타원 복합체

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1. 개요

타원 복합체는 매끄러운 다양체 위의 매끄러운 벡터 다발과 미분 연산자로 구성된 구조이다. 미분 연산자들이 프레드홀름 작용소이고, 연산자들의 합성 결과가 0일 때 타원 복합체라고 정의한다. 타원 복합체는 타원 미분 작용소와 밀접한 관련이 있으며, 콤팩트 공간에서는 모든 타원 미분 작용소가 프레드홀름 작용소이다. 미분 복합체는 타원 복합체의 구성 요소이며, 1차 연산자를 갖는 미분 복합체가 특정 조건을 만족하면 타원형이라고 한다.

타원 복합체

개요

유형	선형 미분 연산자
수학 분야	미분 기하학, 복소기하학

정의

정의	벡터 다발 사이의 미분 연산자로 구성된 복합체
조건	상징 복합체가 정확해야 함
예시	드람 복합체 돌보 복합체 아티야-싱어 지표 정리

성질

해 공간	유한 차원 벡터 공간
해의 정칙성	타원 복합체 해는 매끄러움
호지 분해	코호몰로지 군의 표현
지표	코호몰로지 군 차원의 교대합
응용	아티야-싱어 지표 정리 증명 기하학적 양자화

예시

드람 복합체	다양체 위의 미분 형식 복합체
돌보 복합체	복소 다양체 위의 복소 미분 형식 복합체

관련 개념

타원 연산자	타원 복합체의 특수한 경우
호지 이론	타원 복합체의 해석
아티야-싱어 지표 정리	타원 복합체의 지표 계산

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 콤팩트 다양체 위에서의 타원 미분 작용소

2. 정의

매끄러운 다양체 $M$ 위의 매끄러운 벡터 다발 $E_i$ ( $i=0,1,\dots$ )와 벡터 다발 단면 층 사이의 미분 연산자 $D_i\colon E_i\to E_{i+1}$ 가 주어졌을 때, 다음 조건을 만족하면 이 구조를 타원 복합체라고 한다.

: $\cdots\stackrel{D_{i-2}}{\longrightarrow}\Gamma(E_{i-1}) \stackrel{D_{i-1}}{\longrightarrow} \Gamma(E_i) \stackrel{D_i}{\longrightarrow}\Gamma(E_{i+1})\stackrel{D_{i+1}}{\longrightarrow} \cdots$

1. 각 $D_i$ 는 프레드홀름 작용소이다.
2. $D_{i+1}\circ D_i=0$

프레드홀름 작용소는 타원 미분 작용소의 한 종류이다. $M$ 이 콤팩트 공간이면 모든 타원 미분 작용소는 프레드홀름 작용소이다.

2.1. 미분 복합체

E₀, E₁, ..., E_k를 어떤 (보통 콤팩트하게 취해지는) 미분 가능 다양체 M 위의 벡터 다발이라고 할 때, 미분 복합체는 다음 미분 연산자의 열로 주어진다.

: $\Gamma(E_0) \stackrel{P_1}{\longrightarrow} \Gamma(E_1) \stackrel{P_2}{\longrightarrow} \ldots \stackrel{P_k}{\longrightarrow} \Gamma(E_k)$

여기서 이들 연산자는 P_i+1 o P_i=0 인 E_i 의 단면의 층이다.

미분 복합체가 타원형이라는 것은, 기호의 열

: $0 \rightarrow \pi^*E_0 \stackrel{\sigma(P_1)}{\longrightarrow} \pi^*E_1 \stackrel{\sigma(P_2)}{\longrightarrow} \ldots \stackrel{\sigma(P_k)}{\longrightarrow} \pi^*E_k \rightarrow 0$

가 영 단면 밖에서 완전함을 말한다. 여기서 π는 M으로의 여접다발 T*M의 사영이며, π*는 어떤 벡터 다발의 pullback bundle^영어이다.

2.2. 타원 복합체의 조건

매끄러운 다양체 위의 벡터 다발 ()에 대해, 벡터 다발 단면 층 사이의 미분 연산자 가 다음 조건을 만족하면 이 구조를 타원 복합체라고 한다.

* 각 는 프레드홀름 작용소이다.
*

프레드홀름 작용소는 타원 미분 작용소의 한 종류이다. 콤팩트 공간 에서 모든 타원 미분 작용소는 프레드홀름 작용소이다.

매끄러운 다양체 (일반적으로 콤팩트하다고 가정) 위의 벡터 다발 에 대해, 미분 복합체는 의 단면 층 사이의 미분 연산자 들로 구성되며, 을 만족한다.

1차 연산자를 갖는 미분 복합체에서, 기호 수열이 영 단면 외부에서 완전하면 이 미분 복합체를 타원형이라고 한다. 여기서 는 여접선 다발 에서 으로의 사영이고, 는 벡터 다발의 당김이다.

2.3. 용어 설명

* 매끄러운 다양체: 국소적으로 유클리드 공간과 미분동형인 다양체이다.
* 벡터 다발: 각 점에 벡터 공간을 "붙인" 위상 공간이다.
* 미분 연산자: 미분을 포함하는 선형 연산자이다.
* 단면: 벡터 다발의 각 점에 벡터 공간의 원소를 하나씩 대응시키는 함수이다.
* 프레드홀름 작용소: 타원 미분 작용소의 한 종류이다. 콤팩트 공간 위에서 모든 타원 미분 작용소는 프레드홀름 작용소이다.
* 기호: 미분 연산자의 최고차항만을 모아 만든 다항식이다.
* 완전 순서: 선형대수학에서, 벡터 공간들 사이의 선형 변환들의 열에서, 한 변환의 핵이 항상 이전 변환의 상과 같은 경우를 말한다.
* 여접선 다발: 다양체의 각 점에 여벡터 공간을 붙여 만든 벡터 다발이다.
* 당김 다발: 어떤 연속 함수를 통해 다른 벡터 다발로부터 유도된 벡터 다발이다.

3. 성질

콤팩트 다양체 위에서, 모든 타원 미분 작용소는 프레드홀름 작용소이다.

3.1. 콤팩트 다양체 위에서의 타원 미분 작용소

매끄러운 다양체 M^영어이 콤팩트 공간이면, 모든 타원 미분 작용소는 프레드홀름 작용소이다.