플랑크 법칙

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1. 개요
2. 역사적 배경
3. 플랑크 법칙
4. 플랑크 법칙의 유도
5. 플랑크 법칙의 응용
6. 한국의 관점
7. 한계
8. 같이 보기
참조

1. 개요

플랑크 법칙은 흑체가 방출하는 복사 에너지를 설명하는 법칙으로, 1900년 막스 플랑크에 의해 제안되었다. 이 법칙은 흑체 복사의 에너지 밀도가 온도와 주파수에 따라 어떻게 분포하는지를 나타내며, 고전 물리학의 한계를 극복하고 양자역학의 발전에 기여했다. 플랑크 법칙은 빈의 변위 법칙과 슈테판-볼츠만 법칙을 포함하며, 저주파수에서는 레일리-진스 법칙, 고주파수에서는 빈의 근사식으로 근사된다. 플랑크 법칙은 천체 물리학, 원격 측정, 지구 온난화 연구 등 다양한 분야에 응용된다.

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플랑크 법칙
개요
이름	플랑크의 법칙
분류	물리학 법칙, 열역학, 전자기학, 양자역학
설명	흑체에서 방출되는 복사 에너지의 스펙트럼 밀도를 설명하는 법칙
관련 인물	막스 플랑크
역사적 배경
도입 시기	1900년 막스 플랑크에 의해 도입
중요성	양자역학의 시초가 된 법칙
수식 및 표현
수식 표현	B(ν, T) = (2hν³/c²) / (exp(hν/kT) − 1)
기호 설명	B: 스펙트럼 복사율 ν: 진동수 T: 절대온도 h: 플랑크 상수 c: 진공에서의 빛의 속도 k: 볼츠만 상수
에너지 양자화	E = hν (플랑크-아인슈타인 관계)
응용
분야	천체물리학, 분광학, 열역학 등 다양한 분야에서 활용
예시	별의 색깔과 온도 분석 태양의 복사 에너지 예측 흑체 복사 연구
추가 정보
참고 사항	흑체의 이상적인 모델을 기준으로 함 빈의 변위 법칙과 슈테판-볼츠만 법칙을 유도하는 기반
관련 용어
관련 용어	흑체 플랑크 상수 볼츠만 상수 빈의 변위 법칙 슈테판-볼츠만 법칙 양자역학 플랑크-아인슈타인 관계

2. 역사적 배경

구스타프 키르히호프는 1859년에 흑체가 방출하는 복사 에너지가 온도와 진동수에만 의존한다는 법칙을 발견했다.^[45]^[46] 이는 플랑크 법칙의 기초가 되었다.

1896년, 빌헬름 빈은 흑체 복사의 스펙트럼에서 에너지 밀도가 최대가 되는 파장이 온도에 반비례한다는 빈의 변위 법칙을 발견했다. 이 법칙은 고주파 영역에서는 잘 맞았지만, 저주파 영역에서는 실험 결과와 일치하지 않았다.^[36]

1900년과 1905년, 레일리 경과 제임스 진스는 고전 물리학을 바탕으로 흑체 복사 공식을 유도했지만, 이 공식은 저주파 영역에서는 잘 맞았지만 고주파 영역에서는 에너지 밀도가 무한대로 발산하는 "자외선 파탄" 문제를 야기했다.^[33]^[34]

막스 플랑크는 1900년에 에너지 양자 가설을 도입하여 모든 진동수 영역에서 실험 결과와 잘 맞는 흑체 복사 공식을 유도했다. 이는 양자역학의 시초가 되었다.^[90]^[91]

1905년, 알베르트 아인슈타인은 플랑크의 에너지 양자 개념을 빛에 적용하여 광전효과를 설명하고, 빛이 입자처럼 행동한다는 광양자 가설을 제안했다.^[127]

1924년, 사티엔드라 나트 보스는 광자를 보스-아인슈타인 통계를 따르는 입자로 간주하여 플랑크 법칙을 통계역학적으로 유도했다.^[154]

3. 플랑크 법칙

모든 물체는 자발적이고 지속적으로 전자기파를 방출하며, 물체의 분광복사도는 단위 면적, 단위 입체각, 단위 주파수당 특정 방사 주파수에 대한 단위 면적당 분광 방출력을 나타낸다. 플랑크 방사 법칙은 온도가 증가함에 따라 물체의 총 방사 에너지가 증가하고 방출 스펙트럼의 피크가 더 짧은 파장으로 이동함을 보여준다.^[4]^[5]^[6]

흑체는 모든 주파수의 복사를 흡수하고 방출하는 이상적인 물체이다. 열역학적 평형에 가까울 때, 방출되는 복사는 플랑크 법칙으로 잘 설명되며, 온도에 대한 의존성 때문에 플랑크 복사는 열복사라고도 한다. 즉, 물체의 온도가 높을수록 모든 파장에서 더 많은 복사를 방출한다.

플랑크 복사는 물체의 온도에 따라 달라지는 파장에서 최대 강도를 갖는다. 예를 들어, 실온(~)에서 물체는 대부분 적외선으로 눈에 보이지 않는 열복사를 방출한다. 온도가 높아짐에 따라 적외선 복사량이 증가하여 열로 느껴지고, 더 많은 가시광선이 방출되어 물체가 붉게 빛난다. 온도가 더 높아지면 물체는 밝은 노란색 또는 푸른빛을 띠며 자외선 및 X선을 포함한 상당량의 단파장 복사를 방출한다. 태양 표면(~)은 적외선과 자외선을 다량 방출하며, 방출은 가시광선 스펙트럼에서 최고조에 달한다. 온도에 따른 이러한 변화를 빈의 변위 법칙이라고 한다.

플랑크 복사는 열역학적 평형 상태에 있는 물체가 표면에서 방출할 수 있는 최대 복사량이며, 화학적 조성이나 표면 구조에 관계없다.^[43]

맥스웰-볼츠만 분포가 열역학적 평형 상태에 있는 물질 입자의 기체에 대한 고유한 최대 엔트로피 에너지 분포인 것처럼, 플랑크 분포는 광자 기체에 대한 고유한 최대 엔트로피 에너지 분포이다.^[9]^[10]

저주파수(장파장)의 한계에서 플랑크 법칙은 레일리-진스 법칙에 가까워지며, 고주파수(단파장)의 한계에서는 빈의 근사식에 가까워진다.

막스 플랑크는 1900년에 경험적으로 결정된 상수만을 사용하여 이 법칙을 개발했고, 나중에 에너지 분포로 표현했을 때, 열역학적 평형 상태의 방사에 대한 고유한 안정적인 분포임을 보였다.^[7]

3. 1. 공식

Spectral Radiance^영어는 다음과 같다.^[4]^[5]^[6]

B_\nu(\nu, T) = \frac{ 2 h \nu^3}{c^2} \frac 1{\exp\left(\frac{h\nu}{k_\mathrm  B T}\right) - 1}

Spectral Energy Density^영어는 다음과 같다.^[2]^[3]

u_\nu(\nu, T) = \frac{ 8 \pi h \nu^3}{c^3} \frac 1{\exp\left(\frac{h\nu}{k_\mathrm  B T}\right) - 1}

여기서 사용된 기호의 의미는 다음과 같다.

기호	의미	국제단위계	cgs 단위계
,	분광 방출휘도 또는 에너지(단위 시간, 표면적, 입체각, 주파수(파장)당)	J⋅s⁻¹⋅m⁻²⋅sr⁻¹⋅Hz⁻¹, 또는 J⋅s⁻¹⋅m⁻²⋅sr⁻¹⋅m⁻¹	erg⋅s⁻¹⋅cm⁻²⋅Hz⁻¹⋅sr⁻¹, 또는 erg⋅s⁻¹⋅cm⁻²⋅sr⁻¹⋅cm⁻¹
style="text-align:center;"\|	주파수	헤르츠 (Hz)	헤르츠
style="text-align:center;"\|	파장	미터 (m)	센티미터 (cm)
style="text-align:center;"\|	흑체의 절대온도	켈빈 (K)	켈빈
style="text-align:center;"\|	플랑크 상수	줄⋅초 (J⋅s)	에르그⋅초 (erg⋅s)
style="text-align:center;"\|	광속	미터 매 초 (m/s)	센티미터 매 초 (cm/s)
style="text-align:center;"\|	자연로그의 밑, 2.718281...	무차원량	무차원량
style="text-align:center;"\|	볼츠만 상수	줄 매 켈빈 (J/K)	에르그 매 켈빈 (erg/K)

3. 2. 다양한 형태

모든 물체는 자발적이고 지속적으로 전자기파를 방출하며, 물체의 분광복사도는 단위 면적, 단위 입체각, 단위 주파수당 특정 방사 주파수에 대한 단위 면적당 분광 방출력을 나타낸다. 플랑크 방사 법칙은 온도가 증가함에 따라 물체의 총 방사 에너지가 증가하고 방출 스펙트럼의 피크가 더 짧은 파장으로 이동함을 보여준다.^[4]^[5]^[6]

분광 복사도는 단위 주파수 대신 단위 파장으로도 나타낼 수 있다. 또한, 이 법칙은 특정 파장에서 방출되는 광자의 수 또는 방사 부피의 에너지 밀도와 같은 다른 용어로도 표현될 수 있다.

플랑크 법칙은 서로 다른 과학 분야의 관례와 선호도에 따라 여러 형태로 나타날 수 있다. 다음 표는 스펙트럼 복사도에 대한 법칙의 다양한 형태를 요약한 것이다. 왼쪽의 형태는 주로 실험 분야에서, 오른쪽의 형태는 주로 이론 분야에서 사용된다.

서로 다른 스펙트럼 변수에 따른 복사도^[11]^[12]^[13]^[14]
사용		사용
변수	분포	변수	분포
진동수	$B_\nu(\nu, T) =\frac{ 2 h\nu^{3}}{c^2} \frac{1}{ e^{h\nu/(k_\mathrm{B}T)} - 1 }$	각진동수	$B_\omega(\omega, T) =\frac{ \hbar\omega^{3}}{4 \pi^3 c^2} \frac{1}{ e^{\hbar \omega/(k_\mathrm{B}T)} - 1 }$
파장	$B_\lambda(\lambda, T) =\frac{2 hc^2}{\lambda^5} \frac{1}{ e^{h c/(\lambda k_\mathrm{B}T)} - 1 }$	각파장	$B_y(y, T) =\frac{\hbar c^2}{4 \pi^3 y^5} \frac{1}{ e^{\hbar c/(y k_\mathrm{B}T)} - 1 }$
파수	$B_\tilde{\nu}(\tilde{\nu}, T) =2 hc^2\tilde{\nu}^3 \frac{1}{ e^{hc\tilde{\nu}/(k_\mathrm{B}T)} - 1 }$	각파수	$B_k(k, T) = \frac{\hbar c^2 k^3}{4 \pi^3} \frac{1}{ e^{\hbar c k/(k_\mathrm{B}T)} - 1 }$
분율 대역폭	$B_{\ln x}(x, T) = \frac{2 k_\mathrm{B}^4 T^4}{h^3 c^2} \frac{x^4}{ e^{x} - 1 }$

분율 대역폭 공식에서, 이며, 적분은 에 대해 수행된다.

플랑크 법칙은 에 을 곱하여 스펙트럼 에너지 밀도 ()로 나타낼 수도 있다.^[15]

서로 다른 스펙트럼 변수에 따른 스펙트럼 에너지 밀도 ^[3]
사용		사용
변수	분포	변수	분포
진동수	$u_\nu(\nu, T) =\frac{ 8 \pi h\nu^{3}}{c^3} \frac{1}{ e^{h\nu/(k_\mathrm{B}T)} - 1 }$	각진동수	$u_\omega(\omega, T) =\frac{ \hbar\omega^{3}}{\pi^2 c^3} \frac{1}{ e^{\hbar \omega/(k_\mathrm{B}T)} - 1 }$
파장	$u_\lambda(\lambda, T) =\frac{8\pi h c}{\lambda^5} \frac{1}{ e^{h c/(\lambda k_\mathrm{B}T)} - 1 }$	각파장	$u_y(y, T) =\frac{\hbar c}{ \pi^2 y^5} \frac{1}{ e^{\hbar c/(y k_\mathrm{B}T)} - 1 }$
파수	$u_\tilde{\nu}(\tilde{\nu}, T) = 8 \pi hc\tilde{\nu}^{3} \frac{1}{ e^{hc\tilde{\nu}/(k_\mathrm{B}T)} - 1 }$	각파수	$u_k(k, T) = \frac{\hbar c k^3}{\pi^2 } \frac{1}{ e^{\hbar c k/(k_\mathrm{B}T)} - 1 }$
분율 대역폭	$u_{\ln x}(x, T) = \frac{8 \pi k_\mathrm{B}^4 T^4}{h^3 c^3} \frac{x^4}{ e^{x} - 1 }$

이러한 분포는 흑체의 스펙트럼 복사도를 나타낸다. 이는 단위 방출면적당, 단위 입체각당, 스펙트럼 단위(진동수, 파장, 파수 또는 그 각 등가물, 또는 분율 진동수 또는 파장)당 방출 표면에서 방출되는 출력을 의미한다. 복사도는 등방성(즉, 방향에 무관)이므로, 법선에 대한 각도로 방출되는 출력은 투영된 면적, 따라서 람베르트 코사인 법칙에 따라 해당 각도의 코사인에 비례하며, 무편광이다.

플랑크 법칙의 표현은 사용하는 스펙트럼 변수에 따라 달라진다. 일반적으로 단순히 변수를 다른 변수로 치환하여 플랑크 법칙의 다양한 형태를 서로 변환할 수 없다. 이는 서로 다른 형태가 서로 다른 단위를 가지고 있기 때문입니다. 파장과 진동수 단위는 서로 역수 관계이다.

서로 다른 표현 형태는 동일한 물리적 사실을 나타내기 때문에 서로 관련되어 있다. 특정한 물리적 스펙트럼 증분에 대해, 특정한 물리적 에너지 증분이 방출된다.

이는 진동수 증분 또는 해당하는 파장 증분 , 또는 분율 대역폭 또는 의 관점으로 표현하든 상관없다. 음수 부호를 도입하면 진동수 증분이 파장 감소에 해당함을 나타낼 수 있다.

같은 단위로 같은 양을 나타내도록 서로 다른 형태를 변환하려면 스펙트럼 증분을 곱한다. 그러면 특정 스펙트럼 증분에 대해 특정 물리적 에너지 증분은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$B_\lambda ( \lambda, T) \, d \lambda=-B_\nu(\nu ( \lambda), T) \, d \nu,$

이는 다음과 같이 이어진다.

$B_\lambda(\lambda,T)=-\frac{d \nu}{ d \lambda}B_\nu(\nu (\lambda), T).$

또한, , 따라서 이다. 치환하면 서로 다른 차원과 단위를 가진 진동수와 파장 형태 간의 대응 관계가 나타난다.^[13]^[16] 결과적으로,

$\frac{B_\lambda (T)}{B_\nu (T)}=\frac{c}{\lambda ^2}=\frac{\nu ^2}{c}.$

분명히 플랑크 법칙에 대한 스펙트럼 분포의 피크 위치는 스펙트럼 변수의 선택에 따라 달라진다. 그럼에도 불구하고, 어떤 의미에서 이 공식은 빈의 변위 법칙에 따라 스펙트럼 분포의 모양이 온도에 무관함을 의미한다.

분율 대역폭 형태는 다른 형태와 다음과 같은 관계가 있다.^[14]

: $B_{\ln x} = \nu B_\nu = \lambda B_\lambda$ .

위 플랑크 법칙의 변형들에서 파장 및 파수 변형은 물리 상수만으로 구성된 및 항을 사용한다. 따라서 이러한 항들은 물리 상수로 간주될 수 있으며,^[17] 따라서 '''제1 복사 상수''' 및 '''제2 복사 상수''' 라고 한다.

그리고

복사 상수를 사용하면 플랑크 법칙의 파장 변형은 다음과 같이 간소화할 수 있다.

$L(\lambda,T) =\frac{c_{1L}}{\lambda^5}\frac{1}{\exp\left(\frac{c_2}{\lambda T}\right)-1}$

그리고 파수 변형도 마찬가지로 간소화할 수 있다.

은 분광복사휘도의 SI 단위 기호이므로 대신 사용된다. 의 은 이를 나타낸다. 플랑크 법칙은 분광복사휘도 가 아닌 분광복사출력량 을 제공하도록 다시 공식화될 수 있으므로 이 참조는 필요하다. 이 경우 을 대체하여 을 사용하며,

따라서 분광복사출력량에 대한 플랑크 법칙은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$M(\lambda,T) =\frac{c_{1}}{\lambda^5}\frac{1}{\exp\left(\frac{c_2}{\lambda T}\right)-1}$

3. 3. 주요 특징

플랑크 법칙은 특정 온도에서 흑체가 방출하는 복사 에너지의 세기가 특정 파장 또는 주파수에서 최대가 된다는 것을 보여준다.

'''빈의 변위 법칙''': 최대 복사 세기를 나타내는 파장(혹은 주파수)은 온도에 반비례한다.^[43] 예를 들어, 실온(약 300,000)에서 물체는 대부분 적외선으로 눈에 보이지 않는 열복사를 방출하지만, 온도가 높아질수록 더 많은 가시광선이 방출되어 붉게 빛나고, 더 높은 온도에서는 밝은 노란색 또는 푸른빛을 띠며 자외선 및 X선을 포함한 상당량의 단파장 복사를 방출한다.^[43]
'''슈테판-볼츠만 법칙''': 흑체가 단위 면적, 단위 시간당 방출하는 총 에너지는 절대온도의 네제곱에 비례한다.^[29]

플랑크 복사는 열역학적 평형 상태에 있는 물체가 표면에서 방출할 수 있는 최대 복사량이며, 화학적 조성이나 표면 구조에 관계없다.^[43]

플랑크 법칙은 사용하는 스펙트럼 변수에 따라 다른 형태로 나타낼 수 있다. 다음 표는 스펙트럼 복사도에 대한 법칙의 다양한 형태를 요약한 것이다.

서로 다른 스펙트럼 변수에 따른 복사도^[11]^[12]^[13]^[14]
사용		사용
변수	분포	변수	분포
진동수	$B_\nu(\nu, T) =\frac{ 2 h\nu^{3}}{c^2} \frac{1}{ e^{h\nu/(k_\mathrm{B}T)} - 1 }$	각진동수	$B_\omega(\omega, T) =\frac{ \hbar\omega^{3}}{4 \pi^3 c^2} \frac{1}{ e^{\hbar \omega/(k_\mathrm{B}T)} - 1 }$
파장	$B_\lambda(\lambda, T) =\frac{2 hc^2}{\lambda^5} \frac{1}{ e^{h c/(\lambda k_\mathrm{B}T)} - 1 }$	각파장	$B_y(y, T) =\frac{\hbar c^2}{4 \pi^3 y^5} \frac{1}{ e^{\hbar c/(y k_\mathrm{B}T)} - 1 }$
파수	$B_\tilde{\nu}(\tilde{\nu}, T) =2 hc^2\tilde{\nu}^3 \frac{1}{ e^{hc\tilde{\nu}/(k_\mathrm{B}T)} - 1 }$	각파수	$B_k(k, T) = \frac{\hbar c^2 k^3}{4 \pi^3} \frac{1}{ e^{\hbar c k/(k_\mathrm{B}T)} - 1 }$
분율 대역폭	$B_{\ln x}(x, T) = \frac{2 k_\mathrm{B}^4 T^4}{h^3 c^2} \frac{x^4}{ e^{x} - 1 }$

플랑크 법칙은 에 을 곱하여 스펙트럼 에너지 밀도 ()로 나타낼 수도 있다.^[15]

서로 다른 스펙트럼 변수에 따른 스펙트럼 에너지 밀도 ^[3]
사용		사용
변수	분포	변수	분포
진동수	$u_\nu(\nu, T) =\frac{ 8 \pi h\nu^{3}}{c^3} \frac{1}{ e^{h\nu/(k_\mathrm{B}T)} - 1 }$	각진동수	$u_\omega(\omega, T) =\frac{ \hbar\omega^{3}}{\pi^2 c^3} \frac{1}{ e^{\hbar \omega/(k_\mathrm{B}T)} - 1 }$
파장	$u_\lambda(\lambda, T) =\frac{8\pi h c}{\lambda^5} \frac{1}{ e^{h c/(\lambda k_\mathrm{B}T)} - 1 }$	각파장	$u_y(y, T) =\frac{\hbar c}{ \pi^2 y^5} \frac{1}{ e^{\hbar c/(y k_\mathrm{B}T)} - 1 }$
파수	$u_\tilde{\nu}(\tilde{\nu}, T) = 8 \pi hc\tilde{\nu}^{3} \frac{1}{ e^{hc\tilde{\nu}/(k_\mathrm{B}T)} - 1 }$	각파수	$u_k(k, T) = \frac{\hbar c k^3}{\pi^2 } \frac{1}{ e^{\hbar c k/(k_\mathrm{B}T)} - 1 }$
분율 대역폭	$u_{\ln x}(x, T) = \frac{8 \pi k_\mathrm{B}^4 T^4}{h^3 c^3} \frac{x^4}{ e^{x} - 1 }$

저주파수(장파장)의 한계에서 플랑크 법칙은 레일리-진스 법칙으로,^[33]^[34]^[35] 고주파수(단파장)의 한계에서는 빈의 근사식으로 접근한다.^[35]^[36]^[37]

4. 플랑크 법칙의 유도

'''광자 기체 모델:''' 막스 플랑크는 흑체 내부의 전자기장을 광자(photon)라는 입자의 집합으로 간주하고, 이 광자들이 보스-아인슈타인 통계를 따른다고 가정하여 플랑크 법칙을 유도했다.

'''쌍극자 근사 및 아인슈타인 계수:''' 알베르트 아인슈타인은 원자의 에너지 준위 간 전이에서 발생하는 복사 흡수 및 방출 과정을 고려하여 플랑크 법칙을 유도했다.

플랑크 법칙은 보즈-아인슈타인 분포의 극한으로 나타난다. 보즈-아인슈타인 분포는 열역학적 평형 상태에 있는 비상호작용 보손의 에너지 분포를 기술한다. 광자와 글루온과 같이 질량이 없는 보손의 경우, 화학 퍼텐셜은 0이고 보즈-아인슈타인 분포는 플랑크 분포로 축소된다. 또 다른 기본적인 평형 에너지 분포가 있다. 바로 페르미-디랙 분포인데, 이는 열적 평형 상태에 있는 전자와 같은 페르미온을 기술한다. 두 분포는 여러 개의 보손이 같은 양자 상태를 점유할 수 있지만, 여러 개의 페르미온은 점유할 수 없다는 점에서 다르다. 낮은 밀도에서는 입자당 이용 가능한 양자 상태의 수가 많아지고, 이러한 차이는 중요하지 않게 된다. 낮은 밀도의 극한에서 보즈-아인슈타인 분포와 페르미-디랙 분포는 모두 맥스웰-볼츠만 분포로 축소된다.^[9]^[10]

상세 균형 원리는 열역학적 평형 상태에서 각 기본 과정은 그 역과정에 의해 평형을 이룬다는 것을 말한다.

1916년, 알베르트 아인슈타인은 이 원리를 원자 수준에 적용하여 특정 두 에너지 준위 간의 전이로 인한 원자의 복사 및 흡수 현상을 설명함으로써^[148] 복사 전달 방정식과 이러한 유형의 복사에 대한 키르히호프 법칙에 대한 더 깊은 통찰력을 제공했다. 준위 1이 에너지 E₁을 갖는 낮은 에너지 준위이고 준위 2가 에너지 E₂를 갖는 높은 에너지 준위라면, 방출되거나 흡수되는 복사의 주파수 ν는 보어의 주파수 조건에 의해 결정된다.^[149]^[150]

n₁과 n₂가 각각 상태 1과 2에 있는 원자의 수 밀도라면, 시간에 따른 이러한 밀도의 변화율은 세 가지 과정으로 인해 발생한다.

자발 방출: (dn₁/dt)_spon = A₂₁n₂
유도 방출: (dn₁/dt)_stim = B₂₁n₂u_ν
광흡수: (dn₂/dt)_abs = B₁₂n₁u_ν

여기서 u_ν는 복사장의 스펙트럼 에너지 밀도이다. 아인슈타인 계수로 알려진 세 가지 매개변수 A₂₁, B₂₁ 및 B₁₂는 두 에너지 준위(상태) 사이의 전이에 의해 생성되는 광자 주파수 ν와 관련이 있다. 결과적으로, 스펙트럼의 각 선에는 자체적으로 관련 계수 집합이 있다. 원자와 복사장이 평형 상태에 있을 때, 복사는 플랑크 법칙에 의해 주어지며, 상세 균형의 원리에 따라 이러한 비율의 합은 0이어야 한다.

0 = A₂₁n₂ + B₂₁n₂(4π/c)B_ν(T) - B₁₂n₁(4π/c)B_ν(T)

원자도 평형 상태에 있으므로, 두 준위의 개체수는 볼츠만 인자에 의해 관련된다.

n₂/n₁ = (g₂/g₁)e^-hν/k_BT

여기서 g₁과 g₂는 각 에너지 준위의 중복도이다. 위의 두 방정식을 임의의 온도에서 유효하다는 조건과 결합하면 아인슈타인 계수 사이의 두 가지 관계가 생성된다.

A₂₁/B₂₁ = 8πhν³/c³

B₂₁/B₁₂ = g₁/g₂

따라서 하나의 계수를 알면 다른 두 계수를 얻을 수 있다.

플랑크가 경험적으로 들어맞는 함수를 발견한 후, 그는 이 법칙에 대한 물리적 유도를 구성했다. 그의 사고는 온도에 직접적으로 관한 것이 아니라 엔트로피를 중심으로 전개되었다. 플랑크는 완벽하게 반사되는 벽을 가진 공동을 고려했다. 공동 내부에는 크기가 명확하지만 동일하게 구성된 여러 개의 고유한 공진 진동체가 있으며, 여러 개의 진동자가 유한한 수의 고유 진동수 각각에 존재한다. 이러한 가상의 진동자는 플랑크에게 순전히 상상 속의 이론적 조사 도구였으며, 그는 이러한 진동자에 대해 "자연 어딘가에 실제로 존재할 필요는 없다. 단지 그들의 존재와 성질이 열역학 및 전자기학 법칙과 일치한다면 충분하다"라고 말했다.^[100] 플랑크는 그의 공진 진동자 가설에 어떤 명확한 물리적 의미도 부여하지 않았지만, 오히려 모든 파장에서 실험 데이터와 일치하는 흑체 스펙트럼에 대한 단일 표현을 유도할 수 있게 해주는 수학적 장치로 제안했다.^[101] 그는 이러한 진동자와 원자의 가능한 연결성을 잠정적으로 언급했다. 어떤 의미에서, 진동자는 플랑크의 탄소 입자에 해당했다. 입자의 크기는 공동의 크기에 관계없이 작을 수 있다. 단지 입자가 복사 파장 모드 사이에서 에너지를 효과적으로 변환한다면 말이다.^[93]

부분적으로 볼츠만이 기체 분자에 대해 개척한 휴리스틱 계산 방법을 따르면서, 플랑크는 그의 가상의 하전 물질 진동자의 여러 모드에 전자기 에너지를 분포시키는 가능한 방법을 고려했다. 볼츠만을 따른 확률적 접근 방식의 수용은 플랑크에게 있어 이전의 입장에서 근본적인 변화였다. 그때까지 그는 볼츠만이 제안한 그러한 사고방식을 의도적으로 반대해 왔다.^[102] 플랑크의 말에 따르면, "[양자 가설]을 순전히 형식적인 가정으로 여겼고, 어떤 상황에서든 어떤 비용을 치르더라도 긍정적인 결과를 얻었다는 것 외에는 별로 생각하지 않았다."^[103] 휴리스틱하게, 볼츠만은 에너지를 임의의 단순히 수학적인 양자 ϵ에 분포시켰는데, 그는 크기가 0에 가까워지도록 했다. 왜냐하면 유한한 크기 ϵ는 단지 확률 계산을 위한 명확한 계산을 허용하기 위해 사용되었고, 물리적 의미는 없었기 때문이다. 자연의 새로운 보편 상수 h를 언급하면서,^[104] 플랑크는 유한한 수의 고유 진동수 각각의 여러 진동자에서 총 에너지가 각각에 해당 고유 진동수의 특징적인 에너지 단위 ϵ의 정수배로 분포된다고 가정했다.^[91]^[105]^[106]^[107] 그의 새로운 자연의 보편 상수 h는 현재 플랑크 상수로 알려져 있다.

플랑크는 각각의 명확한 에너지 단위 ϵ가 가상의 진동자의 고유 진동수 ν에 비례해야 한다고 더 설명했다.^[91] 그리고 1901년에 그는 비례 상수 h를 사용하여 이를 표현했다.^[108]^[109]

ϵ = hν

플랑크는 자유 공간에서 전파되는 빛이 양자화된다고 제안하지 않았다.^[110]^[111]^[112] 자유 전자기장의 양자화 개념은 나중에 개발되었고, 결국 현재 우리가 알고 있는 양자장 이론에 통합되었다.^[113]

5. 플랑크 법칙의 응용

플랑크 법칙은 다양한 분야에 응용된다.

천체 물리학: 별의 표면 온도는 플랑크 법칙을 통해 추정할 수 있다. 별이 방출하는 복사 에너지를 측정하고, 그 스펙트럼을 분석하여 플랑크 법칙에 맞춰 별의 표면 온도를 계산한다.^[43]
원격 측정: 플랑크 법칙은 물체의 온도 및 방출 특성을 측정하는 데 사용된다. 예를 들어, 지구 온난화 연구에서 지구 표면 온도를 측정하고 지구 복사 에너지 변화를 분석하는 데 활용된다.
조명 공학: 플랑크 법칙은 광원의 스펙트럼 분포를 설계하는 데 사용된다. 예를 들어, LED 조명 개발 과정에서 원하는 색온도와 밝기를 얻기 위해 플랑크 법칙을 이용하여 LED 칩의 스펙트럼 분포를 조절한다.
재료 과학: 플랑크 법칙은 물질의 광학적 특성을 연구하고 새로운 광학 재료를 개발하는 데 사용된다. 물질의 복사 스펙트럼을 분석하여 물질의 에너지 흡수 및 방출 특성을 파악하고, 이를 바탕으로 새로운 광학 재료를 설계한다.

태양 복사는 약 5778 K에서의 흑체 복사와 비교할 수 있다. 아래 표는 이 온도에서 흑체의 복사가 어떻게 분배되는지, 그리고 태양광이 어떻게 분배되는지를 보여준다. 또한 비교를 위해 지구의 온도를 대표하는 값으로 288 K (15 °C)에서 복사하는 흑체로 모델링된 행성이 표시된다.

파장 범위	흑체 복사 (5778 K)	태양 복사	행성 복사 (288 K)
296 nm 이하	1%
3728 nm 이상	1%
0.296~3.728 μm	98%	98%
5.03~79.5 μm			98%

태양 복사와 행성 복사의 파장 차이가 크기 때문에 한쪽을 통과시키고 다른 쪽을 차단하도록 설계된 필터를 쉽게 만들 수 있다. 예를 들어, 일반 유리나 투명 플라스틱으로 제작된 창은 파장이 1.2 μm 미만인 5778 K 태양 복사의 80% 이상을 통과시키는 반면, 5 μm 이상의 288 K 열 복사의 99% 이상을 차단한다.

태양 복사는 대기 상단(TOA)에 도달하는 복사를 의미한다. 400 nm 미만의 복사, 즉 자외선은 약 8%이고, 700 nm 이상의 복사, 즉 적외선은 약 48% 지점에서 시작하므로 전체의 52%를 차지한다. 따라서 TOA 단파 복사의 40%만이 인간의 눈에 보인다. 대기는 자외선의 대부분과 상당량의 적외선을 흡수하여 가시광선에 유리하도록 이러한 비율을 크게 바꾼다.

6. 한국의 관점

플랑크 법칙은 대한민국의 과학 기술 발전에 중요한 이론적 기반을 제공한다. 특히 반도체, 디스플레이, 광통신 등 첨단 산업 분야에서 플랑크 법칙이 핵심적인 역할을 수행한다.^[20]^[21]^[22]

또한, 플랑크 법칙은 태양광 발전, LED 조명과 같은 신재생 에너지 및 에너지 효율 향상 기술 개발에 필요한 이론적 토대를 제공한다. 대한민국은 에너지 자립도를 높이고 기후 변화에 대응하기 위해 이러한 기술 개발에 적극적으로 투자하고 있다.

대한민국 물리학계에서는 플랑크 법칙을 비롯한 양자 역학 이론에 대한 연구가 활발하게 진행 중이다. 특히 양자 컴퓨팅, 양자 암호 통신 등 미래 기술 개발에 필수적인 기초 연구가 이루어지고 있다.

7. 한계

플랑크 법칙은 이상적인 흑체를 가정하여 만들어졌기 때문에 실제 물체가 복사하는 특성과는 다소 차이가 있을 수 있다. 방출률과 흡수율은 물질 분자의 고유한 특성이지만, '유도 방출'이라는 현상 때문에 분자 여기 상태의 분포에 따라 달라진다. 물질이 열역학적 평형 상태 또는 국소 열역학적 평형 상태에 있을 때는 방출률과 흡수율이 같아진다. 하지만 매우 강한 입사 복사나 다른 요인들은 열역학적 평형 또는 국소 열역학적 평형을 깨뜨릴 수 있다.

8. 같이 보기

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