코시-비네 공식은 행렬 곱의 행렬식을 계산하는 공식으로, 오귀스탱 루이 코시와 자크 필리프 마리 비네의 이름을 따서 명명되었다. 이 공식은 두 행렬의 곱의 소행렬식에 대한 일반적인 공식으로 확장될 수 있으며, 행렬식의 다중선형성과 반대칭성을 이용하여 증명된다. 코시-비네 공식은 m > n인 경우, 정사각 행렬인 경우, m = 0 또는 m = 1인 경우 등 특수한 경우에 대한 다양한 형태를 가지며, 기하학적으로는 평행육면체의 부피와 관련된 의미를 갖는다. 또한, 코시-비네 공식의 연속 버전은 안드리예프-하이네 항등식으로 알려져 있다.
코시-비네 공식은 두 행렬의 곱의 행렬식에 대한 공식이다.음이 아닌 정수 m, n, p, k가 주어졌고, m, n, p \ge k라고 하자. R이 가환환이고, M이 R 위의 m \times n 행렬, N이 n \times p 행렬이라고 하자. I \subseteq \{1, \dots, m\}는 행의 집합, J \subseteq \{1, \dots, p\}는 열의 집합이고, |I| = |J| = k라고 하자.그러면 다음이 성립한다.:\det((MN)_{I,J}) = \sum_{K \subseteq \{1, \dots, n\}}^{|K| = k} \det(M_{I,K}) \det(N_{K,J})특히, m = p = k인 경우, 다음 공식이 성립하며, 이를 '''코시-비네 공식'''이라고 한다.:\det(MN) = \sum_{K \subseteq \{1, \dots, n\}}^ 2. 1. 정의 음이 아닌 정수 m,n,p,k가 주어졌고, m,n,p\ge k라고 하자. R은 가환환이고, M은 R 위의 m\times n 행렬, N은 n\times p 행렬이다. I\subseteq\{1,\dots,m\}는 행의 집합, J\subseteq\{1,\dots,p\}는 열의 집합이며, |I|=|J|=k이다.그렇다면 다음이 성립한다.:\det((MN)_{I,J})=\sum_{K\subseteq\{1,\dots,n\}}^{|K|=k}\det(M_{I,K})\det(N_{K,J})특히, m=p=k인 경우, 다음이 성립하며, 이를 '''코시-비네 공식'''이라고 한다.:\det(MN)=\sum_{K\subseteq\{1,\dots,n\}}^ 2. 2. 성분 표현 行列|ぎょうれつ|행렬일본어 성분을 이용하여 나타내면 다음과 같다.:A:=\begin{pmatrix}a_{1,1} &\cdots &a_{1,m} &\cdots &a_{1,n} \\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1} &\cdots &a_{m,m} &\cdots &a_{m,n}\end{pmatrix}, \quad B:= \begin{pmatrix}b_{1,1} &\cdots &b_{1,m} \\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m,1} &\cdots &b_{m,m} \\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n,1} &\cdots &b_{n,m}\end{pmatrix}이 공식을 성분으로 나타내면 다음과 같다.:\begin{align}\begin{vmatrix}\sum\limits_{k=1}^n a_{1,k} b_{k,1} &\cdots &\sum\limits_{k=1}^n a_{1,k} b_{k,m} \\\vdots &\ddots &\vdots \\\sum\limits_{k=1}^n a_{m,k} b_{k,1} &\cdots &\sum\limits_{k=1}^n a_{m,k} b_{k,m}\end{vmatrix}&=\textstyle\sum\limits_{1\le k_1 < \cdots < k_m \le n} \begin{vmatrix}a_{1,k_1} &\cdots &a_{1,k_m} \\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,k_1} &\cdots &a_{m,k_m}\end{vmatrix} \begin{vmatrix}b_{k_1,1} &\cdots &b_{k_1,m} \\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{k_m,1} &\cdots &b_{k_m,m}\end{vmatrix}\end{align}단, 우변의 합은 1 \le k_1 < \cdots < k_m \le n 을 만족하는 정수의 조합 (k_1, k_2, \dots, k_m) 의 모든 경우에 대해 취한다. 또한, m > n의 경우 우변은 0 이다. 2. 3. 소행렬식 표현 음이 아닌 정수 m,n,p,k에 대하여, m,n,p\ge k 이고, R이 가환환이며, M이 R위의 m\times n 행렬, N이 n\times p 행렬이라고 하자. I\subseteq\{1,\dots,m\} 가 행의 집합, J\subseteq\{1,\dots,p\}가 열의 집합이고, |I|=|J|=k 이면, 다음이 성립한다.:\det((MN)_{I,J})=\sum_{K\subseteq\{1,\dots,n\}}^{|K|=k}\det(M_{I,K})\det(N_{K,J})특히, m=p=k인 경우, 다음이 성립하며, 이를 '''코시-비네 공식'''이라고 한다.:\det(MN)=\sum_{K\subseteq\{1,\dots,n\}}^ 2. 4. 일반화된 크로네커 델타와의 관계 일반화된 크로네커 델타를 사용하면 코시-비네 공식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.[1]:\delta^{f(1) \dots f(m)}_{g(1) \dots g(m)} = \sum_{k:[m]\to[n] \atop k(1)<\dots\delta^{f(1) \dots f(m)}_{k(1) \dots k(m)}\delta^{k(1) \dots k(m)}_{g(1) \dots g(m)}.n을 자연수로 하고, 집합 \{1, \dots, n\}을 [n]으로 표기한다. m을 음이 아닌 정수로 하고, A를 m \times n 행렬, B를 n \times m 행렬로 한다. A_S를, A의 n개의 열에서 S에 포함된 첨자의 열을 추출하여 얻은 m차 정사각 행렬, B^S를, B의 n개의 행에서 S에 포함된 첨자의 행을 추출하여 얻은 m차 정사각 행렬로 한다.[1]이때, 다음 식이 성립한다.[1]:\delta^{i_1 \cdots i_m}_{j_1 \cdots j_m} = \sum_{1\le k_1 < \cdots < k_m \le n} \delta^{i_1 \cdots i_m}_{k_1 \cdots k_m} \delta^{k_1 \cdots k_m}_{j_1 \cdots j_m} \quad (i_p \in [n], j_p \in [n] \mathrm{~for~} p \in [m])여기서 \delta는 크로네커 델타이다.[1]이 식은 다음 식의 일반화된 형태이다.[1]:\delta^i_j = \sum_{k=1}^n \delta^i_k \delta^k_j \quad (i \in [n], j \in [n]) 3. 증명 코시-비네 공식은 여러 방법으로 증명할 수 있다.[1] 이 증명은 라이프니츠 공식에 의해 정의될 수 있는 행렬식의 특정 해석을 사용하지 않고, 행렬식의 행과 열에 대한 다중선형성 및 교환 속성(동일한 행 또는 열이 존재할 경우 0이 됨)만 사용한다. 특히 정방 행렬에 대한 행렬식의 곱셈 속성은 사용되지 않지만(''n'' = ''m''인 경우) 증명된다. 이 증명은 임의의 가환 계수 링에 유효하다.코시-비네 공식은 다음 두가지 방법을 통해 증명할 수 있다.다중선형성을 이용한 증명반대칭성을 이용한 증명 3. 1. 다중선형성을 이용한 증명 행렬식의 다중 선형성과 교환 속성을 이용한 증명은 다음과 같다. 우선, 다음 두 가지 사실을 이용한다.[1]# 모든 1 \leq k\leq n에 대해, 다항식 \det(zI_n+X)에서 z^{n-k}의 계수는 X의 k\times k 주 소행렬의 합이다.# 만약 m \leq n이고 A가 m\times n 행렬이고 B가 n\times m 행렬이면, \det(zI_n+BA)=z^{n-m}\det(zI_m+AB)이다.이제, 방정식 \det(zI_n+BA)=z^{n-m}\det(zI_m+AB)에서 z^{n-m}의 계수를 비교하면, 좌변은 BA의 주 소행렬의 합을 제공하고, 우변은 \det(zI_m+AB)의 상수항, 즉 \det(AB)를 제공한다. 이는 코시-비네 공식과 같다. 즉,:\begin{align}&\det(AB)= \sum_{S\in\tbinom{[n]}m} \det((BA)_{S,S})=\sum_{S\in\tbinom{[n]}m} \det(B_{S,[m]}) \det(A_{[m],S}) \\[5pt]= {} & \sum_{S\in\tbinom{[n]}m}\det(A_{[m],S}) \det(B_{S,[m]}).\end{align}이 공식은 다음 두 단계로 증명할 수 있다.# 양변이 ''A''의 ''행''과 ''B''의 ''열''에 대해 다중선형성을 가진다는 사실을 이용하여, ''A''의 각 행과 ''B''의 각 열이 1인 하나의 0이 아닌 항목만 갖는 경우로 축소한다.# ''A''의 행 번호를 0이 아닌 항목의 열 번호로, ''B''의 열 번호를 0이 아닌 항목의 행 번호로 각각 매핑하는 함수 [''m''] → [''n'']을 사용하여 해당 경우를 처리한다.1단계에서는 ''A''의 각 행 또는 ''B''의 열, 그리고 각 ''m''-조합 ''S''에 대해, det(''AB'') 및 det(''A''[''m''],''S'')det(''B''''S'',[''m''])의 값이 실제로 행 또는 열에 선형적으로 의존한다는 것을 보인다. 후자의 경우 행렬식의 다중 선형성에서 바로 알 수 있다. 전자의 경우 ''A''의 행 또는 ''B''의 열에 대한 선형 결합을 수행하면서 나머지는 변경하지 않으면 해당 행 또는 열의 곱 ''AB''에만 영향을 미치며, 동일한 선형 결합을 따른다는 것을 확인해야 한다.''A''의 모든 행에 대해 선형성을 통해 코시-비네 공식의 양변을 계산한 다음, ''B''의 모든 열에 대해서도 계산하여 각 행과 열을 표준 기저 벡터의 선형 결합으로 쓸 수 있다. 결과는 여러 번의 합이 되지만, 양변에 대해 동일한 형식을 갖는다. 대응하는 항은 동일한 스칼라 계수(각각은 ''A''와 ''B''의 항목의 곱)를 포함하고, 이 항들은 위에서 설명한 종류의 상수 행렬의 두 가지 다른 표현을 포함한다.구체적으로, 다중 합은 두 개의 합으로 그룹화할 수 있다. 하나는 ''A''의 각 행 인덱스에 해당하는 열 인덱스를 제공하는 모든 함수 ''f'':[''m''] → [''n'']에 대한 것이고, 다른 하나는 ''B''의 각 열 인덱스에 해당하는 행 인덱스를 제공하는 모든 함수 ''g'':[''m''] → [''n'']에 대한 것이다. ''f''와 ''g''에 관련된 행렬은 다음과 같다.:L_f=\bigl((\delta_{f(i),j})_{i\in[m],j\in[n]}\bigr) \quad\text{and}\quad R_g=\bigl((\delta_{j,g(k)})_{j\in[n],k\in[m]}\bigr)여기서 "\delta"는 크로네커 델타이며, 증명해야 할 코시-비네 공식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.: \begin{align}& \sum_{f:[m]\to[n]}\sum_{g:[m]\to[n]}p(f,g)\det(L_fR_g) \\[5pt]= {} & \sum_{f:[m]\to[n]}\sum_{g:[m]\to[n]} p(f,g) \sum_{S\in\tbinom{[n]}m} \det((L_f)_{[m],S}) \det((R_g)_{S,[m]}),\end{align}여기서 ''p''(''f'',''g'')는 스칼라 계수 \textstyle(\prod_{i=1}^mA_{i,f(i)})(\prod_{k=1}^mB_{g(k),k})를 나타낸다.2단계에서는 ''f''가 주입적이지 않으면 ''L''''f'' 및 ''L''''f''''R''''g''는 모두 두 개의 동일한 행을 가지며, ''g''가 주입적이지 않으면 ''R''''g'' 및 ''L''''f''''R''''g''는 모두 두 개의 동일한 열을 갖는다. 어느 경우든 항등식의 양변은 0이다.이제 ''f''와 ''g''가 모두 주입적인 맵 [''m''] → [''n'']이라고 가정하면, 오른쪽의 인자 \det((L_f)_{[m],S})는 ''S'' = ''f''([''m''])가 아닌 경우 0이고, 인자 \det((R_g)_{S,[m]})는 ''S'' = ''g''([''m''])가 아닌 경우 0이다. 따라서 ''f''와 ''g''의 이미지가 다르면, 우변은 0이 되고, 좌변도 ''L''''f''''R''''g''가 널 행을 갖기 때문에 0이 된다.''f''와 ''g''의 이미지가 동일한 경우, 즉 ''f''([''m'']) = ''S'' = ''g''([''m''])인 경우, 다음을 증명해야 한다.:\det(L_fR_g)=\det((L_f)_{[m],S})\det((R_g)_{S,[m]}).\,''h''를 [''m''] → ''S''의 유일한 증가하는 전단사라고 하고, f=h\circ\pi^{-1} 및 g=h\circ\sigma가 되도록 ''π'',''σ''를 [''m'']의 순열이라고 하면, (L_f)_{[m],S}는 ''π''에 대한 순열 행렬이고, (R_g)_{S,[m]}는 ''σ''에 대한 순열 행렬이며, ''L''''f''''R''''g''는 \pi\circ\sigma에 대한 순열 행렬이다. 순열 행렬의 행렬식은 순열의 부호와 같으므로, 항등식은 부호가 곱셈적이라는 사실에서 성립한다.증명에서 ''A''의 행과 ''B''의 열 모두에 대해 다중 선형성을 사용하는 것은 필요하지 않다. 둘 중 하나만 사용할 수 있는데, 예를 들어 행렬 곱 ''L''''f''''B''는 ''B''''f''([''m'']),[''m'']의 행의 순열로 구성되거나(''f''가 주입적인 경우) 적어도 두 개의 동일한 행을 갖는다는 것을 이용할 수 있다.행렬식의 다중 선형성에 의해 다음과 같이 전개할 수 있다.:\begin{align}\det(AB) &= \begin{vmatrix}\sum\limits_{p_1=1}^n a_{1,p_1} b_{p_1,1} &\cdots &\sum\limits_{p_m=1}^n a_{1,p_m} b_{p_m,m} \\\vdots &\ddots &\vdots \\\sum\limits_{p_1=1}^n a_{m,p_1} b_{p_1,1} &\cdots &\sum\limits_{p_m=1}^n a_{m,p_m} b_{p_m,m}\end{vmatrix} \\&= \textstyle\sum\limits_{p_1=1}^n \cdots \sum\limits_{p_m=1}^n \begin{vmatrix}a_{1,p_1} &\cdots &a_{1,p_m} \\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,p_1} &\cdots &a_{m,p_m}\end{vmatrix} \, b_{p_1,1} \cdots b_{p_m,m} \\&= \textstyle\sum\limits_{p:[m]\to[n]} A \begin{pmatrix}1 &\cdots &m \\p(1) &\cdots &p(m)\end{pmatrix}b_{p(1),1} \cdots b_{p(m),m}\end{align}여기서 ''p''는 {1, …, ''m''}에서 {1, …, ''n''}으로의 사상이다.행렬식의 반대칭성에 의해 ''p''가 단사인 경우에만 행렬식이 0이 아니므로, 1=p(i) = k(\pi(i))로 치환할 수 있다. 여기서 치환 ''π'' : [''m''] → [''m'']는 ''m''차 대칭군 \mathfrak{S}_m의 원소이며, ''k'' : [''m''] → [''n'']는 ''i'' < ''j'' ⇒ ''k''(''i'') < ''k''(''j'')를 만족하는 함수이다. 이를 통해 다음을 얻는다.:\begin{align}\det (AB)&= \textstyle\sum\limits_{\scriptstyle \pi\in\mathfrak{S}_m} \sum\limits_{k:[m]\to[n] \atop\scriptstyle i1 &\cdots &m \\k(\pi(1)) &\cdots &k(\pi(m))\end{pmatrix} b_{k(\pi(1)),1} \cdots b_{k(\pi(m)),m} \\&= \textstyle\sum\limits_{\scriptstyle \pi\in\mathfrak{S}_m} \sum\limits_{k:[m]\to[n] \atop\scriptstyle i1 &\cdots &m \\k(1) &\cdots &k(m)\end{pmatrix} b_{k(\pi(1)),1} \cdots b_{k(\pi(m)),m} \\&= \textstyle\sum\limits_{\scriptstyle k:[m]\to[n] \atop\scriptstyle i1 &\cdots &m \\k(1) &\cdots &k(m)\end{pmatrix} \sum\limits_{\pi\in\mathfrak{S}_m} \sgn(\pi)~ b_{k(\pi(1)),1} \cdots b_{k(\pi(m)),m} \\&= \textstyle\sum\limits_{\scriptstyle k:[m]\to[n] \atop\scriptstyle i1 &\cdots &m \\k(1) &\cdots &k(m)\end{pmatrix} B \begin{pmatrix}k(1) &\cdots &k(m) \\1 &\cdots &m\end{pmatrix} \\&= \textstyle\sum\limits_{1\le k_1 < \cdots < k_m \le n} A \begin{pmatrix}1 &\cdots &m \\k_1 &\cdots &k_m\end{pmatrix} B \begin{pmatrix}k_1 &\cdots &k_m \\1 &\cdots &m\end{pmatrix}\end{align}여기서 sgn(''π'')는 치환 ''π''의 부호이며, 행렬식의 반대칭성을 이용하였다.
코시-비네 공식은 여러 방법으로 증명할 수 있다.[1] 이 증명은 라이프니츠 공식에 의해 정의될 수 있는 행렬식의 특정 해석을 사용하지 않고, 행렬식의 행과 열에 대한 다중선형성 및 교환 속성(동일한 행 또는 열이 존재할 경우 0이 됨)만 사용한다. 특히 정방 행렬에 대한 행렬식의 곱셈 속성은 사용되지 않지만(''n'' = ''m''인 경우) 증명된다. 이 증명은 임의의 가환 계수 링에 유효하다.코시-비네 공식은 다음 두가지 방법을 통해 증명할 수 있다.
''m'' = ''n''인 경우, ''A''와 ''B''는 정사각행렬이 된다. 이때 \tbinom{[n]}m=\{[n]\} (싱글톤 집합)이므로, det(''AB'') = det(''A'')det(''B'')가 성립한다.''m'' = 0인 경우, ''A''와 ''B''는 공행렬이 되고, 그 곱 ''AB''도 공행렬이 된다. 이때 1 = 1 이라는 식이 나오는데, 양변은 0 × 0 행렬의 행렬식으로 주어진다.''m'' = 1인 경우, 합산은 [''n'']]에서 가져온 ''n''개의 서로 다른 싱글톤 집합 \tbinom{[n]}1에 걸쳐 있으며, 공식의 양변은 행렬로 표시되는 튜플의 쌍의 점곱 \textstyle\sum_{j=1}^nA_{1,j}B_{j,1}을 제공한다.''m'' = 2인 경우는 비네-코시 항등식 문서에서 다룬다.
텐서 대수학에서, ''n''차원 내적 공간 V가 주어지면, 코시-비네 공식은 외대수 \wedge^m V에 유도된 내적을 정의한다. 이는 다음과 같다.:\langle v_1\wedge\cdots \wedge v_m, w_1\wedge\cdots \wedge w_m\rangle=\det\left( \langle v_i,w_j\rangle \right)_{i,j=1}^m .
코시-비네 공식은 두 행렬의 곱의 소행렬식에 대한 일반 공식으로 확장될 수 있다. 이 공식에 대한 맥락은 소행렬식 문서에서 확인할 수 있다.[1]
오귀스탱 루이 코시와 자크 필리프 마리 비네Jacques Philippe Marie Binet|자크 필리프 마리 비네프랑스어의 이름을 따서 지어졌다.
[1] 서적 Topics in random matrix theory https://terrytao.fil[...] American Mathematical Society 2012 [2] 간행물 Mem. de la Soc. Sci. de Bordeaux 2, 1 1883 [3] 서적 Random Matrices Elsevier/Academic Press [4] 논문 Meet Andréief, Bordeaux 1886, and Andreev, Kharkov 1882–83 2018 [5] 서적 1977
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