카츠-무디 대수

1. 개요

카츠-무디 대수는 1960년대 후반 빅토르 카츠와 로버트 무디가 독립적으로 발견한 무한 차원 리 대수의 한 종류이다. 카르탕 행렬을 일반화하여 무한 차원 리 대수를 구성하며, 딘킨 도표를 통해 시각적으로 표현할 수 있다. 카츠-무디 대수는 카르탕 행렬의 부호수에 따라 유한 차원 단순 리 대수, 아핀 리 대수, 부정부호 카츠-무디 대수로 분류되며, 단순 및 아핀 리 대수는 완전히 분류되었다. 부정부호 카츠-무디 대수 중 쌍곡선형 카츠-무디 대수는 238개가 있으며, 역시 분류되었다.

2. 역사

캐나다의 로버트 본 무디(Robert Vaughan Moody^영어)와 소비에트 연방의 빅토르 카츠가 1960년대 후반 거의 동시에 독자적으로 카츠-무디 대수를 발견했다.

엘리 카르탕과 빌헬름 킬링은 카르탕 정수로부터 유한 차원 단순 리 대수를 구성하였으나, 이는 유형에 따라 달랐다. 1966년 장피에르 세르는 클로드 슈발레와 하리쉬-찬드라의 관계가 네이선 제이콥슨에 의해 단순화되면서 리 대수를 정의하는 표현을 제공한다는 것을 보였다. 이를 통해 단순 리 대수를 카르탕 정수 행렬을 사용하여 생성자와 관계식으로 설명할 수 있었으며, 이 행렬은 양의 정부호였다.

1967년, 빅토르 카츠와 로버트 무디는 카르탕 행렬의 조건을 완화하면 무한 차원 리 대수를 얻을 수 있음을 발견했다. 로버트 무디는 카르탕 행렬이 더 이상 양의 정부호가 아닌 리 대수를 고려했고, 이는 무한 차원 리 대수였다. 이와 거의 동시에, I. L. 칸토르는 Z 등급 리 대수를 연구하면서 카츠-무디 대수의 일반적인 클래스를 도입했다. 빅토르 카츠는 다항식 성장을 갖는 단순 또는 거의 단순한 리 대수를 연구하여 무한 차원 리 대수의 이론 발전에 기여했다.

3. 정의

카츠-무디 대수 $(A,\backslash mathfrak\; h,\backslash \{(\backslash alpha\_i,\backslash alpha^\backslash vee\_i)\backslash \}\_\{i\backslash in\backslash \{1,2,\backslash dots,n\backslash \}\})$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

* $A\backslash in\backslash operatorname\{Mat\}(n;\backslash mathbb\; Z)$는 정수 성분의 $n\backslash times\; n$ 정사각 행렬이며, 그 계수는 $r$이다. 이를 (일반화) 카르탕 행렬(一般化Cartan行列, (generalized) Cartan matrix^영어)이라고 한다.
* $\backslash mathfrak\; h$는 $2n-r$차원 복소수 벡터 공간이다. 이를 카르탕 부분 대수(Cartan部分代數, Cartan subalgebra^영어)라고 한다.
* $\backslash alpha\_1,\backslash dots,\backslash alpha\_n\backslash in\backslash mathfrak\; h^*$은 $n$개의 선형 독립 벡터이며, $\backslash alpha^\backslash vee\_1,\backslash dots,\backslash alpha^\backslash vee\_n\backslash in\backslash mathfrak\; h$는 $n$개의 선형 독립 벡터이다. $\backslash alpha\_i$를 단순근(單純根, simple root^영어), $\backslash alpha^\backslash vee\_i$를 단순쌍대근(單純雙對根, simple coroot^영어)이라고 한다.

이들은 다음 조건을 만족시켜야 한다.

* 모든 $i,j\backslash in\backslash \{1,2,\backslash dots,n\backslash \}$에 대하여, $\backslash alpha\_i(\backslash alpha^\backslash vee\_j)=A\_\{ij\}$
* 모든 $i\backslash in\backslash \{1,2,\backslash dots,n\backslash \}$에 대하여, $A\_\{ii\}=2$
* 모든 $i,j\backslash in\backslash \{1,2,\backslash dots,n\backslash \}$에 대하여, 만약 $i\backslash ne\; j$라면 $A\_\{ij\}\backslash le0$
* 모든 $i,j\backslash in\backslash \{1,2,\backslash dots,n\backslash \}$에 대하여, 만약 $A\_\{ij\}=0$이라면 $A\_\{ji\}=0$

이 경우, 카츠-무디 대수 $\backslash mathfrak\; g$는 $\backslash mathfrak\; h$ 및 생성원 $e\_1,\backslash dots,e\_n$, $f\_1,\backslash dots,f\_n$으로 생성되며, 다음과 같은 리 괄호를 갖는 복소수 리 대수이다.

:$[h,h\text{'}]=0\backslash qquad\backslash forall\; h,h\text{'}\backslash in\backslash mathfrak\; h$
:$[h,e\_i]=\backslash alpha\_i(h)e\_i\backslash qquad\backslash forall\; h\backslash in\backslash mathfrak\; h,\backslash ;i\backslash in\backslash \{1,\backslash dots,n\backslash \}$
:$[h,f\_i]=-\backslash alpha\_i(h)f\_i\backslash qquad\backslash forall\; h\backslash in\backslash mathfrak\; h,\backslash ;i\backslash in\backslash \{1,\backslash dots,n\backslash \}$
:$[e\_i,f\_i]=\backslash delta\_\{ij\}\backslash alpha\_i^\backslash vee\backslash qquad\backslash forall\; i,j\backslash in\backslash \{1,\backslash dots,n\backslash \}$
:$\backslash overbrace\{[e\_i,[e\_i,\backslash cdots,[e\_i,\}^\{1-A\_\{ij\}\}e\_j]\backslash cdots]]=\backslash overbrace\{[f\_i,[f\_i,\backslash dots,[f\_i,\}^\{1-A\_\{ij\}\}f\_j]\backslash cdots]]=0\backslash qquad\backslash forall\; i\backslash ne\; j$

여기서 $(e\_i,f\_i)$를 슈발레 생성원(Chevalley generator^영어)라고 한다.

만약 카츠-무디 대수 $\backslash mathfrak\; g$의 카르탕 행렬 $A$에 대하여, $A=DS$인 대각 행렬 $D\backslash in\backslash operatorname\{Mat\}(n;\backslash mathbb\; Z)$와 대칭 행렬 $S\backslash in\backslash operatorname\{Mat\}(n;\backslash mathbb\; R)$가 존재한다면, $\backslash mathfrak\; g$를 대칭화 가능 카츠-무디 대수(symmetrizable Kač–Moody algebra^영어)라고 한다.

카츠-무디 대수 $\backslash mathfrak\; g$의 계수(rank^영어) $\backslash operatorname\{rank\}\backslash mathfrak\; g$는 그 카르탕 행렬의 계수 $r=\backslash operatorname\{rank\}A$와 같다.

실수 (무한 차원일 수 있음) 리 대수도 그 복소화가 카츠-무디 대수이면 카츠-무디 대수로 간주된다.

주어진 $n\; \backslash times\; n$ 일반화된 카르탕 행렬의 계수가 r이라고 가정하자. 이러한 $C$에 대해 동형 사상까지 유일한 실현이 존재하는데, 이는 $(\backslash mathfrak\{h\},\; \backslash \{\backslash alpha\_i\backslash \}\_\{i\; =\; 1\}^n,\; \backslash \{\backslash alpha\_i^\backslash vee\backslash \}\_\{i\; =\; 1\}^n,$)과 같은 삼중항이며, 여기서 $\backslash mathfrak\{h\}$는 복소 벡터 공간이고, $\backslash \{\backslash alpha\_i^\backslash vee\backslash \}\_\{i\; =\; 1\}^n$은 $\backslash mathfrak\{h\}$의 원소의 부분 집합이며, $\backslash \{\backslash alpha\_i\backslash \}\_\{i\; =\; 1\}^n$은 쌍대 공간 $\backslash mathfrak\{h\}^*$의 부분 집합으로 다음 세 가지 조건을 만족한다.

# 벡터 공간 $\backslash mathfrak\{h\}$의 차원은 2n − r이다.
# 집합 $\backslash \{\backslash alpha\_i\backslash \}\_\{i\; =\; 1\}^n$과 $\backslash \{\backslash alpha\_i^\backslash vee\backslash \}\_\{i\; =\; 1\}^n$는 선형 독립이고
# 모든 $1\; \backslash leq\; i,\; j\; \backslash leq\; n$에 대해, $\backslash alpha\_i\backslash left(\backslash alpha\_j^\backslash vee\backslash right)\; =\; c\_\{ji\}$이다.

$\backslash alpha\_i$는 반 단순 리 대수의 단순 근과 유사하며, $\backslash alpha\_i^\backslash vee$는 단순 코근과 유사하다.

그런 다음 $C$에 연관된 카츠-무디 대수를 생성원 $e\_i$와 $f\_i\; \backslash left(i\; \backslash in\; \backslash \{1,\; \backslash ldots,\; n\backslash \}\backslash right)$ 및 $\backslash mathfrak\{h\}$의 원소와 다음 관계에 의해 정의되는 리 대수 $\backslash mathfrak\{g\}\; :=\; \backslash mathfrak\{g\}(C)$로 정의한다.

*$\backslash left[h,\; h\text{'}\backslash right]\; =\; 0\backslash$ for $h,h\text{'}\; \backslash in\; \backslash mathfrak\{h\}$;
*$\backslash left[h,\; e\_i\backslash right]\; =\; \backslash alpha\_i(h)e\_i$, for $h\; \backslash in\; \backslash mathfrak\{h\}$;
*$\backslash left[h,\; f\_i\backslash right]\; =\; -\backslash alpha\_i(h)f\_i$, for $h\; \backslash in\; \backslash mathfrak\{h\}$;
*$\backslash left[e\_i,\; f\_j\backslash right]\; =\; \backslash delta\_\{ij\}\backslash alpha\_i^\backslash vee$, where $\backslash delta\_\{ij\}$는 크로네커 델타이다.
*만약 $i\; \backslash neq\; j$ (따라서 $c\_\{ij\}\; \backslash leq\; 0$)이면 $\backslash textrm\{ad\}(e\_i)^\{1-c\_\{ij\}\}(e\_j)\; =\; 0$이고 $\backslash operatorname\{ad\}(f\_i)^\{1-c\_\{ij\}\}(f\_j)\; =\; 0$이며, 여기서 $\backslash operatorname\{ad\}:\; \backslash mathfrak\{g\}\backslash to\backslash operatorname\{End\}(\backslash mathfrak\{g\}),\backslash operatorname\{ad\}(x)(y)\; =\; [x,\; y],$는 $\backslash mathfrak\{g\}$의 수반 표현이다.

카츠-무디 리 환을 정의하려면 먼저 다음을 부여한다.

# 계수가 r인 n × n 일반화 카르탕 행렬.
# 복소수체 위에서 2n − r 차원의 벡터 공간 $\backslash mathfrak\{h\}.$
# $\backslash mathfrak\{h\}$의 n개의 선형 독립인 원소 $\backslash alpha\_i^\backslash vee\backslash$의 집합과, 쌍대 공간 $\backslash mathfrak\{h\}^*$의 n개의 선형 독립인 원소 $\backslash alpha\_i$의 집합으로서, $\backslash alpha\_i(\backslash alpha\_j^\backslash vee)\; =\; c\_\{ji\}$를 만족하는 것.$\backslash alpha\_i$는 반단순 리 환의 단순 루트의 유사이며, $\backslash alpha\_i^\backslash vee$는 단순 코루트의 유사이다.

그러면 카츠-무디 리 환은, $e\_i,\backslash ,f\_i\backslash ;(i\; \backslash in\; \backslash \{1,\backslash ldots,n\backslash \})$와 $\backslash mathfrak\{h\}$의 원소를 생성원으로 하고, 다음 관계식으로 정의되는 리 환 $\backslash mathfrak\{g\}$이다.

*$[h,h\text{'}]\; =\; 0\backslash text\{\; for\; \}h,h\text{'}\; \backslash in\; \backslash mathfrak\{h\};$
*$[h,e\_i]\; =\; \backslash alpha\_i(h)e\_i\backslash text\{\; for\; \}h\; \backslash in\; \backslash mathfrak\{h\};$
*$[h,f\_i]\; =\; -\backslash alpha\_i(h)f\_i\backslash text\{\; for\; \}h\; \backslash in\; \backslash mathfrak\{h\};$
*$[e\_i,f\_j]\; =\; \backslash delta\_\{ij\}\backslash alpha\_i^\backslash vee,$ 단, $\backslash delta\_\{ij\}$는 크로네커 델타이다；
* i ≠ j (따라서 ≤ 0)일 때, $\backslash operatorname\{ad\}(e\_i)^\{1-c\_\{ij\}\}(e\_j)\; =\; 0$이고 $\backslash operatorname\{ad\}(f\_i)^\{1-c\_\{ij\}\}(f\_j)\; =\; 0.$ 여기서, $\backslash operatorname\{ad\}\backslash colon\backslash mathfrak\{g\}\backslash to\backslash operatorname\{End\}(\backslash mathfrak\{g\}),\backslash ,\backslash operatorname\{ad\}(x)(y)=[x,y]$는 $\backslash mathfrak\{g\}$의 수반 표현이다.

실리 환 (무한 차원이어도 좋다)도, 복소화가 카츠-무디 리 환이면, 카츠-무디 리 환으로 간주할 수 있다.

3.1. 근계 (Root system)

카츠-무디 대수 $\backslash mathfrak\; g$의 근(根, root^영어)은 카르탕 부분 대수 $\backslash mathfrak\; h$의 쌍대 공간의 원소 $\backslash lambda\backslash in\backslash mathfrak\; h^*\backslash setminus\backslash \{0\backslash \}$이며, $x\backslash in\backslash mathfrak\; g\backslash setminus\backslash \{0\backslash \}$에 대하여 $[h,x]=\backslash lambda(h)x\backslash qquad\backslash forall\; h\backslash in\backslash mathfrak\; h$를 만족하는 벡터 $x$를 $\backslash lambda$의 근 벡터(根vector, root vector^영어)라고 한다. $\backslash mathfrak\; g$의 모든 근들의 집합은 $\backslash Delta\backslash subset\backslash mathfrak\; h^*$이다.

$\backslash mathfrak\; g$의 근 $\backslash lambda\backslash in\backslash Delta$에 대응하는 근공간(root space^영어) $\backslash mathfrak\; g\_\backslash lambda$은 $\backslash lambda$에 대응하는 모든 근 벡터들의 집합이다. 즉, $\backslash mathfrak\; g\_\backslash lambda=\backslash \{x\backslash in\backslash mathfrak\; g\backslash colon\; \backslash forall\; h\backslash in\backslash mathfrak\; h\backslash colon[h,x]=\backslash lambda(h)x\backslash \}$이며, 복소수 벡터 공간을 이룬다.

카츠-무디 대수 $\backslash mathfrak\; g$는 복소수 벡터 공간으로서 $\backslash mathfrak\; g=\backslash mathfrak\; h\backslash oplus\_\{\backslash lambda\backslash in\backslash Delta\}\backslash mathfrak\; g\_\backslash lambda$와 같은 직합으로 나타내어진다. 모든 근 $\backslash lambda$는 단순근들의 정수 계수 선형 결합이며, 모든 계수들은 모두 양의 정수이거나 모두 음의 정수이다.
:$\backslash lambda=\backslash sum\_\{i=1\}^nz\_i\backslash alpha\_i\backslash qquad(z\_1,\backslash dots,z\_n\backslash in\backslash mathbb\; Z,\backslash ;\backslash operatorname\{sgn\}z\_1=\backslash cdots=\backslash operatorname\{sgn\}z\_n\backslash ne0)$
이 경우, 모두 양의 정수 계수들로 나타내어지는 근을 양근(陽根, positive root^영어), 모두 음의 정수 계수들로 나타내어지는 근을 음근(陰根, negative root^영어)이라고 한다.

모든 단순근 $\backslash alpha\_i$는 양근이며, $-\backslash alpha\_i$는 음근이다. $e\_i$ 및 $f\_i$는 각각 대응하는 단순근 또는 그 반대 벡터의 근공간에 속한다.
:$e\_i\backslash in\backslash mathfrak\; g\_\{\backslash alpha\_i\}$
:$f\_i\backslash in\backslash mathfrak\; g\_\{-\backslash alpha\_i\}$
카츠-무디 대수 $\backslash mathfrak\; g$의 근 $\backslash alpha\backslash in\backslash Delta(\backslash mathfrak\; g)$는 바일 군의 작용을 통해 다음과 같이 분류된다.
* 만약 $w(\backslash alpha)$가 단순근인 바일 군 원소 $w\backslash in\; W(\backslash mathfrak\; g)$가 존재한다면, $\backslash alpha$를 실근(實根, real root^영어)이라고 한다.
* 실근이 아닌 근을 허근(虛根, imaginary root^영어)이라고 한다.

3.2. 딘킨 도표 (Dynkin diagram)

카츠-무디 대수는 딘킨 도표(Дынкин圖表, Dynkin diagram^영어)로 나타낼 수 있다. 이는 그래프의 일종이다. 카르탕 행렬 $A\backslash in\backslash operatorname\{Mat\}(n;\backslash mathbb\; Z)$에 대응하는 딘킨 도표는 다음과 같다.

* 딘킨 도표의 꼭짓점은 $n$개가 있으며, $1,\backslash dots,n$에 대응한다. 즉, 각 단순근에 대응한다.
* $i\backslash ne\; j$일 때, 두 꼭짓점 $i,j$ 사이의 변의 수는 $A\_\{ij\}A\_\{ji\}$이다.
* 만약 $A\_\{ij\}\backslash le-2$라면, $i$와 $j$ 사이의 변에 $i$로 향하는 화살표를 그린다.

4. 분류

카츠-무디 대수는 일반화된 카르탕 행렬의 부호수에 따라 분류된다. 카르탕 행렬 $A$는 대각 행렬과 대칭 행렬의 곱 $A=DS$로 나타낼 수 있으며, 이 $S$의 부호수에 따라 다음과 같이 분류한다.

* $S$가 양의 정부호이면, 해당 카츠-무디 대수는 유한 차원 단순 리 대수이다.
* $S$가 양의 준정부호이지만 양의 정부호가 아닐 경우, 해당 카츠-무디 대수는 아핀 리 대수이다.
* $S$가 부정부호이면, 해당 카츠-무디 대수는 부정부호 카츠-무디 대수이다.
* $S$는 음의 정부호이거나 음의 준정부호일 수 없다.

단순 리 대수 및 아핀 리 대수는 완전히 분류되었다. 부정부호 카츠-무디 대수 가운데 쌍곡선형 카츠-무디 대수는 총 238개가 있으며, 역시 완전히 분류되었다. 그러나 단순 리 대수, 아핀 리 대수, 쌍곡 카츠-무디 대수가 아닌 것들은 아직 잘 알려지지 않았다. 부정형 타입의 카츠-무디 대수에 해당하는 군은 자크 티츠(Jacques Tits)에 의해 임의의 체 위에서 구성되었다.

카츠-무디 대수의 분류는 분해 불가능한 행렬 C를 고려하는 것으로 충분하다. 일반화된 카르탕 행렬을 분해하면 해당 카츠-무디 대수의 직합 분해가 이루어진다.

:$\backslash mathfrak\{g\}(C)\; \backslash simeq\; \backslash mathfrak\{g\}\backslash left(C\_1\backslash right)\; \backslash oplus\; \backslash mathfrak\{g\}\backslash left(C\_2\backslash right),$

대칭화 가능 카츠-무디 대수는 대칭화 가능 일반화된 카르탕 행렬 C에 해당하며, DS로 분해될 수 있다. 여기서 D는 양의 정수 엔트리를 가진 대각 행렬이고 S는 대칭 행렬이다.

부정형 타입의 카츠-무디 대수 중에서, 쌍곡형 타입은 행렬 S가 부정부호이지만 I의 각 고유 부분 집합에 대해 해당 부분 행렬이 양의 정부호 또는 양의 반정부호인 경우이다. 쌍곡형 카츠-무디 대수는 랭크가 최대 10이며, 완전히 분류되었다.

5. 응용

6. 한국과의 관계