컴퓨터 대수학 시스템

3. 기능

컴퓨터 대수학 시스템(CAS)은 다양한 수학적 연산 및 처리를 자동화하는 기능을 제공한다. 주요 기능은 다음과 같다.

• 대수 구조 연산: 집합, 행렬, 기하, 대수, 미적분, 해석함수, 통계, 증명과 검증, 수론 등 다양한 수학적 대상에 대한 연산을 지원한다.
• 자동화된 처리: 대부분의 수학적 대상에 대해 자동화된 처리를 지원하여 효율성을 높인다.
• 자체 개발 환경: 자체 프로그래밍 언어와 IDE를 포함하며, 코드 에디터 기능을 제공한다.
• 시각적 표현: 그래프, 도표, 테이블, 다이어그램 등 다양한 시각적 표현 기능을 제공한다.
• 외부 시스템 연동: API를 통해 외부 시스템과 연동할 수 있다.
• 정밀도: 부동소수점 연산과 달리 소수점 이하 자릿수를 자유롭게 지정할 수 있으며, 정수를 정확하게 표현한다.
• 수학 표현식 처리: 적분, 극한, 행렬 등 복잡한 수학 표현식을 입출력할 수 있다.
• 확장 패키지: 응용 수학, 물리학, 생물학, 화학 등 특정 분야에 대한 확장 패키지를 제공한다.

3. 1. 기호 연산

• 더 작거나 표준 형식으로 단순화 (가정 및 제약 조건을 이용한 자동 단순화 포함)
• 특정 표현식에 대한 기호 또는 숫자 값 대입
• 표현식 형태 변경: 곱셈 및 거듭제곱 전개, 부분 및 전체 인수분해, 부분 분수로 다시 쓰기, 제약 충족, 삼각 함수를 지수로 다시 쓰기, 논리 표현식 변환 등
• 편미분 및 전미분
• 일부 부정 적분 및 정적분 (기호 적분 참조, 다차원 적분 포함)
• 기호 제약 및 비제약 전역 최적화
• 다양한 도메인에서 선형 및 일부 비선형 방정식의 해
• 일부 미분 방정식 및 차분 방정식의 해
• 일부 극한 계산
• 적분 변환
• 확장, 합계 및 곱과 같은 급수 연산
• 곱, 역행렬 등을 포함한 행렬 연산
• 통계 계산
• 정리 증명 및 증명 검증 (실험 수학 분야에서 유용)
• 최적화된 코드 생성

• 수식 내의 함수나 수치를 기호적으로 치환.
• 단변수 또는 다변수 다항식의 인수분해.
• 식을 가능한 한 단순한 형식으로 변환하거나, 어떤 표준 형식으로 만들기. 전제 조건이나 제약 조건을 고려한 자동 간략화도 수행.
• 단, 이 조작은 항상 가능한 것은 아니며, 일반적인 (예: 초등 함수와 절댓값 함수를 포함) 두 수식의 등가성 판정은 알고리즘적으로 결정 불가능.^[1]
• 수식의 형식을 변경 (예: 삼각 함수를 지수 함수로 치환).

• 단변수의 저차 또는 고차 대수 방정식을 엄밀하게 또는 근사적으로 계산. 소거법에 의해 다변수의 선형 또는 비선형 연립 대수 방정식을 계산.
• 행렬에 대한 각종 조작 (행렬 곱 계산, 역행렬 계산, 고유 다항식 계산, 각종 표준형 변환 등).
• 각종 영역에서의 선형 및 비선형 방정식을 계산.

• 수열이나 함수의 극한 계산.
• 항상 가능한 것은 아님.^[2]
• 함수의 급수로의 전개, 급수의 총합이나 곱 계산 등.
• 미분과 편미분 조작.
• 일부 부정 적분과 정적분 (다차원 적분 포함).
• 일부 미분 방정식이나 차분 방정식을 계산.

• 기호적인 제약 조건에 기초하여 최적값을 부여하기 위한 필요 조건을 수식으로 유도.
• 수량 한정 기호 소거법 (Quantifier Elimination Method).

• 임의 정밀도의 수치 조작.
• 수식 간소화 (일반적인 수식에 대해 이를 유일하게 간소화하는 알고리즘은 존재하지 않으며, 예를 들어 수식이 영과 동치인지 판정도 불가능).^[3]
• 기호 미분
• 수식 내 변수에 대한 대입, 수식 내 지정된 패턴에 대한 치환, 수식의 지정된 부분 또는 지정된 패턴과 일치하는 부분 추출
• 단변수 또는 다변수 다항식의 GCD (최대공약수) 계산
• 단변수 또는 다변수의 다항식의 인수분해
• 기호 적분 (부정적분, 정적분, 중적분) (반드시 닫힌 형식으로 표현되지 않을 수 있으며, 경우에 따라 특수 함수를 사용한 표현이 됨).^[4]
• 극한 연산
• 선형대수 (벡터, 행렬, 텐서에 대한 각종 연산) (보통은 명시적인 성분 표시를 이용한 처리를 함).^[5]
• 무한 급수의 합을 구함 (경우에 따라 특수 함수를 사용한 표현이 됨)
• 테일러 전개, 점근 전개
• 대수 방정식의 해 표시 (일반적으로 해를 사칙 연산과 멱근의 조합으로 표현할 수 없지만, 방정식의 해를 사용하여 추가 대수 계산을 수행하는 경우 적절한 대수 확대체를 구성하여 그 위에서 처리하면 원리적으로 가능).^[6]
• 상미분 방정식의 닫힌 형식으로 된 해 (일반해 또는 특수해)의 표시가 가능하다면 이를 구함 (방정식이 선형이라도 일반적으로 표현할 수 없음, 경우에 따라 특수 함수를 사용).^[7]
• 차분 방정식의 닫힌 형식으로 된 해의 표시가 가능하다면 구함 (방정식이 선형이라도 일반적으로 닫힌 형식으로 표현할 수 없음, 경우에 따라 특수 함수를 사용).^[8]
• 편미분 방정식의 닫힌 형식으로 된 해의 표시가 가능하다면 구함
• 푸리에 변환, 라플라스 변환, 역 라플라스 변환을 구함 (일반적으로 결과를 닫힌 형식으로 표현할 수 없음)
• 그뢰브너 기저 (연립 대수 방정식의 소거 연산에 의한 변수 소거)
• QE (Quantifier Elimination, 한정자 소거) (단독 또는 연립의 (보통 실수의) 등식이나 부등식으로 표현된 명제 논리식(조건식) 중에서, 한정자 “∃”나 “∀”를 소거한 등가 관계식을 도출하는 기법)
• 함수열을 사용한 함수의 근사 전개

3. 2. 추가 기능

• 사용자가 자체 알고리즘을 구현할 수 있도록 하는 프로그래밍 언어^[7]
• 임의 정밀도 수치 연산^[7]
• 정수 연산 및 정수론 기능^[7]
• 2차원 형태의 수학 표현식 편집^[7]
• 2차원 및 3차원 함수 그래프 및 매개변수 그래프 그리기 및 애니메이션 기능^[7]
• 차트 및 다이어그램 그리기^[7]
• 데이터베이스와 같은 외부 프로그램에 연결하거나 컴퓨터 대수 시스템을 사용하기 위한 API^[7]
• 문자열 조작, 예를 들어 매칭 및 검색^[7]
• 물리학, 생물 정보학, 계산 화학 및 물리적 계산과 같은 응용 수학에 사용하기 위한 추가 기능^[7]
• 미분 방정식의 해법^{[8][9][10][11]}

• 그래픽 생성 및 편집 기능 (예: 컴퓨터 생성 이미지 및 신호 처리를 이미지 처리로 사용하는 기능)
• 음성 합성

• 수치의 고정밀 근사값 계산 (예: 2^1/3을 1만 자리 이상 계산)
• 계산 물리학을 위한 물리학 패키지처럼, 응용 수학적인 특정 용도에 특화된 애드온 제공
• 그래픽 기능 (2차원 또는 3차원 그림, 애니메이션 표시)
• 함수 값을 파형으로 취급하여 소리 생성
• 데이터베이스나 표 계산 시스템, 프로그래밍 언어에서 이용하기 위한 API
• 문자열 검색 등의 문자열 조작 기능
• 수식을 TeX와 유사한 조판 시스템을 사용하여 보기 좋게 표시하거나 TeX 형식으로 텍스트 파일로 입/출력
• 수식을 Fortran 등 다른 프로그래밍 언어에서 사용되는 표기법과 상호 변환 및 입출력
• 통계학적인 계산 기능
• 정리 자동 증명 및 증명 검증
• 이미지 처리 기능
• 음향 합성
• 유한군론 기능
• 시스템에 대한 프로그래밍 및 사용자로부터의 입력 지시와 그에 대한 출력 결과를 저장하여 재사용 및 재실행을 가능하게 하는 사용자 인터페이스

3. 3. 취급 가능한 수 및 수식

• 자연수, 정수
• 유리수, 무리수
• 복소수
• 논리 대수

• 여러 변수를 포함하는 다항식
• 여러 변수를 포함하는 유리식
• 삼각 함수, 지수 함수, 로그 함수, 멱근 (더 일반적으로는 대수 함수) 등의 초등 함수를 포함하는 수식
• 극한
• 총합, 급수
• 점화식을 동반하는 급수
• 수식의 미분 (도함수)
• 부정 적분/정적분
• 벡터, 행렬을 사용한 식, 내적, 외적, 텐서
• 복소 함수
• 감마 함수, 제타 함수, 베셀 함수, 오차 함수, 초기하 함수 등의 특수 함수를 포함하는 수식^[1]

4. 수학적 방법

컴퓨터 대수학 시스템은 다음과 같은 다양한 수학적 방법을 사용한다.

5. 교육에서의 활용

컴퓨터 대수학 시스템을 초·중·고등학교 교실에서 더 많이 사용하자는 주장이 많이 제기되어 왔다. 이러한 주장의 주요 이유는 컴퓨터 대수학 시스템이 종이와 연필 또는 손으로 계산기를 사용하는 수학보다 현실 세계의 수학을 더 잘 표현하기 때문이다.^[12] 수학 교실에서 컴퓨터 사용을 늘리려는 이러한 움직임은 일부 교육 위원회의 지지를 받아왔으며, 일부 지역의 교육 과정에서 의무화되기도 했다.^[13]

컴퓨터 대수학 시스템은 고등 교육에서 광범위하게 사용되어 왔다.^[14][15] 많은 대학에서 컴퓨터 대수학 시스템 사용 개발에 대한 특정 강좌를 제공하거나, 학생들이 해당 시스템을 학업에 활용할 것을 암묵적으로 기대한다. 컴퓨터 대수학 시스템을 개발하는 회사들은 대학 및 칼리지 프로그램에서 해당 시스템의 보급을 늘리기 위해 노력해 왔다.^[16][17]

CAS가 장착된 계산기는 ACT, PLAN 및 일부 교실에서는 허용되지 않지만,^[18] 칼리지 보드의 SAT, 일부 SAT 과목 시험 및 AP 미적분학, AP 화학, AP 물리학, 그리고 AP 통계학 시험을 포함한 모든 계산기 허용 시험에서는 허용될 수 있다.^[19]

6. 관련 시스템

참조

_[1] 웹사이트 Hewlett-Packard Calculator Firsts http://h20331.www2.h[...] Hewlett-Packard
_[2] 간행물 Getting started with symbolic mathematics systems: a productivity tool 1999-10
_[3] 웹사이트 REDUCE Computer Algebra System at SourceForge http://reduce-algebr[...] 2015-09-28
_[4] 웹사이트 Interview with Gaston Gonnet, co-creator of Maple https://web.archive.[...] 2007-12-29
_[5] 뉴스 Wolfram{{!}}Alpha: a free online computer algebra system https://www.thehindu[...] 2023-04-26
_[6] 웹사이트 Symbolic Mathematics Finally Yields to Neural Networks https://www.quantama[...] 2020-05-20
_[7] 저널 Computer Assisted Proofs and Automated Methods in Mathematics Education 2023
_[8] 웹사이트 dsolve - Maple Programming Help https://www.maplesof[...] 2020-05-09
_[9] 웹사이트 DSolve - Wolfram Language Documentation https://reference.wo[...] 2020-06-28
_[10] 웹사이트 Basic Algebra and Calculus — Sage Tutorial v9.0 http://doc.sagemath.[...] 2020-05-09
_[11] 웹사이트 Symbolic algebra and Mathematics with Xcas http://www-fourier.u[...]
_[12] 웹사이트 Teaching kids real math with computers http://www.ted.com/t[...] 2017-08-12
_[13] 웹사이트 Mathematics - Manitoba Education http://www.edu.gov.m[...] 2017-08-12
_[14] 웹사이트 Mathematica for Faculty, Staff, and Students : Information Technology - Northwestern University http://www.it.northw[...] 2017-08-12
_[15] 웹사이트 Mathematica for Students - Columbia University Information Technology https://cuit.columbi[...] 2017-08-12
_[16] 웹사이트 Mathematica for Higher Education: Uses for University & College Courses https://www.wolfram.[...] 2017-08-12
_[17] 웹사이트 MathWorks - Academia - MATLAB & Simulink http://www.mathworks[...] 2017-08-12
_[18] 웹사이트 ACT's CAAP Tests: Use of Calculators on the CAAP Mathematics Test https://web.archive.[...] 2009-08-31
_[19] 웹사이트 AP Exams Calculator Policy https://apstudents.c[...] College Board 2024-05-24
_[20] 서적 Computer Algebra: Symbolic and Algebraic Computation https://books.google[...] Springer Science & Business Media 2013-06-29
_[21] 서적 Modern Computer Algebra https://books.google[...] Cambridge University Press 2013-04-25
_[22] 서적 Algorithms for Computer Algebra https://books.google[...] Springer Science & Business Media 2007-06-30