힐베르트 기호

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. 이차 힐베르트 기호
- 2.2. 일반적 힐베르트 기호
3. 성질
- 3.1. 유리수체의 국소 힐베르트 기호
- 3.2. 힐베르트 상호 법칙
4. Kaplansky radical
5. 역사
참조

1. 개요

힐베르트 기호는 유리수체 또는 국소체에서 정의되는 이차 방정식의 해의 존재 여부를 판별하는 함수이다. 힐베르트 기호는 두 가지 유형으로 나뉜다. 이차 힐베르트 기호는 국소체 K 위에서 K^× × K^×에서 {−1,1}로의 함수로 정의되며, 일반적 힐베르트 기호는 유리수체 위의 힐베르트 기호를 대수적 수체로 확장한 것이다. 힐베르트 기호는 쌍선형성, 반대칭성, 비퇴화성, 노름 감지 등의 성질을 가지며, 2차 상호 법칙과 밀접한 관련이 있다. 힐베르트 상호 법칙은 모든 자리에서의 힐베르트 기호의 곱이 1이 된다는 법칙이다. 힐베르트 기호는 Kaplansky radical과 브라우어 군을 정의하는 데 사용되며, 다비트 힐베르트가 1897년에 도입했다.

더 읽어볼만한 페이지

다비트 힐베르트 - 힐베르트 공간
힐베르트 공간은 내적 공간이면서 내적으로부터 유도된 거리 함수에 대해 완비 거리 공간을 이루는 공간으로, 다양한 함수 공간의 예시를 가지며 푸리에 해석, 양자역학 등 여러 분야에 응용된다.
다비트 힐베르트 - 힐베르트 기저 정리
힐베르트 기저 정리는 가환환 R이 뇌터 환일 때 R을 계수로 하는 다항식환 R[x_1,...,x_n] 역시 뇌터 환임을 명시하는 정리이며, 대수기하학에서 대수적 집합을 유한 개의 다항식의 공통근으로 해석할 수 있게 한다.
유체론 - 베유 군
베유 군은 유체론에서 기본류를 갖는 class formation의 핵심적인 역할을 하는 군으로, 다양한 체에 따라 다른 구조를 가지며, 비아르키메데스 국소체에서는 베유-들리뉴 군으로 확장된다.
유체론 - 아델 환
아델 환은 전역체 K의 모든 place ν에 대한 완비화 K_ν들의 제한된 곱으로 정의되는 부분환 \mathbf{A}_K이며, 수론에서 중요한 역할을 수행한다.

힐베르트 기호

2. 정의

힐베르트 기호는 주어진 체의 특성에 따라 이차 힐베르트 기호와 일반적 힐베르트 기호로 나뉜다.

이차 힐베르트 기호는 유리수체 또는 국소체에서 정의되며, 일반적 힐베르트 기호는 대수적 수체로 확장하여 정의된다. 원래 힐베르트는 아르틴 기호가 발견되기 전에 힐베르트 기호를 정의했으며, 그의 정의는 다소 복잡했다.^[5]

2. 1. 이차 힐베르트 기호

\mathfrak p\in\{\infty,2,3,5,7,\dots\}

가 유리수체의 자리라고 하자. 즉,

:

\mathbb Q_{\mathfrak p}=\begin{cases}\mathbb R&\mathfrak p=\infty\\\mathbb Q_p&p=\mathfrak p<\infty\end{cases}

는 실수체 또는 p진수체이다. 체

K

의 가역원군을

K^\times=K\setminus\{0\}

라고 하자. 그렇다면, 유리수체의

\mathfrak p

에서의 힐베르트 기호는 다음과 같은 함수이다.

:

\left(\frac{-,-}{\mathfrak p}\right)\colon\mathbb Q_{\mathfrak p}^\times\times\mathbb Q_{\mathfrak p}^\times\to\{-1,+1\}

:

\left(\frac{a,b}{\mathfrak p}\right)=\begin{cases}1&\exists(x,y,z)\in\mathbb Q_{\mathfrak p}^3\colon z^2=ax^2+by^2\\-1&\nexists(x,y,z)\in\mathbb Q_{\mathfrak p}^3\colon z^2=ax^2+by^2\end{cases}

국소체 ''K'' 위에서, 0이 아닌 원소들의 곱셈군이 ''K''^×인 경우, 이차 힐베르트 기호는 ''K''^× × ''K''^×에서 {−1,1}로의 함수 (–, –)로 정의되며,

:

(a,b)=\begin{cases}+1,&\mbox{ 만약 }z^2=ax^2+by^2\mbox{가 0이 아닌 해 }(x,y,z)\in K^3\mbox{을 가지는 경우};\\-1,&\mbox{ 그 외의 경우.}\end{cases}

동치적으로,

(a, b) = 1

일 필요충분조건은

b

가 이차 확대체

K[\sqrt{a}]

의 원소의 노름과 같다는 것이다.

2. 2. 일반적 힐베르트 기호

대수적 수체

K

의 자리

\mathfrak p

에 대하여, 다음과 같은 함수를 '''힐베르트 기호'''라고 한다.^[8]^[9]

:

\left(\frac{-,-}{\mathfrak p}\right)\colon K^\times_{\mathfrak p}\times K^\times_{\mathfrak p}\to \mu(K^\times)

:

\left(\frac{a,b}{\mathfrak p}\right)=\frac{(\frac{K_{\mathfrak p}(\sqrt[m]a)/K_{\mathfrak p}}{b})\sqrt[m]a}{\sqrt[m]a}

여기서

$K_{\mathfrak p}$ 는 자리 $\mathfrak p$ 에서의 국소체이다.
$\mu(K^\times)\subseteq K$ 는 $K$ 에 포함된 1의 거듭제곱근들로 구성된 아벨 군이다.
$m=|\mu(K)|$ 는 $K$ 에 포함된 1의 거듭제곱근의 수이다.
$(\tfrac{K_{\mathfrak p}(\sqrt[m]a)/K_{\mathfrak p}}b)\in\operatorname{Gal}(K_{\mathfrak p}(\sqrt[m]a)/K_{\mathfrak p})$ 는 원분 확대 $K_{\mathfrak p}(\sqrt[m]a)/K_{\mathfrak p}$ 에 대한 국소 아르틴 기호이다. 이는 갈루아 군의 원소이므로 원분 확대체의 원소 $\sqrt[m]a\in K_{\mathfrak p}(\sqrt[m]a)$ 위에 작용한다.

힐베르트 기호는

m

제곱 잉여류에만 의존한다. 즉, 이는 다음과 같은 함수를 정의한다.

:

\left(\frac{-,-}{\mathfrak p}\right)\colon\frac{K^\times_{\mathfrak p}}{(K^\times_{\mathfrak p})^m}\times\frac{K^\times_{\mathfrak p}}{(K^\times_{\mathfrak p})^m}\to \mu(K^\times)

만약

K

가

K

의 표수와 서로소인 어떤 양의 정수

n

에 대한

n

차 단위근을 포함하는 국소체라면, 힐베르트 기호 (,)는

K

*×

K

*에서 μ_''n''으로 가는 함수이다. 아르틴 기호로 표현하면 다음과 같이 정의할 수 있다.^[5]

:

(a,b)\sqrt[n]{b} = (a,K(\sqrt[n]{b})/K)\sqrt[n]{b}

힐베르트는 원래 아르틴 기호가 발견되기 전에 힐베르트 기호를 정의했으며, 그의 정의(

n

이 소수일 때)는

K

가

n

과 서로소인 잉여류 표수를 가질 때 멱잉여 기호를 사용했고,

K

가

n

을 나누는 잉여류 표수를 가질 때는 다소 복잡했다.

3. 성질

임의의 대수적 수체 $K$ 의 자리 $\mathfrak p$ 에 대하여, 힐베르트 기호는 다음 성질들을 만족시킨다.^[8]^[9]

$(a,1-a)_{\mathfrak p}=1\qquad\forall a\in K_{\mathfrak p}\setminus\{0,1\}$
$(a,-a)_{\mathfrak p}=1\qquad\forall a\in K_{\mathfrak p}^\times$
$(a,b)_{\mathfrak p}=(b,a)_{\mathfrak p}^{-1}\qquad\forall a,b\in K_{\mathfrak p}^\times$
$(a,bc)_{\mathfrak p}=(a,b)_{\mathfrak p}(a,c)_{\mathfrak p}\qquad\forall a,b,c\in K_{\mathfrak p}^\times$
$(ab,c)_{\mathfrak p}=(a,c)_{\mathfrak p}(b,c)_{\mathfrak p}\qquad\forall a,b,c\in K_{\mathfrak p}^\times$

마지막 두 성질은 힐베르트 기호가 곱셈에 대해 쌍선형성(bilinear)을 가지며, 반대칭성(anti-symmetric)을 갖는다는 것을 보여준다.

또한, 힐베르트 기호는 비퇴화성(non-degenerate)을 가지는데, 이는 모든

b

에 대해

(a,b)=1

이면

a

가

K^*

^''n''에 속하는 경우와 동치라는 의미이다.

힐베르트 기호는 스타인버그 기호의 한 예시이며, 밀너 K-군과 관련이 있다.

만약

\mathfrak p

가 복소수 자리라면, 힐베르트 기호는 항상 1의 값을 가진다.

3. 1. 유리수체의 국소 힐베르트 기호

\mathfrak p\in\{\infty,2,3,5,7,\dots\}

가 유리수체의 자리라고 하자. 즉,

:

\mathbb Q_{\mathfrak p}=\begin{cases}\mathbb R&\mathfrak p=\infty\\\mathbb Q_p&p=\mathfrak p<\infty\end{cases}

는 실수체 또는 p진수체이다. 체

K

의 가역원군을

K^\times=K\setminus\{0\}

라고 하자. 그렇다면, 유리수체의

\mathfrak p

에서의 힐베르트 기호는 다음과 같은 함수이다.

:

\left(\frac{-,-}{\mathfrak p}\right)\colon\mathbb Q_{\mathfrak p}^\times\times\mathbb Q_{\mathfrak p}^\times\to\{-1,+1\}

:

\left(\frac{a,b}{\mathfrak p}\right)=\begin{cases}1&\exists(x,y,z)\in\mathbb Q_{\mathfrak p}^3\colon z^2=ax^2+by^2\\-1&\nexists(x,y,z)\in\mathbb Q_{\mathfrak p}^3\colon z^2=ax^2+by^2\end{cases}

실수체에서는

:

\left(\frac{a,b}\infty\right)=\begin{cases}+1&\max\{a,b\}>0\\-1&\max\{a,b\}<0\end{cases}

이다.

2진수체에서,

a

와

b

가 정수이고

:

a=2^\alpha u

:

b=2^\beta v

:

2\nmid u,v

라면,

:

\left(\frac{a,b}2\right) = (-1)^{(u-1)(v-1)/4 + \alpha(v^2-1)/8+\beta(u^2-1)/8}

이다.

홀수 소수

p

에 대한

p

진수체에서,

a

와

b

가 정수이고

:

a=p^\alpha u

:

b=p^\beta v

:

p\nmid u,v

라면,

:

\left(\frac{a,b}p\right) = (-1)^{\alpha\beta(p-1)/2} \left(\frac up\right)^\beta \left(\frac vp\right)^\alpha

이다. 여기서

\textstyle(\frac ab)

는 르장드르 기호이다.

3. 2. 힐베르트 상호 법칙

'''힐베르트 상호 법칙'''(Hilbert reciprocity law^영어)에 따르면, 임의의 대수적 수체

K

의 두 원소

a,b\in K

에 대하여,

(\tfrac{a,b}{\mathfrak p})\ne1

인 자리

\mathfrak p

의 수는 유한하며, 모든 자리

\mathfrak p

에 대한 힐베르트 기호의 곱은 다음과 같이 1이다.^[8]^[9]

:

\prod_{\mathfrak p}\left(\frac{a,b}{\mathfrak p}\right) = 1

힐베르트 상호 법칙은 이차 상호 법칙을 일반화한다. 만약

a

와

b

가 서로 다른 양의 홀수 소수라면, 유리수체의 국소 힐베르트 기호들을 계산하면 다음과 같다.

$\mathfrak p$	$\left(\frac{a,b}{\mathfrak p}\right)$
$\infty$	1
2	$(-1)^{(a-1)(b-1)/4}$
$p$ ( $a\ne p\ne b$ )	1
$a$	$\left(\frac ba\right)$
$b$	$\left(\frac ab\right)$

따라서,

: $\prod_{\mathfrak p}\left(\frac{a,b}{\mathfrak p}\right)=(-1)^{(a-1)(b-1)/4}\left(\frac ab\right)\left(\frac ba\right)=1$

이다.

힐베르트 상호 법칙은 ''a''와 ''b''가 ''n''제곱근을 포함하는 대수적 수체에 속할 경우에도 성립하며, 다음과 같이 표현된다.^[6]

: $\prod_p (a,b)_p=1$

여기서 곱은 수체의 유한 및 무한 소수 ''p''에 대한 것이며, (,)_''p''는 ''p''에서의 완비에 대한 힐베르트 기호이다. 힐베르트 상호 법칙은 아르틴 상호 법칙과 아르틴 기호의 관점에서 힐베르트 기호의 정의로부터 도출된다.

4. Kaplansky radical

Kaplansky radical은 힐베르트 기호를 통해 정의되는 체의 부분군으로, 체의 구조를 이해하는 데 중요한 역할을 한다. 모든 ''b''에 대해 (''a'',''b'')=1을 만족하는 원소 ''a''는 ''F''의 '''Kaplansky radical'''이다.^[2]

이 radical은 F^*의 부분군으로 식별되는 F^*/F^*2의 부분군이다. radical은 ''F''가 ''u''-불변량 2 이하를 가질 때에만 F^*와 같다.^[3] 반대로, radical이 F^*2인 체는 '''힐베르트 체'''라고 불린다.^[4]

5. 역사

다비트 힐베르트가 1897년에 도입하였다.^[10]

참조

_[1] 서적 Class Field Theory https://www.jmilne.o[...]
_[2] 서적 2005
_[3] 서적 2005
_[4] 서적 2005
_[5] 서적 1999
_[6] 서적 1999
_[7] 서적 1999
_[8] 서적 Class field theory: From theory to practice Springer 2003
_[9] 서적 1999
_[10] 간행물 Die Theorie der algebraischen Zahlkörper http://resolver.sub.[...] 1897

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com