드니 오페라 하우스 안에 모래 폭풍이 있다"는 물질 조건문은 두 명제가 관련이 없더라도 참이다.

이러한 물질 조건문의 사용이 직관적이지 않다는 점은 비형식 논리에서 이러한 추론을 관련성의 오류로 분류하는 것에서도 나타난다. 관련성 논리는 참인 물질 조건문의 선행사가 결과와 관련이 있어야 한다는 요구를 통해 이러한 경우를 피하고자 한다.[67][10][68] 여기서 어려운 점은 관련성은 주로 명제의 내용에 관한 것이지만, 논리는 형식적인 측면만 다룬다는 것이다. 이 문제는 이른바 '변수 공유 원리'를 통해 부분적으로 해결된다. 이 원리는 선행사와 결과가 명제 변수를 공유해야 한다고 명시한다.[67][68][10] 예를 들어, "(p \land q) \to q"는 해당되지만, "(p \land q) \to r"는 해당되지 않는다. 관련성 논리와 밀접하게 관련된 문제는 추론 역시 관련성의 요구를 따라야 한다는 것이다. 즉, 유효한 추론의 전제가 결론과 관련되어야 한다.[67]

참조

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