퀼런 수반 함자

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1. 개요

퀼런 수반 함자는 두 모형 범주 사이의 수반 함자이며, 왼쪽 함자는 쌍대올뭉치를 쌍대올뭉치로, 자명한 쌍대올뭉치를 자명한 쌍대올뭉치로 대응시키고, 오른쪽 함자는 올뭉치를 올뭉치로, 자명한 올뭉치를 자명한 올뭉치로 대응시키는 수반 함자를 말한다. 퀼런 수반 함자는 퀼런 동치를 정의하는 데 사용되며, 단체 집합과 위상 공간, 미분 등급 대수와 같은 수학적 구조에서 나타난다. 퀼런은 1967년 모형 범주의 개념과 함께 퀼런 수반 함자를 도입했다.

퀼런 수반 함자

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 퀼런 수반 함자
- 2.2. 퀼런 동치
3. 성질
- 3.1. 사상 성질의 보존
- 3.2. 유도 수반 함자
4. 예
- 4.1. 단체 집합과 위상 공간
- 4.2. 미분 등급 대수
5. 역사

2. 정의

두 모형 범주 $\mathcal C$ , $\mathcal D$ 사이의 수반 함자
: $\mathcal C\underset G{\overset F\rightleftarrows}\mathcal D$
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 수반 함자를 퀼런 수반 함자(Quillen adjunction^영어)라고 한다.

* $F$ 는 쌍대올뭉치를 쌍대올뭉치로 대응시키며, 자명한 쌍대올뭉치를 자명한 쌍대올뭉치로 대응시킨다.
* $G$ 는 올뭉치를 올뭉치로 대응시키며, 자명한 올뭉치를 자명한 올뭉치로 대응시킨다.

이 경우, $F$ 를 왼쪽 퀼런 수반 함자(left Quillen-adjoint functor^영어), $G$ 를 오른쪽 퀼런 수반 함자(right Quillen-adjoint functor^영어)라고 한다. F는 공간과 자명한 공간을 보존하거나, 닫힌 모형 공리에 의해 동등하게 G가 올뭉치와 자명한 올뭉치를 보존한다. 이러한 수반 관계에서 F는 왼쪽 퀼런 함자, G는 오른쪽 퀼런 함자라고 불린다.

2.1. 퀼런 수반 함자

2.2. 퀼런 동치

퀼런 수반 함자
: $\mathcal C\underset G{\overset F\rightleftarrows}\mathcal D$
에 대해 다음 조건들은 모두 동치이며, 이를 만족시킨다면 퀼런 동치(Quillen equivalence^영어)라고 한다.
* 임의의 쌍대올대상 $C\in\mathcal C$ 및 올대상 $D\in\mathcal D$ 에 대하여, $F(C)\to D$ 가 약한 동치일 필요 충분 조건은 $C\to G(D)$ 가 약한 동치인 것이다.
* $\operatorname LF\colon\operatorname{Ho}(\mathcal C)\to\operatorname{Ho}(\mathcal D)$ 가 호모토피 범주들의 동치이다.
* $\operatorname RG\colon\operatorname{Ho}(\mathcal D)\to\operatorname{Ho}(\mathcal C)$ 가 호모토피 범주들의 동치이다.

3. 성질

이는 왼쪽(오른쪽) 퀼런 함자가 코피브란트(피브란트) 대상 간의 약한 동치를 보존한다는 공리들의 결과이다. 퀼런의 전체 유도 함자 정리는 전체 왼쪽 유도 함자
:LF: Ho(C) → Ho(D)
가 전체 오른쪽 유도 함자
:RG: Ho(D) → Ho(C)
의 왼쪽 수반 함자임을 말해준다. 이 수반 관계 (LF, RG)는 유도 수반 관계라고 불린다.

만약 (F, G)가 위의 퀼런 수반 관계이고,
:F(c) → d
(여기서 c는 코피브란트이고 d는 피브란트)가 D에서 약한 동치일 필요충분조건이
:c → G(d)
가 C에서 약한 동치라면, 이를 닫힌 모형 범주 C와 D의 퀼런 동치라고 부른다. 이 경우 유도 수반 관계는 수반 범주 동치이므로
:LF(c) → d
가 Ho(D)에서 동형 사상일 필요충분조건은
:c → RG(d)
가 Ho(C)에서 동형 사상인 것이다.

3.1. 사상 성질의 보존

왼쪽 및 오른쪽 퀼런 함자는 약한 동치를 보존한다. 즉, 다음과 같은 표가 성립한다.

👆

좌우로 밀어서 보기

사상	F>\| 오른쪽 함자 $G$
약한 동치	⭕	⭕
쌍대올뭉치	⭕	❌
자명한 쌍대올뭉치	⭕	❌
올뭉치	❌	⭕
자명한 올뭉치	❌	⭕

위 표에서, ⭕는 함자가 이 사상 모임을 항상 보존한다는 것이며, ❌는 함자가 이 사상 모임을 보존하지 못할 수 있다는 것이다. 이는 왼쪽(오른쪽) 퀼런 함자가 코피브란트(피브란트) 대상 간의 약한 동치를 보존한다는 공리들의 결과이다. 퀼런의 전체 유도 함자 정리는 전체 왼쪽 유도 함자

:LF: Ho(C) → Ho(D)

가 전체 오른쪽 유도 함자

:RG: Ho(D) → Ho(C)

의 왼쪽 수반 함자임을 말해준다. 이 수반 관계 (LF, RG)는 유도 수반 관계라고 불린다.

만약 (F, G)가 위의 퀼런 수반 관계이고,

:F(c) → d

(여기서 c는 코피브란트이고 d는 피브란트)가 D에서 약한 동치일 필요충분조건이

:c → G(d)

가 C에서 약한 동치라면, 이를 닫힌 모형 범주 C와 D의 퀼런 동치라고 부른다. 이 경우 유도 수반 관계는 수반 범주 동치이므로

:LF(c) → d

가 Ho(D)에서 동형 사상일 필요충분조건은

:c → RG(d)

가 Ho(C)에서 동형 사상인 것이다.

3.2. 유도 수반 함자

왼쪽 퀼런 함자는 왼쪽 유도 함자를, 오른쪽 퀼런 함자는 오른쪽 유도 함자를 가진다. 왼쪽 유도 함자
: $\operatorname LF\colon\operatorname{Ho}(\mathcal C)\to\operatorname{Ho}(\mathcal D)$
및 오른쪽 유도 함자
: $\operatorname RG\colon\operatorname{Ho}(\mathcal D)\to\operatorname{Ho}(\mathcal C)$
역시 서로 수반 함자이며, 이를 퀼런 수반 함자 $(F,G)$ 의 유도 수반 함자(derived adjunction^영어)라고 한다.
이는 왼쪽(오른쪽) 퀼런 함자가 코피브란트(피브란트) 대상 간의 약한 동치를 보존한다는 공리들의 결과이다. 퀼런의 전체 유도 함자 정리는 전체 왼쪽 유도 함자
:LF: Ho(C) → Ho(D)
가 전체 오른쪽 유도 함자
:RG: Ho(D) → Ho(C)
의 왼쪽 수반 함자임을 말해준다. 이 수반 관계 (LF, RG)는 유도 수반 관계라고 불린다.

만약 $(F, G)$ 가 퀼런 수반 관계이고,
: $F(c) \rarr d$
(여기서 $c$ 는 코피브란트이고 $d$ 는 피브란트)가 D에서 약한 동치일 필요충분조건이
: $c \rarr G(d)$
가 C에서 약한 동치라면, 이를 닫힌 모형 범주 C와 D의 퀼런 동치라고 부른다. 이 경우 유도 수반 관계는 수반 범주 동치이므로
: $\operatorname LF(c) \rarr d$
가 Ho(D)에서 동형 사상일 필요충분조건은
: $c \rarr \operatorname RG(d)$
가 Ho(C)에서 동형 사상인 것이다.

4. 예

4.1. 단체 집합과 위상 공간

단체 집합의 모형 범주 $\operatorname{sSet}$ 와 위상 공간의 모형 범주 $\operatorname{Top}$ 사이에는 퀼런 동치가 존재한다. 구체적으로, 기하학적 실현 함자
: $|-|\colon\operatorname{sSet}\to\operatorname{Top}$
와 특이 단체 복합체 함자
: $\operatorname{Sing}\colon\operatorname{Top}\to\operatorname{sSet}$
는 수반 함자
: $|-|\dashv\operatorname{Sing}$
를 이루며, 양 범주에 각각 (퀼런) 모형 범주 구조를 부여할 경우 이는 퀼런 동치를 이룬다.

4.2. 미분 등급 대수

자연수 등급 미분 등급 대수의 모형 범주 $\operatorname{DGA}_{\ge0}$ 와 자연수 등급 가환 미분 등급 대수의 모형 범주 $\operatorname{CDGA}_{\ge0}$ 를 생각하자. 그렇다면, 망각 함자
: $\operatorname{CDGA}_{\ge0}\to\operatorname{DGA}_{\ge0}$
는 왼쪽 수반 함자를 가지며, 이는 퀼런 수반 함자를 이룬다.

5. 역사

대니얼 퀼런이 모형 범주의 개념과 함께 1967년에 도입하였다.