코시-비네 공식

1. 개요

코시-비네 공식은 행렬 곱의 행렬식을 계산하는 공식으로, 오귀스탱 루이 코시와 자크 필리프 마리 비네의 이름을 따서 명명되었다. 이 공식은 두 행렬의 곱의 소행렬식에 대한 일반적인 공식으로 확장될 수 있으며, 행렬식의 다중선형성과 반대칭성을 이용하여 증명된다. 코시-비네 공식은 m > n인 경우, 정사각 행렬인 경우, m = 0 또는 m = 1인 경우 등 특수한 경우에 대한 다양한 형태를 가지며, 기하학적으로는 평행육면체의 부피와 관련된 의미를 갖는다. 또한, 코시-비네 공식의 연속 버전은 안드리예프-하이네 항등식으로 알려져 있다.

2. 코시-비네 공식

코시-비네 공식은 두 행렬의 곱의 행렬식에 대한 공식이다.

음이 아닌 정수 $m,\; n,\; p,\; k$가 주어졌고, $m,\; n,\; p\; \backslash ge\; k$라고 하자. $R$이 가환환이고, $M$이 $R$ 위의 $m\; \backslash times\; n$ 행렬, $N$이 $n\; \backslash times\; p$ 행렬이라고 하자. $I\; \backslash subseteq\; \backslash \{1,\; \backslash dots,\; m\backslash \}$는 행의 집합, $J\; \backslash subseteq\; \backslash \{1,\; \backslash dots,\; p\backslash \}$는 열의 집합이고, $|I|\; =\; |J|\; =\; k$라고 하자.

그러면 다음이 성립한다.
:$\backslash det((MN)\_\{I,J\})\; =\; \backslash sum\_\{K\; \backslash subseteq\; \backslash \{1,\; \backslash dots,\; n\backslash \}\}^\{|K|\; =\; k\}\; \backslash det(M\_\{I,K\})\; \backslash det(N\_\{K,J\})$

특히, $m\; =\; p\; =\; k$인 경우, 다음 공식이 성립하며, 이를 코시-비네 공식이라고 한다.
:$\backslash det(MN)\; =\; \backslash sum\_\{K\; \backslash subseteq\; \backslash \{1,\; \backslash dots,\; n\backslash \}\}^\{|K|\; =\; m\}\; \backslash det(M\_\{\backslash \{1,\; \backslash dots,\; m\backslash \},\; K\})\; \backslash det(N\_\{K,\; \backslash \{1,\; \backslash dots,\; m\backslash \}\})$

예를 들어 $m\; =\; 2$ 이고 $n\; =\; 3$ 이며, 행렬이 다음과 같다고 하자.
:,

그러면 코시-비네 공식은 다음과 같이 행렬식을 계산한다.

:$$
\det(AB)=
\left|\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right|
\cdot
\left|\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right|
+
\left|\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right|
\cdot
\left|\begin{matrix}3&1\\0&2\end{matrix}\right|
+
\left|\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right|
\cdot
\left|\begin{matrix}1&1\\0&2\end{matrix}\right|.


실제로 이며, 그 행렬식은 공식의 우변에서 $-2\; \backslash times\; -2\; +\; -3\; \backslash times\; 6\; +\; -7\; \backslash times\; 2$와 같은 $-28$이다.

2.1. 정의

음이 아닌 정수 $m,n,p,k$가 주어졌고, $m,n,p\backslash ge\; k$라고 하자. $R$은 가환환이고, $M$은 $R$ 위의 $m\backslash times\; n$ 행렬, $N$은 $n\backslash times\; p$ 행렬이다. $I\backslash subseteq\backslash \{1,\backslash dots,m\backslash \}$는 행의 집합, $J\backslash subseteq\backslash \{1,\backslash dots,p\backslash \}$는 열의 집합이며, $|I|=|J|=k$이다.

그렇다면 다음이 성립한다.
:$\backslash det((MN)\_\{I,J\})=\backslash sum\_\{K\backslash subseteq\backslash \{1,\backslash dots,n\backslash \}\}^\{|K|=k\}\backslash det(M\_\{I,K\})\backslash det(N\_\{K,J\})$

특히, $m=p=k$인 경우, 다음이 성립하며, 이를 코시-비네 공식이라고 한다.
:$\backslash det(MN)=\backslash sum\_\{K\backslash subseteq\backslash \{1,\backslash dots,n\backslash \}\}^\{|K|=m\}\backslash det(M\_\{\backslash \{1,\backslash dots,m\backslash \},K\})\backslash det(N\_\{K,\backslash \{1,\backslash dots,m\backslash \}\})$

$A$를 $m\backslash times\; n$ 행렬, $B$를 $n\backslash times\; m$ 행렬이라고 하자. $n$을 집합 {1, ..., $n$}으로 표기하고, $\backslash tbinom\{[n]\}m$을 $n$의 $m$-조합의 집합으로 표기한다(즉, 크기가 $m$인 $n$의 부분 집합; $\backslash tbinom\; nm$개가 있다). $S\backslash in\backslash tbinom\{[n]\}m$에 대해, $A$_[$m$],$S$를 $A$의 열이 $S$의 인덱스에 있는 $m\backslash times\; m$ 행렬로, $B$_$S$,[$m$]를 $B$의 행이 $S$의 인덱스에 있는 $m\backslash times\; m$ 행렬로 표기한다. 코시-비네 공식은 다음과 같다.

:$\backslash det(AB)\; =\; \backslash sum\_\{S\backslash in\backslash tbinom\{[n]\}m\}\; \backslash det(A\_\{[m],S\})\backslash det(B\_\{S,[m]\}).$

$n$을 자연수로 하고, 집합 {1, …, $n$}을 $[n]$으로 표기한다. $m$을 음이 아닌 정수로 하고, $A$를 $m\backslash times\; n$ 행렬, $B$를 $n\backslash times\; m$ 행렬로 한다. $S$를 원소의 개수가 $m$인 $[n]$의 부분 집합으로 한다. $A\_S$를, $A$의 $n$개의 열에서 $S$에 포함된 첨자의 열을 추출하여 얻은 $m$차 정사각 행렬, $B^S$를, $B$의 $n$개의 행에서 $S$에 포함된 첨자의 행을 추출하여 얻은 $m$차 정사각 행렬로 한다.

이때 곱 $AB$는 $m\backslash times\; m$ 행렬이 되며, 그 행렬식은
:$\backslash det(AB)\; =\; \backslash textstyle\backslash sum\backslash limits\_\{\backslash scriptstyle\; S\backslash subset[n]\backslash atop\backslash scriptstyle|S|=m\}\; \backslash det(A\_S)\backslash det(B^S)$
이 된다. 단, 총합에 대해, $S$는 $[n]$의 부분 집합 중 원소의 개수가 $m$인 것을 모두 취한다. 또한, $m>n$인 경우에는 우변은 0이다.

예시: $m=2$ 및 $n=3$이고, 행렬
3& 1& -1\\
\end{pmatrix} 및 $B\; =$
\begin{pmatrix}1&1\\3&1\\0&2\end{pmatrix}를 사용하면, 코시-비네 공식은 다음과 같은 행렬식을 제공한다.

:$$
\det(AB)=
\left|\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right|
\cdot
\left|\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right|
+
\left|\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right|
\cdot
\left|\begin{matrix}3&1\\0&2\end{matrix}\right|
+
\left|\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right|
\cdot
\left|\begin{matrix}1&1\\0&2\end{matrix}\right|.


실제로 이며, 그 행렬식은 공식의 우변에서 $-2\; \backslash times\; -2\; +\; -3\; \backslash times\; 6\; +\; -7\; \backslash times\; 2$와 같은 $-28$이다.

2.2. 성분 표현

行列^일본어 성분을 이용하여 나타내면 다음과 같다.

:$A:=\backslash begin\{pmatrix\}$
a_{1,1} &\cdots &a_{1,m} &\cdots &a_{1,n} \\
\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\
a_{m,1} &\cdots &a_{m,m} &\cdots &a_{m,n}
\end{pmatrix}, \quad B:= \begin{pmatrix}
b_{1,1} &\cdots &b_{1,m} \\
\vdots &\ddots &\vdots \\
b_{m,1} &\cdots &b_{m,m} \\
\vdots &\ddots &\vdots \\
b_{n,1} &\cdots &b_{n,m}
\end{pmatrix}

이 공식을 성분으로 나타내면 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$
\begin{vmatrix}
\sum\limits_{k=1}^n a_{1,k} b_{k,1} &\cdots &\sum\limits_{k=1}^n a_{1,k} b_{k,m} \\
\vdots &\ddots &\vdots \\
\sum\limits_{k=1}^n a_{m,k} b_{k,1} &\cdots &\sum\limits_{k=1}^n a_{m,k} b_{k,m}
\end{vmatrix}
&=\textstyle\sum\limits_{1\le k_1 < \cdots < k_m \le n} \begin{vmatrix}
a_{1,k_1} &\cdots &a_{1,k_m} \\
\vdots &\ddots &\vdots \\
a_{m,k_1} &\cdots &a_{m,k_m}
\end{vmatrix} \begin{vmatrix}
b_{k_1,1} &\cdots &b_{k_1,m} \\
\vdots &\ddots &\vdots \\
b_{k_m,1} &\cdots &b_{k_m,m}
\end{vmatrix}
\end{align}

단, 우변의 합은 을 만족하는 정수의 조합 $(k\_1,\; k\_2,\; \backslash dots,\; k\_m)$ 의 모든 경우에 대해 취한다. 또한, $m\; >\; n$의 경우 우변은 $0$ 이다.

2.3. 소행렬식 표현

음이 아닌 정수 $m,n,p,k$에 대하여, $m,n,p\backslash ge\; k$ 이고, $R$이 가환환이며, $M$이 $R$위의 $m\backslash times\; n$ 행렬, $N$이 $n\backslash times\; p$ 행렬이라고 하자. $I\backslash subseteq\backslash \{1,\backslash dots,m\backslash \}$ 가 행의 집합, $J\backslash subseteq\backslash \{1,\backslash dots,p\backslash \}$가 열의 집합이고, $|I|=|J|=k$ 이면, 다음이 성립한다.
:$\backslash det((MN)\_\{I,J\})=\backslash sum\_\{K\backslash subseteq\backslash \{1,\backslash dots,n\backslash \}\}^\{|K|=k\}\backslash det(M\_\{I,K\})\backslash det(N\_\{K,J\})$
특히, $m=p=k$인 경우, 다음이 성립하며, 이를 코시-비네 공식이라고 한다.
:$\backslash det(MN)=\backslash sum\_\{K\backslash subseteq\backslash \{1,\backslash dots,n\backslash \}\}^\{|K|=m\}\backslash det(M\_\{\backslash \{1,\backslash dots,m\backslash \},K\})\backslash det(N\_\{K,\backslash \{1,\backslash dots,m\backslash \}\})$

$A$를 $m\; \backslash times\; n$ 행렬, $B$를 $n\; \backslash times\; m$ 행렬이라고 하자. $[n]$을 집합 $\backslash \{1,\; \backslash dots,\; n\backslash \}$으로 표기하고, $\backslash tbinom\{[n]\}m$을 $[n]$의 $m$-조합의 집합으로 표기한다. 즉, 크기가 $m$인 $[n]$의 부분 집합으로, $\backslash tbinom\; nm$개가 있다. $S\backslash in\backslash tbinom\{[n]\}m$에 대해, $A\_\{[m],S\}$를 $A$의 열이 $S$의 인덱스에 있는 $m\; \backslash times\; m$ 행렬로, $B\_\{S,[m]\}$를 $B$의 행이 $S$의 인덱스에 있는 $m\; \backslash times\; m$ 행렬로 표기한다. 코시-비네 공식은 다음과 같다.

:$\backslash det(AB)\; =\; \backslash sum\_\{S\backslash in\backslash tbinom\{[n]\}m\}\; \backslash det(A\_\{[m],S\})\backslash det(B\_\{S,[m]\}).$

$S$를 원소의 개수가 $m$인 $[n]$의 부분 집합이라 하고, $A\_S$를 $A$의 $n$개의 열에서 $S$에 포함된 첨자의 열을 추출하여 얻은 $m$차 정사각 행렬, $B^S$를 $B$의 $n$개의 행에서 $S$에 포함된 첨자의 행을 추출하여 얻은 $m$차 정사각 행렬로 하면, 곱 $AB$는 $m\; \backslash times\; m$ 행렬이 되며, 그 행렬식은 다음과 같다.
:$\backslash det(AB)\; =\; \backslash textstyle\backslash sum\backslash limits\_\{\backslash scriptstyle\; S\backslash subset[n]\backslash atop\backslash scriptstyle|S|=m\}\; \backslash det(A\_S)\backslash det(B^S)$
여기서 총합은 $S$가 $[n]$의 부분 집합 중 원소의 개수가 $m$인 모든 경우를 취한다. 만약 $m\; >\; n$인 경우에는 우변은 0이다.

다음과 같은 기호
:$A\backslash begin\{pmatrix\}$
i_1 &\cdots &i_l \\
j_1 &\cdots &j_l
\end{pmatrix} \equiv \begin{vmatrix}
a_{i_1,j_1} &\cdots &a_{i_1,j_l} \\
\vdots &\ddots & \vdots \\
a_{i_l,j_1} &\cdots &a_{i_l,j_l}
\end{vmatrix}
를 사용하면
$(AB)\; \backslash begin\{pmatrix\}$
1 &\cdots &m \\
1 &\cdots &m
\end{pmatrix} = \textstyle\sum\limits_{1\le k_1 < \cdots < k_m \le n} A \begin{pmatrix}
1 &\cdots &m \\
k_1 &\cdots &k_m
\end{pmatrix} B \begin{pmatrix}
k_1 &\cdots &k_m \\
1 &\cdots &m
\end{pmatrix}
이 된다. 여기서 우변의 총합은 을 만족하는 정수의 조합 $(k\_1,\; k\_2,\; \backslash dots,\; k\_m)$의 모든 경우에 대해 합을 취한다. 만약 $m\; >\; n$인 경우에는 우변은 $0$이다.

2.4. 일반화된 크로네커 델타와의 관계

일반화된 크로네커 델타를 사용하면 코시-비네 공식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$$
\delta^{f(1) \dots f(m)}_{g(1) \dots g(m)} = \sum_{k:[m]\to[n] \atop k(1)<\dots\delta^{f(1) \dots f(m)}_{k(1) \dots k(m)}
\delta^{k(1) \dots k(m)}_{g(1) \dots g(m)}.


$n$을 자연수로 하고, 집합 $\backslash \{1,\; \backslash dots,\; n\backslash \}$을 $[n]$으로 표기한다. $m$을 음이 아닌 정수로 하고, $A$를 $m\; \backslash times\; n$ 행렬, $B$를 $n\; \backslash times\; m$ 행렬로 한다. $A\_S$를, $A$의 $n$개의 열에서 $S$에 포함된 첨자의 열을 추출하여 얻은 $m$차 정사각 행렬, $B^S$를, $B$의 $n$개의 행에서 $S$에 포함된 첨자의 행을 추출하여 얻은 $m$차 정사각 행렬로 한다.

이때, 다음 식이 성립한다.

:

여기서 $\backslash delta$는 크로네커 델타이다.

이 식은 다음 식의 일반화된 형태이다.

:$\backslash delta^i\_j\; =\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; \backslash delta^i\_k\; \backslash delta^k\_j\; \backslash quad\; (i\; \backslash in\; [n],\; j\; \backslash in\; [n])$

3. 증명

코시-비네 공식은 여러 방법으로 증명할 수 있다. 이 증명은 라이프니츠 공식에 의해 정의될 수 있는 행렬식의 특정 해석을 사용하지 않고, 행렬식의 행과 열에 대한 다중선형성 및 교환 속성(동일한 행 또는 열이 존재할 경우 0이 됨)만 사용한다. 특히 정방 행렬에 대한 행렬식의 곱셈 속성은 사용되지 않지만(n = m인 경우) 증명된다. 이 증명은 임의의 가환 계수 링에 유효하다.

코시-비네 공식은 다음 두가지 방법을 통해 증명할 수 있다.

* 다중선형성을 이용한 증명
* 반대칭성을 이용한 증명

3.1. 다중선형성을 이용한 증명

행렬식의 다중 선형성과 교환 속성을 이용한 증명은 다음과 같다. 우선, 다음 두 가지 사실을 이용한다.

# 모든 $1\; \backslash leq\; k\backslash leq\; n$에 대해, 다항식 $\backslash det(zI\_n+X)$에서 $z^\{n-k\}$의 계수는 $X$의 $k\backslash times\; k$ 주 소행렬의 합이다.
# 만약 $m\; \backslash leq\; n$이고 $A$가 $m\backslash times\; n$ 행렬이고 $B$가 $n\backslash times\; m$ 행렬이면, $\backslash det(zI\_n+BA)=z^\{n-m\}\backslash det(zI\_m+AB)$이다.

이제, 방정식 $\backslash det(zI\_n+BA)=z^\{n-m\}\backslash det(zI\_m+AB)$에서 $z^\{n-m\}$의 계수를 비교하면, 좌변은 $BA$의 주 소행렬의 합을 제공하고, 우변은 $\backslash det(zI\_m+AB)$의 상수항, 즉 $\backslash det(AB)$를 제공한다. 이는 코시-비네 공식과 같다. 즉,

:$$
\begin{align}
&\det(AB)= \sum_{S\in\tbinom{[n]}m} \det((BA)_{S,S})=\sum_{S\in\tbinom{[n]}m} \det(B_{S,[m]}) \det(A_{[m],S}) \\[5pt]
= {} & \sum_{S\in\tbinom{[n]}m}\det(A_{[m],S}) \det(B_{S,[m]}).
\end{align}


이 공식은 다음 두 단계로 증명할 수 있다.

# 양변이 A의 행과 B의 열에 대해 다중선형성을 가진다는 사실을 이용하여, A의 각 행과 B의 각 열이 1인 하나의 0이 아닌 항목만 갖는 경우로 축소한다.
# A의 행 번호를 0이 아닌 항목의 열 번호로, B의 열 번호를 0이 아닌 항목의 행 번호로 각각 매핑하는 함수 [m] → [n]을 사용하여 해당 경우를 처리한다.

1단계에서는 A의 각 행 또는 B의 열, 그리고 각 m-조합 S에 대해, det(AB) 및 det(A_[m],S)det(B_S,[m])의 값이 실제로 행 또는 열에 선형적으로 의존한다는 것을 보인다. 후자의 경우 행렬식의 다중 선형성에서 바로 알 수 있다. 전자의 경우 A의 행 또는 B의 열에 대한 선형 결합을 수행하면서 나머지는 변경하지 않으면 해당 행 또는 열의 곱 AB에만 영향을 미치며, 동일한 선형 결합을 따른다는 것을 확인해야 한다.

A의 모든 행에 대해 선형성을 통해 코시-비네 공식의 양변을 계산한 다음, B의 모든 열에 대해서도 계산하여 각 행과 열을 표준 기저 벡터의 선형 결합으로 쓸 수 있다. 결과는 여러 번의 합이 되지만, 양변에 대해 동일한 형식을 갖는다. 대응하는 항은 동일한 스칼라 계수(각각은 A와 B의 항목의 곱)를 포함하고, 이 항들은 위에서 설명한 종류의 상수 행렬의 두 가지 다른 표현을 포함한다.

구체적으로, 다중 합은 두 개의 합으로 그룹화할 수 있다. 하나는 A의 각 행 인덱스에 해당하는 열 인덱스를 제공하는 모든 함수 f:[m] → [n]에 대한 것이고, 다른 하나는 B의 각 열 인덱스에 해당하는 행 인덱스를 제공하는 모든 함수 g:[m] → [n]에 대한 것이다. f와 g에 관련된 행렬은 다음과 같다.

:$L\_f=\backslash bigl((\backslash delta\_\{f(i),j\})\_\{i\backslash in[m],j\backslash in[n]\}\backslash bigr)\; \backslash quad\backslash text\{and\}$
\quad R_g=\bigl((\delta_{j,g(k)})_{j\in[n],k\in[m]}\bigr)

여기서 "$\backslash delta$"는 크로네커 델타이며, 증명해야 할 코시-비네 공식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

: $$
\begin{align}
& \sum_{f:[m]\to[n]}\sum_{g:[m]\to[n]}p(f,g)\det(L_fR_g) \\[5pt]
= {} & \sum_{f:[m]\to[n]}\sum_{g:[m]\to[n]} p(f,g) \sum_{S\in\tbinom{[n]}m} \det((L_f)_{[m],S}) \det((R_g)_{S,[m]}),
\end{align}


여기서 p(f,g)는 스칼라 계수 $\backslash textstyle(\backslash prod\_\{i=1\}^mA\_\{i,f(i)\})(\backslash prod\_\{k=1\}^mB\_\{g(k),k\})$를 나타낸다.

2단계에서는 f가 주입적이지 않으면 L_f 및 L_fR_g는 모두 두 개의 동일한 행을 가지며, g가 주입적이지 않으면 R_g 및 L_fR_g는 모두 두 개의 동일한 열을 갖는다. 어느 경우든 항등식의 양변은 0이다.

이제 f와 g가 모두 주입적인 맵 [m] → [n]이라고 가정하면, 오른쪽의 인자 $\backslash det((L\_f)\_\{[m],S\})$는 S = f([m])가 아닌 경우 0이고, 인자 $\backslash det((R\_g)\_\{S,[m]\})$는 S = g([m])가 아닌 경우 0이다. 따라서 f와 g의 이미지가 다르면, 우변은 0이 되고, 좌변도 L_fR_g가 널 행을 갖기 때문에 0이 된다.

f와 g의 이미지가 동일한 경우, 즉 f([m]) = S = g([m])인 경우, 다음을 증명해야 한다.

:$\backslash det(L\_fR\_g)=\backslash det((L\_f)\_\{[m],S\})\backslash det((R\_g)\_\{S,[m]\}).\backslash ,$

h를 [m] → S의 유일한 증가하는 전단사라고 하고, $f=h\backslash circ\backslash pi^\{-1\}$ 및 $g=h\backslash circ\backslash sigma$가 되도록 π,σ를 [m]의 순열이라고 하면, $(L\_f)\_\{[m],S\}$는 π에 대한 순열 행렬이고, $(R\_g)\_\{S,[m]\}$는 σ에 대한 순열 행렬이며, L_fR_g는 $\backslash pi\backslash circ\backslash sigma$에 대한 순열 행렬이다. 순열 행렬의 행렬식은 순열의 부호와 같으므로, 항등식은 부호가 곱셈적이라는 사실에서 성립한다.

증명에서 A의 행과 B의 열 모두에 대해 다중 선형성을 사용하는 것은 필요하지 않다. 둘 중 하나만 사용할 수 있는데, 예를 들어 행렬 곱 L_fB는 B_f([m]),[m]의 행의 순열로 구성되거나(f가 주입적인 경우) 적어도 두 개의 동일한 행을 갖는다는 것을 이용할 수 있다.

행렬식의 다중 선형성에 의해 다음과 같이 전개할 수 있다.

:$\backslash begin\{align\}$
\det(AB) &= \begin{vmatrix}
\sum\limits_{p_1=1}^n a_{1,p_1} b_{p_1,1} &\cdots &\sum\limits_{p_m=1}^n a_{1,p_m} b_{p_m,m} \\
\vdots &\ddots &\vdots \\
\sum\limits_{p_1=1}^n a_{m,p_1} b_{p_1,1} &\cdots &\sum\limits_{p_m=1}^n a_{m,p_m} b_{p_m,m}
\end{vmatrix} \\
&= \textstyle\sum\limits_{p_1=1}^n \cdots \sum\limits_{p_m=1}^n \begin{vmatrix}
a_{1,p_1} &\cdots &a_{1,p_m} \\
\vdots &\ddots &\vdots \\
a_{m,p_1} &\cdots &a_{m,p_m}
\end{vmatrix} \, b_{p_1,1} \cdots b_{p_m,m} \\
&= \textstyle\sum\limits_{p:[m]\to[n]} A \begin{pmatrix}
1 &\cdots &m \\
p(1) &\cdots &p(m)
\end{pmatrix}
b_{p(1),1} \cdots b_{p(m),m}
\end{align}

여기서 p는 {1, …, m}에서 {1, …, n}으로의 사상이다.

행렬식의 반대칭성에 의해 p가 단사인 경우에만 행렬식이 0이 아니므로, $1=p(i)\; =\; k(\backslash pi(i))$로 치환할 수 있다. 여기서 치환 π : [m] → [m]는 m차 대칭군 $\backslash mathfrak\{S\}\_m$의 원소이며, k : [m] → [n]는 i < j ⇒ k(i) < k(j)를 만족하는 함수이다. 이를 통해 다음을 얻는다.

:$\backslash begin\{align\}$
\det (AB)
&= \textstyle\sum\limits_{\scriptstyle \pi\in\mathfrak{S}_m} \sum\limits_{k:[m]\to[n] \atop\scriptstyle i1 &\cdots &m \\
k(\pi(1)) &\cdots &k(\pi(m))
\end{pmatrix} b_{k(\pi(1)),1} \cdots b_{k(\pi(m)),m} \\
&= \textstyle\sum\limits_{\scriptstyle \pi\in\mathfrak{S}_m} \sum\limits_{k:[m]\to[n] \atop\scriptstyle i1 &\cdots &m \\
k(1) &\cdots &k(m)
\end{pmatrix} b_{k(\pi(1)),1} \cdots b_{k(\pi(m)),m} \\

&= \textstyle\sum\limits_{\scriptstyle k:[m]\to[n] \atop\scriptstyle i1 &\cdots &m \\
k(1) &\cdots &k(m)
\end{pmatrix} \sum\limits_{\pi\in\mathfrak{S}_m} \sgn(\pi)~ b_{k(\pi(1)),1} \cdots b_{k(\pi(m)),m} \\
&= \textstyle\sum\limits_{\scriptstyle k:[m]\to[n] \atop\scriptstyle i1 &\cdots &m \\
k(1) &\cdots &k(m)
\end{pmatrix} B \begin{pmatrix}
k(1) &\cdots &k(m) \\
1 &\cdots &m
\end{pmatrix} \\
&= \textstyle\sum\limits_{1\le k_1 < \cdots < k_m \le n} A \begin{pmatrix}
1 &\cdots &m \\
k_1 &\cdots &k_m
\end{pmatrix} B \begin{pmatrix}
k_1 &\cdots &k_m \\
1 &\cdots &m
\end{pmatrix}
\end{align}

여기서 sgn(π)는 치환 π의 부호이며, 행렬식의 반대칭성을 이용하였다.

4. 특수한 경우

m = n인 경우, A와 B는 정사각행렬이 된다. 이때 $\backslash tbinom\{[n]\}m=\backslash \{[n]\backslash \}$ (싱글톤 집합)이므로, det(AB) = det(A)det(B)가 성립한다.

m = 0인 경우, A와 B는 공행렬이 되고, 그 곱 AB도 공행렬이 된다. 이때 1 = 1 이라는 식이 나오는데, 양변은 0 × 0 행렬의 행렬식으로 주어진다.

m = 1인 경우, 합산은 [n]]에서 가져온 n개의 서로 다른 싱글톤 집합 $\backslash tbinom\{[n]\}1$에 걸쳐 있으며, 공식의 양변은 행렬로 표시되는 튜플의 쌍의 점곱 $\backslash textstyle\backslash sum\_\{j=1\}^nA\_\{1,j\}B\_\{j,1\}$을 제공한다.

m = 2인 경우는 비네-코시 항등식 문서에서 다룬다.

4.1. m > n 인 경우

m > n인 경우, 1 ≤ k₁ < … < k_m ≤ n을 만족하는 정수 쌍 (k₁, k₂, …, k_m)은 존재하지 않으므로, 공식의 우변은 0이 된다. 이때, A, B의 계수는 최대 n이므로, m × m 행렬 AB의 계수도 최대 n (< m)이 된다. 따라서 공식의 좌변 det(AB)는 0이 되어, 공식이 성립한다.

5. 기하학적 의미

텐서 대수학에서, n차원 내적 공간 $V$가 주어지면, 코시-비네 공식은 외대수 $\backslash wedge^m\; V$에 유도된 내적을 정의한다. 이는 다음과 같다.

:$\backslash langle\; v\_1\backslash wedge\backslash cdots\; \backslash wedge\; v\_m,\; w\_1\backslash wedge\backslash cdots\; \backslash wedge\; w\_m\backslash rangle$
=\det\left( \langle v_i,w_j\rangle \right)_{i,j=1}^m .

5.1. 평행육면체의 부피

만약 A가 실수 m×n 행렬이라면, det(A A^T)는 Rⁿ에서 A의 m개의 행에 의해 생성된 평행육면체의 m차원 부피의 제곱과 같다. 코시-비네 공식은 이것이 평행육면체가 ($\backslash tbinom\; nm$개가 있는) m차원 좌표 평면에 직교 투영될 때 발생하는 부피의 제곱의 합과 같다고 말한다.

m = 1인 경우, 평행육면체는 단일 벡터로 축소되고 그 부피는 그 길이이다. 위의 진술은 벡터의 길이의 제곱이 좌표의 제곱의 합이라고 말하며, 이는 유클리드 거리의 정의에 의해 성립하고, 피타고라스 정리에 기반한다.

5.2. 유클리드 공간에서의 내적

만약 A가 실수 m×n 행렬이라면, det(A A^T)는 Rⁿ에서 A의 m개의 행에 의해 생성된 평행육면체의 m차원 부피의 제곱과 같다. 비네 공식은 이것이 평행육면체가 ($\backslash tbinom\; nm$개가 있는) m차원 좌표 평면에 직교 투영될 때 발생하는 부피의 제곱의 합과 같다고 말한다.

m = 1인 경우, 평행육면체는 단일 벡터로 축소되고 그 부피는 그 길이이다. 위의 진술은 벡터의 길이의 제곱이 좌표의 제곱의 합이라고 말한다. 이것은 실제로 유클리드 거리의 정의에 의해 성립하며, 이는 피타고라스 정리에 기반한다.

6. 일반화

코시-비네 공식은 두 행렬의 곱의 소행렬식에 대한 일반 공식으로 확장될 수 있다. 이 공식에 대한 맥락은 소행렬식 문서에서 확인할 수 있다.

6.1. 소행렬식에 대한 일반 공식

코시-비네 공식은 두 행렬의 곱의 소행렬식에 대한 일반 공식으로 확장될 수 있다. 일반적인 행렬 곱셈 공식과 두 행렬의 곱의 행렬식에 대한 코시-비네 공식은 모두 두 행렬의 곱의 소행렬식에 대한 다음 일반적인 명제의 특수한 경우이다.

A가 m × n 행렬이고, B가 n × p 행렬이며, I가 {1,...,m}의 부분 집합으로 k개의 원소를 가지고, J가 {1,...,p}의 부분 집합으로 k개의 원소를 가진다고 가정하자. 그러면

:$[\backslash mathbf\{AB\}]\_\{I,J\}\; =\; \backslash sum\_\{K\}\; [\backslash mathbf\{A\}]\_\{I,K\}\; [\backslash mathbf\{B\}]\_\{K,J\}\backslash ,$

여기서 합은 {1,...,n}의 모든 부분 집합 K에 대해 k개의 원소를 가진다.

6.2. 연속 버전 (안드리예프-하이네 항등식)

코시-비네 공식의 연속 버전은 안드리예프-하이네 항등식 또는 안드리예프 항등식으로 알려져 있으며, 무작위 행렬 이론에서 흔히 나타난다. $\backslash left\backslash \{f\_j(x)\backslash right\backslash \}\_\{j=1\}^\{N\}$과 $\backslash left\backslash \{g\_j(x)\backslash right\backslash \}\_\{j=1\}^\{N\}$을 $I$에서 적분 가능한 함수 시퀀스라고 할 때, 다음과 같은 식이 성립한다.

:$\backslash int\_I\; \backslash cdots\; \backslash int\_I\; \backslash det\; \backslash left[f\_\{j\}(x\_k)\backslash right]\_\{j,k=1\}^N\; \backslash det\; \backslash left[g\_\{j\}(x\_k)\backslash right]\_\{j,k=1\}^N\; dx\_1\; \backslash cdots\; dx\_N$
= N!\, \det \left[\int_I f_j(x)g_k(x) dx\right]_{j,k=1}^{N}.

Forrester는 위 항등식의 이산화를 통해 일반적인 코시-비네 공식을 복구하는 방법을 설명한다.

7. 역사

오귀스탱 루이 코시와 자크 필리프 마리 비네Jacques Philippe Marie Binet^프랑스어의 이름을 따서 지어졌다.