정준 양자화

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 역사
3. 양자 역학
4. 고전 마당의 양자화
5. 양자 다체계 상태
- 5.1. 제1 양자화된 다체 파동 함수
- 5.2. 제2 양자화된 포크 상태
6. 생성 및 소멸 연산자
- 6.1. 보손 생성 및 소멸 연산자
- 6.2. 페르미온 생성 및 소멸 연산자
7. 양자장 연산자
8. 스칼라장의 양자화
9. 다수의 동일 입자 양자론
참조

1. 개요

정준 양자화는 양자역학적 시스템을 기술하는 방법으로, 고전적인 물리량과 대응되는 연산자를 도입하여 양자역학적 방정식을 구성한다. 역사적으로는 하이젠베르크, 슈뢰딩거, 디랙 등에 의해 발전되었으며, "정준 양자화"라는 용어는 요르단이 처음 사용했다. 이 방법은 고전적인 장을 양자화하는 데에도 적용되어, 양자장 이론의 기초를 형성한다. 정준 양자화는 해밀턴 역학의 푸아송 괄호를 교환자로 대체하여 불확정성 원리를 나타내며, 다체계의 양자 상태를 기술하는 데에도 사용된다. 제2 양자화는 입자의 생성 및 소멸 연산자를 활용하여 다체계의 상태를 간결하게 표현하며, 보손과 페르미온의 특성을 반영한다. 양자장 연산자와 생성-소멸 연산자를 통해 물리량을 계산하며, 스칼라장의 양자화와 다수의 동일 입자 양자론을 설명하는 데 사용된다.

2. 역사

베르너 하이젠베르크는 교환자를 최초로 도입하였고, 에르빈 슈뢰딩거는 파동 함수를 도입하였다. 폴 디랙은 양자역학을 표현하는 이 둘 사이의 관계를 발견하고,^[22] 전자기장의 양자화를 시도하였다. 유진 위그너와 파스쿠알 요르단^[23]은 이 방법을 써서 전자 마당을 양자화하였다. 요르단은 ''정준 양자화''(canonical quantization)라는 용어를 고안하였다.

제2양자화는 양자역학에서 입자의 동일성 개념에서 출발한다. 고전역학에서는 각 입자가 고유한 위치 벡터로 표시되지만, 양자역학에서는 입자가 동일하여 두 입자를 교환하여도 다체 양자 상태가 변하지 않는다. 이는 다체 양자 파동 함수가 두 입자의 교환에 대해 (위상 인자를 제외하고) 불변해야 함을 의미한다. 입자의 통계에 따라 다체 파동 함수는 입자 교환에 대해 대칭적이거나 반대칭적일 수 있다.

요르단^[11]이 도입한 "제2 양자화"라는 용어는 역사적인 이유로 인해 잘못된 명칭으로 남아 있다. 양자장 이론의 초기에는 디랙 방정식이 상대론적 파동 함수를 기술하는 것으로 오해되었으나, 실제로는 고전적인 스피너 장을 기술하는 것이었다. 이 고전적인 스피너 장은 (스칼라 장과 마찬가지로) 양자화되면 페르미온 양자장을 생성한다.

"제2"라는 용어가 시사하는 것처럼 "다시" 양자화하는 것이 아니다. 양자화되는 장은 입자를 양자화한 결과 생성된 슈뢰딩거 파동 함수가 아니라, 고전적인 장(예: 전자기장 또는 디랙 스피너 장)이다.

장의 양자화는 "두 번째" 양자화가 아니다. "제2양자화"라는 용어는 장의 양자론이 만들어지는 역사적 과정에서 양자화의 본질이 보이지 않고, "첫 번째 양자화가 유한 자유도의 양자역학이며, 이를 다시 한번 양자화한 것이 장의 양자론이다"라는 오해에서 유래한다.^[13]

"고전적으로는 입자인 것(예를 들어 전자)에 대해, 장을 기본 변수로 해보자"라는 동기는 "좌표 표시의 파동 함수가 장처럼 보였기 때문"이었다. 그러나 "기본 변수인 장"과 "상태 벡터의 좌표 표시인 파동 함수"는 전혀 별개의 것이다.^[14]

3. 양자 역학

해밀턴 역학에서는 물리적 계를 좌표와 그에 해당하는 운동량으로 기술하며, 이들은 푸아송 괄호로 나타내어지는 심플렉틱 구조를 이룬다. 양자역학에서는 푸아송 괄호가 교환자로 대체되는데, 예를 들어 좌표와 운동량의 푸아송 괄호는 0이 아닌 교환자가 되어 불확정성 원리를 의미한다. 고전 이론에서 가환적인 변수들이 양자화된 이론에서는 가환하지 않을 수 있다. 따라서 같은 고전 이론에 여러 개의 서로 다른 양자 이론이 대응될 수 있다.^[1]

4. 고전 마당의 양자화

같은 방식으로 고전 마당을 양자화할 수 있다. 고전 마당 이론에서 양자 마당은 가환적인 스칼라, 벡터, 혹은 텐서 값을 가진다. 로렌츠 변환을 깨뜨리고 어떤 특정한 시간 축을 선택하면, 라그랑지안을 이용하여 마당에 해당하는 운동량 마당을 얻는다.

양자 마당 이론에서는 고전적 마당을 양자화한다. 이 때, 마당과 그 운동량 사이에 정준 교환 관계를 적용한다. 이를 이용하여 생성 및 소멸 연산자 사이의 교환 관계를 얻고, 이를 이용하여 포크 공간을 얻는다.^[12]

양자장을 도입하는 방법에는 두 가지가 있다.

첫 번째는 고전장을 양자화하는 방법이다. 이때 파동장을 함수가 아니라, 정준 교환 관계나 정준 반교환 관계와 같은 “어떤 종류의 대수적 관계”를 만족하는 연산자로 바꿔 해석한다.

두 번째는 양자역학에서 동일 입자의 통계성과 불가분성에 주목하여, 진공에서 입자가 생성되거나 입자가 소멸하는 공간(포크 공간)에서 출발하는 방법이다.

장의 양자화는 결코 "두 번째" 양자화가 아니다. "제2양자화"라는 용어는 장의 양자론이 만들어지는 역사적 과정에서 양자화의 본질이 보이지 않고, "첫 번째 양자화가 유한 자유도의 양자역학이며, 이를 다시 한번 양자화한 것이 장의 양자론이다"라는 오해에서 유래한다.^[13]

"고전적으로는 입자인 것(예를 들어 전자)에 대해, 장을 기본 변수로 해보자"라는 동기는 "좌표 표시의 파동 함수가 장처럼 보였기 때문"이었다. 그러나 "기본 변수인 장"과 "상태 벡터의 좌표 표시인 파동 함수"는 전혀 별개의 것이다.^[14]

5. 양자 다체계 상태

제2양자화는 양자역학에서 입자들이 구별 불가능하다는 점에서 출발한다. 고전역학에서는 각 입자가 고유한 위치 벡터를 가지지만, 양자역학에서는 입자들이 동일하여 두 입자를 교환해도 다른 다체 양자 상태가 만들어지지 않는다. 즉, 다체 양자 파동 함수는 두 입자의 교환에 대해 (위상 인자를 제외하고) 불변해야 한다.^[6]

입자의 통계에 따라 다체 파동 함수는 입자 교환에 대해 대칭적이거나 반대칭적이어야 한다.

보손(Boson): 입자 교환에 대해 대칭적이다.

:

\Psi_{\rm B}(\cdots,\mathbf{r}_i,\cdots,\mathbf{r}_j,\cdots)=+\Psi_{\rm B}(\cdots,\mathbf{r}_j,\cdots,\mathbf{r}_i,\cdots)

페르미온(Fermion): 입자 교환에 대해 반대칭적이다.

:

\Psi_{\rm F}(\cdots,\mathbf{r}_i,\cdots,\mathbf{r}_j,\cdots)=-\Psi_{\rm F}(\cdots,\mathbf{r}_j,\cdots,\mathbf{r}_i,\cdots)

이러한 교환 대칭성은 다체 파동 함수에 제약 조건을 부과한다. 다체계에 입자가 추가되거나 제거될 때마다 대칭성 제약 조건을 만족하도록 파동 함수를 적절히 대칭화하거나 반대칭화해야 한다. 제1양자화 형식에서는 항등식(보손) 또는 행렬식(페르미온)의 선형 결합으로 파동 함수를 나타내어 이 제약 조건을 보장한다. 반면, 제2양자화 형식에서는 생성 및 소멸 연산자가 대칭화 문제를 자동으로 처리하여 표기법을 간결하게 만든다.^[15]

제1 양자화에서는 N개의 입자계의 힐베르트 공간을 구성하기 위해 1입자 힐베르트 공간의 N개의 텐서곱을 고려하고, 그것을 입자의 교환에 대해 보손계에서는 완전 대칭적인 것, 페르미온계에서는 비대칭적인 것으로 제한한다.

제2 양자화에서는 기본 변수를 "장"과 그 켤레 운동량으로 함으로써 동일한 입자를 구별할 수 없는 것과 상태 벡터 및 물리량의 대칭성 등이 이론에 자동적으로 통합되어 간결해진다.

5. 1. 제1 양자화된 다체 파동 함수

단일 입자 파동 함수

\psi_{\alpha}(\mathbf{r})

의 완전 집합을 고려한다. 여기서

\alpha

는 여러 양자수의 조합으로 이루어진 지표일 수 있다. 다음 파동 함수:

\Psi[\mathbf{r}_i]=\prod_{i=1}^{N}\psi_{\alpha_i}(\mathbf{r}_i)\equiv \psi_{\alpha_1}\otimes\psi_{\alpha_2}\otimes\cdots\otimes\psi_{\alpha_N}

는 i번째 입자가 단일 입자 상태

|{\alpha_i}\rangle

를 점유하는 N입자 상태를 나타낸다. 간략하게 표기할 때 파동 함수의 위치 인자는 생략될 수 있으며, i번째 단일 입자 파동 함수가 i번째 입자의 상태를 기술하는 것으로 가정한다. 파동 함수

\Psi

는 대칭화 또는 반대칭화되지 않았으므로, 일반적으로 동일 입자에 대한 다체 파동 함수로서 적합하지 않다. 그러나 대칭화 연산자

\mathcal{S}

와 반대칭화 연산자

\mathcal{A}

를 통해 대칭화(반대칭화)된 형태로 만들 수 있다.

보손의 경우, 다체 파동 함수는 대칭화되어야 한다.

\Psi_{\rm B}[\mathbf{r}_i]=\mathcal{N}\mathcal{S}\Psi[\mathbf{r}_i]=\mathcal{N}\sum_{\pi\in S_N}\prod_{i=1}^{N}\psi_{\alpha_{\pi(i)}}(\mathbf{r}_i)=\mathcal{N}\sum_{\pi\in S_N}\psi_{\alpha_{\pi(1)}}\otimes\psi_{\alpha_{\pi(2)}}\otimes\cdots\otimes\psi_{\alpha_{\pi(N)}};

반면 페르미온의 경우, 다체 파동 함수는 반대칭화되어야 한다.

\Psi_{\rm F}[\mathbf{r}_i]=\mathcal{N}\mathcal{A}\Psi[\mathbf{r}_i]=\mathcal{N}\sum_{\pi\in S_N}(-1)^\pi\prod_{i=1}^{N}\psi_{\alpha_{\pi(i)}}(\mathbf{r}_i)=\mathcal{N}\sum_{\pi\in S_N}(-1)^\pi\psi_{\alpha_{\pi(1)}}\otimes\psi_{\alpha_{\pi(2)}}\otimes\cdots\otimes\psi_{\alpha_{\pi(N)}}.

여기서

\pi

는 N-체 치환군(또는 대칭군)

S_{N}

의 원소이며, 상태 지표

\alpha_i

사이에서 치환을 수행한다. 그리고

(-1)^\pi

는 해당하는 치환 부호를 나타낸다.

\mathcal{N}

은 파동 함수를 정규화하는 정규화 연산자이다.

만약 단일 입자 파동 함수를 행렬

U

로 배열하여, i행 j열의 행렬 요소가

U_{ij}=\psi_{\alpha_{j}}(\mathbf{r}_i)\equiv \langle\mathbf{r}_i|\alpha_j\rangle

이라고 하면, 보손 다체 파동 함수는 항

\Psi_{\rm B}=\mathcal{N}\operatorname{perm} U

로 간단하게 표현할 수 있으며, 페르미온 다체 파동 함수는 행렬식

\Psi_{\rm F}=\mathcal{N}\det U

(또는 슬레이터 행렬식으로 알려져 있다)로 표현할 수 있다.^[6]

5. 2. 제2 양자화된 포크 상태

제2 양자화에서는 "각 입자가 어떤 상태에 있는가?" 대신 "각 상태에 몇 개의 입자가 있는가?"를 묻는다. 다체 상태는 점유수 기저로 표현되며, 기저 상태는 점유수 집합으로 표시된다.^[15] 점유수 상태는 포크 상태라고도 불리며, 모든 포크 상태는 다체 힐베르트 공간 또는 포크 공간의 완전한 기저를 형성한다. 모든 점유수가 0인 포크 상태를 진공 상태라고 하며, 0이 아닌 점유수가 하나뿐인 포크 상태를 단일 모드 포크 상태라고 한다.

점유수 집합은 다음과 같이 표현된다.

:

|[n_{\alpha}]\rang\equiv|n_1,n_2,\cdots, n_{\alpha}, \cdots \rang,

이는 단일 입자 상태

|\alpha\rangle

(또는

\psi_\alpha

)에

n_{\alpha}

개의 입자가 있다는 것을 의미한다. 점유수의 합은 총 입자 수와 같다. 즉,

\sum_\alpha n_{\alpha} = N

이다. 파울리 배타 원리에 따라 페르미온의 점유수

n_{\alpha}

는 0 또는 1이다. 반면 보손의 경우에는 0이 아닌 임의의 정수일 수 있다.

:

n_{\alpha}= \begin{cases}0, 1 &\text{페르미온},\\0,1,2,3,...           &\text{보손.}\end{cases}

모든 점유수가 0인 포크 상태는 진공 상태이며

|0\rangle\equiv|\cdots,0_\alpha,\cdots\rangle

로 표시한다. 0이 아닌 점유수가 하나뿐인 포크 상태를 단일 모드 포크 상태라고 하며

|n_\alpha\rangle\equiv|\cdots,0,n_\alpha,0,\cdots\rangle

로 표시한다.

6. 생성 및 소멸 연산자

생성 및 소멸 연산자는 다체계에서 입자를 추가하거나 제거하는 데 사용되는 연산자이다. 이들은 제2 양자화 형식의 핵심이며, 제1 양자화 상태와 제2 양자화 상태 사이의 간극을 메운다. 생성 연산자는 특정 상태에 입자를 추가하고, 소멸 연산자는 해당 상태에서 입자를 제거한다. 이들은 서로 에르미트 켤레(Hermitian conjugate) 관계에 있지만, 둘 다 에르미트 연산자는 아니다.

베르너 하이젠베르크는 교환자를 최초로 도입하였고, 에르빈 슈뢰딩거는 파동 함수를 도입하였다. 양자역학을 표현하는 이 둘 사이의 관계는 폴 디랙이 발견하였다.^[22] 디랙은 이 방법을 사용하여 전자기장의 양자화를 시도하였다. 유진 위그너와 파스쿠알 요르단^[23]은 이 방법을 써서 전자 마당을 양자화하였다. '정준 양자화' (canonical quantization)라는 용어도 요르단이 고안하였다.

양자 마당 이론에서는 고전적 마당을 양자화할 때, 마당과 그 운동량 사이에 정준 교환 관계 (canonical commutation relation)를 적용한다. 이를 이용하여 생성 및 소멸 연산자 사이의 교환 관계를 얻고, 이를 이용하여 포크 공간을 얻는다.

보존자에 대한 생성 및 소멸 연산자는 원래 양자 조화 진동자의 상승 및 하강 연산자로 구성되었으며, 이후 양자장 이론에서 장 연산자로 일반화되었다.^[7] 이들은 모든 다체 연산자(다체계의 해밀토니안과 모든 물리적 관측량 포함)를 이들의 항으로 표현할 수 있다는 점에서 양자 다체 이론의 기본이다.

양자론에서 동일한 입자는 전혀 구별할 수 없다. N개의 동일한 입자로 이루어진 계는 등가이지만, 서로 다른 두 가지 방법(제1 양자화, 제2 양자화)으로 기술할 수 있다. 제2 양자화에서는 기본 변수를 "장"과 그 켤레 운동량으로 함으로써 동일한 입자를 구별할 수 없는 것, 그리고 상태 벡터와 물리량의 대칭성 등이 이론에 자동적으로 통합되어 간결해진다.^[15]

점유수 표현을 기술하기 위해, 상태의 점유수를 변화시키는 생성 및 소멸 연산자가 도입되며, 이들은 보손과 페르미온에 대해 서로 다른 교환 관계를 만족한다. 수 연산자는 생성 및 소멸 연산자를 이용하여 정의된다.^[17]

6. 1. 보손 생성 및 소멸 연산자

보존 생성 연산자는 보통

b_{\alpha}^\dagger

로 표기하며, 단일 입자 상태

|\alpha\rangle

에 보존을 하나 추가한다. 소멸 연산자는

b_{\alpha}

로 표기하며, 단일 입자 상태

|\alpha\rangle

에서 보존을 하나 제거한다. 생성 및 소멸 연산자는 서로 에르미트 켤레이지만, 둘 다 에르미트 연산자는 아니다(

b_\alpha\neq b_\alpha^\dagger

).^[17]

생성 연산자는 보손 점유 수를 1만큼 증가시킨다. 모든 점유 수 상태는 진공 상태에서 보손 생성 연산자에 의해 생성될 수 있다.

:

|n_\alpha\rangle=\frac{1}{\sqrt{n_\alpha!}}(b_{\alpha}^\dagger)^{n_\alpha}|0_\alpha\rangle.

반면, 소멸 연산자

b_\alpha

는 보손 점유 수를 1만큼 감소시킨다. 진공 상태에는 소멸될 보손이 없으므로 진공 상태를 소멸시킨다.

b_\alpha|0_\alpha\rangle=0

^[17]

보손 생성 및 소멸 연산자의 포크 상태에 대한 작용으로부터 다음과 같은 연산자 항등식이 유도된다.

:

[b_\alpha^\dagger,b_\beta^\dagger]=[b_\alpha,b_\beta]=0,\quad [b_\alpha,b_\beta^\dagger]=\delta_{\alpha\beta}.

이러한 교환 관계는 보손 생성 및 소멸 연산자의 대수적 정의로 간주될 수 있다. 보손 다체 파동 함수가 입자 교환에 대해 대칭적이라는 사실 또한 보손 연산자의 교환을 통해 나타난다.^[17]

양자 조화 진동자의 승산 및 강하 연산자도 동일한 교환 관계를 만족하므로, 보손은 진동자의 에너지 양자(포논)로 해석될 수 있다.^[17]

점유수 표현을 기술하기 위해, 상태

\psi_i

의 점유수를 1 증가시키는 생성 연산자

\hat{a}_i^\dagger

, 1 감소시키는 소멸 연산자

\hat{a}_i

를 도입한다. 보손의 생성·소멸 연산자는 교환 관계를 만족한다.^[17]

6. 2. 페르미온 생성 및 소멸 연산자

페르미온 생성 연산자와 소멸 연산자는 각각

c_{\alpha}^\dagger

와

c_{\alpha}

로 표기한다. 생성 연산자

c_{\alpha}^\dagger

는 단일 입자 상태

|\alpha\rangle

에 페르미온을 하나 추가하고, 소멸 연산자

c_{\alpha}

는 해당 상태에서 페르미온을 하나 제거한다.^[8]

페르미온 생성 및 소멸 연산자는 선형 연산자이며, N개의 입자로 구성된 제1양자화 파동 함수 ψ에 대한 작용은 다음과 같다.

:

c_\alpha^\dagger \Psi = \frac{1}{\sqrt{N+1}}\psi_\alpha\otimes_-\Psi,

:

c_\alpha\Psi = \frac{1}{\sqrt{N}}\psi_\alpha\oslash_-\Psi,

여기서

\psi_\alpha\otimes_-

는 단일 입자 상태

\psi_\alpha

를 N+1개의 가능한 위치에 반대칭적으로 삽입하고,

\psi_\alpha\oslash_-

는 N개의 가능한 삭제 위치에서 단일 입자 상태

\psi_\alpha

를 반대칭적으로 삭제한다.

단일 모드 진공 상태

|0_\alpha\rangle=1

에서 시작하여 페르미온 생성 연산자

c_\alpha^\dagger

를 적용하면 다음과 같다.

:

c_\alpha^\dagger|0_\alpha\rangle=\psi_\alpha\otimes_- 1=\psi_\alpha=|1_\alpha\rangle,

:

c_\alpha^\dagger|1_\alpha\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\psi_\alpha\otimes_- \psi_\alpha=0.

이는 단일 입자 상태

|\alpha\rangle

가 비어 있으면 생성 연산자가 페르미온으로 상태를 채우지만, 이미 채워져 있다면 추가적인 생성 연산자의 적용은 상태를 소멸시킨다는 것을 의미한다. 이는 동일한 두 페르미온이 동시에 같은 상태를 점유할 수 없다는 파울리 배타 원리를 보여준다.^[8]

반면, 페르미온 소멸 연산자

c_\alpha

는 점유된 상태에서 페르미온을 제거할 수 있다.

:

c_\alpha|1_\alpha\rangle=\psi_\alpha\oslash_-\psi_\alpha=1=|0_\alpha\rangle,

:

c_\alpha|0_\alpha\rangle =0.

진공 상태는 소멸 연산자의 작용에 의해 소멸된다.

페르미온 포크 상태는 페르미온 생성 연산자를 사용하여 진공 상태에서 구성할 수 있다.

:

|n_\alpha\rangle=(c_{\alpha}^\dagger)^{n_\alpha}|0_\alpha\rangle.

다음을 쉽게 확인할 수 있다.

:

c_\alpha^\dagger c_\alpha|n_\alpha\rangle=n_\alpha|n_\alpha\rangle,

즉,

\hat{n}_\alpha = c_\alpha^\dagger c_\alpha

는 페르미온 수 연산자를 정의한다.

위 결과는 페르미온의 임의의 포크 상태로 일반화할 수 있다.

:

c_\alpha^\dagger|\cdots,n_\beta,n_\alpha,n_\gamma,\cdots\rangle=(-1)^{\sum_{\beta<\alpha}n_\beta} \sqrt{1-n_\alpha}|\cdots,n_\beta,1+n_\alpha,n_\gamma,\cdots\rangle.

^[9]

:

c_\alpha|\cdots,n_\beta,n_\alpha,n_\gamma,\cdots\rangle= (-1)^{\sum_{\beta<\alpha}n_\beta} \sqrt{n_\alpha}|\cdots,n_\beta,1-n_\alpha,n_\gamma,\cdots\rangle.

페르미온의 경우 점유수

n_\alpha

는 0 또는 1만 가능하다. 이 두 방정식은 제2 양자화 형식에서 페르미온 생성 및 소멸 연산자의 정의 특성으로 간주될 수 있다. 요르단-바이그너 스트링으로도 알려진 페르미온 부호 구조

(-1)^{\sum_{\beta<\alpha}n_\beta}

는 단일 입자 상태의 미리 정의된 순서(스핀 구조)가 존재해야 함을 요구하며, 앞선 모든 상태의 페르미온 점유수를 계산하는 것을 포함한다. 따라서 페르미온 생성 및 소멸 연산자는 어떤 의미에서 비국소적이라고 간주된다.^[10]

다음 연산자 항등식은 페르미온 생성 및 소멸 연산자가 포크 상태에 작용하는 것으로부터 유도된다.

:

\{c_\alpha^\dagger,c_\beta^\dagger\}=\{c_\alpha,c_\beta\}=0,\quad \{c_\alpha,c_\beta^\dagger\}=\delta_{\alpha\beta}.

이러한 반교환 관계는 페르미온 생성 및 소멸 연산자의 대수적 정의로 간주될 수 있다. 페르미온 다체 파동 함수가 입자 교환에 대해 반대칭인 사실 또한 페르미온 연산자의 반교환으로 나타난다.

마요라나 페르미온 연산자는 페르미온 생성 및 소멸 연산자의 에르미트 조합으로 표현된다.

:

\chi_{\alpha,\text{Re}}=(c_\alpha+c_\alpha^\dagger)/\sqrt{2}, \quad \chi_{\alpha,\text{Im}}=(c_\alpha-c_\alpha^\dagger)/(\sqrt{2}\mathrm{i}),

이들은 "페르미온" 조화 진동자의 위치 및 운동량 연산자의 페르미온적 유사체로 볼 수 있으며, 다음과 같은 반교환 관계를 만족한다.

:

\{\chi_{i},\chi_{j}\}=\delta_{ij},

여기서

i,j

는 복소 페르미온 연산자

c_{\alpha}

의 Re 또는 Im 조합으로부터의 기원에 관계없이 동등한 입장에서 어떤 마요라나 페르미온 연산자도 나타낸다. 이 반교환 관계는 마요라나 페르미온 연산자가 클리포드 대수를 생성함을 나타내며, 이는 다체 힐베르트 공간에서 파울리 연산자로 체계적으로 표현될 수 있다.

보손과 페르미온의 생성·소멸 연산자는 교환 관계와 반교환 관계를 통해 정의된다.^[17]

:

[\hat{a}_i, \hat{a}^\dagger_j]_\mp  = \delta_{i j}

:

[\hat{a}^\dagger_i, \hat{a}^\dagger_j]_\mp = [\hat{a}_i, \hat{a}_j]_\mp = 0

단,

[A,B]_\mp=AB \mp BA

이다. 수 연산자

\hat{n_i}

는 생성·소멸 연산자를 이용하여 다음과 같이 정의된다.

:

\hat{n_i} \equiv \hat{a}_i^\dagger \hat{a}_i

7. 양자장 연산자

양자장 연산자는 공간의 모든 지점에서 정의된 제2 양자화 연산자이며, 입자를 생성하거나 소멸시키는 역할을 한다.^[18]^[19]^[20] 보손장과 페르미온장에 대해 각각 다음과 같은 교환 관계와 반교환 관계를 따른다.

: $\left[\Psi(\mathbf{r}_1),\Psi^\dagger(\mathbf{r}_2)\right]=\delta (\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2)$ (보손장)

: $\{\Psi(\mathbf{r}_1),\Psi^\dagger(\mathbf{r}_2)\}=\delta (\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2)$ (페르미온장)

균질 계에서는 실 공간과 운동량 표현 사이를 푸리에 변환을 통해 변환할 수 있다. 푸리에 기저에서 양자장 연산자는 다음과 같다.

: $\Psi(\mathbf{r})={1\over \sqrt {V}} \sum_{\mathbf{k}} e^{i\mathbf{k\cdot r}}a_{\mathbf{k}}$

: $\Psi^{\dagger}(\mathbf{r})={ 1\over \sqrt{V}} \sum_{\mathbf{k}} e^{-i\mathbf{k\cdot r}}a^{\dagger}_{\mathbf{k}}$

점유수 표현에서 장 연산자는 생성 및 소멸 연산자의 선형 결합으로 표현되며, 장의 상태에 작용하여 입자 수를 증감시킨다.

: $\begin{align}\hat{\psi}(\boldsymbol{r}) &= \sum_i \psi_i(\boldsymbol{r})\hat{a}_i \\\hat{\psi}^{\dagger}(\boldsymbol{r}) &= \sum_i \psi^*_i(\boldsymbol{r})\hat{a}^{\dagger}_i\end{align}$

여기서 계수는 1입자 해밀토니안의 고유 상태(1입자 파동 함수)이다. 이 장 연산자는 다음 교환 관계를 만족한다.

: $[\hat{\psi}(\boldsymbol{r}), \hat{\psi}^\dagger(\boldsymbol{r}')]_\mp = \delta(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}')$

: $[\hat{\psi}^\dagger(\boldsymbol{r}), \hat{\psi}^\dagger(\boldsymbol{r}')]_\mp = [\hat{\psi}(\boldsymbol{r}), \hat{\psi}(\boldsymbol{r}')]_\mp = 0$

8. 스칼라장의 양자화

스칼라장은 가장 간단한 형태의 양자장으로, 정준 양자화를 통해 양자화될 수 있다.^[12] 스칼라장 $\phi(\boldsymbol{r})$ 과 그에 켤레인 운동량 $\pi(\boldsymbol{r})$ 을 기본 변수로 선택하고, 이들을 정준 교환 관계를 만족하는 에르미트 연산자 $\hat{\phi},\hat{\pi}$ 로 치환한다. 양자화된 장은 연산자가 되어, '''장의 연산자'''라고 불린다.^[13]

: $\begin{align}\big[ \hat{\phi}(\boldsymbol{r}), \hat{\pi}(\boldsymbol{r'}) \big] &= i\hbar\delta^{(3)}(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'}), \\\big[ \hat{\pi}(\boldsymbol{r}), \hat{\pi}(\boldsymbol{r'}) \big] &= \big[ \hat{\phi}(\boldsymbol{r}), \hat{\phi}(\boldsymbol{r'}) \big] = 0\end{align}$

여기서 $\delta$ 는 델타 함수이다. 기본 변수의 장이 가측량이 아닌 경우에는, 장에 대한 교환 관계는 반드시 이러한 교환 관계가 아닐 수도 있다. 실제로, 입자는 보손과 페르미온으로 크게 나뉘지만, 페르미온의 경우에는 이 교환 관계를 모두 반교환 관계로 치환하여 정준 양자화한다.^[14]

시간 진화에 대해서는, 하이젠베르크 묘사를 채용하여 장의 연산자가 담당함으로써, 로렌츠 공변성 등이 자연스러운 형태로 나타난다.

단일 입자 상태 ν에 대한 일반적인 소멸(생성) 연산자 $a^{\dagger}_{\nu}$ 를 페르미온 $(c^{\dagger}_{\nu})$ 또는 보손 $(b^{\dagger}_{\nu})$ 일 수 있는 것으로 정의하면, 실 공간 표현에서의 연산자는 양자장 연산자 $\Psi(\mathbf{r})$ 와 $\Psi^{\dagger}(\mathbf{r})$ 를 다음과 같이 정의할 수 있다.

: $\Psi(\mathbf{r})=\sum_{\nu} \psi_{\nu} \left( \mathbf{r} \right) a_{\nu}$

: $\Psi^{\dagger}(\mathbf{r})=\sum_{\nu} \psi^*_{\nu} \left( \mathbf{r} \right) a^{\dagger}_{\nu}$

이들은 이계 양자화 연산자이며, 계수 $\psi_{\nu} \left( \mathbf{r} \right)$ 와 $\psi^*_{\nu} \left( \mathbf{r} \right)$ 는 일반적인 일차 양자화 파동 함수이다. $\Psi^{\dagger}(\mathbf{r})$ 는 기저 상태 $\psi_{\nu}\left(\mathbf{r}\right)$ 중 어느 것을 통해서든, 위치 '''r'''에서 계에 입자를 더하는 모든 가능한 방법의 합이다.

$\Psi(\mathbf{r})$ 와 $\Psi^{\dagger}(\mathbf{r})$ 는 공간의 모든 지점에서 정의된 이계 양자화 연산자이므로 양자장 연산자라고 하며, 다음과 같은 기본적인 교환자와 반교환자 관계를 따른다.

: $\left[\Psi(\mathbf{r}_1),\Psi^\dagger(\mathbf{r}_2)\right]=\delta (\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2)$ (보손장)

: $\{\Psi(\mathbf{r}_1),\Psi^\dagger(\mathbf{r}_2)\}=\delta (\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2)$ (페르미온장)

균질 계에서는 실 공간과 운동량 표현 사이를 변환하는 것이 종종 바람직하다. 따라서 푸리에 기저에서의 양자장 연산자는 다음과 같다.

: $\Psi(\mathbf{r})={1\over \sqrt {V}} \sum_{\mathbf{k}} e^{i\mathbf{k\cdot r}}a_{\mathbf{k}}$

: $\Psi^{\dagger}(\mathbf{r})={ 1\over \sqrt{V}} \sum_{\mathbf{k}} e^{-i\mathbf{k\cdot r}}a^{\dagger}_{\mathbf{k}}$

9. 다수의 동일 입자 양자론

양자역학에서 입자의 동일성 개념은 제2양자화 형식의 출발점이다. 고전역학에서는 각 입자가 고유한 위치 벡터로 표시되지만, 양자역학에서는 입자가 동일하여 두 입자를 교환해도 다체 양자 상태가 변하지 않는다. 이는 다체 양자 파동 함수가 입자 교환에 대해 (위상 인자를 제외하고) 불변해야 함을 의미한다. 입자의 통계에 따라 파동 함수는 대칭적이거나 반대칭적일 수 있다.^[15]

입자가 보손인 경우:

:

\Psi_{\rm B}(\cdots,\mathbf{r}_i,\cdots,\mathbf{r}_j,\cdots)=+\Psi_{\rm B}(\cdots,\mathbf{r}_j,\cdots,\mathbf{r}_i,\cdots)

입자가 페르미온인 경우:

:

\Psi_{\rm F}(\cdots,\mathbf{r}_i,\cdots,\mathbf{r}_j,\cdots)=-\Psi_{\rm F}(\cdots,\mathbf{r}_j,\cdots,\mathbf{r}_i,\cdots)

이러한 교환 대칭성은 다체 파동 함수에 제약 조건을 부과한다. 제1양자화 형식에서는 항등식(보손) 또는 행렬식(페르미온)의 선형 결합으로 파동 함수를 나타내어 이 제약 조건을 보장한다. 반면 제2양자화 형식에서는 생성 및 소멸 연산자가 대칭화 문제를 자동 처리하여 표기법을 간결하게 만든다.

N개의 동일한 입자로 이루어진 계는 동일 입자의 불가분성으로 인해 상태 벡터와 물리량이 특정 대칭성을 갖는다. 제1양자화에서는 이러한 대칭성이 파동 함수의 대칭성, 반대칭성 등으로 나타나 다소 부자연스럽다. 반면 제2양자화에서는 "장"과 그 켤레 운동량을 기본 변수로 하여 동일 입자를 구별할 수 없다는 점과 상태 벡터 및 물리량의 대칭성이 이론에 자동 통합되어 간결하게 표현된다.^[15]

9. 1. 점유수 표현

점유수 표현에서는 "각 에너지 상태에 점유하고 있는 입자의 개수"로 N입자계의 상태를 기술한다.^[16] 점유수는 보손의 경우 0 이상의 임의의 정수를, 페르미온의 경우 파울리 배타 원리에 따라 0 또는 1의 값을 가진다.^[15]^[16] 각 상태의 점유수로 지정된 상태를 포크 상태라고 부른다.^[16]

모든 1입자 에너지 고유 상태에 i=1, 2, …와 같이 이름을 붙이고, 각 상태를 점유하고 있는 입자의 개수(''점유수'')를 n_i로 나타낸다.

{ψ₁, ψ₂, …, ψ_i, …}

n₁, n₂, …, n_i, …

점유수 n_i의 값은 보스 입자의 경우 0 이상의 임의의 정수를 취할 수 있지만, 페르미 입자의 경우 0 또는 1로 제한되며, 이는 파울리 배타 원리를 반영하고 있다.

모든 점유수의 합은 전체 입자수와 같다.

: $\sum_{i=1}^\infty n_i = N$

9. 2. 입자의 생성·소멸

생성 연산자(creation operator)

\hat{a}_i^\dagger

는 상태

\psi_i

의 점유수를 1 증가시키고, 소멸 연산자(annihilation operator)

\hat{a}_i

는 1 감소시킨다.^[17] 보손의 생성·소멸 연산자는 교환 관계(commutation relation)를 만족하고, 페르미온의 생성·소멸 연산자는 반교환 관계(anti-commutation relation)를 만족한다.^[17]

:

[\hat{a}_i, \hat{a}^\dagger_j]_\mp  = \delta_{i j}

:

[\hat{a}^\dagger_i, \hat{a}^\dagger_j]_\mp = [\hat{a}_i, \hat{a}_j]_\mp = 0

(단,

[A,B]_\mp=AB \mp BA

이다.)

수 연산자(number operator)

\hat{n_i}

는 생성·소멸 연산자를 이용하여 다음과 같이 정의된다.^[17]

:

\hat{n_i} \equiv \hat{a}_i^\dagger \hat{a}_i

수 연산자

\hat{n_i}

의 고유값

n_i

는 상태

\psi_i

의 점유수이다. 수 연산자의 직교 정규화된 고유 벡터로 이루어진 공간을 포크 공간(Fock space)이라고 한다.^[17]

9. 3. 물리량

제2양자화에서 물리량은 장(場) 연산자나 생성·소멸 연산자로 표현된다.^[18]^[19]^[20] 입자 밀도 연산자는 장 연산자를 이용하여 다음과 같이 주어진다.

:

\hat{\rho}(\boldsymbol{r})=\hat{\psi}^{\dagger}(\boldsymbol{r})\hat{\psi}(\boldsymbol{r})

이것을 전체 부피에 대해 적분하면 전체 입자 수가 된다.

:

\int\hat{\rho}(\boldsymbol{r})d\boldsymbol{r}=\int\hat{\psi}^{\dagger}(\boldsymbol{r})\hat{\psi}(\boldsymbol{r})d\boldsymbol{r}=\sum_i\hat{a}^{\dagger}_i\hat{a}_i=\sum_i\hat{n}_i=\hat{N}

1입자 해밀토니안

\hat{H}(\boldsymbol{r})=\frac{-\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\boldsymbol{r})

등의 1체 물리량은 다음과 같이 표현할 수 있다.^[21]

:

\hat{F_1}=\int\hat{\rho}(\boldsymbol{r})\hat{f}_1(\boldsymbol{r})d\boldsymbol{r}=\int\hat{\psi}^{\dagger}(\boldsymbol{r})\hat{f}_1(\boldsymbol{r})\hat{\psi}(\boldsymbol{r})d\boldsymbol{r}=\sum_{i,j}\bigg[\int\psi^*_i(\boldsymbol{r})\hat{f}_1(\boldsymbol{r})\psi_j(\boldsymbol{r})d\boldsymbol{r}\bigg]\hat{a}^\dagger_i\hat{a}_j

2체 상호작용

V(\boldsymbol{r}_1,\boldsymbol{r}_2)

등의 2체 물리량은 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\begin{align}\hat{F}_2=\frac{1}{2}\int\hat{\rho}(\boldsymbol{r}_1)\hat{f}_2(\boldsymbol{r}_1,\boldsymbol{r}_2)\hat{\rho}(\boldsymbol{r}_2)d\boldsymbol{r}_1d\boldsymbol{r}_2&=\frac{1}{2}\int\hat{\psi}^\dagger(\boldsymbol{r}_1)\hat{\psi}^\dagger(\boldsymbol{r}_2)\hat{f}_2(\boldsymbol{r}_1,\boldsymbol{r}_2)\hat{\psi}(\boldsymbol{r}_2)\hat{\psi}(\boldsymbol{r}_1)d\boldsymbol{r}_1d\boldsymbol{r}_2 \\&=\frac{1}{2}\sum_{i,j,k,m}\bigg[\int\psi^*_i(\boldsymbol{r}_1)\psi^*_j(\boldsymbol{r}_2)\hat{f}_2(\boldsymbol{r})\psi_m(\boldsymbol{r}_2)\psi_k(\boldsymbol{r}_1)d\boldsymbol{r}\bigg]\hat{a}^\dagger_i\hat{a}^\dagger_j\hat{a}_m\hat{a}_k\end{align}

이 2체 상호작용은 입자

k,m

이 충돌하여 입자

i,j

가 되는 것을 나타낸다.

참조

_[1] 논문 The quantum theory of the emission and absorption of radiation
_[2] 논문 Über das Paulische Äquivalenzverbot
_[3] 논문 Konfigurationsraum und zweite Quantelung
_[4] 서적 Methods of Modern Mathematical Physics. Volume II: Fourier Analysis, Self-Adjointness Academic Press
_[5] 논문 Second quantization
_[6] 서적 Emergent Phenomena in Correlated Matter http://hdl.handle.ne[...] Verlag des Forschungszentrum Jülich
_[7] 서적 Many-Particle Physics Springer
_[8] 서적 Quantum Photonics Springer
_[9] 서적 Nuclear Models http://xn--webducati[...]
_[10] 논문 Fermions, strings, and gauge fields in lattice spin models
_[11] 논문 Quantization is a mystery
_[12] 서적 多量子系と量子場岩波書店
_[13] 서적 フォック空間と量子場〈上〉日本評論社
_[14] 서적 新版量子論の基礎―その本質のやさしい理解のために― サイエンス社
_[15] 서적 量子力学Ⅱ 講談社
_[16] 서적 統計力学 II 培風館
_[17] 서적 物性研究者のための場の量子論 1 (1) (新物理学シリーズ 16)
_[18] 서적 多粒子系の量子論理論編マグロウヒル出版
_[19] 서적 多体系の量子論丸善プラネット
_[20] 서적 量子場の理論　素粒子物理から凝縮系物理まで朝倉書店
_[21] 서적 凝縮系における場の理論岩波書店
_[22] 논문 The quantum theory of the emission and absorption of radiation
_[23] 논문 Über das Paulische Äquivalenzverbot

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com