BRST 양자화

3. 기술적 개요

BRST 양자화는 비가환 게이지 이론에서 일관되고 이상이 없는 섭동 계산을 수행하기 위한 미분 기하학적 접근 방식이다. 게이지 이론의 작용 원리에 섭동 친화적인 게이지 고정 절차를 선택하고, 양자화를 통해 게이지 고정에 의해 도입된 "비물리적" 장이 점근적 양자 상태에 나타나지 않으면서 게이지 이상을 해결하는 방식으로 상호작용 그림에서 해밀턴 역학계를 얻는다. 그 결과는 S-행렬의 다이슨 급수 섭동 전개에 사용하기 위한 페르미 규칙 집합이며, 각 1고리 차수에서 유니타리이고 재규격화가 가능함을 보장한다. 즉, 산란 실험의 결과에 대한 물리적 예측을 하기 위한 일관된 근사 기술이다.

4. 전개

게이지 이론의 상태공간은 ℤ₂×ℝ 차수가 붙은 벡터 공간(graded vector space)을 이룬다. 여기서 ℤ₂는 반전성이고, ℝ은 '''유령수'''(ghost number^영어)다. 상태공간 위에 정의된 연산자도 마찬가지로 ℤ₂×ℝ 차수가 붙어 있는데, 예를 들어 BRST 연산자는 반전성 -1 (홀수), 유령수 1을 가진다.

유령수 $n$을 가진 상태공간의 부분공간을 $H\_n$이라고 하면, BRST 연산자 $Q$는 $Q\backslash colon\; H\_n\backslash to\; H\_\{n+1\}$이다. $Q^2=0$이므로, 이는 코호몰로지를 이루며, 이를 '''BRST 코호몰로지'''라고 한다.

실재하는 상태는 $Q$의 코호몰로지, 즉 벡터 공간 $\backslash ker\; Q\_\{n+1\}/\backslash operatorname\{Im\}Q\_n$의 원소이며, 이는 정수 고스트 수로 등급이 매겨지고 BRST 코호몰로지를 갖는 초심플렉틱 다양체와 관련이 있다.

4. 1. 일반적 게이지 이론의 양자화

4. 2. 양-밀스 이론의 양자화

5. 게이지 변환과 양자장론

양자장론은 작용 원리와 섭동 계산을 수행하기 위한 일련의 절차로 구성된다. 게이지 이론은 이론의 객체가 물리적으로 구별할 수 없는 장 구성의 동치류를 나타내고, 임의의 두 개가 게이지 변환에 의해 관련된 이론이다. BRST 방법은 양-밀스 이론과 힉스 메커니즘이 자발적 대칭 깨짐으로 이어지는 이론 모두에서 정확한 결과를 얻는 데 필요한 계산 기술과 재규격화 가능성 증명을 제공한다.

6. 게이지 고정과 섭동 이론

게이지 불변성 원리는 실행 가능한 양자장론을 구성하는 데 필수적이다. 그러나 게이지 이론에서는 '게이지 고정', 즉 '게이지 대칭을 깨는' 항을 작용 밀도에 추가하지 않고서는 섭동 계산을 수행하는 것이 일반적으로 불가능하다. 게이지 고정 개념은 로렌츠 게이지를 사용하는 전자기학으로 거슬러 올라가며, 이는 명백한 로렌츠 불변성을 유지하면서 4-포텐셜에서 과도한 자유도를 억제한다. 로렌츠 게이지는 고전 전자기학에 대한 맥스웰의 장 강도 접근법에 비해 훨씬 단순하며, 르장드르 변환을 통해 해밀턴 역학으로 넘어가기 전에 라그랑지안 단계에서 이론의 객체 군 표현에서 과도한 자유도를 처리하는 것이 유용한 이유를 보여준다.

루드비히 D. 파데예프, 빅토르 포포프, 브라이스 드윗, 게라르두스 '트 호프트의 연구를 통해, 양-밀스 이론으로 시작하는 비-아벨 게이지 군을 갖는 게이지 이론들이 1960년대 후반과 1970년대 초반에 양자화될 수 있게 되었다. 그러나 BRST 방법이 도입되기 전까지는 다루기가 매우 어려웠다. BRST 형식론은 게이지 고정을 통해 파인만 규칙을 얻고, 재규격화 가능성과 게이지 불변성을 유지하는 데 중요한 역할을 한다.

BRST 대칭성은 대응하는 전하 ''Q''와 함께 게이지 불변성의 본질을 포착하지만, 경로 적분 양자화에는 어려움이 따른다. 모든 게이지 구성을 더하는 단순한 경로 적분은 게이지 변환으로 인한 중복성 때문에 물리적으로 구별되는 상태를 과도하게 계산하며, 이는 게이지 궤도를 적분하여 경로 적분에서 발산으로 나타난다. 이를 해결하기 위해 BRST 프레임워크 내에서 '''게이지 고정''' 절차가 도입된다.

핵심 아이디어는 경로 적분을 게이지 구성의 대표 집합으로 제한하여 중복된 게이지 자유도를 제거하는 것이다. 이는 ''A''가 게이지장을 나타내는 '''게이지 고정 함수''' ''f(A)''를 도입하여 수행되며, ''f(A)''의 구체적인 선택은 게이지를 결정한다. 다른 선택은 동일한 물리적 이론의 다른 표현으로 이어지지만, 최종 물리적 결과는 이 선택과 독립적이어야 한다.

BRST 양자화 내의 게이지 고정 절차는 게이지 고정 함수와 고스트장 모두에 의존하는 항을 라그랑지안 밀도에 추가하여 구현된다. 이 항은 BRST의 변형으로 쓸 수 있다는 의미에서 BRST-exact가 되도록 구성되어, 수정된 작용이 여전히 BRST 대칭성을 갖게 된다.

게이지 고정 라그랑지안 밀도의 일반적인 형태는 다음과 같다.

$$

L_{gf} = -i Q(f(A) * \bar{c})



여기서 $\backslash bar\{c\}$는 안티고스트장이다. ''-i'' 계수는 관례이다. ''Q² = 0''이므로, ''L_gf''의 BRST 변형은 0이 되어 전체 작용의 BRST 불변성을 보존한다.

두 가지 일반적인 예시는 다음과 같다.

'''1. 전자기학의 굽타-블로일러 (로렌츠) 게이지:'''

이 게이지에서 게이지 고정 함수는 $f(A)\; =\; \backslash partial\_\backslash mu\; A^\backslash mu$이다. 게이지 고정 라그랑지안 밀도는 다음과 같다.

$$

L_{gf} = -i Q( (\partial_\mu A^\mu) * \bar{c}) = -i ( (\partial_\mu \partial^\mu c) * \bar{c} - (\partial_\mu A^\mu) * B )



여기서 ''B''는 게이지 조건을 다시 쓰기 위해 도입된 보조 Nakanishi-Lautrup 장이다. 경로 적분에서 ''B''를 적분하면 익숙한 형태를 얻는다.

$$

L_{gf} = -\frac{1}{2\xi} (\partial_\mu A^\mu)^2 + (\partial _\mu \bar{c})(\partial^\mu c)



여기서 ''ξ''는 게이지 매개변수이다. 로렌츠 게이지는 파인만 게이지 (''ξ = 1'')에 해당한다. 고스트장은 BRST 변형을 통해 게이지장과 계속 연결되어 있다.

'''2. 양-밀스 이론의 ξ-게이지:'''

비가환 게이지 이론의 경우, 게이지 고정 함수 $f(A)\; =\; \backslash partial\_\backslash mu\; A^\{\backslash mu\; a\}\; +\; \backslash xi\; B^a$를 사용하여 일반화된 ξ-게이지의 클래스를 정의할 수 있다. 여기서 ''a''는 게이지 그룹 지수이다. 게이지 고정 라그랑지안 밀도는 다음과 같다.

$$

L_{gf} = -i Q( (\partial_\mu A^{\mu a} + \xi B^a) * \bar{c}^a ) = B^a(\partial_\mu A^{\mu a}) + (\xi/2)B^a B^a + \bar{c}^a(\partial _\mu D^\mu c)^a



여기서 ''D^μ''는 공변 미분이다. 보조장 ''B^a''는 적분될 수 있으며, 결과는 다음과 같다.

$$

L_{gf} = -\frac{1}{2\xi} (\partial _\mu A^{\mu a})^2 + \bar{c}^a(\partial_\mu D^\mu c)^a



다시 ''ξ''는 게이지 매개변수이며, ''ξ''의 다른 선택은 이 계열 내의 다른 게이지에 해당한다.

게이지 고정 항 ''L_gf''의 도입은 작용을 수정하고 결과적으로 경로 적분을 변경한다. 중요한 점은 BRST 대칭성이 보존되어 물리적 관측 가능량이 게이지 선택과 무관하게 유지된다는 것이다. 또한, 게이지 고정 절차는 고전적 작용의 원래 게이지 대칭성을 깨뜨려 경로 적분을 잘 정의한다. 원래 비물리적 자유도를 보상하기 위해 도입된 고스트장은 이제 양자화된 버전에서 이론의 유니타리티를 유지하는 데 중요한 역할을 한다.

7. BRST 연산자와 점근적 Fock 공간

Ward 연산자 $W(\backslash delta\backslash lambda)$에 대한 접선으로 정의되는 '''BRST 연산자''' $s\_B$는 핵심적인 역할을 한다. 각 장에 대한 Ward 연산자는 국소 게이지 변환 $\backslash delta\backslash lambda$과 관련된 수직 벡터장을 따라가는 리 미분과 동일시될 수 있다. 필드에 대한 BRST 연산자 $s\_B$는 게이지 묶음에 대한 외미분과 유사하게 작동한다. Ward 및 BRST 연산자는 $W(\backslash delta\backslash lambda)\; X\; =\; \backslash delta\backslash lambda\backslash ;\; s\_B\; X$와 같이 관련된다. (여기서 $X\; \backslash in\; \{Pl\}\_0$는 0차 형식(스칼라)이다.)

BRST 연산자는 2차 멱영 연산자, 즉 $(s\_B)^2\; =\; 0$이다. 국소 게이지 변환 $\backslash delta\backslash lambda$에 대한 "BRST-정확한 형식" $s\_B\; X$의 변화는 내부 미분 $\backslash iota\_\{\backslash delta\backslash lambda\}.$에 의해 주어지는데, 이 또한 정확하다.

해밀턴 가변 형식론에서는 게이지 불변 라그랑지안 밀도에 BRST 정확한 항을 추가하면 $s\_BX=0$ 관계를 유지한다. 이는 $[Q\_B,\; \backslash mathcal\{H\}]\; =\; 0$인 상태 공간에서 관련 연산자 $Q\_B$가 존재함을 의미하며, Fock 상태에 대한 BRST 연산자는 보존 전하가 된다. 이는 Dyson series 계산의 시간 진화 연산자가 특정 조건을 만족하는 필드 구성을 다른 구성으로 진화시키지 않음을 의미한다.

BRST 연산자의 멱영성은 그 image가 완전히 그 커널 내에 있음을 의미한다. 국소 게이지 변환에 불변인 "진정한" 라그랑지안은 BRST 연산자의 커널에 있지만 그 이미지에는 없다. 이는 초기 및 최종 조건의 우주가 점근적 "상태"로 제한될 수 있음을 의미하며, 여기서 상호 작용 라그랑지안은 "꺼져" 있다. 이러한 상태는 $Q\_B$의 커널에 있으며, 산란 행렬은 단일성을 유지한다.

점근적 상태를 정의할 때, $Q\_B$의 이미지 내에 있는 상태도 억제될 수 있다. 이론의 "진정한" 라그랑지안이 게이지 불변이라고 가정했으므로, 해밀턴 시스템의 진정한 "상태"는 국소 게이지 변환에 따른 동등성 클래스이다. 즉, BRST 정확한 상태로만 다른 두 초기 또는 최종 상태는 물리적으로 동등하다.

상호 작용 그림에서 양자화 처방은 특정 시간에 BRST 닫힌 구성의 벡터 공간을 구축하고, 이를 Fock 공간으로 변환한다. 내적은 비섭동 해밀턴의 BRST 정확한 고유 상태에 해당하는 방향을 따라서만 특이점이 있어야 한다.

원하는 양자화 처방은 '''BRST 코호몰로지'''와 동형인 ''몫'' Fock 공간을 제공하며, 이는 이론의 ''점근적'' 상태에 적합하다. BRST 정확한 자유도에 따른 내적의 특이성은 물리적 산란 행렬에 물리적 필드만 포함되도록 보장한다.

8. 쿠고-오지마 유니타리성 해법

쿠고(T. Kugo)와 오지마(I. Ojima)는 QCD 색 가둠 기준의 발견자로 인정받고 있다. 이들은 BRST 변형에서 에르미트 성질을 강조하고, 점근적 Fock 공간에 대한 처리를 제시했다.

쿠고-오지마는 게이지 고정을 처리하기 위해 파데예프-포포프 유령($c^i$), 반유령($b\_i=\backslash bar\{c\}\_i$), 보조장($B\_i$)을 도입했다. 여기서 $c^i$는 페르미온 통계를 따르는 $\backslash mathfrak\{g\}$ 값을 갖는 스칼라 장이고, $b\_i$는 페르미온 통계를 따르는 $\backslash mathfrak\{g\}$ 값을 갖는 스칼라 장, $B\_i$는 보존 통계를 따르는 $\backslash mathfrak\{g\}$ 값을 갖는 스칼라 장이다. 이때, $\backslash mathfrak\{g\}$ 값을 갖는 게이지 고정 조건은 $G=\backslash xi\backslash partial^\backslash mu\; A\_\backslash mu$로 설정되며, 여기서 $\backslash xi$는 게이지를 결정하는 양의 숫자이다.

이들은 다음과 같은 BRST 라그랑지언 밀도를 정의했다.

:$\backslash mathcal\{L\}\; =\; \backslash mathcal\{L\}\_\backslash textrm\{matter\}(\backslash psi,\backslash ,A\_\backslash mu^a)\; -\{1\backslash over\; 4g^2\}\; \backslash operatorname\{Tr\}[F^\{\backslash mu\backslash nu\}F\_\{\backslash mu\backslash nu\}]+\{1\backslash over\; 2g^2\}\; \backslash operatorname\{Tr\}[BB]-\{1\backslash over\; g^2\}\; \backslash operatorname\{Tr\}[BG]-\{\backslash xi\backslash over\; g^2\}\; \backslash operatorname\{Tr\}[\backslash partial^\backslash mu\; b\; D\_\backslash mu\; c]$

여기서 $D\_\backslash mu$는 게이지장(연결) $A\_\backslash mu$에 대한 공변 미분이다.

9. 수학적 접근

BRST 구성^[1]은 게이지군 $G$의 해밀턴 작용이 위상 공간 $M$에 작용하는 상황에 적용된다. 우선, $\{\backslash mathfrak\; g\}$를 $G$의 리 대수라 하고, $0\backslash in\; \{\backslash mathfrak\; g\}^*$를 모멘트 사상 $\backslash Phi:\; M\backslash to\; \{\backslash mathfrak\; g\}^*$의 정규 값이라고 가정한다. 이때 $M\_0=\backslash Phi^\{-1\}(0)$로 둔다. 그리고 $M\_0$에서의 $G$ 작용이 자유롭고 적절하다고 가정하고, $\backslash tilde\; M$ 즉, $M\_0$에서의 $G$ 궤도 공간을 고려한다.

게이지 이론의 해밀턴 역학은 $r$개의 제1종 제약 $\backslash Phi\_i$로 설명되며, 이는 심플렉틱 공간 $M$에 작용한다. $M\_0$는 제1종 제약을 만족하는 부분 다양체이다. 게이지 대칭의 작용은 $M\_0$을 게이지 궤도로 분할한다. 심플렉틱 감소는 게이지 궤도로 나눈 $M\_0$의 몫이다.

대수 기하학에 따르면 공간 위의 매끄러운 함수의 집합은 환이다. 코줄-테이트 복합체(일반적으로 제1종 제약은 정규적이지 않음)는 대수 $C^\backslash infty(M)$의 관점에서 심플렉틱 감소와 관련된 대수를 설명한다.

먼저, $M\_0$을 $M$ 안에 정의하는 방정식을 사용하여 코줄 복합체를 구성한다.

:$...\; \backslash to\; K^1(\backslash Phi)\; \backslash to\; C^\{\backslash infty\}(M)\; \backslash to\; 0$

이 복합체의 경우 $H^0(K(\backslash Phi))=C^\backslash infty(M\_0)$이고 $H^p(K(\backslash Phi))=0$ ($p\backslash ne\; 0$일때)이다.

그 다음으로 올림차원 형식의 복합체 $(\backslash Omega^\backslash cdot\_\{vert\}(M\_0),\; d\_\{vert\})$를 피복 $M\_0\; \backslash to\; \backslash tilde\; M$에 대해 고려한다. 지역적으로, $\backslash Omega^\backslash cdot\_\{vert\}(M\_0)$는 $\backslash Lambda^\backslash cdot\; V^*\; \backslash otimes\; C^\{\backslash infty\}(\backslash tilde\; M)$과 동형이며, 여기서 $\backslash Lambda^\backslash cdot\; V^*$는 벡터 공간 $V$의 이중 공간의 외부 대수이다. 앞서 정의된 코줄 해소를 사용하여, 이중 차수 복합체를 얻는다.

:$K^\{i,j\}\; =\; \backslash Lambda^i\; V^*\; \backslash otimes\; \backslash Lambda^j\; V\; \backslash otimes\; C^\{\backslash infty\}(M).$

마지막으로, 미분 $s\_B$가 $K=\backslash oplus\_\{i,j\}\; K^\{i,j\}$에 정의되어 $d\_\{vert\}$를 $K$로 올리고 $(s\_B)^2\; =\; 0$을 만족하며

:$H^0\_\{s\_B\}\; =\; C^\{\backslash infty\}(\backslash tilde\; M)$

이다. '''유령수'''에 의한 등급에 관해서는 $K^n\; =\; \backslash oplus\_\{i-j=n\}\; K^\{i,j\}$이다.

따라서, '''BRST 연산자''' 또는 '''BRST 미분''' $s\_B$는 심플렉틱 감소가 다양체 수준에서 수행하는 것을 함수 수준에서 수행한다.

서로 반가환하는 두 개의 반미분 $\backslash delta$와 $d$가 있다. BRST 반미분 $s\_B$는 $\backslash delta\; +\; d\; +\; \backslash mathrm\{more\}$로 주어지며, 연산자 $s\_B$는 멱영이다. 즉, $s^2=(\backslash delta+d)^2=\backslash delta^2\; +\; d^2\; +\; (\backslash delta\; d\; +\; d\backslash delta)\; =\; 0$이다.

$C^\backslash infty(M)$과 그라스만 홀수 생성자 $\backslash mathcal\{P\}\_i$에 의해 생성된 초가환 대수, 즉 그라스만 대수와 $C^\backslash infty(M)$의 텐서 곱을 고려한다. $\backslash delta\; \backslash mathcal\{P\}\_i\; =\; -\backslash Phi\_i$이고 모든 $f\backslash in\; C^\backslash infty(M)$에 대해 $\backslash delta\; f=0$을 만족하는 유일한 반미분 $\backslash delta$가 존재한다. 이때, 영차 호몰로지는 $C^\backslash infty(M\_0)$로 주어진다.

$M\_0$ 위의 종적 벡터장은 게이지 궤도에 접하는 $M\_0$ 위의 벡터장이다. 두 종적 벡터장의 리 괄호는 또 다른 종적 벡터장 자체이다. 종적 $p$-형식은 $p$-벡터의 외부 대수에 이중적이다. $d$는 본질적으로

:$\backslash begin\{align\}$

d\omega(V_0, \ldots, V_k) = & \sum_i(-1)^{i} d_ ( \omega (V_0, \ldots, \widehat V_i, \ldots,V_k ))\\

& + \sum_{i
\end{align}

에 의해 정의된 종적 외부 미분이다. 종적 외부 미분의 영차 코호몰로지는 게이지 불변 함수의 대수이다.

BRST 구성은 콤팩트, 연결된 리 군 $G$의 해밀턴 작용이 위상 공간 $M$에 작용할 때 적용된다.^[2][3] $\backslash mathfrak\{g\}$를 $G$의 리 대수라 하고($\backslash mathfrak\{g\}$를 통한 리 군-리 대수 대응), $0\; \backslash in\; \backslash mathfrak\{g\}^*$($\backslash mathfrak\{g\}$의 이중)를 모멘텀 사상 $\backslash Phi:\; M\backslash to\; \backslash mathfrak\{g\}^*$의 정규 값이라고 한다. $M\_0=\backslash Phi^\{-1\}(0)$로 둔다. $M\_0$에서의 $G$ 작용이 자유롭고 적절하다고 가정하고 $\backslash widetilde\; M\; =\; M\_0/G$, 즉 $M\_0$ 위의 $G$ 궤도 공간을 고려하는데, 이는 심플렉틱 감소 몫 $\backslash widetilde\; M\; =\; M/\backslash !\backslash !/G$로도 알려져 있다.

먼저, $M$ 내에서 $M\_0$을 정의하는 함수의 정규 수열을 사용하여 코줄 복합체를 구성한다.

:$\backslash Lambda^\backslash bullet\; \{\backslash mathfrak\; g\}\; \backslash otimes\; C^\{\backslash infty\}(M).$

이 복합체에 대한 미분 $\backslash delta$는 등급된 $C^\backslash infty(M)$-대수 $\backslash Lambda^\backslash bullet\; \{\backslash mathfrak\; g\}\; \backslash otimes\; C^\{\backslash infty\}(M)$의 홀수 $C^\backslash infty(M)$-선형 미분(미분 대수)이다. 이 홀수 미분은 해밀턴 작용의 리 대수 준동형사상 $\{\backslash mathfrak\; g\}\backslash to\; C^\{\backslash infty\}(M)$를 확장하여 정의된다. 결과적인 코줄 복합체는 $S(\backslash mathfrak\{g\})$-모듈 $C^\backslash infty(M)$의 코줄 복합체이며, 여기서 $S(\backslash mathfrak\{g\})$는 $\backslash mathfrak\{g\}$의 대칭 대수이고, 모듈 구조는 해밀턴 작용 $\backslash mathfrak\{g\}\; \backslash to\; C^\{\backslash infty\}(M)$에 의해 유도된 환 준동형사상 $S(\{\backslash mathfrak\; g\})\; \backslash to\; C^\{\backslash infty\}(M)$에서 비롯된다.

이 코줄 복합체는 $S(\{\backslash mathfrak\; g\})$-모듈 $C^\{\backslash infty\}(M\_0)$의 해소, 즉

:

이다.

그런 다음, 코줄 복합체 $\backslash Lambda^\backslash bullet\; \{\backslash mathfrak\; g\}\; \backslash otimes\; C^\{\backslash infty\}(M)$에 대한 체발레-에일렌베르크 복합체를 리 대수 $\backslash mathfrak\{g\}$ 위의 미분 등급 모듈로 간주한다.

:$K^\{\backslash bullet,\backslash bullet\}\; =\; C^\backslash bullet\; \backslash left\; (\backslash mathfrak\; g,\backslash Lambda^\backslash bullet\; \{\backslash mathfrak\; g\}\; \backslash otimes\; C^\{\backslash infty\}(M)\; \backslash right\; )\; =\; \backslash Lambda^\backslash bullet\; \{\backslash mathfrak\; g\}^*\; \backslash otimes\; \backslash Lambda^\backslash bullet\; \{\backslash mathfrak\; g\}\; \backslash otimes\; C^\{\backslash infty\}(M).$

"수평" 미분 $d:\; K^\{i,\backslash bullet\}\; \backslash to\; K^\{i+1,\backslash bullet\}$는 계수에 대해 정의된다.

:$\backslash Lambda^\backslash bullet\; \{\backslash mathfrak\; g\}\; \backslash otimes\; C^\{\backslash infty\}(M)$

$\backslash mathfrak\{g\}$의 작용에 의해 정의되며, $\backslash Lambda^\backslash bullet\; \{\backslash mathfrak\; g\}^*$에서는 리 대수가 $\backslash mathfrak\{g\}$인 리 군 $G$ 위의 오른쪽-불변 미분 형식의 외부 미분으로 정의된다.

Tot(''K'')를 다음과 같은 복합체라고 한다.

:$\backslash operatorname\{Tot\}(K)^n\; =\backslash bigoplus\backslash nolimits\_\{i-j=n\}\; K^\{i,j\}$

미분 ''D'' = ''d'' + δ가 있다. (Tot(''K''), ''D'')의 코호몰로지 군은 이중 복합체 $(K^\{\backslash bullet,\backslash bullet\},\; d,\; \backslash delta)$와 관련된 스펙트럼 열을 사용하여 계산된다.

스펙트럼 열의 첫 번째 항은 "수직" 미분 $\backslash delta$의 코호몰로지를 계산한다.

:$E\_1^\{i,j\}\; =\; H^j\; (K^\{i,\backslash bullet\},\backslash delta)\; =\; \backslash Lambda^i\; \{\backslash mathfrak\; g\}^*\; \backslash otimes\; C^\{\backslash infty\}(M\_0)$ (''j'' = 0일때), 그 외에는 0이다.

스펙트럼 열의 첫 번째 항은 수직 미분 형식의 복합체로 해석될 수 있다.

:$(\backslash Omega^\backslash bullet\{\backslash operatorname\{vert\}\}(M\_0),\; d\_\{\backslash operatorname\{vert\}\})$

피복 $M\_0\; \backslash to\; \backslash widetilde\; M$에 대해.

스펙트럼 열의 두 번째 항은 $E\_1^\{\backslash bullet,\backslash bullet\}$에 대한 "수평" 미분 $d$의 코호몰로지를 계산한다.

:$E\_2^\{i,j\}\; \backslash cong\; H^i(E\_1^\{\backslash bullet,j\},d)\; =\; C^\{\backslash infty\}(M\_0)^g\; =\; C^\{\backslash infty\}(\backslash widetilde\; M)$ ($i\; =\; j=\; 0$일때), 그 외에는 0이다.

스펙트럼 열은 두 번째 항에서 붕괴되므로 $E\_\{\backslash infty\}^\{i,j\}\; =\; E\_2^\{i,j\}$이며, 이는 차수 0에 집중된다.

따라서,

:$H^p\; (\backslash operatorname\{Tot\}(K),\; D\; )\; =\; C^\{\backslash infty\}(M\_0)^g\; =\; C^\{\backslash infty\}(\backslash widetilde\; M)$(''p'' = 0일때), 그 외에는 0이다.

참조

_[1] 논문 Geometric BRST Quantization Springer
_[2] 서적
_[3] 서적
_[4] 논문 The cohomological construction of Stora's solutions. https://projecteucli[...]
_[5] 저널 The abelian Higgs Kibble model, unitarity of the ''S''-operator 1974-10-14
_[6] 저널 Renormalization of gauge theories 1976-06
_[7] 저널 Gauge invariance in field theory and statistical physics in operator formalism