항정선

3. 수학적 원리

구면 위에서 항정선(rhumb line|럼 라인^eng)은 경선과 항상 일정한 각도를 이루며 나아가는 곡선이다. 이는 두 지점 사이의 최단 경로인 대원과는 구별된다. 대원은 국소적으로 직선 경로에 해당하여 측지 곡률이 0이지만, 항정선은 0이 아닌 측지 곡률을 갖는다.^[5]

경선과 위선은 각각 교차각이 0°와 90°인 항정선의 특수한 경우이다. 북-남 방향 또는 적도를 따라 동-서 방향으로 이동할 때는 항정선이 대원과 일치한다.

그러나 일반적으로 항정선은 극을 향해 나선형으로 감아 들어가는 곡선이며, 이를 록소드롬(loxodrome|록소드롬^eng)이라고 부른다.^[5] 극에 가까워질수록 항정선은 로그 나선과 유사한 형태를 띠며, 무한히 많은 횟수로 극을 감싸면서 유한한 거리 내에서 극점에 도달한다. (단, 항정선 자체는 극점에서 정의되지 않는다.) 완벽한 구를 가정할 때, 한 극에서 다른 극까지의 항정선 길이 $\backslash Delta\; s$는 자오선의 길이를 진북 방향에서 벗어난 각도(항정각 $\backslash beta$)의 코사인 값으로 나눈 것과 같다. 즉, $\backslash Delta\; s\; =\; R\; \backslash ,\; \backslash big|(\backslash pm\backslash pi/2\; -\; \backslash varphi\_0)\; \backslash cdot\; \backslash sec\; \backslash beta\backslash big|$ (단, $R$은 구의 반지름, $\backslash varphi\_0$는 출발점 위도).

스테레오그래픽 투영 지도에서는 록소드롬이 극점을 중심으로 하는 등각 나선으로 표현된다.

항정선을 수학적으로 표현하기 위해 반지름이 1인 구를 가정하고, 경도 $\backslash lambda$와 위도 $\backslash varphi$ ($-\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; \backslash le\; \backslash varphi\; \backslash le\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}$)를 사용한다. 데카르트 좌표계에서 위치 벡터 $\backslash mathbf\{r\}$은 다음과 같다.

:$\backslash mathbf\{r\}(\backslash lambda,\backslash varphi)\; =\; (\backslash cos\{\backslash lambda\}\; \backslash cdot\; \backslash cos\{\backslash varphi\})\; \backslash mathbf\{i\}\; +\; (\backslash sin\{\backslash lambda\}\; \backslash cdot\; \backslash cos\{\backslash varphi\})\; \backslash mathbf\{j\}\; +\; (\backslash sin\{\backslash varphi\})\; \backslash mathbf\{k\}$

구면 위의 경도 방향 단위 벡터 $\backslash boldsymbol\{\backslash hat\backslash lambda\}$와 위도 방향 단위 벡터 $\backslash boldsymbol\{\backslash hat\backslash varphi\}$는 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash begin\{align\}$

\boldsymbol{\hat\lambda}(\lambda,\varphi) &= \sec{\varphi} \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\lambda} = (-\sin{\lambda}) \mathbf{i} + (\cos{\lambda}) \mathbf{j} \\

\boldsymbol{\hat\varphi}(\lambda,\varphi) &= \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\varphi} = (-\cos{\lambda} \cdot \sin{\varphi}) \mathbf{i} + (-\sin{\lambda} \cdot \sin{\varphi}) \mathbf{j} + (\cos{\varphi}) \mathbf{k}

\end{align}

항정선은 모든 경선과 일정한 각도 $\backslash beta$ (항정각 또는 방위각)를 이루므로, 항정선의 진행 방향을 나타내는 단위 벡터 $\backslash boldsymbol\{\backslash hat\backslash beta\}$는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$\backslash mathbf\{\backslash boldsymbol\{\backslash hat\backslash beta\}\}(\backslash lambda,\backslash varphi)\; =\; (\backslash sin\{\backslash beta\})\; \backslash boldsymbol\{\backslash hat\backslash lambda\}\; +\; (\backslash cos\{\backslash beta\})\; \backslash boldsymbol\{\backslash hat\backslash varphi\}$

이 벡터는 위도 방향 벡터 $\backslash boldsymbol\{\backslash hat\backslash varphi\}$와 항상 $\backslash cos\{\backslash beta\}$의 내적 값을 갖는다 ($\backslash boldsymbol\{\backslash hat\backslash beta\}\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\{\backslash hat\backslash varphi\}\; =\; \backslash cos\{\backslash beta\}$).

항정선을 따라 미소 길이 $ds$만큼 이동할 때의 변위 $d\backslash mathbf\{r\}$는 $d\backslash mathbf\{r\}\; =\; \backslash boldsymbol\{\backslash hat\backslash beta\}\; \backslash ,\; ds$ 이므로, 이를 경도와 위도의 변화량으로 표현하고 정리하면 다음 미분 방정식을 얻는다.

:$\backslash frac\{d\backslash lambda\}\{d\backslash varphi\}\; =\; \backslash tan\{\backslash beta\}\; \backslash cdot\; \backslash sec\{\backslash varphi\}$

이 미분 방정식을 풀면 경도 $\backslash lambda$와 위도 $\backslash varphi$ 사이의 관계식을 얻을 수 있다. 초기 지점 $(\backslash lambda\_0,\; \backslash varphi\_0)$을 지나는 항정선의 방정식은 구데르만 함수(Gudermannian function, $\backslash operatorname\{gd\}$)와 그 역함수($\backslash operatorname\{gd\}^\{-1\}$)를 사용하여 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash lambda(\backslash varphi\backslash ,|\backslash ,\backslash beta,\backslash lambda\_0,\backslash varphi\_0)\; =\; \backslash tan\backslash beta\; \backslash cdot\; \backslash big(\; \backslash operatorname\{gd\}^\{-1\}\backslash varphi\; -\; \backslash operatorname\{gd\}^\{-1\}\backslash varphi\_0\; \backslash big)\; +\; \backslash lambda\_0$

:$\backslash varphi(\backslash lambda\backslash ,|\backslash ,\backslash beta,\backslash lambda\_0,\backslash varphi\_0)\; =\; \backslash operatorname\{gd\}\; \backslash big((\backslash lambda\; -\; \backslash lambda\_0)\; \backslash cot\backslash beta\; +\; \backslash operatorname\{gd\}^\{-1\}\backslash varphi\_0\backslash big)$

여기서 $\backslash operatorname\{gd\}\backslash psi\; =\; \backslash arctan(\backslash sinh\backslash psi)$, $\backslash operatorname\{gd\}^\{-1\}\backslash varphi\; =\; \backslash operatorname\{arsinh\}(\backslash tan\backslash varphi)$이며, $\backslash operatorname\{arsinh\}$는 역 쌍곡선 사인 함수이다.

이 관계식을 이용하면 항정선을 하나의 매개변수(예: 경도 $\backslash lambda$)로 나타낼 수 있다. 이때 등각 위도 $\backslash psi\; \backslash equiv\; (\backslash lambda\; -\; \backslash lambda\_0)\; \backslash cot\backslash beta\; +\; \backslash operatorname\{gd\}^\{-1\}\backslash varphi\_0\; =\; \backslash operatorname\{gd\}^\{-1\}\backslash varphi$를 사용하면 위치 벡터는 다음과 같이 표현된다.^[4]

:$\backslash mathbf\{r\}(\backslash lambda\backslash ,|\backslash ,\backslash beta,\backslash lambda\_0,\backslash varphi\_0)\; =\; \backslash big(\backslash cos\{\backslash lambda\}\; \backslash cdot\; \backslash operatorname\{sech\}\; \backslash psi\; \backslash big)\; \backslash mathbf\{i\}\; +$

\big(\sin{\lambda} \cdot \operatorname{sech}\psi\big) \mathbf{j} + \big(\tanh\psi\big) \mathbf{k}

3. 1. 메르카토르 도법과의 관계

4. 현대적 응용

GPS와 같은 위성 항법 시스템의 발달로 현대에는 선박이나 항공기의 정확한 현재 위치를 쉽게 파악할 수 있게 되었다. 이로 인해 두 지점 간의 최단 거리인 대권 항로를 따라 이동하는 것이 기술적으로 용이해졌다.^[5] 대권 항로는 특히 장거리 운항 시 연료 소모나 시간을 절약하는 데 유리하다.

하지만 대권 항로를 이용하려면 이동 중 지속적으로 진행 방향의 방위를 수정해야 하는 번거로움이 있다.^[5] 반면, 항정선(등각 항로)은 나침반 등을 이용해 일정한 방위각만 유지하면 되므로 조종이 상대적으로 편리하다.^[5][6] 이러한 특성 때문에 특정 상황에서는 항정선 항법이 여전히 유용하게 사용된다.^[5]

비교적 짧은 거리나 저위도 지역에서는 대권 항로와 항정선 간의 거리 차이가 크지 않아 항정선을 이용하는 경우가 있다.^[5] 예를 들어, 적도 상에서 90도 경도 차이를 이동할 경우 두 경로의 거리는 5400nmi로 동일하다. 그러나 고위도로 갈수록 또는 거리가 멀어질수록 대권 항로가 항정선보다 훨씬 짧아진다. 북위 60도에서 90도 경도 차이를 이동하면 대권 항로는 2485nmi인 반면 항정선은 2700nmi로 약 8.5% 더 길어진다.^[5] 뉴욕과 홍콩 간 항공 노선의 경우, 항정선 경로(9700nmi)는 북극 항로인 대권 항로(7000nmi)보다 훨씬 길어 비행 시간이 5시간 반 더 소요될 수 있다.^[5]

따라서 현대의 항해나 항공 분야에서는 연료 효율성과 안전성, 운항의 편의성 등을 종합적으로 고려하여 대권 항로와 항정선을 적절히 조합하거나 선택하여 운항 계획을 수립한다.

참조

_[1] 웹사이트 Rhumb http://www.thefreedi[...]
_[2] 서적 The Globe Encyclopaedia of Universal Information https://archive.org/[...] Thomas C. Jack, Grange Publishing Works 2009-03-18
_[3] 서적 History of Cartography https://books.google[...] Transaction Publishers
_[4] 간행물 Loxodromes: A Rhumb Way to Go http://hans.fugal.ne[...] 2004-12
_[5] 서적 Rhumb Line http://www.encyclope[...] Oxford University Press 2006
_[6] 서적 A Brief History of British Seapower Constable & Robinson, London
_[7] 간행물 On a Problem in Navigation
_[8] 간행물 Loxodromic Distances on the Terrestrial Spheroid
_[9] 간행물 On Loxodromic Navigation
_[10] 간행물 Practical Rhumb Line Calculations on the Spheroid
_[11] 간행물 Methods for direct and inverse geodesic problems solving with high precision http://ntv.spbstu.ru[...]
_[12] 간행물 The area of rhumb polygons