포커르-플랑크 방정식

1. 개요

포커르-플랑크 방정식은 확률 과정의 확률 밀도 함수에 대한 편미분 방정식으로, 이토 확률 과정에 대응된다. 이 방정식은 물리학, 금융 공학, 생물학 등 다양한 분야에서 응용되며, 브라운 운동, 오르슈타인-울렌벡 과정 등을 포함한 여러 가지 확률 과정을 설명하는 데 사용된다. 포커르-플랑크 방정식은 콜모고로프 전진 방정식의 특수한 경우이며, 경로 적분 공식과 밀접한 관련이 있다. 이 방정식은 아드리안 다니얼 포커르와 막스 플랑크에 의해 도입되었다.

2. 정의

확률 공간 $\backslash Omega$ 와 그 위에 정의된 위너 확률 과정 $(W\_t\backslash colon\backslash Omega\backslash to\backslash mathbb\; R^n)\_\{t\backslash in[0,\backslash infty)\}$, 그리고 $W$에 대한 $\backslash mathbb\; R^m$ 값의 이토 확률 과정 $\backslash mathrm\; dX^i\_t\; =\; f^i(t,X\_t)\; \backslash ,\backslash mathrm\; dt\; +\; g^i\{\}\_j(t,X\_t)\backslash ,\backslash mathrm\; dW^j\_t$이 주어졌다고 하자. 여기서 $f\backslash colon\; \backslash mathbb\; R\backslash times\backslash mathbb\; R^m\; \backslash to\; \backslash mathbb\; R^m$는 $x$에 대해 1차 연속 미분 가능 함수이고, $g\backslash colon\; \backslash mathbb\; R\backslash times\backslash mathbb\; R^m\; \backslash to\; \backslash mathbb\; R^n$는 $x$에 대해 2차 연속 미분 가능 함수이다.

이토 확률 과정의 분산을 나타내는 행렬 $D\; \backslash colon\; \backslash mathbb\; R\; \backslash times\; \backslash mathbb\; R^n\; \backslash to\; \backslash mathbb\; R^n$를 다음과 같이 정의하자.
:$D^\{ij\}(x,t)\; =\; \backslash frac12\backslash sum\_k\; g^i\{\}\_k(x,t)\; g^j\{\}\_k(x,t)$

이 경우, 이 이토 확률 과정에 대응되는 포커르-플랑크 방정식은 함수
:$p\; \backslash colon\; \backslash mathbb\; R\; \backslash times\; \backslash mathbb\; R^m\; \backslash to\; \backslash mathbb\; R$
:$p\; \backslash colon\; (t,x)\; \backslash mapsto\; p(t,x)$
에 대한 다음과 같은 편미분 방정식이다.
:$\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}p(t,x)\; +\; \backslash frac\backslash partial\{\backslash partial\; x^i\}$
\left(f^i(t,x)p(t,x)\right)
- \frac\partial{\partial x^i}\frac\partial{\partial x^j}
\left(D^{ij}(t,x)p(t,x)\right) = 0
(아인슈타인 표기법을 사용하였다.)

2.1. 1차원 포커르-플랑크 방정식

일차원 공간 x에서 표준 비너 과정 $W\_t$에 의해 구동되고 확률 미분 방정식 (SDE)으로 설명되는 이토 미적분의 경우, 확률 변수 $X\_t$의 확률 밀도 $p(x,\; t)$에 대한 포커르-플랑크 방정식은 다음과 같다.

:$\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}\; p(x,\; t)\; =\; -\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x\}\backslash left[\backslash mu(x,\; t)\; p(x,\; t)\backslash right]\; +\; \backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; x^2\}\backslash left[D(x,\; t)\; p(x,\; t)\backslash right].$

여기서 $\backslash mu(X\_t,\; t)$는 표류 속도, $D(X\_t,\; t)\; =\; \backslash sigma^2(X\_t,\; t)/2$는 확산 계수이다.

무한소 생성기 $\backslash mathcal\{L\}$을 정의하고, 콜모고로프-체프먼 정리를 사용하여 콜모고로프 역방향 방정식을 유도할 수 있다. $\backslash mathcal\{L\}$의 수반 연산자 $\backslash mathcal\{L\}^\backslash dagger$를 사용하면 콜모고로프 순방향 방정식, 즉 포커르-플랑크 방정식을 얻을 수 있다.

이토의 보조 정리를 통해 $\backslash mathcal\{L\}$을 명시적으로 정의할 수 있으며, 부분 적분을 사용하여 포커르-플랑크 방정식은 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash partial\_t\; p(x,\; t)\; =\; -\backslash partial\_x\; \backslash big(\backslash mu(x,\; t)\; \backslash cdot\; p(x,\; t)\backslash big)\; +\; \backslash partial\_x^2\backslash left(\backslash frac\{\backslash sigma(x,\; t)^2\}\{2\}\; \backslash ,\; p(x,t)\backslash right).$

포커르-플랑크 방정식은 초기 분포가 알려진 문제에 사용된다. 이전 시점의 분포를 알아야 하는 경우에는 페인만-칵 공식을 사용할 수 있으며, 이는 콜모고로프 역방향 방정식의 결과이다.

이토 의미의 확률 과정은 스트라토노비치 적분 규칙 내에서 스트라토노비치 SDE로 다시 작성할 수 있다.

:$dX\_t\; =\; \backslash left[\backslash mu(X\_t,\; t)\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; X\_t\}D(X\_t,\; t)\backslash right]\; \backslash ,dt\; +\; \backslash sqrt\{2\; D(X\_t,\; t)\}\; \backslash circ\; dW\_t.$

여기에는 노이즈가 상태에 종속되는 경우 확산 기울기 효과로 인한 추가적인 노이즈 유도 표류 항이 포함된다. 스트라토노비치 SDE의 모든 해는 이토 SDE의 해이다.

상수 확산이 있는 제로 표류 방정식은 고전적인 브라운 운동의 모델로 간주할 수 있다.

:$\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}\; p(x,\; t)\; =\; D\_0\backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; x^2\}\backslash left[p(x,\; t)\backslash right].$

고정 경계 조건 $\backslash \{0\; \backslash leq\; x\; \backslash leq\; L\backslash \}$이 추가된 경우, 이 모델은 이산 스펙트럼의 해를 가지며, 좌표-속도 위상 부피에 대한 국소적 불확실성 관계를 유도할 수 있다.

:$\backslash Delta\; x\; \backslash ,\; \backslash Delta\; v\; \backslash geq\; D\_0.$

여기서 $D\_0$는 해당 확산 스펙트럼 $D\_j$의 최소값이고, $\backslash Delta\; x$ 및 $\backslash Delta\; v$는 좌표-속도 정의의 불확실성을 나타낸다.

2.2. 다차원 포커르-플랑크 방정식

$\backslash mathbf\{X\}\_t$ 및 $\backslash boldsymbol\{\backslash mu\}(\backslash mathbf\{X\}\_t,t)$는 차원 벡터이고, $\backslash boldsymbol\{\backslash sigma\}(\backslash mathbf\{X\}\_t,t)$는 $N\; \backslash times\; M$ 행렬이고 $\backslash mathbf\{W\}\_t$는 M차원 표준 비너 과정일 때, $\backslash mathbf\{X\}\_t$에 대한 확률 밀도 $p(\backslash mathbf\{x\},t)$는 다음과 같은 포커르-플랑크 방정식을 만족한다.

:$\backslash frac\{\backslash partial\; p(\backslash mathbf\{x\},t)\}\{\backslash partial\; t\}\; =\; -\backslash sum\_\{i=1\}^N\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x\_i\}\; \backslash left[\; \backslash mu\_i(\backslash mathbf\{x\},t)\; p(\backslash mathbf\{x\},t)\; \backslash right]\; +\; \backslash sum\_\{i=1\}^\{N\}\; \backslash sum\_\{j=1\}^\{N\}\; \backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; x\_i\; \backslash ,\; \backslash partial\; x\_j\}\; \backslash left[\; D\_\{ij\}(\backslash mathbf\{x\},t)\; p(\backslash mathbf\{x\},t)\; \backslash right],$

드리프트 벡터 $\backslash boldsymbol\{\backslash mu\}\; =\; (\backslash mu\_1,\backslash ldots,\backslash mu\_N)$과 확산 텐서 $\backslash mathbf\{D\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash boldsymbol\{\backslash sigma\backslash sigma\}^\backslash mathsf\{T\}$를 사용하여, 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$$D\_\{ij\}(\backslash mathbf\{x\},t)\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash sum\_\{k=1\}^M\; \backslash sigma\_\{ik\}(\backslash mathbf\{x\},t)\; \backslash sigma\_\{jk\}(\backslash mathbf\{x\},t).$$

만약 Itô SDE 대신에 Stratonovich SDE를 고려한다면,

:$$d\backslash mathbf\{X\}\_t\; =\; \backslash boldsymbol\{\backslash mu\}(\backslash mathbf\{X\}\_t,t)\backslash ,dt\; +\; \backslash boldsymbol\{\backslash sigma\}(\backslash mathbf\{X\}\_t,t)\backslash circ\; d\backslash mathbf\{W\}\_t,$$

포커르-플랑크 방정식은 다음과 같다:

:$$\backslash frac\{\backslash partial\; p(\backslash mathbf\{x\},t)\}\{\backslash partial\; t\}\; =\; -\backslash sum\_\{i=1\}^N\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x\_i\}\; \backslash left[\; \backslash mu\_i(\backslash mathbf\{x\},t)\; \backslash ,\; p(\backslash mathbf\{x\},t)\; \backslash right]\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash sum\_\{k=1\}^M\; \backslash sum\_\{i=1\}^\{N\}\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x\_i\}\; \backslash left\backslash \{\; \backslash sigma\_\{ik\}(\backslash mathbf\{x\},t)\; \backslash sum\_\{j=1\}^\{N\}\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x\_j\}\; \backslash left[\; \backslash sigma\_\{jk\}(\backslash mathbf\{x\},t)\; \backslash ,\; p(\backslash mathbf\{x\},t)\; \backslash right]\; \backslash right\backslash \}$$

2.3. 스트라토노비치 SDE와 포커르-플랑크 방정식

3. 성질

이토 확률 과정의, 시간 t에서의 확률 밀도 함수 p(t,x)는 포커르-플랑크 방정식을 따른다.

일반적으로, 포커르-플랑크 방정식은 일반적인 콜모고로프 전진 방정식의 특수한 경우이다.

:$\backslash partial\_t\; \backslash rho\; =\; \backslash mathcal\{A\}^*\backslash rho$

여기서 선형 연산자 $\backslash mathcal\{A\}^*$는 마르코프 과정의 무한소 생성자에 대한 에르미트 수반이다.

3.1. 콜모고로프 전진 방정식과의 관계

일반적으로, 포커르-플랑크 방정식은 일반적인 콜모고로프 전진 방정식의 특수한 경우이다.

:$$\backslash partial\_t\; \backslash rho\; =\; \backslash mathcal\{A\}^*\backslash rho$$

여기서 선형 연산자 $\backslash mathcal\{A\}^*$는 마르코프 과정의 무한소 생성자에 대한 에르미트 수반이다.

4. 방정식의 유도

5. 응용

5.1. 물리학

플라스마 물리학에서, 입자 종 $s$의 분포 함수, $p\_s\; (\backslash mathbf\{x\},\backslash mathbf\{v\},t)$는 확률 밀도 함수를 대신한다. 이에 해당하는 볼츠만 방정식은 다음과 같다.

$$\backslash frac\{\backslash partial\; p\_s\}\{\backslash partial\; t\}\; +\; \backslash mathbf\{v\}\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\{\backslash nabla\}\; p\_s\; +\; \backslash frac\{Z\_s\; e\}\{m\_s\}\; \backslash left(\; \backslash mathbf\{E\}\; +\; \backslash mathbf\{v\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{B\}\; \backslash right)\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\{\backslash nabla\}\_v\; p\_s\; =\; -\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; v\_i\}\; \backslash left(p\_s\; \backslash langle\backslash Delta\; v\_i\backslash rangle\backslash right)\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; v\_i\; \backslash ,\; \backslash partial\; v\_j\}\; \backslash left(p\_s\; \backslash langle\backslash Delta\; v\_i\; \backslash ,\; \backslash Delta\; v\_j\backslash rangle\backslash right),$$

여기서 세 번째 항은 로렌츠 힘에 의한 입자 가속도를 포함하며, 오른쪽에 있는 포커-플랑크 항은 입자 충돌의 영향을 나타낸다. 양 $\backslash langle\backslash Delta\; v\_i\backslash rangle$와 $\backslash langle\backslash Delta\; v\_i\; \backslash ,\; \backslash Delta\; v\_j\backslash rangle$는 단위 시간 동안 다른 모든 입자 종과의 충돌로 인해 $s$ 유형의 입자가 겪는 평균 속도 변화이다. 충돌을 무시하면 볼츠만 방정식은 Vlasov 방정식으로 축소된다.

5.2. 금융 공학

수학 금융에서 변동성 스마일을 국소 변동성을 통해 옵션 모델링을 할 때, 시장 옵션 시세에서 얻은 확률 밀도와 일치하는 확산 계수 $\{\backslash sigma\}(\backslash mathbf\{X\}\_t,t)$를 도출하는 문제가 발생한다. 이 문제는 포커-플랑크 방정식의 역문제이다. 옵션 시장에서 추론한 옵션 기초 자산 X의 밀도 f(x,t)가 주어지면, f와 일치하는 국소 변동성 $\{\backslash sigma\}(\backslash mathbf\{X\}\_t,t)$를 찾는 것을 목표로 한다. Dupire (1994, 1997)는 비모수적 해법으로 일반화하여 해결했다. Brigo와 Mercurio (2002, 2003)는 혼합 모형에서 주어진 포커-플랑크 방정식의 해와 일치하는 특정 국소 변동성 $\{\backslash sigma\}(\backslash mathbf\{X\}\_t,t)$를 통해 매개변수 형태의 해법을 제안했다. Fengler (2008), Gatheral (2008), 및 Musiela와 Rutkowski (2008)에서도 관련 정보를 얻을 수 있다.

5.3. 생물학

5.4. 기타

6. 예시

위너 확률 과정 $W\_t$는 $f\; =\; 0$, $g^i\{\}\_j\; =\; \backslash delta^i\_j$인 이토 확률 과정이다. 이 경우 포커르-플랑크 방정식은 다음과 같다.
:$\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}p(t,x)\; =\; \backslash frac12\; \backslash Delta\; p(t,x)$
이는 $\backslash mathbb\; R^m$ 위의 열 방정식이다. 표준 스칼라 비너 과정은 확률 미분 방정식 $$dX\_t\; =\; dW\_t.$$에 의해 생성되는데, 여기서 드리프트 항은 0이고 확산 계수는 1/2이다. 따라서 이에 해당하는 포커르-플랑크 방정식은 다음과 같다.

$$$$
\frac{\partial p(x,t)}{\partial t} = \frac{1}{2} \frac{\partial^2 p(x,t)}{\partial x^2},


이는 확산 방정식의 가장 간단한 형태이다. 초기 조건이 $p(x,0)\; =\; \backslash delta(x)$인 경우 해는 다음과 같다.

$$p(x,t)\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\; \backslash pi\; t\}\}e^\{-\{x^2\}/(\{2t\})\}.$$

오르슈타인-울렌벡 과정은 다음과 같이 정의되는 과정이다.

:$$dX\_t\; =\; -a\; X\_t\; \backslash ,\; dt\; +\; \backslash sigma\; \backslash ,\; dW\_t.$$

여기서 $a>0$이다. 물리적으로, 이 방정식은 유체와 같은 매질에서 움직이는 속도 $V\_t$를 가진 질량 $m$의 입자는 운동에 저항하는 마찰력을 경험하며, 그 크기는 입자의 속도 $-a\; V\_t$에 비례하는 것으로 근사할 수 있다는 점을 통해 동기를 부여할 수 있다. 여기서 $a\; =\; \backslash mathrm\{상수\}$이다. 매질의 다른 입자들은 입자와 충돌하면서 입자를 무작위로 움직이게 하는데, 이 효과는 백색 잡음 항 $\backslash sigma\; (d\; W\_t/dt)$로 근사할 수 있다. 뉴턴의 제2법칙은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$$m\; \backslash frac\{dV\_t\}\{dt\}=-a\; V\_t\; +\backslash sigma\; \backslash frac\{dW\_t\}\{dt\}.$$

단순화를 위해 $m\; =\; 1$로 놓고, 표기법을 $V\_t\backslash rightarrow\; X\_t$로 변경하면 $dX\_t\; =\; -a\; X\_t\; dt\; +\; \backslash sigma\; dW\_t$와 같은 형식이 된다.

이에 해당하는 포커르-플랑크 방정식은 다음과 같다.
:$$$$
\frac{\partial p(x,t)}{\partial t} = a \frac{\partial}{\partial x}\left(x \,p(x,t)\right) + \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial^2 p(x,t)}{\partial x^2},


정상 상태 해($\backslash partial\_t\; p\; =\; 0$)는 다음과 같다.
:$$p\_\{ss\}(x)\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{a\}\{\backslash pi\; \backslash sigma^2\}\}\; e^\{-\{ax^2\}/\{\backslash sigma^2\}\}.$$

과감쇠된 랑제뱅 방정식$$dx\_t\; =\; -\backslash frac\{1\}\{k\_\backslash text\{B\}T\}\; (\backslash nabla\_x\; U)dt\; +\; dW\_t$$는 $\backslash partial\_t\; p\; =\; \backslash frac\; 1\; 2\; \backslash nabla\backslash cdot\; \backslash left(\backslash frac\{p\}\{k\_\backslash text\{B\}T\}\; \backslash nabla\; U\; +\; \backslash nabla\; p\backslash right)$을 제공한다. 볼츠만 분포 $p(x)\; \backslash propto\; e^\{-\; U(x)/k\_\backslash text\{B\}\; T\}$는 평형 분포이며, $U$가 충분히 빠르게 증가한다고 가정하면(즉, 포텐셜 우물이 입자를 가둘 만큼 충분히 깊으면) 볼츠만 분포는 유일한 평형 상태이다.

1차원 브라운 역학은 단순하다. 선형 포텐셜 $U(x)\; =\; cx$에서, 해당 스몰루초프스키 방정식은 다음과 같다.

$$\backslash partial\_t\; P(x,t|\; x\_0,\; t\_0)\; =\; \backslash partial\_x\; D\; (\backslash partial\_x\; +\; \backslash beta\; c)\; P(x,t|\; x\_0,\; t\_0)$$

여기서 확산 상수 $D$는 공간과 시간에 걸쳐 일정하다. 경계 조건은 확률이 $x\; \backslash rightarrow\; \backslash pm\; \backslash infin$에서 0으로 수렴하도록 하며, 초기 조건은 동일한 위치에서 시작하는 입자 앙상블 $P(x,t|x\_0,t\_0)=\; \backslash delta\; (x-x\_0)$이다.

$\backslash tau\; =\; D\; t$ 및 $b\; =\; \backslash beta\; c$로 정의하고 좌표 변환 $y\; =\; x\; +\backslash tau\; b\; ,\backslash \; \backslash \; \backslash \; y\_0=\; x\_0\; +\; \backslash tau\_0\; b$을 적용하고, $P(x,\; t,\; |x\_0,\; t\_0)\; =\; q(y,\; \backslash tau|y\_0,\; \backslash tau\_0)$를 사용하면 스몰루초프스키 방정식은 다음과 같이 변환된다.

$$\backslash partial\_\backslash tau\; q(y,\; \backslash tau|\; y\_0,\; \backslash tau\_0)\; =\backslash partial\_y^2\; q(y,\; \backslash tau|\; y\_0,\; \backslash tau\_0)$$

이는 자유 확산 방정식이며, 해는 다음과 같다.

$$q(y,\; \backslash tau|\; y\_0,\; \backslash tau\_0)=\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\; \{4\; \backslash pi\; (\backslash tau\; -\; \backslash tau\_0)\}\}\; e^\{\; -\backslash frac\{(y-y\_0)^2\}\{4(\backslash tau-\backslash tau\_0)\}\; \}$$

그리고 원래 좌표로 다시 변환하면, 다음과 같은 결과를 얻는다.

$$P(x,\; t\; |\; x\_0,\; t\_0)=\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{4\; \backslash pi\; D\; (t\; -\; t\_0)\}\}\; \backslash exp\; \{\backslash left[\{\; -\backslash frac\{(x-x\_0+\; D\; \backslash beta\; c(t-t\_0))^2\}\{4D(t-t\_0)\}\}\; \backslash right]\}$$

브라운 운동 시뮬레이션은 시스템에 대한 랑제뱅 방정식으로 시작하여 완성되었다.

$$m\backslash ddot\{x\}\; =\; -\; \backslash gamma\; \backslash dot\{x\}\; -c\; +\; \backslash sigma\; \backslash xi(t)$$

여기서 $\backslash gamma$는 마찰항, $\backslash xi$는 입자에 작용하는 변동력, $\backslash sigma$는 변동의 진폭이다. 평형 상태에서 마찰력은 관성력보다 훨씬 크므로 ($\backslash left|\; \backslash gamma\; \backslash dot\{x\}\; \backslash right|\; \backslash gg\; \backslash left|\; m\; \backslash ddot\{x\}\; \backslash right|$), 랑제뱅 방정식은 다음과 같이 간략화된다.

$$\backslash gamma\; \backslash dot\{x\}\; =\; -c\; +\; \backslash sigma\; \backslash xi(t)$$

시뮬레이션에서 변동력 $\backslash xi(t)$는 가우시안 분포를 따르며, 진폭은 $\backslash sigma\; =\; \backslash sqrt\{2\backslash gamma\; k\_\backslash text\{B\}\; T\}$이다. 랑제뱅 방정식을 다시 쓰면,

$$\backslash frac\{dx\}\{dt\}=-D\; \backslash beta\; c\; +\; \backslash sqrt\{2D\}\backslash xi(t)$$

여기서 $D\; =\; \backslash frac\{k\_\backslash text\{B\}T\}\{\backslash gamma\}$는 아인슈타인 관계이다. 이 방정식의 적분은 오일러-마루야마 방법을 사용하여 수행되었다.

6.1. 위너 과정

위너 확률 과정 $W\_t$는 $f\; =\; 0$, $g^i\{\}\_j\; =\; \backslash delta^i\_j$인 이토 확률 과정이다. 이 경우 포커르-플랑크 방정식은 다음과 같다.
:$\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}p(t,x)\; =\; \backslash frac12\; \backslash Delta\; p(t,x)$
이는 $\backslash mathbb\; R^m$ 위의 열 방정식이다. 표준 스칼라 비너 과정은 확률 미분 방정식 $$dX\_t\; =\; dW\_t.$$에 의해 생성되는데, 여기서 드리프트 항은 0이고 확산 계수는 1/2이다. 따라서 이에 해당하는 포커르-플랑크 방정식은 다음과 같다.

$$$$
\frac{\partial p(x,t)}{\partial t} = \frac{1}{2} \frac{\partial^2 p(x,t)}{\partial x^2},


이는 확산 방정식의 가장 간단한 형태이다. 초기 조건이 $p(x,0)\; =\; \backslash delta(x)$인 경우 해는 다음과 같다.

$$p(x,t)\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\; \backslash pi\; t\}\}e^\{-\{x^2\}/(\{2t\})\}.$$

6.2. 오르슈타인-울렌벡 과정

오르슈타인-울렌벡 과정은 다음과 같이 정의되는 과정이다.

:$$dX\_t\; =\; -a\; X\_t\; \backslash ,\; dt\; +\; \backslash sigma\; \backslash ,\; dW\_t.$$

여기서 $a>0$이다. 물리적으로, 이 방정식은 유체와 같은 매질에서 움직이는 속도 $V\_t$를 가진 질량 $m$의 입자는 운동에 저항하는 마찰력을 경험하며, 그 크기는 입자의 속도 $-a\; V\_t$에 비례하는 것으로 근사할 수 있다는 점을 통해 동기를 부여할 수 있다. 여기서 $a\; =\; \backslash mathrm\{상수\}$이다. 매질의 다른 입자들은 입자와 충돌하면서 입자를 무작위로 움직이게 하는데, 이 효과는 백색 잡음 항 $\backslash sigma\; (d\; W\_t/dt)$로 근사할 수 있다. 뉴턴의 제2법칙은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$$m\; \backslash frac\{dV\_t\}\{dt\}=-a\; V\_t\; +\backslash sigma\; \backslash frac\{dW\_t\}\{dt\}.$$

단순화를 위해 $m\; =\; 1$로 놓고, 표기법을 $V\_t\backslash rightarrow\; X\_t$로 변경하면 $dX\_t\; =\; -a\; X\_t\; dt\; +\; \backslash sigma\; dW\_t$와 같은 형식이 된다.

이에 해당하는 포커르-플랑크 방정식은 다음과 같다.
:$$$$
\frac{\partial p(x,t)}{\partial t} = a \frac{\partial}{\partial x}\left(x \,p(x,t)\right) + \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial^2 p(x,t)}{\partial x^2},


정상 상태 해($\backslash partial\_t\; p\; =\; 0$)는 다음과 같다.
:$$p\_\{ss\}(x)\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{a\}\{\backslash pi\; \backslash sigma^2\}\}\; e^\{-\{ax^2\}/\{\backslash sigma^2\}\}.$$

6.3. 열역학 평형 상태의 볼츠만 분포

과감쇠된 랑제뱅 방정식$$dx\_t\; =\; -\backslash frac\{1\}\{k\_\backslash text\{B\}T\}\; (\backslash nabla\_x\; U)dt\; +\; dW\_t$$는 $\backslash partial\_t\; p\; =\; \backslash frac\; 1\; 2\; \backslash nabla\backslash cdot\; \backslash left(\backslash frac\{p\}\{k\_\backslash text\{B\}T\}\; \backslash nabla\; U\; +\; \backslash nabla\; p\backslash right)$을 제공한다. 볼츠만 분포 $p(x)\; \backslash propto\; e^\{-\; U(x)/k\_\backslash text\{B\}\; T\}$는 평형 분포이며, $U$가 충분히 빠르게 증가한다고 가정하면(즉, 포텐셜 우물이 입자를 가둘 만큼 충분히 깊으면) 볼츠만 분포는 유일한 평형 상태이다.

6.4. 1차원 선형 포텐셜

1차원 브라운 역학은 단순하다. 선형 포텐셜 $U(x)\; =\; cx$에서, 해당 스몰루초프스키 방정식은 다음과 같다.

$$\backslash partial\_t\; P(x,t|\; x\_0,\; t\_0)\; =\; \backslash partial\_x\; D\; (\backslash partial\_x\; +\; \backslash beta\; c)\; P(x,t|\; x\_0,\; t\_0)$$

여기서 확산 상수 $D$는 공간과 시간에 걸쳐 일정하다. 경계 조건은 확률이 $x\; \backslash rightarrow\; \backslash pm\; \backslash infin$에서 0으로 수렴하도록 하며, 초기 조건은 동일한 위치에서 시작하는 입자 앙상블 $P(x,t|x\_0,t\_0)=\; \backslash delta\; (x-x\_0)$이다.

$\backslash tau\; =\; D\; t$ 및 $b\; =\; \backslash beta\; c$로 정의하고 좌표 변환 $y\; =\; x\; +\backslash tau\; b\; ,\backslash \; \backslash \; \backslash \; y\_0=\; x\_0\; +\; \backslash tau\_0\; b$을 적용하고, $P(x,\; t,\; |x\_0,\; t\_0)\; =\; q(y,\; \backslash tau|y\_0,\; \backslash tau\_0)$를 사용하면 스몰루초프스키 방정식은 다음과 같이 변환된다.

$$\backslash partial\_\backslash tau\; q(y,\; \backslash tau|\; y\_0,\; \backslash tau\_0)\; =\backslash partial\_y^2\; q(y,\; \backslash tau|\; y\_0,\; \backslash tau\_0)$$

이는 자유 확산 방정식이며, 해는 다음과 같다.

$$q(y,\; \backslash tau|\; y\_0,\; \backslash tau\_0)=\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\; \{4\; \backslash pi\; (\backslash tau\; -\; \backslash tau\_0)\}\}\; e^\{\; -\backslash frac\{(y-y\_0)^2\}\{4(\backslash tau-\backslash tau\_0)\}\; \}$$

그리고 원래 좌표로 다시 변환하면, 다음과 같은 결과를 얻는다.

$$P(x,\; t\; |\; x\_0,\; t\_0)=\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{4\; \backslash pi\; D\; (t\; -\; t\_0)\}\}\; \backslash exp\; \{\backslash left[\{\; -\backslash frac\{(x-x\_0+\; D\; \backslash beta\; c(t-t\_0))^2\}\{4D(t-t\_0)\}\}\; \backslash right]\}$$

브라운 운동 시뮬레이션은 시스템에 대한 랑제뱅 방정식으로 시작하여 완성되었다.

$$m\backslash ddot\{x\}\; =\; -\; \backslash gamma\; \backslash dot\{x\}\; -c\; +\; \backslash sigma\; \backslash xi(t)$$

여기서 $\backslash gamma$는 마찰항, $\backslash xi$는 입자에 작용하는 변동력, $\backslash sigma$는 변동의 진폭이다. 평형 상태에서 마찰력은 관성력보다 훨씬 크므로 ($\backslash left|\; \backslash gamma\; \backslash dot\{x\}\; \backslash right|\; \backslash gg\; \backslash left|\; m\; \backslash ddot\{x\}\; \backslash right|$), 랑제뱅 방정식은 다음과 같이 간략화된다.

$$\backslash gamma\; \backslash dot\{x\}\; =\; -c\; +\; \backslash sigma\; \backslash xi(t)$$

시뮬레이션에서 변동력 $\backslash xi(t)$는 가우시안 분포를 따르며, 진폭은 $\backslash sigma\; =\; \backslash sqrt\{2\backslash gamma\; k\_\backslash text\{B\}\; T\}$이다. 랑제뱅 방정식을 다시 쓰면,

$$\backslash frac\{dx\}\{dt\}=-D\; \backslash beta\; c\; +\; \backslash sqrt\{2D\}\backslash xi(t)$$

여기서 $D\; =\; \backslash frac\{k\_\backslash text\{B\}T\}\{\backslash gamma\}$는 아인슈타인 관계이다. 이 방정식의 적분은 오일러-마루야마 방법을 사용하여 수행되었다.

7. 계산 및 해법

브라운 운동은 Langevin 방정식을 따르는데, 이는 여러 다른 확률적 힘에 대해 풀 수 있으며, 그 결과가 평균화된다([분자동역학]에서 정준 앙상블). 그러나 이러한 계산 집약적인 접근 방식 대신, 포커르-플랑크 방정식을 사용하여 시간이 0일 때 $\backslash mathbf\{v\}\_0$에서 운동을 시작할 때 입자가 구간 $(\backslash mathbf\{v\},\; \backslash mathbf\{v\}\; +\; d\backslash mathbf\{v\})$ 내의 속도를 가질 확률 $p(\backslash mathbf\{v\},\; t)\backslash ,d\backslash mathbf\{v\}$를 고려할 수 있다.

8. 경로 적분과의 관계

모든 포커르-플랑크 방정식은 경로 적분과 동일하다. 경로 적분 공식은 장론 방법을 적용하기 위한 훌륭한 출발점이며, 임계 동역학에서 사용된다.

경로 적분의 유도는 양자역학에서와 유사한 방식으로 가능하다. 한 변수 $x$를 가진 포커르-플랑크 방정식에 대한 유도는 다음과 같다. 먼저 델타 함수를 삽입한 다음 부분 적분한다.

$$\backslash begin\{align\}$$
\frac{\partial }{\partial t} p{\left( x', t\right)}
& = - \frac{\partial }{\partial x'} \left[ D_1(x',t) p(x',t) \right] + \frac{\partial^2 }{\partial {x'}^2} \left[ D_2(x',t) p(x',t) \right] \\[1ex]
& = \int_{-\infty}^{\infty} dx\left[ \left( D_{1}{\left( x,t\right)} \frac{\partial }{\partial x} + D_2{ \left( x,t\right)} \frac{\partial^2}{\partial x^2}\right) \delta{\left( x' -x\right)} \right] p(x,t).
\end{align}

여기서의 $x$-미분은 $p(x,t)$가 아닌 $\backslash delta$-함수에만 작용한다. 시간 간격 $\backslash varepsilon$에 대해 적분하면,

$$p(x\text{'},\; t\; +\; \backslash varepsilon)\; =\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}x\backslash left(\backslash left(\; 1+\backslash varepsilon\; \backslash left[\; D\_1(x,t)\; \backslash frac\; \backslash partial\; \{\backslash partial\; x\}\; +\; D\_2(x,t)\; \backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; x^2\}\backslash right]\backslash right)\; \backslash delta(x\text{'}\; -\; x)\; \backslash right)\; p(x,t)+O(\backslash varepsilon^2).$$

푸리에 적분

$$\backslash delta\{\backslash left(\; x\text{'}\; -\; x\backslash right)\}\; =\; \backslash int\_\{-i\backslash infty\}^\{i\backslash infty\}\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\; \backslash tilde\{x\}\}\{2\backslash pi\; i\}\; e^\{\backslash tilde\{x\}\; \{\backslash left(\; x\; -\; x\text{'}\backslash right)\}\}$$

을 $\backslash delta$-함수에 대해 삽입하면,

$$\backslash begin\{align\}$$
p(x', t+\varepsilon) & = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{d}x \int_{-i\infty}^{i\infty} \frac{\mathrm{d}\tilde{x}}{2\pi i} \left(1+\varepsilon \left[ \tilde{x} D_1(x,t) +\tilde{x}^2 D_2(x,t) \right] \right) e^{\tilde{x} (x - x')}p(x,t) +O(\varepsilon^2) \\[5pt]
& =\int_{-\infty}^\infty \mathrm{d}x \int_{-i\infty}^{i\infty} \frac{\mathrm{d}\tilde{x}}{2\pi i}\exp \left( \varepsilon \left[ -\tilde{x}\frac{(x'- x) }\varepsilon + \tilde{x} D_1(x,t) +\tilde{x}^2 D_2(x,t) \right] \right) p(x,t) +O(\varepsilon^2).
\end{align}

이 방정식은 $p(x\text{'},\; t+\backslash varepsilon)$을 $p(x,t)$의 함수로 표현한다. $(t\text{'}-t)/\backslash varepsilon$번 반복하고 $\backslash varepsilon\; \backslash rightarrow\; 0$의 극한을 취하면 작용이

$$S=\backslash int\; \backslash mathrm\{d\}t\backslash left[\; \backslash tilde\{x\}\; D\_1\; (x,t)\; +\backslash tilde\{x\}^2\; D\_2\; (x,t)\; -\backslash tilde\{x\}\backslash frac\{\backslash partial\; x\}\{\backslash partial\; t\}\; \backslash right].$$

인 경로 적분을 얻는다. $x$에 켤레인 변수 $\backslash tilde\{x\}$는 "응답 변수"라고 불린다.

형식적으로는 동일하지만, 서로 다른 문제는 포커르-플랑크 방정식 또는 경로 적분 공식에서 더 쉽게 해결될 수 있다. 예를 들어 평형 분포는 포커르-플랑크 방정식에서 더 직접적으로 얻을 수 있다.

9. 역사

아드리안 다니얼 포커르(Adriaan Daniël Fokker^{네덜란드어}, 1887〜1972)와 막스 플랑크가 도입하였다.