3치 논리

3. 3치 논리의 필요성 및 동기

3치 논리는 참 또는 거짓으로 표현될 수 없는 명제의 진리값을 표현하기 위해 연구되었다.^[8] 얀 우카시에비치는 결정되지 않은 미래에 대한 명제의 진리값을 표현하기 위해 미래 우연성 문제에 대한 3치 논리를 처음으로 개발했다.^[9][10][11] 브루노 데 피네티는 "어떤 개인이 적어도 주어진 시점에는 [정확한] 응답을 알지 못하는" 경우를 나타내기 위해 세 번째 값을 사용했다.^[12][8] 힐러리 퍼트넘은 물리적으로 결정할 수 없는 값을 표현하기 위해 3치 논리를 사용했다.^[13]

힐러리 퍼트넘은 다음과 같이 3치 논리에 대해 설명한다.

예를 들어, 속도계를 사용하여 자동차의 속도가 이러저러하다는 것을 확인했다면, 그러한 세상에서는 그 순간의 위치에 대한 특정 명제를 확인하거나 반증하는 것이 불가능할 수 있다. 특정 관찰 데이터와 함께 물리 법칙을 참조하여 자동차 위치에 대한 명제가 결코 거짓이거나 참일 수 없다는 것을 알고 있다면, 그 명제를 참 또는 거짓으로 간주하지 않고 "중간"으로 간주하는 것이 타당할 수 있다. 거시적 경험에서 우리가 경험적으로 의미 있는 명제로 간주하는 모든 것이 적어도 잠재적으로 확인 가능하거나 반증 가능한 것처럼 보이기 때문에, 우리는 모든 그러한 명제가 참 또는 거짓이라고 말하는 관례를 선호하지만, 많은 경우에 우리는 어느 쪽인지 모른다.^영어

마찬가지로, 스티븐 콜 클리니는 참 또는 거짓 여부가 "[어떤] 알고리즘으로도 결정할 수 없는" 술어를 표현하기 위해 세 번째 값을 사용했다.^[14][8]

4. 3치 논리의 값 표현

균형 3진법에서 각 숫자는 -1, 0, +1 중 하나의 값을 가진다. 이러한 값은 각각 -, 0, +로 단순화될 수도 있다.^[15] 중복 이진 표현에서는 각 숫자가 -1, 0, 0/1의 값을 가질 수 있다(값 0/1은 두 가지 다른 표현을 가짐). 3진법에서 각 숫자는 0, 1, 2의 값을 갖는 '트릿'(3진수)이다. 기울어진 이진수에서 가장 낮은 유효 자릿수만 2의 값을 가질 수 있으며, 나머지 자릿수는 0 또는 1의 값을 가진다.

이 외에도 다양한 표현 방식이 있는데, 몇 가지 예시는 다음과 같다.

• 참(1), 거짓(2), 알 수 없음/결정 불가능/무관/둘 다(0)^[16]
• 거짓(0), 참(1), 그리고 ?, #, 등과 같은 세 번째 비정수 기호^[17]

5. 3치 논리의 종류

부울 논리는 4개의 단항 연산자를 허용하지만, 삼진 논리에서는 세 번째 값을 추가하여 27개의 단항 연산자를 사용할 수 있다. 마찬가지로 부울 논리는 16개의 이항 연산자를 가지지만, 삼진 논리는 19,683개의 이항 연산자를 가진다. 그러나 모든 연산자에 이름이 붙여지지는 않으며, 기능적으로 완전한 연산자 집합을 사용하여 삼진 논리 연산을 구성할 수 있다.^[18]

3치 논리에는 다양한 체계가 존재하며, 대표적인 체계는 다음과 같다.

• 클리니 & 프리에스트 논리:
• 진리값: F(거짓), U(알 수 없음), T(참)
• 클리니 논리: U는 참도 거짓도 아닌 값.
• 프리에스트 논리: U는 참이자 거짓인 값.
• 클리니 논리는 T만 지정된 진리값, 프리에스트 논리는 T와 U 모두 지정된 진리값.
• 논리 연산:

• 숫자값 기반 3치 논리:
• 진리값: -1(거짓), 0(알 수 없음), +1(참)
• 논리 연산:

• 위 연산은 산술 연산 또는 최소/최대 함수로 표현 가능:

• 클리니 논리의 재료 함축:
• $A\; \backslash rightarrow\; B\; \backslash \; \backslash overset\{\backslash underset\{\backslash mathrm\{def\}\}\{\}\}\{=\}\; \backslash \; \backslash mbox\{OR\}\; (\; \backslash \; \backslash mbox\{NOT\}(A),\; \backslash \; B\; )$

• 우카시에비치 논리와는 다름.

• 기타 3치 논리:
• 포스트의 3치 논리: not(a) = (a + 1) mod 3으로 정의되는 단항 연산을 가짐.
• RM3 논리: 약화 공리(Weakening|위크닝^영어)가 없음.
• HT 논리 (여기-저기 논리, 스메타노프 논리, 괴델 G3 논리): 1930년 헤이팅이 직관주의 논리 연구를 위해 도입.^[21]

5. 1. 우카시에비치의 3치 논리

• v(T) = 1
• v(F) = 0
• v(I) = 0.5
• v(A) = v(B) ↔ A = B

• v(A & B) = min(v(A), v(B))
• v(A ∨ B) = max(v(A), v(B))
• v(¬A) = 1 - v(A)
• v(A → B) = min(1, 1 - v(A) + v(B))

우카시에비치의 3치 논리에서는 배중률(A ∨ ¬A)과 무모순율(¬(A ∧ ¬A))이 성립하지 않는다.

이 3치 논리는 러셀의 역설을 해결할 수 있다는 장점이 있다. 러셀의 역설에서 X = {x | x ∉ x}라는 집합을 정의했을 때, X ∈ X = I라고 하면 모순이 발생하지 않는다.

하지만 우카시에비치의 3치 논리는 모사오쿠이의 역설^[25]과 같은 새로운 역설을 야기한다. 모사오쿠이의 역설은 X = {x | x ∈ x → ¬(x ∈ x)}라는 집합을 정의했을 때, X ∈ X의 진리값이 T, F, I 중 어떤 값을 가져도 모순이 발생한다는 것이다.

5. 1. 1. 무한값 논리

5. 2. 클리니의 3치 논리

클리니의 3치 논리는 인 것을 제외하면 우카셰비치의 3치 논리와 유사하다.

이 라는 정의는 종종 비판을 받는다. 이는 라고 했을 때, 가 되어 고전 논리학에서 항진명제로 여겨졌던 가 성립하지 않기 때문이다. 실제로 이 식은 "가 미정의라면 는 미정의이다"라는 것을 의미하며, 이를 참으로 하지 않는 것은 직관에 반한다고 할 수 있다.

클리니의 3치 논리는 SQL 등에도 응용되고 있으며, SQL에서는 비교식에 NULL이 들어간 경우, 참 (true^영어)도 거짓 (false^영어)도 아닌 불명 (unknown^영어)이라는 값을 반환한다.

5. 3. 보흐바르의 3치 논리

보흐바르는 이 3치 논리에 명제 연산자 T^영어를 추가했으며, T^영어는 다음과 같다.

이 3치 논리에서는 "이 문장은 거짓이다"와 같은 명제의 진리값을 M^영어으로 했을 때, 거짓말쟁이의 역설은 일어나지 않게 된다. 그러나 다음과 같은 강화된 거짓말쟁이 문장 (strengthened liar sentence^영어)의 경우 역시 역설이 발생한다.

# 이 문장은 거짓(F^영어)이거나 무의미(M^영어)하다.

5. 4. 포스트의 3치 논리

5. 5. RM3 논리

RM3는 비-데카르트 대칭 모노이드 닫힌 범주이다. 함의에 대한 왼쪽 인접자(left-adjoint)인 곱에는 유효한 사영이 없고, U를 모노이드 항등원으로 가집니다.

이 논리는 대우(contrapositive)를 따르는 "이상적인" 반모순 논리와 동일하다.

5. 6. HT 논리 (여기-저기 논리, 스메타노프 논리, 괴델 G3 논리)

이는 직관주의 논리의 공리에 (¬''q'' → ''p'') → (((''p'' → ''q'') → ''p'') → ''p'') 또는 ''p''∨(¬''q'')∨(''p'' → ''q'') 중 하나를 추가하거나 연산에 대한 명시적인 진리표를 통해 정의할 수 있습니다. 특히, 결합과 분리는 클레이니 논리 및 루카셰비츠 논리와 동일하며, 부정이 다릅니다.

HT 논리는 중간 논리 격자에서 유일한 코원자입니다. 이러한 의미에서 고전 논리 다음으로 "두 번째로 강력한" 중간 논리로 볼 수 있습니다.

6. 컴퓨터 과학과의 관련성

3진 논리는 컴퓨터 분야와 깊이 관련되어 있다.

2진법을 채택한 현대 컴퓨터는 트랜지스터의 ON/OFF, 전압의 HIGH/LOW 등 2개의 상태를 이용하여 정보를 표현한다. 이와 달리, 3진 논리를 이용하면 3개의 상태를 이용하여 정보를 표현할 수 있다. 예를 들어, 전압의 HIGH/LOW/MIDDLE, 전류의 흐름/멈춤/역흐름 등으로 나타낼 수 있다. 3진 논리는 2진 논리보다 더 많은 정보를 표현할 수 있으므로, 정보 처리의 효율을 높일 수 있다는 장점이 있다.

3진 논리를 이용한 컴퓨터는 2진법을 사용하는 컴퓨터보다 더 적은 소자로 같은 양의 정보를 처리할 수 있다. 이는 회로의 복잡성을 줄이고, 전력 소비를 절감하며, 계산 속도를 향상시킬 수 있는 가능성을 제시한다.

6. 1. 3진 컴퓨터 개발 시도

참조

_[1] 웹사이트 Trilean (Stanford JavaNLP API) https://nlp.stanford[...] Stanford NLP Group
_[2] 논문 Introduction to a General Theory of Elementary Propositions 1921
_[3] 웹사이트 Peirce's Deductive Logic > Peirce's Three-Valued Logic (Stanford Encyclopedia of Philosophy/Summer 2020 Edition) https://plato.stanfo[...] 2024-05-15
_[4] 웹사이트 Triadic Logic http://www.commens.o[...] 2001
_[5] 웹사이트 Logic : autograph manuscript notebook, November 12, 1865-November 1, 1909 https://iiif.lib.har[...] Houghton Library, Harvard University 1839–1914
_[6] 웹사이트 Logic : autograph manuscript notebook, November 12, 1865-November 1, 1909 https://iiif.lib.har[...] Houghton Library, Harvard University 1839–1914
_[7] 웹사이트 Triadic Logic http://www.digitalpe[...] 2020-07-30
_[8] 논문 Foreword: Three-valued logics and their applications 2014-01-02
_[9] 논문 Three-Valued Logic and Future Contingents https://www.jstor.or[...] 1953
_[10] 논문 The Problem of Future Contingencies https://www.jstor.or[...] 1957
_[11] 논문 Łukasiewicz, determinism, and the four-valued system of logic 2021-05-01
_[12] 논문 The logic of probability (translated) 1995-01-01
_[13] 논문 Three-valued logic 1957-10-01
_[14] 서적 Introduction to metamathematics North-Holland Publishing Co., Amsterdam, and P. Noordhoff, Groningen 1952
_[15] 서적 The Art of Computer Programming Vol. 2 Addison-Wesley Publishing Company
_[16] 논문 Third base http://bit-player.or[...] Sigma Xi, the Scientific Research Society 2001-11
_[17] 서적 The Penguin Dictionary of Mathematics. Fourth Edition. https://books.google[...] Penguin Books
_[18] 문서 Standard Ternary Logic http://homepage.cs.u[...] Douglas W. Jones 2013-02-11
_[19] 문서 Beyond Propositional Logic http://www.uky.edu/~[...]
_[20] 서적 "Many-valued Logic and its Philosophy" https://books.google[...] Elsevier
_[21] 논문 Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik. 1930
_[22] 서적 Multiple valued logic: concepts and representations Morgan & Claypool Publishers
_[23] 문서 Multiple-Valued Logic Synthesis and Optimization http://dl.acm.org/ci[...] Kluwer Academic Publishers
_[24] 논문 On 3-valued logic Oxford University Press 1967
_[25] 논문 Logical paradoxes for many-valued systems https://www.cambridg[...] 1954-03
_[26] 서적 Introduction to Metamathematics Noth Holland Publ. 1952
_[27] 서적 Logics for Artificial Intelligence Ellis Horwood Ltd. 1984
_[28] 논문 On a three-valued logical calculus and its application to the analysis of the paradoxes of the classical extended functional calculus https://doi.org/10.1[...] 1981-01-01