UTM 좌표계

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1. 개요
2. 역사
- 2.1. 대한민국에서의 UTM 좌표계
3. 정의
4. 좌표 표기
- 4.1. 중첩 격자
5. 좌표 변환
- 5.1. 위도, 경도 (φ, λ)에서 UTM 좌표 (E, N)로의 변환
- 5.2. UTM 좌표 (E, N, Zone, Hemi)에서 위도, 경도 (φ, λ)로의 변환
6. 군사 좌표 체계 (MGRS)
참조

1. 개요

UTM 좌표계는 지구 표면의 위치를 나타내는 데 사용되는 좌표 시스템으로, 1947년 미국 육군에 의해 개발되었다. 이 시스템은 지구를 경도 6도 간격의 60개 세로 격자(존)와 위도 8도 간격의 20개 가로 격자로 나누며, 횡축 메르카토르 도법을 사용하여 왜곡을 최소화한다. 각 존은 1부터 60까지 번호가 매겨지며, 각 격자는 숫자와 알파벳 기호로 표시된다. UTM 좌표계는 대한민국을 포함한 많은 국가에서 사용되며, 군사 좌표 체계(MGRS)와도 관련이 있다.

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UTM 좌표계
개요
UTM 좌표계 구역
종류	좌표계
개발	제2차 세계 대전 중 미국 육군 공병대
목적	지구 표면의 위치 식별
특징	지구를 여러 개의 구역으로 나눔 각 구역은 고유한 좌표계를 가짐 미터법 사용
상세 정보
기준면	지구 타원체
투영법	횡 메르카토르 도법
중앙 자오선 축척 계수	0.9996
구역 폭	6° 경도
구역 번호	1부터 60까지 (서쪽에서 동쪽으로)
위도대	8° 간격, C부터 X까지 (A, B, I, O, Y, Z는 제외)
거짓 동수치	북반구: 500,000 m 남반구: 10,000,000 m
거짓 북수치	중앙 자오선으로부터의 거리
사용
주요 사용 분야	지도 제작 항법 지리 정보 시스템(GIS) 군사
장점	전 세계적으로 사용 가능 비교적 정확한 좌표 제공 미터법 기반으로 계산 용이
단점	구역 경계 부근에서 왜곡 발생 극지방에서는 사용 불가
관련 시스템	군사 좌표 참조 시스템(MGRS)
기타
비고	UTM 좌표계는 GPS와 함께 널리 사용됨 다양한 소프트웨어 및 장비에서 지원 구역 및 위도대 지정 방식에 유의

2. 역사

UTM 좌표계는 1947년 미국 육군이 개발하였다.^[3] 개발 당시 미주 지역에는 클라크 1866 타원체를, 그 이외 지역에는 국제 타원체를 사용하였다. 현재 UTM 좌표계에서는 WGS84 타원체를 사용한다.

UTM 좌표계가 개발되기 전, 제2차 세계 대전 당시 여러 유럽 국가에서는 격자형 등각 좌표계의 효용성을 인식하고 있었다. 격자 좌표계를 사용하면 경위도 좌표계에서보다 (피타고라스의 정리를 이용하여) 거리를 쉽게 구할 수 있다는 장점이 있었다. 이러한 인식은 종전 이후 UTM과 UPS 좌표계의 개발로 이어졌다.

독일 연방 문서 보관소(Bundesarchiv-Militärarchiv)에서 발견된 1943~1944년으로 추정되는 항공 사진에는 UTMREF가 표시되어 있고, 그리드 문자와 숫자가 가로 메르카토르 도법에 따라 투영되어 있다.^[4] 이는 1942~43년 기간에 독일 국방군(Wehrmacht)이 UTM과 유사한 시스템을 개발했음을 나타낸다. 1947년부터 미 육군은 독일과 매우 유사한 시스템을 사용했지만, 중앙 자오선에서 독일의 1.0 대신 현재 표준인 0.9996 축척 인수를 사용했다.^[4]

UTM 투영법은 1569년 게라르두스 메르카토르가 개발한 메르카토르 도법을 횡축으로 그린 것이다. 전간기 동안 여러 유럽 국가들은 자국의 영토를 매핑하여 그리드 기반 등각 지도의 유용성을 입증했고, 전후 시대에 이러한 개념은 그리드 기반 지도의 글로벌 시스템인 UTM/유니버설 극 입체도법(UPS) 좌표계로 확장되었다.

유럽에서는 각국마다 측지계가 제각각이었지만, NATO의 활동에 지장이 발생하여 서유럽 전체를 커버하는 측지계를 설치하게 되었고, 그에 맞춰 일부 국가가 UTM 직교 좌표계나 지형도 도법으로서의 UTM을 도입했다.

2. 1. 대한민국에서의 UTM 좌표계

대한민국은 UTM 좌표계에서 51S, 51T, 52S, 52T 구역에 속해 있다.^[16] 일본은 지형도와 지세도에 UTM을 순차적으로 도입하여 사용하고 있다. 일본은 51대(帶) ~ 56대 (중앙 경선은 동경 123도, 129도, 135도, 141도, 147도, 153도)를 사용하고 있다. 대한민국에서는 미국과의 공동 운용이 많은 방위성・자위대에서 UTM 좌표계를 적극적으로 활용하고 있다.^[17]

3. 정의

UTM 좌표계는 지구를 경도 6도 간격의 60개 세로 격자와 위도 8도 간격의 20개 가로 격자로 나누는 좌표계이다. 각 세로 격자의 중앙 자오선과 적도의 교점을 원점으로 하며, 횡축 메르카토르 도법(가로 메르카토르 도법)을 사용하여 왜곡을 최소화한다.

1940년대 초, 미국 육군 공병대가 이 시스템을 개발하였다.^[3] 그러나 1943~1944년 독일 연방 문서 보관소에서 발견된 항공 사진에 UTMREF가 표시된 것이 확인되어, 1942~43년에 독일 국방군이 먼저 개발했을 가능성도 제기되었다.^[4] 1947년부터 미 육군은 독일군과 유사하지만 중앙 자오선의 축척 인수를 0.9996으로 수정한 시스템을 사용했다.^[4]

미국 본토에서는 알렉산더 로스 클라크의 1866년 타원체^[5]가, 하와이를 포함한 나머지 지역에서는 국제 타원체^[6]가 사용되었다. 현재는 세계 지리 좌표계(WGS84) 타원체가 UTM 좌표계에서 지구를 모델링하는 데 일반적으로 사용된다.

전간기에 여러 유럽 국가들이 그리드 기반 등각 지도의 유용성을 입증했고, 이후 이러한 개념은 UTM/유니버설 극 입체도법(UPS) 좌표계로 확장되었다. 횡 메르카토르 투영법은 게르하르뒤스 메르카토르가 개발한 메르카토르 도법의 변형으로, 등각이므로 작은 지역에서 각도와 모양을 보존하지만, 거리와 면적은 왜곡된다.

UTM 시스템은 극지방을 제외하고 경도 6° 간격의 60개 존으로 지구를 나누며, 각 존은 가로 메르카토르 도법을 사용한다. 중앙 자오선의 축척 계수를 0.9996으로 줄여 각 존 내 왜곡을 1,000분의 1 미만으로 유지한다.

3. 1. UTM 세로 격자

UTM 좌표계는 지구를 경도 6° 간격으로 나누어 총 60개의 세로 격자(띠)로 구성한다. 각 띠는 서경 180°(180°W)를 시작으로 동쪽으로 1부터 60까지 번호가 매겨진다.^[16] 예를 들어, 1번 띠는 180°W-174°W, 60번 띠는 174°E-180°E 구간이다.

각 세로 띠의 중앙 자오선과 적도의 교점을 원점으로 하며, 각 구역의 중앙 자오선에서 축척 계수는 0.9996이다. 이로 인해 투영 범위 전체에서 평면 거리의 상대 오차 절댓값이 4/10,000 이내로 유지된다.

미국 본토의 UTM 존을 단순화하여 람베르트 정각 원추 도법으로 투영한 모습.

각 존은 가로 메르카토르 도법(횡축 메르카토르 도법)을 사용하여 지도를 투영하는데, 중앙 자오선에서 약 180km 떨어진 두 개의 표준선에서 실제 축척이 1이 된다. 표준선 안쪽에서는 축척이 1보다 작고, 바깥쪽에서는 1보다 크지만 전체적인 왜곡은 최소화된다.

일본은 51대(帶) ~ 56대 (중앙 경선은 동경 123 도, 129도, 135도, 141도, 147도, 153도)를 사용한다.^[17]

3. 2. UTM 가로 격자

UTM 좌표계는 각각의 세로 띠를 위도 8° 간격으로 20개의 가로 격자로 나눈다. 단, 가장 북쪽의 격자(72°N-84°N)는 12°이다. 최남단(80°S-72°S)부터 최북단(72°N-84°N)까지 'C'부터 'X'까지의 알파벳 기호를 매겨 구분하는데, 'I'(숫자 1과 혼동)와 'O'(숫자 0과 혼동)는 제외한다. 따라서 북반구에서 적도와 접한 구역(0°N-8°N)의 기호는 'N'이 된다.

미국군과 NATO는 위치 표시 시스템에서 존을 위도 8°씩 남위 80°에서 북위 84°까지 20개로 분할하여 존 번호와 함께 대략적인 위치를 지정한다. (단, 숫자 1, 0과 혼동될 수 있는 I, O는 사용하지 않음)

3. 3. 표기

각각의 직사각형 격자는 숫자와 알파벳으로 된 기호를 함께 써서 나타낸다. 예를 들어, 대한민국은 UTM 좌표계에서 51S, 51T, 52S, 52T 구역에 속해 있다.

3. 4. 예외

노르웨이 남서안에서 32V 구역은 서쪽으로 확장되며, 31V 구역은 바다 부분만을 포함하도록 축소되어 있다.^[1] 스발바르 제도 부근에서 32X, 34X, 36X 구역은 사용되지 않으며 31X, 33X, 35X, 37X 구역이 각각 동서로 확장되어 7개의 구역이 아닌 4개의 구역만이 사용된다.^[1]

4. 좌표 표기

지구상의 지점은 UTM 세로 격자와 종·횡 좌표로 표현된다. 종좌표는 대상 지점의 적도로부터의 투영 거리이며, 횡좌표는 대상 지점이 속한 구역의 중앙 자오선으로부터 대상 지점까지의 투영 거리이다. 좌표는 미터로 표시하며, 음수 표시를 방지하기 위해 횡좌표에 500,000m, 남반구 종좌표에 10,000,000m를 더한다.

예를 들어 CN 타워는 UTM 17 구역에 있으며, 동쪽 미터, 북쪽 미터의 그리드 위치를 갖는다. 17 구역에는 이 좌표를 가진 두 지점이 있는데, 하나는 북반구, 다른 하나는 남반구에 있다. 따라서 "17N 630084 4833438"과 같이 전체 구역과 반구 지정자를 명시해야 혼동을 막을 수 있다.

4. 1. 중첩 격자

격자대 경계에 접근할수록 축척 왜곡이 증가한다. 그러나 일부 위치가 인접한 두 격자대에 위치할 때 단일 격자에서 일련의 위치를 측정하는 것이 편리하거나 필요할 때가 많다. 대축척 지도(1:100,000 이상)의 경계 주변에서는 일반적으로 격자대 경계의 양쪽에 최소 40km 이내에 인접한 두 UTM 격자대의 좌표가 모두 인쇄된다. 이상적으로는 각 위치의 좌표를 해당 위치가 있는 격자대의 격자에서 측정해야 하지만, 격자대 경계 근처에서는 축척 계수가 여전히 비교적 작기 때문에 필요한 경우 일부 거리만큼 인접한 격자대까지 측정을 중첩하는 것이 가능하다.

5. 좌표 변환

위도, 경도와 UTM 좌표 간의 변환은 요한 하인리히 루이 크뤼거(Johann Heinrich Louis Krüger)가 1912년에 발표한 공식을 통해 수행할 수 있다.^[9] 이 공식은 횡 메르카토르 도법: 평탄도 계열의 축약된 버전으로, 중심 자오선에서 약 3,000km 이내에서 대략 밀리미터 수준의 정확도를 가진다.^[10]

좌표 변환식에 사용되는 초기값은 다음과 같다.

: $n=\frac{f}{2-f},\quadA=\frac{a}{1+n}\left(1+ \frac{n^2}{4} +\frac{n^4}{64} +\cdots\right),$

: $\alpha_1=\frac{1}{2}n-\frac{2}{3}n^2+\frac{5}{16}n^3,\,\,\,\alpha_2=\frac{13}{48}n^2-\frac{3}{5}n^3,\,\,\,\alpha_3=\frac{61}{240}n^3,$

: $\beta_1=\frac{1}{2}n-\frac{2}{3}n^2+\frac{37}{96}n^3,\,\,\,\beta_2=\frac{1}{48}n^2+\frac{1}{15}n^3,\,\,\,\beta_3=\frac{17}{480}n^3,$

: $\delta_1=2n-\frac{2}{3}n^2-2n^3,\,\,\,\delta_2=\frac{7}{3}n^2-\frac{8}{5}n^3,\,\,\,\delta_3=\frac{56}{15}n^3.$

여기서,

$n$ 은 제2 평탄화 계수,
$f$ 는 타원체의 평탄도,
$a$ 는 적도 반지름,
$A$ 는 축척 인자를 포함하는 계수이다.

5. 1. 위도, 경도 (φ, λ)에서 UTM 좌표 (E, N)로의 변환

먼저, 몇 가지 중간 값을 계산한다.

:

t=\sinh\left(\tanh^{-1}\left(\sin\varphi\right)-\frac{2\sqrt n}{1+n}\tanh^{-1}\left(\frac{2\sqrt n}{1+n} \sin\varphi\right)\right),

:

\xi'=\tan^{-1}\left(\frac{t}{\cos(\lambda-\lambda_0)}\right), \,\,\,\eta'=\tanh^{-1}\left(\frac{\sin(\lambda-\lambda_0)}{\sqrt{1+t^2}}\right),

:

\sigma=1+\sum_{j=1}^3 2j\alpha_j\cos(2j\xi')\cosh(2j\eta'),\,\,\,\tau=\sum_{j=1}^3 2j \alpha_j \sin(2j\xi') \sinh(2j\eta').

최종 공식은 다음과 같다.

:

E=E_0+k_0 A\left(\eta'+\sum_{j=1}^3 \alpha_j\cos(2j\xi')\sinh(2j\eta')\right),

:

N=N_0+k_0 A\left(\xi'+\sum_{j=1}^3 \alpha_j\sin(2j\xi')\cosh(2j\eta')\right),

:

k=\frac{k_0 A}{a}\sqrt{\left\{1+\left(\frac{1-n}{1+n} \tan\varphi\right)^2\right\} \frac{\sigma^2+\tau^2}{t^2+\cos^2(\lambda-\lambda_0)}},

:

\gamma=\tan^{-1}\left(\frac{\tau\sqrt{1+t^2}+\sigma t\tan(\lambda-\lambda_0)}{\sigma\sqrt{1+t^2}-\tau t\tan(\lambda-\lambda_0)}\right).

여기서

E

는 동쪽 좌표,

N

는 북쪽 좌표,

k

는 축척 계수,

\gamma

는 격자 수렴이다.

변환식의 표기 전에 몇 가지 초기값을 계산한다.

:

n=\frac{f}{2-f},\quadA=\frac{a}{1+n}\left(1+ \frac{n^2}{4} +\frac{n^4}{64} +\cdots\right),

:

\alpha_1=\frac{1}{2}n-\frac{2}{3}n^2+\frac{5}{16}n^3,\,\,\,\alpha_2=\frac{13}{48}n^2-\frac{3}{5}n^3,\,\,\,\alpha_3=\frac{61}{240}n^3,

:

\beta_1=\frac{1}{2}n-\frac{2}{3}n^2+\frac{37}{96}n^3,\,\,\,\beta_2=\frac{1}{48}n^2+\frac{1}{15}n^3,\,\,\,\beta_3=\frac{17}{480}n^3,

:

\delta_1=2n-\frac{2}{3}n^2-2n^3,\,\,\,\delta_2=\frac{7}{3}n^2-\frac{8}{5}n^3,\,\,\,\delta_3=\frac{56}{15}n^3.

위에서 계산된 초기값들을 이용하여 중간 변수를 다음과 같이 정한다.

:

t=\sinh\left(\tanh^{-1}\sin\varphi-\frac{2\sqrt n}{1+n}\tanh^{-1}\left(\frac{2\sqrt n}{1+n}\sin\varphi\right)\right),

:

\xi'=\tan^{-1}\left(\frac{t}{\cos(\lambda-\lambda_0)}\right), \,\,\,\eta'=\tanh^{-1}\left(\frac{\sin(\lambda-\lambda_0)}{\sqrt{1+t^2}}\right),

:

\sigma=1+\sum_{j=1}^{3}2j\alpha_j\cos\left(2j\xi'\right)\cosh\left(2j\eta'\right),\,\,\,\tau=\sum_{j=1}^{3}2j\alpha_j\sin\left(2j\xi'\right)\sinh\left(2j\eta'\right).

그 위에, 환산식은 다음과 같다.

:

E=E_{0}+k_{0}A\left(\eta'+\sum_{j=1}^{3}\alpha_j\cos\left(2j\xi'\right)\sinh\left(2j\eta'\right)\right),

:

N=N_{0}+k_{0}A\left(\xi'+\sum_{j=1}^{3}\alpha_j\sin\left(2j\xi'\right)\cosh\left(2j\eta'\right)\right),

:

k=\frac{k_0 A}{a}\sqrt{\left\{1+\left(\frac{1-n}{1+n}\tan\varphi\right)^2\right\}\frac{\sigma^2+\tau^2}{t^2+\cos^2(\lambda-\lambda_0)}},

:

\gamma=\tan^{-1}\left(\frac{\tau\sqrt{1+t^2}+\sigma t\tan(\lambda-\lambda_0)}{\sigma\sqrt{1+t^2}-\tau t\tan(\lambda-\lambda_0)}\right).

이 공식은 독일의 수학자이자 측지학자인 요한 하인리히 루이 크뤼거|Johann Heinrich Louis Krüger^de가 1912년에 발표한 좌표 변환식을 기반으로 한다.^[13] 이 공식은 전개식의 처음 몇 개의 항만 사용하여 간결하면서도 중앙 자오선에서 약 3,000킬로미터 범위 내에서 밀리미터 정도의 정밀도를 갖는다.^[14]

5. 2. UTM 좌표 (E, N, Zone, Hemi)에서 위도, 경도 (φ, λ)로의 변환

Hemi^영어가 +1이면 북반구, -1이면 남반구를 의미한다.^[15]

먼저, 다음 중간 값들을 계산한다.^[15]

:

\xi=\frac{N-N_0}{k_0 A},\,\,\,\eta=\frac{E-E_0}{k_0 A},

:

\xi'=\xi-\sum_{j=1}^{3}\beta_j\sin\left(2j\xi\right)\cosh\left(2j\eta\right), \,\,\,\eta'=\eta-\sum_{j=1}^{3}\beta_j\cos\left(2j\xi\right)\sinh\left(2j\eta\right),

:

\sigma'=1-\sum_{j=1}^{3}2j\beta_j\cos\left(2j\xi\right)\cosh\left(2j\eta\right), \,\,\,\tau'=\sum_{j=1}^{3}2j\beta_j\sin\left(2j\xi\right)\sinh\left(2j\eta\right),

:

\chi=\sin^{-1}\left(\frac{\sin\xi'}{\cosh\eta'}\right).

그 후, 다음 최종 공식들을 이용해 값을 구한다.^[15]

:

\varphi=\chi+\sum_{j=1}^{3}\delta_j\sin\left(2j\chi\right),

:

\lambda_{0}=\mathrm{Z}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}\times 6^\circ - 183^\circ\,

:

\lambda=\lambda_{0}+\tan^{-1}\left(\frac{\sinh\eta'}{\cos\xi'}\right),

:

k=\frac{k_0 A}{a}\sqrt{\left\{1+\left(\frac{1-n}{1+n}\tan\varphi\right)^2\right\}\frac{\cos^2\xi'+\sinh^2\eta'}{\sigma'^2+\tau'^2}},

:

\gamma=\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{i}\times\tan^{-1}\left(\frac{\tau'+\sigma'\tan\xi'\tanh\eta'}{\sigma'-\tau'\tan\xi'\tanh\eta'}\right).

6. 군사 좌표 체계 (MGRS)

미국군과 NATO의 위치 표시 시스템에서는 존을 위도 8도씩 남위 80도에서 북위 72도의 C부터 북위 72도에서 84도의 X까지 20개로 분할하여 존 번호와 함께 대략적인 위치 지정을 한다. (단, 숫자 1과 0과 혼동될 수 있는 I와 O는 사용하지 않는다.)^[1]

각 존 내를 100km 사방의 구획으로 분할하고, 각 구획에 알파벳 2자의 부호를 부여한다. 문자 수가 부족하므로 같은 존 내에 같은 부호가 여러 번 나타나지만, 상기 알파벳에 의한 위도 분할과 병용함으로써 100km 구획을 고유하게 특정할 수 있다. 또한 좌표와 구획을 더하여 위치 지정을 한다.^[1]

참조

_[1] 웹사이트 Universal Transverse Mercator (UTM) https://proj4.org/op[...]
_[2] 서적 Map projections: A working manual U.S. Government Printing Office
_[3] 웹사이트 NOAA History - Surveying and Mapping - Geodetic Surveys 1940 - 1990 http://www.history.n[...]
_[4] 간행물 Geodetic grids in authoritative maps–new findings about the origin of the UTM Grid https://dx.doi.org/1[...] Cartography and Geographic Information Science 2016
_[5] 문서 Equatorial radius 6,378,206.4 meters, polar radius 6,356,583.8 meters
_[6] 문서 Equatorial radius 6,378,388 meters, reciprocal of the flattening 297 exactly
_[7] 웹사이트 THE UNIVERSAL GRIDS: Universal Transverse Mercator (UTM) and Universal Polar Stereographic (UPS) https://apps.dtic.mi[...] National_Geospatial-Intelligence_Agency 1989-09-18
_[8] 웹사이트 Military Map Reading 201 http://earth-info.ng[...] National Geospatial-Intelligence Agency 2002-05-29
_[9] 논문 Konforme Abbildung des Erdellipsoids in der Ebene https://dx.doi.org/1[...] Deutsches GeoForschungsZentrum GFZ
_[10] 논문 Transverse Mercator with an accuracy of a few nanometers 2011
_[11] 간행물 Concise Derivation of Extensive Coordinate Conversion Formulae in the Gauss-Krüger Projection http://www.gsi.go.jp[...] Bulletin of the Geospatial Information Authority of Japan 2012
_[12] 간행물 A General Formula for Calculating Meridian Arc Length and its Application to Coordinate Conversion in the Gauss-Krüger Projection http://www.gsi.go.jp[...] Bulletin of the Geospatial Information Authority of Japan 2011
_[13] 간행물 Konforme Abbildung des Erdellipsoids in der Ebene https://doi.org/10.2[...] Veröffentlichung Königlich Preuszischen geodätischen Institutes 1912
_[14] 논문 Transverse Mercator with an accuracy of a few nanometers
_[15] 논문 Gauss-Krüger投影における経緯度座標及び平面直角座標相互間の座標換算についてのより簡明な計算方法 https://www.gsi.go.j[...] 国土地理院
_[16] 웹사이트 DMA Tecnical manual 8358.1 https://apps.dtic.mi[...] 2024-12-11
_[17] 서적 数値地図ユーザーズガイド日本地図センター

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