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계수-퇴화차수 정리

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목차

1. 개요

계수-퇴화차수 정리는 선형 변환의 정의역이 유한 차원 벡터 공간일 때 성립하는 정리이다. 이 정리는 선형 변환의 상의 차원(계수)과 핵의 차원(퇴화차수)의 합이 정의역의 차원과 같다는 것을 나타낸다. 즉, rank(T) + nul(T) = dim V로 표현된다. 이 정리는 제1 동형 정리의 따름정리이며, 분할 보조정리로 일반화될 수 있다. 또한, 선형 사상의 지표를 사용하여 표현할 수 있으며, 선형대수학의 기본 정리와 연관된다.

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계수-퇴화차수 정리
개요
분야선형대수학
설명선형 사상의 계수, 퇴화차수, 핵 사이의 관계를 설명하는 정리이다.
내용
형식적 정의M을 체 F 위의 벡터 공간이라고 하자. M에서 또 다른 벡터 공간 N으로의 선형 사상 f가 주어졌을 때, 다음이 성립한다. dim(ker(f)) + dim(im(f)) = dim(M) 여기서 ker(f)는 f의 핵(퇴화차수)이고, im(f)는 f의 상(계수)이다.
다른 표현rank(f) + nullity(f) = dim(M) 여기서 rank(f)는 f의 계수이고, nullity(f)는 f의 퇴화차수이다.
관련 개념
관련 정리계수 정리 (미분다양체)
참고 문헌Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 3rd ed. 2015, Springer. ISBN 978-3-319-11079-0
Stephen Friedberg, Arnold Insel, Lawrence Spence, Linear Algebra, 4th ed. 2014, Pearson. ISBN 978-0-13-008451-4
Yitzhak Katznelson, Yonatan R. Katznelson, A (Terse) Introduction to Linear Algebra. 2008, American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4419-9
Robert J. Valenza, Linear Algebra: An Introduction to Abstract Mathematics, 1993, Springer. ISBN 978-0-387-94099-2

2. 정의

선형 변환 T\colon V\to W의 정의역 V가 유한 차원 벡터 공간이라고 하자. 이때 다음의 '''계수-퇴화차수 정리'''가 성립한다.

:\dim(\operatorname{im} T) + \dim(\operatorname{ker} T) = \dim V



여기서 \dim은 차원이며, \operatorname{im} T는 T의 상이고, \ker T는 T의 핵이다.

상의 차원 \dim(\operatorname{im} T)을 T의 '''계수'''(rank)라고 하며, 다음과 같이 표기한다.

:\operatorname{rank} T = \dim(\operatorname{im} T)

핵의 차원 \dim(\operatorname{ker} T)을 T의 '''퇴화차수'''(nullity)라고 하며, 다음과 같이 표기한다.

:\operatorname{nul} T = \dim(\operatorname{ker} T)

따라서, '''계수-퇴화차수 정리'''는 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.[12]

:\operatorname{rank} T + \operatorname{nul} T = \dim V

이 정리는 행렬에 대해서도 적용될 수 있다. 어떤 체 위의 m \times n 행렬(행의 수가 m이고, 열의 수가 n) A에 대해 다음이 성립한다.[11]

:\operatorname{rank} A + \operatorname{nullity} A = n

여기서 n은 행렬 A의 열의 수이며, 이는 선형 변환의 정의역의 차원에 해당한다.

이 정리는 정의역 V가 무한 차원인 경우에도 하멜 차원을 이용하여 일반화될 수 있다. 또한, 이 정리는 분리 보조정리 등을 통해 단순히 차원에 대한 등식뿐만 아니라, 공간 사이의 동형사상에 관한 명제로 더 자세히 설명될 수 있다.

3. 다양한 표현

계수-퇴화차수 정리는 다루는 대상에 따라 여러 방식으로 표현될 수 있다.

가장 기본적인 형태는 선형 변환 T\colon V\to W에 대한 것으로, 정의역 V가 유한 차원 벡터 공간일 때 다음과 같이 표현된다.

:\dim\operatorname{im}T+\dim\ker T=\dim V

여기서 \dim\operatorname{im}T는 T의 상의 차원으로 계수(\operatorname{rank}T)라고 하며, \dim\ker T는 T의 핵의 차원으로 퇴화차수(\operatorname{nul}T)라고 한다. 이를 이용하여 정리를 다시 쓰면 다음과 같다.[12]

:\operatorname{rank}T+\operatorname{nul}T=\dim V

선형 변환은 행렬로 나타낼 수 있으므로[5], 행렬에 대해서도 이 정리를 적용할 수 있다. m \times n 행렬 M은 체 F 위에서 F^n에서 F^m으로 가는 선형 변환을 나타낸다. 이 변환의 정의역 차원은 행렬의 열 개수인 n과 같으므로, 행렬 M에 대한 계수-퇴화차수 정리는 다음과 같이 표현된다.

:\operatorname{rank}(M) + \operatorname{nullity}(M) = n[11]

이 정리는 유한 차원뿐만 아니라 무한 차원 벡터 공간의 선형 변환에도 적용될 수 있으며, 분할 보조정리나 선형대수학의 기본 정리와 같은 더 일반적인 대수학적 개념과 연결되어 이해될 수 있다.

3. 1. 선형 변환

선형 변환 T\colon V\to W의 정의역 V가 유한 차원 벡터 공간이라고 하자. 이 경우, 다음의 계수-퇴화차수 정리가 성립한다.

:\dim\operatorname{im}T+\dim\ker T=\dim V

여기서 \dim은 차원이며, \operatorname{im}T는 T의 상이고, \ker T는 T의 핵이다.

상의 차원 \dim\operatorname{im}T를 T의 계수라고 하며, \operatorname{rank}T로 표기한다.

:\operatorname{rank}T=\dim\operatorname{im}T

핵의 차원 \dim\ker T를 T의 퇴화차수라고 하며, \operatorname{nul}T로 표기한다.

:\operatorname{nul}T=\dim\ker T

이를 이용하면, 계수-퇴화차수 정리를 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.[12]

:\operatorname{rank}T+\operatorname{nul}T=\dim V

이 정리는 분리 보조정리를 통해 단순히 차원에 대한 등식뿐만 아니라, 공간의 동형사상에 대한 명제로 더 자세히 설명될 수 있다. 구체적으로, 선형 변환 T 는 상공간 V / \operatorname{Ker} (T)에서 치역 \operatorname{Im} (T)로 가는 동형사상을 유도한다. 또한, 분리 보조정리에 따라 \operatorname{Ker}(T)의 기저를 확장하여 V 의 기저를 만들 수 있으며, 이는 V가 \operatorname{Im}(T)와 \operatorname{Ker}(T)의 직합과 동형임을 의미한다(V \cong \operatorname{Im}(T) \oplus \operatorname{Ker}(T)). 각 공간의 차원을 고려하면 계수-퇴화차수 정리가 성립함을 알 수 있다.

이 정리는 V와 W가 무한 차원 벡터 공간인 경우에도 적용될 수 있어, 행렬에 대한 경우보다 더 일반적이다. 더 나아가, 선형대수학의 기본 정리는 상, 핵뿐만 아니라 여상(cokernel), 여핵(coimage)까지 포함하여 이들 사이의 관계를 설명한다.

3. 2. 행렬

선형 맵은 행렬로 표현될 수 있다. 보다 정확하게, m \times n 행렬 M은 선형 맵 f:F^n \to F^m을 나타내며, 여기서 F는 기본적인 체이다.[5] 따라서, f의 정의역의 차원은 n이며, 이는 M의 열의 개수와 같고, m \times n 행렬 M에 대한 계수-퇴화 차수 정리는 다음과 같다.

\operatorname{rank}(M) + \operatorname{nullity}(M) = n.

A가 어떤 체 위의 m \times n 행렬(행의 수가 m이고, 열의 수가 n)이라면,

:\operatorname{rank}(A) + \operatorname{nullity}(A) = n

가 성립한다.[11]

3. 3. 추상적 표현



이 정리는 벡터 공간의 경우에 대한 제1 동형 정리의 진술이며, 분할 보조정리로 일반화된다.

현대적인 대수학의 언어로는, 이 정리를 벡터 공간의 모든 짧은 완전열이 분할된다는 것으로 표현할 수 있다. 구체적으로,

0 \rightarrow U \rightarrow V \mathbin{\overset{T}{\rightarrow}} R \rightarrow 0

가 벡터 공간의 짧은 완전열이면, U \oplus R \cong V 인 동형 사상이 존재하므로 차원에 대해 다음 등식이 성립한다.

\dim(U) + \dim(R) = \dim(V)

여기서 U는 선형 변환 T의 핵(\ker T)에 해당하고, R은 T의 상(\operatorname{im} T)에 해당한다. 즉, 다음과 같은 짧은 완전열로 표현할 수 있다.

0 \rightarrow \ker T \rightarrow V \mathbin{\overset{T}{\rightarrow}} \operatorname{im} T \rightarrow 0

유한 차원 벡터 공간의 경우, 이 관계는 더 긴 완전열로 일반화될 수 있다. 만약

0 \rightarrow V_1 \rightarrow V_2 \rightarrow \cdots \rightarrow V_r \rightarrow 0

이 유한 차원 벡터 공간의 완전열이라면, 다음이 성립한다.[9]

\sum_{i=1}^r (-1)^i\dim(V_i) = 0

또한, 유한 차원 벡터 공간에 대한 계수-퇴화차수 정리는 선형 사상의 지표(indexeng)를 사용하여 표현할 수도 있다. 유한 차원 벡터 공간 V와 W 사이의 선형 변환 T: V \to W의 지표는 다음과 같이 정의된다.

\operatorname{index} T = \dim(\ker T) - \dim(\operatorname{coker} T)

여기서 \operatorname{coker} T는 T의 여핵을 나타낸다. 직관적으로, \dim(\ker T)는 방정식 Tv = 0을 만족하는 선형 독립적인 해 v의 개수이고, \dim(\operatorname{coker} T)는 방정식 Tv = w가 해를 가지기 위해 w에 가해져야 하는 독립적인 제약 조건의 개수를 의미한다. 계수-퇴화차수 정리는 다음 식과 동치이다.

\operatorname{index} T = \dim V - \dim W

이는 선형 변환 T의 구체적인 형태를 분석하지 않고도 관련 공간의 차원만으로 그 지표를 알 수 있음을 의미한다. 이러한 아이디어는 더 심오한 결과인 아티야-싱어 지표 정리에서도 나타나는데, 이 정리는 특정 미분 연산자의 지표를 관련 공간의 기하학적 구조로부터 얻을 수 있음을 보여준다. 선형대수학의 기본 정리는 핵, 상, 여핵 등의 관계를 더 자세히 설명한다.

4. 증명

계수-퇴화차수 정리는 여러 방법으로 증명할 수 있다. 주요 증명 방법들은 다음과 같다.


  • 벡터 공간의 제1 동형 정리를 이용하는 방법: 이 정리는 제1 동형 정리 V/\ker T\cong\operatorname{im}T의 직접적인 따름정리로 간주될 수 있다.[12]
  • 기저를 직접 구성하는 방법: 선형 변환 T: V \to W에 대해, V의 부분 공간인 \ker T (커널)의 기저를 잡고 이를 V 전체의 기저로 확장한다. 이후 확장된 기저 벡터들이 T에 의해 어디로 사상되는지를 분석하여 \operatorname{im}T (상)의 기저를 찾는다. 이를 통해 \dim(\ker T) (퇴화차수)와 \dim(\operatorname{im}T) (계수)의 합이 \dim V와 같음을 보인다.[2]
  • 행렬과 동차 연립방정식을 이용하는 방법: 선형 변환을 나타내는 m \times n 행렬 \mathbf{A}에 대해, 동차 시스템 \mathbf{Ax} = \mathbf{0}의 해공간(즉, \mathbf{A}의 영공간)의 차원(\operatorname{nullity}(A), 퇴화차수)과 행렬의 계수 \operatorname{rank}(A)의 합이 행렬의 열의 개수 n과 같음을 보인다. 이 증명은 영공간의 기저를 명시적으로 구성하는 과정을 포함한다.[6]


선형 변환을 이용한 증명은 일반적인 벡터 공간에 적용될 수 있으며, 행렬을 이용한 증명은 유한 차원 벡터 공간 사이의 선형 변환을 행렬로 표현하여 구체적으로 다룬다. 두 증명 방법은 본질적으로 동일한 내용을 다른 관점에서 설명하는 것으로 볼 수 있다. 이 정리는 선형 변환의 정의역이 유한 차원일 것을 요구하지만, 공역에 대해서는 유한 차원 가정이 필요 없다.

4. 1. 제1 동형 정리를 이용한 증명

사실, 계수-퇴화차수 정리는 벡터 공간의 제1 동형 정리

:V/\ker T\cong\operatorname{im}T

의 자명한 따름정리이다. 이를 의존하지 않는 한 가지 증명은 다음과 같다.[12] \dim V=n이라고 하자. \ker T의 기저 \{v_1,v_2,\dots,v_r\}(r\le n)를 취한 뒤, 이를 확장하여 V의 기저 \{v_1,v_2,\dots,v_r,v_{r+1},\dots,v_n\}을 만들자. 정리를 증명하려면, \{Tv_{r+1},Tv_{r+2},\dots,Tv_n\}이 \operatorname{im}T의 기저를 이룸을 보이는 것으로 족하다. 이를 보이려면, 다음 두 명제를 증명하기만 하면 된다.

  • \{Tv_{r+1},Tv_{r+2},\dots,Tv_n\}은 선형 독립이다.
  • * 증명: \sum_{j=r+1}^{n} a_{j}Tv_{j}=0이며 a_{r+1},a_{r+2},\dots,a_n\in K라고 하자. 선형 변환의 성질에 따라 T\left(\sum_{j=r+1}^{n}a_{j}v_{j} \right)=0이며, \ker T의 정의에 따라 \sum_{j=r+1}^{n}a_{j}v_{j}\in\ker T이다. \{v_1,v_2,\dots,v_r\}가 \ker T의 기저이므로, \sum_{j=r+1}^{n} a_{j}v_{j}=\sum_{k=1}^{r} a_{k}v_{k}인 a_1,a_2,\dots,a_r\in K가 존재한다. 따라서, \sum_{k=1}^{r} a_{k}v_{k}-\sum_{j=r+1}^{n} a_{j}v_{j}=0인데, \{v_1,v_2,\dots,v_n\}이 V의 기저이므로, 선형 독립이다. 따라서 a_1=a_2=\dots=a_n=0이며, 특히 a_{r+1}=a_{r+2}=\cdots=a_n=0이다.
  • \{Tv_{r+1},Tv_{r+2},\dots,Tv_n\}은 \operatorname{im}T를 선형 생성한다.
  • * 증명: w\in\operatorname{im}T라고 하자. 그렇다면, \operatorname{im}T의 정의에 따라 w=Tv인 v\in V가 존재한다. 이 v는 기저 \{v_1,v_2,\dots,v_n\}의 선형 결합으로 표현할 수 있다. 즉, v=\sum_{i=1}^{n}b_{i}v_{i}인 b_1,b_2,\dots,b_n\in K가 존재한다. 따라서 w=Tv=\sum_{i=1}^{n} b_{i}Tv_{i}인데, v_1,v_2,\dots,v_r\in\ker T이므로, Tv_1=Tv_2=\cdots=Tv_r=0이다. 즉, w=\sum_{i=r+1}^{n}b_{i}Tv_{i}이다. 즉, 임의의 w\in\operatorname{im}T는 \{Tv_{r+1},Tv_{r+2},\dots,Tv_n\}의 선형 결합으로 표현할 수 있다.


이에 따라, \{Tv_{r+1},Tv_{r+2},\dots,Tv_n\}은 \operatorname{im}T의 기저가 맞으며, 이로써 계수-퇴화차수 정리가 증명되었다.

두 벡터 공간 사이의 선형 변환 T : V \to W가 주어졌을 때, T의 정의역 V가 유한 차원이라면,

\operatorname{rank}(T) ~+~ \operatorname{nullity}(T) ~=~ \dim V,

이며, 여기서 \operatorname{rank}(T)는 T의 계수 (그 상의 차원)이고, \operatorname{nullity}(T)는 T의 퇴화차수 (그 커널의 차원)이다. 즉,

\dim (\operatorname{Im} T) + \dim (\operatorname{Ker} T) = \dim (\operatorname{Domain}(T)).

이 정리는 분리 보조정리를 통해 차원뿐만 아니라 공간의 동형사상에 대한 명제로 세분화될 수 있다. 구체적으로, T 가 V / \operatorname{Ker} (T)에서 \operatorname{Im} (T)로의 동형사상을 유도하므로, \operatorname{Ker}(T)의 주어진 기저를 확장하는 V 의 기저의 존재는 분리 보조정리를 통해 \operatorname{Im}(T) \oplus \operatorname{Ker}(T) \cong V임을 의미한다. 차원을 고려하면, 계수-퇴화차수 정리가 도출된다.

4. 2. 기저를 이용한 증명 (선형 변환)

V와 W를 체 K 위의 벡터 공간이라 하고, T: V \to W를 선형 변환이라고 하자. \dim V=n이라고 가정한다.[12]

먼저 T의 핵 \ker T는 V의 부분 공간이므로 기저가 존재한다. \ker T의 기저를 \{v_1, v_2, \dots, v_r\}라고 하고, 그 차원을 r이라고 하자 (r \le n). 즉, \dim(\ker T) = r이다. 이 r을 T의 '''퇴화차수'''라고 한다.

이제 \ker T의 기저 \{v_1, \dots, v_r\}를 확장하여 V 전체의 기저 \{v_1, v_2, \dots, v_r, v_{r+1}, \dots, v_n\}을 만들 수 있다. 계수-퇴화차수 정리를 증명하기 위해서는, 집합 S = \{Tv_{r+1}, Tv_{r+2}, \dots, Tv_n\}이 T의 상 \operatorname{im}T의 기저를 이룬다는 것을 보이면 충분하다. 만약 이것이 참이라면, \operatorname{im}T의 차원, 즉 T의 '''계수'''는 n-r이 되고, \dim(\ker T) + \dim(\operatorname{im}T) = r + (n-r) = n = \dim V가 성립하기 때문이다.

집합 S가 \operatorname{im}T의 기저임을 보이기 위해 다음 두 가지를 증명해야 한다.

# '''S는 선형 독립이다.'''

S에 속하는 벡터들의 일차 결합이 영벡터라고 가정하자. 즉, 스칼라 a_{r+1}, a_{r+2}, \dots, a_n \in K에 대해 다음이 성립한다고 하자.

:\sum_{j=r+1}^{n} a_{j}Tv_{j} = 0

T는 선형 변환이므로, 위 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:T\left(\sum_{j=r+1}^{n}a_{j}v_{j} \right) = 0

이는 벡터 \sum_{j=r+1}^{n}a_{j}v_{j}가 T의 핵 \ker T에 속한다는 것을 의미한다. \{v_1, v_2, \dots, v_r\}는 \ker T의 기저이므로, 적절한 스칼라 a_1, a_2, \dots, a_r \in K가 존재하여 다음이 성립한다.

:\sum_{j=r+1}^{n} a_{j}v_{j} = \sum_{k=1}^{r} a_{k}v_{k}

이 식을 정리하면 다음과 같다.

:\sum_{k=1}^{r} (-a_{k})v_{k} + \sum_{j=r+1}^{n} a_{j}v_{j} = 0

그런데 \{v_1, v_2, \dots, v_r, v_{r+1}, \dots, v_n\}은 V의 기저이므로 선형 독립이다. 따라서 위 선형 결합이 영벡터가 되려면 모든 계수가 0이어야 한다. 즉, -a_1 = \dots = -a_r = 0이고 a_{r+1} = \dots = a_n = 0이다.

결론적으로 a_{r+1}=a_{r+2}=\cdots=a_n=0이므로, 집합 S = \{Tv_{r+1}, Tv_{r+2}, \dots, Tv_n\}는 선형 독립이다.

# '''S는 \operatorname{im}T를 선형 생성한다.'''

\operatorname{im}T에 속하는 임의의 벡터 w를 생각해보자. \operatorname{im}T의 정의에 따라, w = Tv를 만족하는 어떤 벡터 v \in V가 존재한다. 벡터 v는 V의 기저 \{v_1, \dots, v_n\}의 선형 결합으로 표현할 수 있다. 즉, 적절한 스칼라 b_1, b_2, \dots, b_n \in K에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.

:v = \sum_{i=1}^{n}b_{i}v_{i} = \sum_{i=1}^{r}b_{i}v_{i} + \sum_{i=r+1}^{n}b_{i}v_{i}

이제 v에 선형 변환 T를 적용하면 다음과 같다.

:w = Tv = T\left(\sum_{i=1}^{n}b_{i}v_{i}\right) = \sum_{i=1}^{n} b_{i}Tv_{i}

여기서 v_1, v_2, \dots, v_r은 \ker T의 기저 벡터들이므로 Tv_1 = Tv_2 = \cdots = Tv_r = 0이다. 따라서 위 식은 다음과 같이 간단해진다.

:w = \sum_{i=r+1}^{n}b_{i}Tv_{i}

이는 \operatorname{im}T의 임의의 원소 w가 집합 S = \{Tv_{r+1}, Tv_{r+2}, \dots, Tv_n\}에 속하는 벡터들의 선형 결합으로 표현될 수 있음을 의미한다. 따라서 S는 \operatorname{im}T를 생성한다.

위의 두 결과로부터, 집합 S = \{Tv_{r+1}, Tv_{r+2}, \dots, Tv_n\}는 \operatorname{im}T의 기저이다. 이 기저의 원소 개수는 n-r이므로, \operatorname{im}T의 차원(계수)은 n-r이다.

결론적으로 다음 등식이 성립한다.

:\dim(\ker T) + \dim(\operatorname{im}T) = r + (n-r) = n = \dim V

이것으로 계수-퇴화차수 정리가 증명되었다.

4. 3. 기저를 이용한 증명 (행렬)

선형 맵은 행렬로 표현될 수 있다. 보다 정확하게, m\times n 행렬 M은 선형 맵 f:F^n\to F^m을 나타내며, 여기서 F는 기본적인 체이다.[5] 따라서, f의 정의역의 차원은 n이며, 이는 M의 열의 개수와 같고, m\times n 행렬 M에 대한 계수-퇴화 차수 정리는 다음과 같다.

\operatorname{rank}(M) + \operatorname{nullity}(M) = n.

\mathbf{A}를 m\times n 행렬로 하고, r개의 선형 독립 열을 갖는다고 하자(즉, \operatorname{Rank}(\mathbf{A}) = r). 다음을 보인다.

1. 동차 시스템 \mathbf{Ax} = \mathbf{0}에 대한 n - r개의 선형 독립 해가 존재한다.

2. 다른 모든 해는 이 n-r개의 해의 선형 결합이다.

이를 위해, \mathbf{A}의 영공간의 기저를 형성하는 열을 가진 n \times (n-r) 행렬 \mathbf{X}를 생성한다.

일반성을 잃지 않고, \mathbf{A}의 처음 r개 열이 선형 독립이라고 가정한다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있다.

\mathbf{A} = \begin{pmatrix} \mathbf{A}_1 & \mathbf{A}_2\end{pmatrix} ,

여기서

  • \mathbf{A}_1는 r개의 선형 독립 열 벡터를 가진 m \times r 행렬이다.
  • \mathbf{A}_2는 각 n-r개의 열이 \mathbf{A}_1의 열의 선형 결합인 m\times (n-r) 행렬이다.


이는 어떤 r \times (n-r) 행렬 \mathbf{B}에 대해 \mathbf{A}_2 = \mathbf{A}_1\mathbf{B}이고 (계수 분해) 따라서,

\mathbf{A} = \begin{pmatrix} \mathbf{A}_1 & \mathbf{A}_1\mathbf{B}\end{pmatrix} .

다음과 같이 정의한다.

\mathbf{X} = \begin{pmatrix} -\mathbf{B} \\ \mathbf{I}_{n-r} \end{pmatrix} ,

여기서 \mathbf{I}_{n-r}는 (n-r)\times (n-r) 단위 행렬이다. 따라서, \mathbf{X}는 n \times (n-r) 행렬이며, 다음과 같은 성질을 가진다.

\mathbf{A}\mathbf{X} = \begin{pmatrix}\mathbf{A}_1 & \mathbf{A}_1\mathbf{B} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\mathbf{B} \\ \mathbf{I}_{n-r} \end{pmatrix} = -\mathbf{A}_1\mathbf{B} + \mathbf{A}_1\mathbf{B} = \mathbf{0}_{m \times (n-r)}.

따라서, \mathbf{X}의 각 n-r개의 열은 \mathbf{Ax} = \mathbf{0}의 특수 해이다.

더욱이, \mathbf{Xu} = \mathbf{0}이 \mathbf{u} = \mathbf{0}을 의미하므로 \mathbf{X}의 n-r개의 열은 선형 독립이다.

\mathbf{X}\mathbf{u} = \mathbf{0} \implies \begin{pmatrix}

  • \mathbf{B} \\

\mathbf{I}_{n-r}

\end{pmatrix}\mathbf{u} = \mathbf{0} \implies \begin{pmatrix}

  • \mathbf{B}\mathbf{u} \\

\mathbf{u}

\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

\mathbf{0} \\

\mathbf{0}

\end{pmatrix} \implies \mathbf{u} = \mathbf{0}.

따라서, \mathbf{X}의 열 벡터는 \mathbf{Ax} = \mathbf{0}에 대한 n-r개의 선형 독립 해 집합을 구성한다.

다음으로 \mathbf{Ax} = \mathbf{0}의 ''모든'' 해는 \mathbf{X}의 열의 선형 결합이어야 함을 증명한다.

이를 위해,

\mathbf{u} = \begin{pmatrix}

\mathbf{u}_1 \\

\mathbf{u}_2

\end{pmatrix}

를 \mathbf{Au} = \mathbf{0}을 만족하는 임의의 벡터라고 하자. \mathbf{A}_1의 열이 선형 독립이므로 \mathbf{A}_1\mathbf{x} = \mathbf{0}은 \mathbf{x} = \mathbf{0}을 의미한다.

따라서,

\begin{array}{rcl}

\mathbf{A}\mathbf{u} & = & \mathbf{0} \\

\implies \begin{pmatrix}\mathbf{A}_1 & \mathbf{A}_1\mathbf{B}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf{u}_1 \\ \mathbf{u}_2 \end{pmatrix} & = & \mathbf{A}_1\mathbf{u}_1 + \mathbf{A}_1\mathbf{B}\mathbf{u}_2 \\

& = & \mathbf{A}_1(\mathbf{u}_1 + \mathbf{B}\mathbf{u}_2) = \mathbf{0} \\

\implies \mathbf{u}_1 + \mathbf{B}\mathbf{u}_2 & = & \mathbf{0} \\

\implies \mathbf{u}_1 & = & -\mathbf{B}\mathbf{u}_2

\end{array}

\implies \mathbf{u} = \begin{pmatrix} \mathbf{u}_1 \\ \mathbf{u}_2 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} -\mathbf{B} \\ \mathbf{I}_{n-r} \end{pmatrix}\mathbf{u}_2

= \mathbf{X}\mathbf{u}_2.

이는 \mathbf{Ax} = \mathbf{0}의 해인 임의의 벡터 \mathbf{u}가 \mathbf{X}의 열로 주어진 n-r개의 특수 해의 선형 결합이어야 함을 증명한다. 그리고 이미 \mathbf{X}의 열이 선형 독립임을 확인했다. 따라서, \mathbf{X}의 열은 \mathbf{A}의 영공간의 기저를 구성한다. 따라서, \mathbf{A}의 퇴화차수는 n - r이다. r이 \mathbf{A}의 계수와 같으므로, \operatorname{Rank}(\mathbf{A}) + \operatorname{Nullity}(\mathbf{A}) = n이다.

5. 일반화

계수-퇴화차수 정리는 대수학의 제1 동형 정리가 벡터 공간에 적용된 경우로 볼 수 있으며, 분할 보조정리로 일반화될 수 있다.

현대적인 용어를 사용하면, 이 정리는 벡터 공간의 짧은 완전열을 이용하여 표현할 수 있다. 즉, 벡터 공간의 짧은 완전열

: 0 \rightarrow U \rightarrow V \rightarrow R \rightarrow 0

이 주어졌을 때, 각 공간의 차원 사이에

:\dim U + \dim R = \dim V

관계가 성립한다는 것으로 설명할 수 있다. 여기서 U는 선형 변환의 핵 (\ker T)에 해당하고, R은 상 (\operatorname{im} T)에 해당한다.

이러한 접근 방식은 유한 차원 벡터 공간의 더 긴 완전열로 확장될 수 있으며, 각 공간 차원들의 교대합에 대한 관계로 일반화된다.

또한, 유한 차원 벡터 공간 사이의 선형 사상 T: V \to W에 대해, 핵과 여핵의 차원을 이용하여 정의되는 index|지표eng 개념을 통해서도 계수-퇴화차수 정리를 다른 방식으로 표현하고 일반화할 수 있다. 지표는 다음과 같이 정의된다.

:\operatorname{index} T = \dim(\ker T) - \dim(\operatorname{coker} T)

계수-퇴화차수 정리는 이 지표가 단순히 정의역 V와 공역 W의 차원의 차이, 즉 \dim V - \dim W와 같다는 것을 보여준다. 이러한 지표 개념은 아티야-싱어 지수 정리와 같은 더 심화된 수학 이론으로 이어진다.

5. 1. 기본 정리



''V''와 ''W''를 어떤 체 위의 벡터 공간이라 하고, T: V \to W를 선형 변환이라고 하자. 이때, T의 계수(rank)는 상(\operatorname{Im}(T))의 차원이고, T의 퇴화차수(nullity)는 핵(\ker(T))의 차원이다. 계수-퇴화차수 정리는 다음과 같이 표현된다.

\dim (\operatorname{Im} T) + \dim (\ker T) = \dim V

또는, 이와 동치로 다음과 같이 쓰기도 한다.

\operatorname{rank} T + \operatorname{nullity} T = \dim V

T: V \to W가 유한 차원 벡터 공간 사이의 선형 변환이고, n = \dim(V) 및 m = \dim(W)일 때, T는 m \times n 행렬 M으로 표현될 수 있다. 이 경우, 정리는 T의 계수가 r이면, n - r는 M의 영공간의 차원이며, 이는 T의 커널(\ker(T))을 나타낸다고 설명한다.

선형대수학의 기본 정리에 의해 상, 핵 외에도 여상(코이미지)과 여핵(코커널)을 생각할 수 있다. T의 코커널은 몫공간 W / \operatorname{Im}(T)이며, 그 차원은 m - r이다. 다음과 같은 차원 공식이 성립한다.

\dim \operatorname{Im}(T) + \dim\operatorname{Coker}(T) = \dim(W)

이 차원 공식과 계수-퇴화차수 정리를 함께 묶어 "선형대수학의 기본 정리"라고 부르기도 한다.

이 정리는 ''V''와 ''W''가 무한 차원인 경우에도 성립하므로, 행렬에 대한 정리보다 더 일반적이다. 정리의 내용은 분할 보조정리(splitting lemma영어) 등을 이용하여 차원뿐만 아니라 공간 사이의 동형 사상에 관한 내용으로 더 자세히 설명될 수 있다.

5. 2. 완전열

벡터 공간의 짧은 완전열

0 \rightarrow U \rightarrow V \xrightarrow{T} R \rightarrow 0

이 주어지면, 분해 보조정리에 의해 V \cong U \oplus R 이 성립한다. 따라서 각 공간이 유한 차원인 경우, 차원에 대한 다음 등식이 성립한다.

\dim(U) + \dim(R) = \dim(V)

여기서 U는 선형 사상 T의 핵(\ker T)과 동형이고, R은 T의 상(\operatorname{im} T)과 동형이다. 즉, 짧은 완전열은 다음과 같은 형태를 가진다.

0 \rightarrow \ker T \rightarrow V \xrightarrow{T} \operatorname{im} T \rightarrow 0

이 등식은 계수-퇴화차수 정리 \dim(\ker T) + \dim(\operatorname{im} T) = \dim V 와 동일하다.

이 결과는 더 긴 완전열로 일반화될 수 있다. 만약

0 \rightarrow V_1 \rightarrow V_2 \rightarrow \cdots \rightarrow V_r \rightarrow 0

이 유한 차원 벡터 공간의 완전열이라면, 각 벡터 공간 차원의 교대합은 0이 된다.[9]

\sum_{i=1}^r (-1)^i\dim(V_i) = 0

유한 차원 벡터 공간에 대한 계수-퇴화차수 정리는 선형 사상의 지표(index|인덱스영어) 개념을 사용하여 다르게 표현할 수도 있다. 유한 차원 벡터 공간 V와 W 사이의 선형 사상 T: V \rightarrow W의 지표는 다음과 같이 정의된다.

\operatorname{index} T = \dim(\ker T) - \dim(\operatorname{coker} T)

여기서 \operatorname{coker} T는 T의 여핵(W/\operatorname{im} T)이다. 직관적으로 \dim(\ker T)는 방정식 Tv = 0을 만족하는 선형 독립인 해 v의 개수이고, \dim(\operatorname{coker} T)는 방정식 Tv = w가 해를 갖도록 하기 위해 w에 가해져야 하는 제약 조건의 개수를 나타낸다. 계수-퇴화차수 정리는 다음 식과 동치이다.

\operatorname{index} T = \dim V - \dim W

이는 선형 사상 T의 구체적인 형태를 분석하지 않고도 관련 공간의 차원만으로 지표를 알 수 있음을 의미한다. 이러한 아이디어는 아티야-싱어 지표 정리와 같은 더 깊은 수학적 결과로 이어진다.

5. 3. 지표 (Index)

유한 차원 벡터 공간 V와 W에 대해, 선형 사상 T \in \operatorname{Hom}(V,W)의 지표(indexeng)는 다음과 같이 정의된다.

\operatorname{index} T = \dim \operatorname{Ker}(T) - \dim \operatorname{Coker} T .

여기서 \dim \operatorname{Ker} T는 T의 핵의 차원이고, \dim \operatorname{Coker} T는 T의 여핵의 차원이다.

직관적으로, \dim \operatorname{Ker} T는 방정식 Tv = 0을 만족하는 독립적인 해 v의 개수를 의미한다. 반면, \dim \operatorname{Coker} T 는 방정식 Tv = w 가 해를 가지도록 하기 위해 벡터 w에 가해져야 하는 독립적인 제약 조건의 개수를 나타낸다.

유한 차원 벡터 공간에 대한 계수-퇴화차수 정리는 지표를 사용하여 다음과 같이 표현할 수도 있다.

\operatorname{index} T = \dim V - \dim W .

이는 선형 사상 T의 구체적인 성질을 자세히 분석하지 않고도, 단순히 정의역 V와 공역 W의 차원만으로 T의 지표를 쉽게 계산할 수 있음을 의미한다.

이러한 지표의 개념은 더 깊은 수학적 결과로 이어진다. 예를 들어, 아티야-싱어 지표 정리는 특정 미분 연산자의 지표가 해당 연산자가 작용하는 공간의 기하학적 정보로부터 결정될 수 있음을 보여주는 중요한 정리이다.

참조

[1] Harvard citation
[2] Harvard citation
[3] Harvard citation
[4] Harvard citation
[5] Harvard citation
[6] 간행물 Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics Chapman and Hall/CRC 2014
[7] 서적 Linear Algebra and Its Applications Saunders
[8] 간행물 The fundamental theorem of linear algebra http://www.dm.unibo.[...]
[9] 웹사이트 Dimensions of vector spaces in an exact sequence https://math.stackex[...] 2015-10-27
[10] 서적 量子物理学のための線形代数 培風館
[11] Harvard citation
[12] 서적 Linear Algebra https://archive.org/[...] Prentice-Hall 1971


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