케일리-해밀턴 정리

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1. 개요

케일리-해밀턴 정리는 가환환 K 위의 n × n 정사각 행렬 M의 특성 다항식을 p(x) = det(x - M) = ∑k=0n pk xk ∈ K[x]로 정의할 때, p(M) = ∑k=0n pk Mk = 0이 성립한다는 정리이다. 이 정리는 행렬의 거듭제곱을 낮은 차수의 행렬 다항식으로 표현하고, 역행렬을 계산하는 데 활용되며, 대수적 정수의 최소 다항식을 구하는 데도 사용된다. 케일리-해밀턴 정리는 다양한 증명 방법을 통해 증명될 수 있으며, 임의의 가환환의 원소를 갖는 행렬에 대해 성립한다. 또한, 자기 사상 환 위의 행렬을 이용하여 일반화된 형태로 이해할 수 있으며, 나카야마 보조정리의 근원이 된다.

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케일리-해밀턴 정리
개요
종류	선형대수학
분야	수학
설명	모든 가환환 위의 정사각행렬은 자신의 특성 방정식을 만족한다.
역사
이름의 유래	아서 케일리와 윌리엄 로언 해밀턴의 이름에서 유래
내용
내용	n × n 행렬 A에 대해, λ를 변수로 하는 특성 다항식 det(λI_n − A)을 p(λ)라고 하면, p(A) = 0이다.
예시
2 × 2 행렬	A = [[파일:Cayley-Hamilton_theorem_2x2_example.svg\|https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0a/Cayley-Hamilton_theorem_2x2_example.svg/300px-Cayley-Hamilton_theorem_2x2_example.svg.png]]
3 × 3 행렬	A = [[파일:Cayley-Hamilton_theorem_3x3_example.svg\|https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c6/Cayley-Hamilton_theorem_3x3_example.svg/300px-Cayley-Hamilton_theorem_3x3_example.png]]

2. 정의

가환환 $K$ 위의 $n\times n$ 정사각 행렬 $M\in\operatorname{Mat}(n;K)$ 의 특성 다항식은 다음과 같다.

: $p(x)=\det(x-M)=\sum_{k=0}^np_kx^k\in K[x]$

여기서 $\det$ 는 행렬식이다. '''케일리-해밀턴 정리'''에 따르면, 다음이 성립한다.^[26]

: $p(M)=\sum_{k=0}^np_kM^k=0$

특히, $K$ 가 체일 경우 $M$ 의 최소 다항식은 특성 다항식의 약수이다.^[26]

3. 증명

케일리-해밀턴 정리는 다양한 방법으로 증명할 수 있다. 여러 증명 방법이 존재하며, 이들은 사용하는 수학적 개념과 접근 방식에 따라 다음과 같이 분류할 수 있다.

행렬식을 이용한 증명: 고전적 수반 행렬을 사용하여 증명한다.
삼각화를 이용한 증명: 행렬을 상삼각 행렬로 변환하여 증명한다.
단인자를 이용한 증명: 단자(單因子) 이론을 사용하여 증명한다.
여인자 행렬을 이용한 증명: 여인자 행렬을 사용하여 증명한다.
행렬 계수 다항식을 이용한 증명: 행렬을 계수로 갖는 다항식을 사용하여 증명한다.
두 증명 (행렬식, 행렬 계수 다항식)의 절충: 행렬식을 이용한 증명과 행렬 계수 다항식을 이용한 증명을 결합하여 증명한다.
자기 사상 환 위의 행렬을 이용한 증명: 자기 사상 환 위의 행렬을 사용하여 증명하며, 나카야마 보조정리와 관련이 있다.
추상대수학적 방법을 이용한 증명: 하세-슈미트 미분의 성질이나 외대수를 이용하는 추상대수학적 방법으로 증명한다.
조합론적 증명: 라이프니츠 공식을 이용하거나, 트레이스 모노이드 이론을 사용하여 증명한다.

각 증명 방법에 대한 자세한 내용은 하위 섹션에서 확인할 수 있다.

3. 1. 행렬식을 통한 증명

가환환

K[M]=\{q(M)\colon q\in K[x]\}\subseteq\operatorname{Mat}(n;K)

위의

n\times n

행렬

N\in\operatorname{Mat}(n;K[M])

을 다음과 같이 정의한다.

:

N_{ij}=\delta_{ij}M-M_{ij}\in K[M]

여기서

\delta_{ij}

는 크로네커 델타이다.

열벡터 공간

K^n

의 표준 기저를

\{e_1,\dots,e_n\}

라고 하고,

N

의 고전적 수반 행렬을

\operatorname{adj}N

라고 하면, 다음이 성립한다.

:

\sum_{j=1}^nN_{ij}e_j=0

:

((\operatorname{adj}N)N)_{kj}=\delta_{kj}\det N

:

\det N=p(M)

따라서 임의의

k\in\{1,\dots,n\}

에 대하여, 다음이 성립한다.

:

\begin{align}0&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(\operatorname{adj}N)_{ki}N_{ij}e_j\\&=\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^n(\operatorname{adj}N)_{ki}N_{ij}e_j\\&=\sum_{j=1}^n((\operatorname{adj}N)N)_{kj}e_j\\&=\sum_{j=1}^n\delta_{kj}(\det N)e_j\\&=(\det N)e_k\\&=p(M)e_k\end{align}

즉,

p(M)=0

이다.^[26]

3. 2. 삼각화를 통한 증명

K^영어가 정역일 경우, 행렬의 삼각화를 이용하여 증명할 수 있다. 먼저, 상삼각 행렬의 경우에 대해 증명하고, 일반적인 행렬은 삼각화 가능 행렬임을 이용하여 증명한다.^[24]

''A''의 고유 다항식을

p_A (t) = \det(t I_n - A)

, 고유값을

\lambda_1, \cdots, \lambda_n

이라고 하면, 다음과 같다.

:

p_A (t)=(t- \lambda_1 ) \cdots (t- \lambda_n )

''A''를 상삼각화한 행렬을 ''B''라고 하면, 이때 대각 성분에 고유값

\lambda_1, \cdots, \lambda_n

이 나열된다.

:

B:= P^{-1}AP = \begin{pmatrix}\lambda_1 & & &* & \\& \lambda_2 & & & \\& &\lambda_3 & & \\& & &\ddots & \\& & & &\lambda_n\end{pmatrix}

:

\begin{align} p_A (A)&= (A- \lambda_1 I) \cdots (A- \lambda_n I) \\&= (PBP^{-1}- \lambda_1 I) \cdots (PBP^{-1}- \lambda_n I) \\&= P\{(B- \lambda_1 I) \cdots (B- \lambda_n I)\}P^{-1} \ \cdots \ (1) \\\end{align}

여기서

p_B (B)=(B- \lambda_1 I) \cdots (B- \lambda_n I)

를 계산한다.

C_k :=B- \lambda_k I\ (k=1,2, \cdots ,n)

라고 두면,

C_k

는 상삼각행렬이고,

(k, k)

성분은 0이다.

C_1 C_2

를 계산하면 다음과 같다.

:

\left(\begin{array}{c|c|cc}0 &* &\cdots &* \\\hline&* &\cdots &* \\\hline&  &\ddots &\vdots \\&  &       &*\end{array}\right) \left(\begin{array}{c|c|cc}

&* &\cdots &* \\\hline

&0 &\cdots &* \\\hline& &\ddots &\vdots \\& & &*\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c|c|cc}0 &0 &\cdots &* \\\hline&0 &\cdots &* \\\hline& &\ddots &\vdots \\& & &*\end{array}\right)

따라서, 제2열까지는 성분이 모두 0이 된다. 마찬가지로, 귀납적으로,

C_k

를 곱하면, 제''k''열까지의 성분은 모두 0이 된다. 이를 ''n''번째까지 반복하면 다음과 같다.

:

C_1 \cdots C_n =O

따라서 (1)은

:

P(C_1 \cdots C_n)P^{-1}=O

이다. (증명 끝)

3. 3. 단인자를 통한 증명

단자(單因子) 이론을 사용하면 쉽게 유도할 수 있다. 단, 단자 표준형의 존재 및 유일성을 증명하려면 상당한 과정이 필요하다.^[25]

문헌^[25]에 게재된 방법에 따른다.

의 단자 표준형은

\deg \det(xI-A)=n

이므로, 다음과 같은 형태가 된다.

:

P(x)(xI-A)Q(x)=\begin{pmatrix}e_1(x) & & \\&\ddots & \\& &e_n(x) \\\end{pmatrix}

여기서 는 모닉 다항식이고, 이다. 즉, 는 로 나누어 떨어진다.

단자 이론에서 알려진 결과에 따르면, 마지막 단자 는 의 최소 다항식 와 같다.

:

\begin{align}p_A(x) &=\det(xI-A) \\&=\det P(x)^{-1} \sdot (e_1(x) \cdots e_{n-1}(x) \phi_A(x)) \sdot \det Q(x)^{-1}\end{align}

따라서 고유 다항식 는 최소 다항식 로 나누어 떨어진다는 것을 알 수 있다. 그러므로 이다. (증명 종료)

3. 4. 여인자 행렬을 통한 증명

여인자 행렬(수반 행렬)을 이용하여 케일리-해밀턴 정리를 증명할 수 있다. 이를 위해 다항식을 원소로 갖는 행렬을 사용한다.

행렬

tI_n - A

는 특성 다항식이

p(t)

이고, 다항식은 가환환을 형성하므로, 여인자 행렬

B = \operatorname{adj}(tI_n-A)

를 갖는다.

수반 행렬의 기본 관계에 따라 다음이 성립한다.

:

(t I_n - A)B = \det(t I_n - A) I_n = p(t) I_n.

B

는

t

에 대한 다항식을 원소로 갖는 행렬이므로, 각

i

에 대해

t^i

의 계수를 모아 행렬

B_i

를 구성할 수 있다.

:

B = \sum_{i = 0}^{n - 1} t^i B_i.

(

B

의 원소 정의에 따라

t^{n-1}

보다 높은 거듭제곱은 나타나지 않는다.)

이제 양변을 전개하면 다음과 같다.

:

\begin{align}p(t) I_n &= (t I_n - A)B \\&=(t I_n - A)\sum_{i = 0}^{n - 1} t^i B_i \\&=\sum_{i = 0}^{n - 1} tI_n\cdot t^i B_i - \sum_{i = 0}^{n - 1} A\cdot t^i B_i \\&=\sum_{i = 0}^{n - 1} t^{i + 1} B_i- \sum_{i = 0}^{n - 1} t^i AB_i \\&=t^n B_{n - 1} + \sum_{i = 1}^{n - 1} t^i(B_{i - 1} - AB_i) - AB_0.\end{align}

p(t)I_n=t^nI_n+t^{n-1}c_{n-1}I_n+\cdots+tc_1I_n+c_0I_n

와 같이 전개하여,

t

의 각 거듭제곱의 계수가 같아야 한다는 사실로부터 다음 연립방정식을 얻는다.

:

B_{n - 1} = I_n, \qquad B_{i - 1} - AB_i = c_i I_n\quad \text{for }1 \leq i \leq n-1, \qquad -A B_0 = c_0 I_n.

각 방정식에

A^i

를 곱하고 모두 더하면 좌변은 소거합이 되어 0이 되고, 우변은

p(A)

가 된다.

:

0 = p(A).

따라서 케일리-해밀턴 정리가 증명된다.

3. 5. 행렬 계수 다항식을 이용한 증명

케일리-해밀턴 정리는 대수적으로 닫힌 체에 대한 행렬의 조르당 정규형 존재의 직접적인 결과이다. 이 섹션에서는 행렬 계수를 갖는 다항식을 이용하여 직접 증명하는 방법을 제시한다.

행렬에 대한 케일리-해밀턴 정리의 명제를 얻으려면 다음과 같은 두 단계가 필요하다.

먼저 특성 다항식의 계수 는 행렬식의 에 관한 다항식 전개에 의해 결정된다.

:

A = \left(a_{ij}\right)_{i,j=1}^n

:

\begin{align}p(t) & = \det(t I_n - A) =\begin{vmatrix}t-a_{1,1}&-a_{1,2}&\cdots&-a_{1,n} \\

a_{2,1}&t-a_{2,2}&\cdots&-a_{2,n} \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

a_{n,1}&-a_{n,2}& \cdots& t-a_{n,n} \end{vmatrix} \\[5pt]

& = t^n+c_{n-1}t^{n-1}+\cdots+c_1t+c_0,\end{align}

그런 다음 이러한 계수는 의 거듭제곱의 선형 결합에 사용되며, 이는 영행렬과 같다.

:

A^n+c_{n-1}A^{n-1} + \cdots + c_1 A + c_0 I_n = \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}.

좌변은 의 성분 의 집합에서 (엄청난) 다항식 표현인 엔트리를 갖는 행렬로 계산될 수 있으므로, 케일리-해밀턴 정리는 이러한 표현 각각이 과 같다고 말한다. 임의의 고정된 값에 대해, 이러한 항등식은 지루하지만 간단한 대수적 조작으로 얻을 수 있다. 그러나 이러한 계산은 케일리-해밀턴 정리가 모든 가능한 크기 의 행렬에 대해 유효해야 하는 이유를 보여줄 수 없으므로, 모든 에 대한 균일한 증명이 필요하다.

3. 6. 두 증명 (행렬식, 행렬 계수 다항식)의 절충

Cayley–Hamilton theorem|케일리-해밀턴 정리^영어는 행렬식을 통한 증명과 행렬 계수 다항식을 이용한 증명을 결합하여 증명할 수 있다. 유클리드 나눗셈을 이용하여 몫과 나머지를 구하고, 가환 다항식 환 내에서 평가 사상을 적용한다.

이 증명에서는 다항식을 원소로 갖는 행렬을 사용한다. 행렬 는 행렬식의 특성 다항식이 이고, 다항식은 가환환을 형성하므로, 수반 행렬 를 갖는다.

B=\operatorname{adj}(tI_n-A).

수반 행렬의 기본 관계에 따라 다음이 성립한다.

(t I_n - A)B = \det(t I_n - A) I_n = p(t) I_n.

역시 에 대한 다항식을 원소로 갖는 행렬이므로, 각 에 대해, 각 원소에서 의 계수를 수집하여 숫자의 행렬 를 형성할 수 있으며, 다음을 얻는다.

B = \sum_{i = 0}^{n - 1} t^i B_i.

의 원소가 정의되는 방식에 따라 보다 높은 거듭제곱은 발생하지 않는다. 이는 계수가 행렬인 다항식처럼 보이지만, 다항식 원소를 갖는 행렬을 개의 상수 행렬의 선형 결합으로 작성하는 방법일 뿐이며, 계수 는 이러한 관점을 강조하기 위해 행렬의 왼쪽에 쓰여졌다.

양선형성을 통해 방정식의 행렬 곱을 전개하면 다음과 같다.

\begin{align}p(t) I_n &= (t I_n - A)B \\&=(t I_n - A)\sum_{i = 0}^{n - 1} t^i B_i \\&=\sum_{i = 0}^{n - 1} tI_n\cdot t^i B_i - \sum_{i = 0}^{n - 1} A\cdot t^i B_i \\&=\sum_{i = 0}^{n - 1} t^{i + 1} B_i- \sum_{i = 0}^{n - 1} t^i AB_i \\&=t^n B_{n - 1} + \sum_{i = 1}^{n - 1} t^i(B_{i - 1} - AB_i) - AB_0.\end{align}

다음을 전개하면,

p(t)I_n=t^nI_n+t^{n-1}c_{n-1}I_n+\cdots+tc_1I_n+c_0I_n,

다항식 원소를 갖는 두 행렬의 등식을 얻고, 상수 행렬의 선형 결합으로 작성한다. 의 거듭제곱을 계수로 사용한다.

두 표현 모두에서 계수가 인 상수 행렬이 같아야 한다. 에서 0까지 에 대해 방정식을 작성하면 다음과 같다.

B_{n - 1} = I_n, \qquad B_{i - 1} - AB_i = c_i I_n\quad \text{for }1 \leq i \leq n-1, \qquad -A B_0 = c_0 I_n.

로 의 계수 방정식을 왼쪽에서 곱하고 합산한다.

A^n B_{n-1} + \sum\limits_{i=1}^{n-1}\left( A^i B_{i-1} - A^{i+1}B_i\right) -A B_0 = A^n+c_{n-1} A^{n-1} + \cdots + c_1A + c_0I_n.

좌변은 소거합을 형성하고 완전히 상쇄된다. 우변은

p(A)

로 합산된다.

0 = p(A).

이것으로 증명이 완료된다.

3. 7. 자기 사상 환 위의 행렬을 이용한 증명

자기 사상 환 위의 행렬을 이용한 케일리-해밀턴 정리의 증명은 다음과 같다. 이 증명은 나카야마 보조정리와 관련이 있다.^[18]

우선, 행렬의 성분과 자기 사상을 구분해야 한다. 행렬

A = (a_{ij})_{i,j=1}^n

에 대해,

a_{ij}

는 스칼라 값으로,

A

는

a_{ij}I_n

으로 실현되는 행렬의 링의 원소로 생각할 수 있다. 하지만, 행렬을 원소로 갖는 행렬은 블록 행렬과 혼동될 수 있으며, 블록 행렬에 대한 행렬식 개념은 일반적으로 성립하지 않으므로 주의해야 한다.

따라서,

A

를

n

-차원 벡터 공간 ''V'' (또는 이 체가 아닌 경우 자유 -가군)의 자기 사상

\varphi

와 구분하고, End(''V'') 위의 행렬을 사용한다. 여기서 End(''V'')는 ''V''의 모든 자기 사상들의 집합이다.

\varphi I_n-A

의 행렬식(

\det(\varphi I_n - A)

)은

R[\varphi]

에서 정의할 수 있다. 여기서

R[\varphi]

는 항등원과

\varphi

에 의해 생성된 부분환이다.

이제,

A

가 기저

e_1, \ldots, e_n

에서

\varphi

의 행렬이라는 사실로부터 다음 식을 얻는다.

:

\varphi(e_i) = \sum_{j = 1}^n A_{j,i} e_j \quad\text{for }i=1,\ldots,n.

이를 행렬-벡터 곱을 이용하여 다시 쓰면 다음과 같다.

:

\varphi I_n \cdot E = A^\operatorname{tr}\cdot E,

여기서

E\in V^n

는 성분

e_i

가

i

인 요소이다. 이를 정리하면,

:

(\varphi I_n-A^\operatorname{tr})\cdot E = 0\in V^n

이 된다. 여기서

\varphi I_n-A

의 전치 행렬과 그 행렬식(

R[\varphi]

의 요소)인

p(\varphi)

를 확인할 수 있다.

이제

\varphi I_n-A^\operatorname{tr}

의 수반 행렬을 왼쪽에 곱하면,

:

\begin{align}0 &= \operatorname{adj}(\varphi I_n-A^\operatorname{tr}) \cdot \left((\varphi I_n-A^\operatorname{tr})\cdot E\right) \\[1ex]&= \left(\operatorname{adj}(\varphi I_n-A^\operatorname{tr}) \cdot (\varphi I_n-A^\operatorname{tr})\right) \cdot E \\[1ex]&= \left(\det(\varphi I_n - A^\operatorname{tr})I_n\right) \cdot E \\[1ex]&= (p(\varphi)I_n)\cdot E\end{align}

가 성립한다. 이 식의 성분

i

는

p(\varphi)(e_i) = 0 \in V

를 의미하며,

p(\varphi)

는 모든

e_i

에서 0이 된다. 따라서,

p(\varphi) = 0 \in End(V)

이며, 증명이 완료된다.

이 증명에서 중요한 점은, 특성 다항식이 취해지는 행렬

A

가 해당 다항식에 대입된 값

\varphi

와 같을 필요가 없다는 것이다. 즉,

\varphi

가

:

\varphi(e_i) = \sum_j A_{j,i} e_j

를 만족하는

V

의 자기 사상이면 충분하며,

V

를 생성하는 ''일부'' 요소 시퀀스

e_1, \ldots, e_n

에 대해 성립하면 된다.

3. 8. 추상대수학적 방법을 이용한 증명

하세-슈미트 미분의 기본적인 성질을 이용한 증명 방법이 있다. 외대수를 이용하여 증명한다.

3. 9. 조합론적 증명

라이프니츠 공식을 특성 다항식에 대해 전개하여 증명하는 방법(스트라우빙)과, 트레이스 모노이드 이론을 사용하여 일반화하는 방법(포아타와 카르티에)이 있다.

n \times n

행렬

A = \left(a_{ij}\right)_{i,j=1}^n

에 대한 케일리-해밀턴 정리의 명제를 얻으려면, 두 단계가 필요하다. 먼저 특성 다항식의 계수

c_i

는 행렬식의

t

에 관한 다항식 전개에 의해 결정된다.

\begin{align}p(t) & = \det(t I_n - A) =\begin{vmatrix}t-a_{1,1}&-a_{1,2}&\cdots&-a_{1,n} \\

a_{2,1}&t-a_{2,2}&\cdots&-a_{2,n} \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

a_{n,1}&-a_{n,2}& \cdots& t-a_{n,n} \end{vmatrix} \\[5pt]

& = t^n+c_{n-1}t^{n-1}+\cdots+c_1t+c_0,\end{align}

그런 다음 이러한 계수는

A

의 거듭제곱의 선형 결합에 사용되며, 이는

n \times n

영행렬과 같다.

A^n+c_{n-1}A^{n-1} + \cdots + c_1 A + c_0 I_n = \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}.

좌변은

A

의 성분

a_{i,j}

의 집합에서 (엄청난) 다항식 표현인 엔트리를 갖는

n \times n

행렬로 계산될 수 있으므로, 케일리-해밀턴 정리는 이러한

n^2

표현 각각이

0

과 같다고 말한다. 임의의 고정된

n

값에 대해, 이러한 항등식은 지루하지만 간단한 대수적 조작으로 얻을 수 있다. 그러나 이러한 계산은 케일리-해밀턴 정리가 모든 가능한 크기

n

의 행렬에 대해 유효해야 하는 이유를 보여줄 수 없으므로, 모든

n

에 대한 균일한 증명이 필요하다.

4. 예

1×1 행렬 의 경우, 특성 다항식은 로 주어지며, 따라서 은 자명하다.

구체적인 예시로,

$A = \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$

라고 하자. 이것의 특성 다항식은 다음과 같다.

$\begin{align}p(\lambda) &= \det(\lambda I_2-A) = \det\!\begin{pmatrix}\lambda-1&-2\\-3&\lambda-4\end{pmatrix} \\&=(\lambda-1)(\lambda-4)-(-2)(-3)=\lambda^2-5\lambda-2.\end{align}$

케일리-해밀턴 정리는

$p(A) = A^2-5A-2I_2 = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\end{pmatrix}$

가 성립한다고 주장한다. 이는 실제로 계산을 통해 확인할 수 있다.

일반적인 2×2 행렬

$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}$

의 경우, 특성 다항식은 로 주어지므로, 케일리-해밀턴 정리는 다음과 같다.

$p(A) = A^2-(a+d)A+(ad-bc)I_2 = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix};$

이는 의 성분을 계산하면 명백해진다.

4. 1. 행렬의 거듭제곱

케일리-해밀턴 정리를 이용하면 행렬의 거듭제곱을 더 낮은 차수의 행렬 다항식으로 나타낼 수 있다.

예를 들어, 행렬

A = \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}

를 생각해보자. 이 행렬의 특성 다항식은

p(\lambda) = \lambda^2 - 5\lambda - 2

이다. 케일리-해밀턴 정리에 따르면,

A^2 - 5A - 2I_2 = 0

이 성립한다. 여기서

I_2

는 2차 단위행렬이다.

이 식을 변형하면

A^2 = 5A + 2I_2

를 얻는다. 이를 이용하여

A^3

을 계산하면 다음과 같다.

:

A^3 = (5A + 2I_2)A = 5A^2 + 2A = 5(5A + 2I_2) + 2A = 27A + 10I_2

마찬가지로,

A^4

는 다음과 같이 계산된다.

:

A^4 = A^3A = (27A + 10I_2)A = 27A^2 + 10A = 27(5A + 2I_2) + 10A = 145A + 54I_2

이처럼 케일리-해밀턴 정리를 이용하면, 높은 차수의 행렬 거듭제곱을 낮은 차수의 행렬 다항식으로 표현하여 계산할 수 있다. 일반적으로, 크기가

n

인 정사각 행렬의

k

차 거듭제곱은 최대

n-1

차 행렬 다항식으로 표현 가능하다.

4. 2. 역행렬

Cayley–Hamilton theorem|케일리-해밀턴 정리^영어를 이용하면 역행렬을 계산할 수 있다. 특히, 2 × 2 및 3 × 3 행렬의 역행렬을 구하는 공식을 유도할 수 있다.

예를 들어 행렬 A가 다음과 같다고 하자.

:

A = \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}.

이 행렬의 특성 다항식은 다음과 같다.

:

p(\lambda) = \lambda^2-5\lambda-2.

케일리-해밀턴 정리에 의해 다음이 성립한다.

:

p(A) = A^2-5A-2I_2 = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\end{pmatrix}.

이 식을 변형하면 A의 역행렬을 얻을 수 있다.

:

A^{-1}=\frac{A-5I_2}{2}~.

다른 예로, 행렬 A가 다음과 같다고 하자.

:

A =\begin{bmatrix}1 & 2 & 1 \\2 & 1 & 3 \\3 & 2 & 3 \\\end{bmatrix}

이 경우, 케일리-해밀턴 정리를 적용하여 정리하면 A의 역행렬을 얻을 수 있다.

:

A^{-1}=\frac{A^2-5A-6I_3}{4}~.

4. 3. 행렬 함수

Cayley–Hamilton theorem|케일리-해밀턴 정리^영어를 이용하면 행렬 함수를 다항식으로 귀착시킬 수 있다.

해석 함수

:

f(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k

와 행렬 의 차수 의 특성 다항식 가 주어지면, 이 함수는 다음과 같이 나눗셈을 사용하여 표현할 수 있다.

:

f(x) = q(x) p(x) + r(x),

여기서 는 어떤 몫 다항식이고 는 인 나머지 다항식이다.

케일리-해밀턴 정리에 의해, 를 행렬 로 대체하면 이 되므로 다음을 얻는다.

:

f(A) = r(A).

따라서 행렬 의 해석 함수는 차수가 보다 작은 행렬 다항식으로 표현할 수 있다.

나머지 다항식을 다음과 같이 나타낸다.

:

r(x) = c_0 + c_1 x + \cdots + c_{n-1} x^{n-1}.

이므로, 의 개의 고유값을 함수 에 대입하면 다음을 얻는다.

:

f(\lambda_i) = r(\lambda_i) = c_0 + c_1 \lambda_i + \cdots + c_{n-1} \lambda_i^{n-1}, \qquad \text{for } i=1,2,...,n.

이것은 개의 선형 방정식 시스템으로, 계수 를 결정하기 위해 풀 수 있다. 따라서 다음을 얻는다.

:

f(A) = \sum_{k=0}^{n-1} c_k A^k.

고유값이 반복되는 경우, 즉 for some , 두 개 이상의 방정식이 동일하므로 선형 방정식을 고유하게 풀 수 없다. 이러한 경우, 중복도 인 고유값에 대해, 의 처음 개의 도함수가 해당 고유값에서 0이 된다. 이로 인해 추가 개의 선형 독립적인 해가 생성된다.

:

\left.\frac{\mathrm{d}^k f(x)}{\mathrm{d}x^k}\right|_{x=\lambda} = \left.\frac{\mathrm{d}^k r(x)}{\mathrm{d}x^k}\right|_{x=\lambda}\qquad \text{for } k = 1, 2, \ldots, m-1,

이는 다른 해와 결합되어 를 풀기 위한 필요한 개의 방정식을 생성한다.

점 를 지나는 다항식을 구하는 것은 본질적으로 보간법 문제이며, 라그랑주 또는 뉴턴 보간법 기법을 사용하여 풀 수 있으며, 실베스터 공식으로 이어진다.

;예시 1

:예를 들어, 다음과 같은 다항식 표현을 찾아야 한다고 가정해 보자.

:

f(A) = e^{At} \qquad \mathrm{where} \qquad A = \begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}.

:특성 다항식은 이고, 고유값은 이다. 라고 하자. 고유값에서 를 평가하면 두 개의 선형 방정식, 및 을 얻는다.

:이 방정식을 풀면 및 이 된다. 따라서 다음이 성립한다.

:

e^{At} = c_0 I_2 + c_1 A = \begin{pmatrix}c_0 + c_1 & 2 c_1\\ 0 & c_0 + 3 c_1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}e^{t} & e^{3t} - e^{t} \\ 0 & e^{3t}\end{pmatrix}.

:만약, 그 대신, 함수가 였다면, 계수는 및 가 되었을 것이므로

:

\sin(At) = c_0 I_2 + c_1 A = \begin{pmatrix}\sin t & \sin 3t - \sin t \\ 0 & \sin 3t\end{pmatrix}.

:로 구해진다.

;예시 2

:마찬가지로,

:

f(A) = e^{At} \qquad(A = \begin{pmatrix}0  &1 \\

1 &0

\end{pmatrix})

:을 생각한다. 의 고유 다항식은 , 고유값은 이다. 앞과 마찬가지로, 고유값에 관한 연립 방정식

::,

::

:을 풀어서,

::

:을 얻는다. 이 경우의

:

e^{At} = (\cos t)I_2 + (\sin t)A = \begin{pmatrix}\cos t  &\sin t \\

\sin t &\cos t

\end{pmatrix}

:는 회전 행렬이다.

이러한 이용법의 표준적인 예는 에 부속하는 리 대수로부터의 지수 사상이다. 이것은 행렬 지수 함수

\exp\colon \mathfrak g \to G;

:

tX \mapsto e^{tX} = \textstyle\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{t^nX^n}{n!} = I + tX + \dfrac{t^2X^2}{2} + \cdots \qquad(t \in \mathbb{R}, X \in \mathfrak{g})

로 주어진다. 그 다항식 표현은 에 대해서는 오래전부터 알려져 있으며, 파울리 행렬 를 사용하여

:

e^{i(\theta/2)(\hat n \cdot \sigma)} = I_2 \cos \theta/2 + i(\hat n \cdot \sigma) \sin \theta/2

로 쓸 수 있다. 도 마찬가지로

:

e^{i\theta(\hat n \cdot \mathbf J)} = I_3 +  i(\hat n \cdot \mathbf J) \sin \theta + (\hat n \cdot \mathbf J)^2 (\cos \theta - 1)

로 쓸 수 있다(이것은 로드리게스 회전 공식이다). 표기법에 대해서는 을 참조하라.

나중에는 다른 군에 대한 표현도 알려져 있으며, 예를 들어 로렌츠 군 , , , 등. 여기서 는 시공간의 이며 는 그 단일 연결 피복(더 정확하게는, 의 연결 성분 의 단일 연결 피복)이다. 얻어진 다항식 표현은 이러한 군의 표준 표현(standard representation)에 적용된다. 행렬의 거듭제곱을 계산하기 위해 고유값에 대한 어느 정도의 지식이 필요하다. 의(그리고 의) 닫힌 공식은 최근 모든 기약 표현(예: 임의의 )에 대해 얻어졌다.

5. 응용

케일리-해밀턴 정리는 다양한 분야에 응용된다.

'''행렬식 및 역행렬 계산''': 행렬식과 역행렬 계산에 활용된다. 벨 다항식을 이용해 특성 다항식의 계수를 구하고, 이를 통해 행렬식과 역행렬 계산 공식을 유도할 수 있다.^[10]
'''고차 거듭제곱 계산''': 행렬의 고차 거듭제곱을 낮은 차수의 행렬 다항식으로 표현할 수 있다. 예를 들어 행렬 ''A'' = 1,2],[3,4^한국어에 대해, 케일리-해밀턴 정리를 적용하면 ''A''² = 5''A'' + 2''I''₂ 로 나타낼 수 있다. 이를 반복하면 임의의 고차 거듭제곱을 최대 n-1차(n은 행렬의 크기) 행렬 다항식으로 표현할 수 있다.
'''대수적 수론''': 대수적 정수의 최소 다항식 계산에 사용된다.^[17]^[23]

5. 1. 행렬식 및 역행렬 계산

케일리-해밀턴 정리를 이용하면 행렬식과 역행렬을 계산할 수 있다. 벨 다항식을 이용하여 특성 다항식의 계수를 계산하고, 이를 통해 행렬식과 역행렬을 계산하는 공식을 유도할 수 있다.^[10]

n차 정방 행렬의 특성 다항식은 다음과 같다.

:

p(t)=t^n+c_{n-1}t^{n-1}+\dots+c_1t+c_0

여기서 n-i차 계수 c_n-i는 A의 고유값들이 이루는 i차 기본 대칭식과 같다. 특히 상수항 (0차 계수) c₀는 고유값의 총곱이므로, 이는 A의 행렬식 det A와 같다.

뉴턴 항등식을 사용하면 기본 대칭식은 멱합 대칭식으로 나타낼 수 있으므로, c_n-i는 고유값의 멱합 대칭식

s_k = \textstyle\sum\limits_{i=1}^n {\lambda_i}^k

로 나타낼 수 있으며, 다음과 같다.

:

s_k = \textstyle\sum\limits_{i=1}^n {\lambda_i}^k = \operatorname{tr} A^k

따라서, c_n-i는 A^k의 트레이스로 나타낼 수 있다. 특히

c_{n-1} = \operatorname{tr}A

이다.

케일리-해밀턴 정리에 의해, 일반적인 n차 정칙행렬 A (즉, A의 행렬식은 0이 아니다)에 대해, 그 역행렬 A^-1은 A의 n-1차 이하의 행렬 다항식으로 나타낼 수 있다. 실제로, 다음 식에서

:

p(A)=A^n+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots+c_1A+(-1)^n\det(A)I_n =O

상수항을 이항하면

:

-(-1)^n \det(A) I_n = A(A^{n-1}+c_{n-1}A^{n-2}+\cdots+c_1I_n)

양변에 A^-1를 곱하면

:

A^{-1} = \frac{(-1)^{n-1}}{\det A} (A^{n-1}+c_{n-1}A^{n-2}+\cdots+c_1I_n)

을 얻는다.

일반적으로, 계수 c_i를 주는 공식은 완전 지수형 벨 다항식에 의해 다음과 같이 주어진다.

:

c_{n-k} = \frac{(-1)^k}{k!} B_k(s_1, -1! s_2, 2! s_3, \cdots, (-1)^{k-1}(k-1)! s_k)

특히 A의 행렬식은 c₀이므로, 트레이스를 포함하는 표현(트레이스 항등식)으로 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\det(A) = \frac{1}{n!} B_n(s_1, -1! s_2, 2! s_3, \cdots, (-1)^{n-1}(n-1)! s_n)

마찬가지로, 다음과 같은 표현도 가능하다.

:

A^{-1} = \frac{1}{\det A} \textstyle\sum\limits_{k=0}^{n-1} (-1)^{n+k-1} \dfrac{A^{n-k-1}}{k!} B_k(s_1, -1! s_2, 2! s_3, \cdots, (-1)^{k-1}(k-1)! s_k)

벨 다항식의 처음 부분은 B₀ = 1, B₁(x₁) = x₁, B₂(x₁, x₂) = x₁² + x₂, ... 이므로, 이것들을 이용하여 2차의 경우 고유 다항식의 계수 c_i를 구체적으로 계산하면 다음과 같다.

:

\begin{align}&c_2 = B_0 = 1,\quad c_1 =  \frac{-1}{1!} B_1(s_1) = - s_1 = - \operatorname{tr}(A) \\&c_0 = \frac{1}{2!} B_2(s_1, -1! s_2) = \frac{1}{2}(s_1^2 - s_2) = \frac{1}{2}((\operatorname{tr}(A))^2 - \operatorname{tr}(A^2))\end{align}

c₀은 행렬식이므로, 이 경우 역행렬은 다음과 같이 계산할 수 있다.

:

A^{-1} = \frac{-1}{\det A}(A + c_1 I_2) = \frac{-2(A - \operatorname{tr}(A) I_2)}{(\operatorname{tr}(A))^2 - \operatorname{tr}(A^2)}

3차 정방 행렬 A에 대한 케일리-해밀턴 정리의 주장은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

A^3- (\operatorname{tr}A)A^2+\frac{1}{2}((\operatorname{tr}A)^2-\operatorname{tr}(A^2))A-\det(A)I_3=O

마찬가지로 n = 3인 경우 행렬식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\begin{align}\det(A) &= \frac{1}{3!} B_3(s_1, -1! s_2, 2! s_3) =  \frac{1}{6}(s_1^3 + 3 s_1 (-s_2) + 2 s_3) \\&= \tfrac{1}{6}((\operatorname{tr}A)^3-3\operatorname{tr}(A^2)(\operatorname{tr}A)+2\operatorname{tr}(A^3))\end{align}

4차 정방 행렬 A에 대한 정리의 주장은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

A^4-(\operatorname{tr}A)A^3 + \tfrac{1}{2}\bigl((\operatorname{tr}A)^2-\operatorname{tr}(A^2)\bigr)A^2 - \tfrac{1}{6}\bigl( (\operatorname{tr}A)^3-3\operatorname{tr}(A^2)(\operatorname{tr}A)+2\operatorname{tr}(A^3)\bigr)A + \det(A)I_4 = O

이 경우 행렬식은 다음과 같다.

:

\tfrac{1}{24}((\operatorname{tr}A)^4-6 \operatorname{tr}(A^2)(\operatorname{tr}A)^2+3(\operatorname{tr}(A^2))^2+8\operatorname{tr}(A^3)\operatorname{tr}(A) -6\operatorname{tr}(A^4))

계수 c_k에 대한 더 복잡한 표현은, 뉴턴 항등식이나 파데예프-르베리에 알고리즘 등에서 유도할 수 있다.

5. 2. 고차 거듭제곱 계산

Cayley–Hamilton theorem|케일리-해밀턴 정리^영어에 따르면, 행렬의 고차 거듭제곱은 낮은 차수의 행렬 다항식으로 표현할 수 있다.

예를 들어, 행렬 ''A''가 다음과 같이 주어졌다고 하자.

:

A = \begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}

이 행렬의 특성 다항식은 다음과 같다.

:

p(\lambda)=\begin{vmatrix}\lambda-1&-2\\-3&\lambda-4\end{vmatrix}=(\lambda-1)(\lambda-4)-2\cdot3=\lambda^2-5\lambda-2

케일리-해밀턴 정리에 따르면 다음 식이 성립한다.

:

A^2-5A-2I_2=0

(여기서

I_2

는 단위행렬이다.)

이를 정리하면 다음과 같다.

:

A^2=5A+2I_2

이 식을 이용하여 ''A''⁴을 계산할 수 있다.

:

A^3=(5A+2I_2)A=5A^2+2A=5(5A+2I_2)+2A=27A+10I_2

:

A^4=A^3A=(27A+10I_2)A=27A^2+10A=27(5A+2I_2)+10A=145A+54I_2

이처럼 케일리-해밀턴 정리를 이용하면, 행렬의 고차 거듭제곱을 낮은 차수의 다항식으로 나타낼 수 있다. 일반적으로, 크기가

n

인 정사각 행렬의 경우, 임의의 차수

k

의 행렬 거듭제곱은 최대

n-1

차 행렬 다항식으로 표현 가능하다.

5. 3. 대수적 수론

대수적 정수의 최소 다항식을 계산하는 데 케일리-해밀턴 정리가 사용될 수 있다. 예를 들어, 체

\mathbb{Q}

의 유한 차수 확대

\mathbb{Q}[\alpha_1,\ldots,\alpha_k]

와 그 원소인 대수적 정수

\alpha

(이는 첨가된 원소의 멱곱

\alpha_1^{n_1}\cdots\alpha_k^{n_k}

의

\mathbb{Q}

-선형 결합으로 쓸 수 있다)가 주어졌을 때,

\alpha

를 곱하는

\mathbb{Q}

-선형 변환

:

\cdot \alpha \colon \mathbb{Q}[\alpha_1,\cdots,\alpha_k] \to \mathbb{Q}[\alpha_1,\cdots,\alpha_k]

의 표현 행렬을

A

로 쓰면,

A

에 케일리-해밀턴 정리를 적용하여

\alpha

의 최소 다항식을 구할 수 있다.^[17]^[23]

6. 일반화

케일리-해밀턴 정리는 임의의 가환환의 원소를 갖는 행렬에 대해 성립하며, $e_1, ..., e_n$의 원소에 의해 생성된 $R$-가군 $\varphi$가 다음을 만족할 때마다 $p(\varphi) = 0$이 성립함을 보여준다.

$\varphi(e_j)=\sum a_{ij}e_i, \qquad j =1, \ldots, n.$

이 정리의 더 일반적인 버전은 가환대수학 및 대수기하학의 유명한 나카야마 보조정리의 근원이다.

케일리-해밀턴 정리는 비가환환인 사원수에 대한 행렬에서도 성립한다.^[21]^[22]

7. "단락적인 증명"의 오류에 관한 주의

케일리-해밀턴 정리를 증명할 때, 고유 다항식

: $p(\lambda) = \det(\lambda I_n - A)$

의 $\lambda$ 를 $A$ 로 치환하여

: $p(A)=\det(A I_n - A) = \det(A-A)=0$

을 얻는 것은 잘못된 논법이다.^[1]

이 논법이 잘못된 이유는 다음과 같다.

위 식의 좌변은 $n$ 차 정사각행렬이고, 우변은 스칼라 $0$ 이므로 ( $n=1$ 이 아닌 한) 모순이다.
위 식의 우변의 $\lambda$ 는 스칼라여야 행렬식으로서 의미를 가지는데, 행렬식 전개 전에 $\lambda$ 를 $A$ 로 치환하면 의미가 없어진다.

2차 정사각 행렬의 경우를 예로 들면,

:

p(\lambda) = \begin{vmatrix}\lambda-a &-b \\

c &\lambda-d

\end{vmatrix}

의

\lambda

를

A=\begin{pmatrix}a &b \\c &d\end{pmatrix}

로 치환하면 행렬식으로서의 의미가 없어진다는 것을 알 수 있다.

하지만, 스칼라인 부분을 스칼라 행렬(단위 행렬의 스칼라 배)로 치환한 블록 행렬

:

\begin{pmatrix} \begin{pmatrix}a &b \\c &d\end{pmatrix} - aI_2 &-bI_2 \\

cI_2 &\begin{pmatrix}

a &b \\c &d\end{pmatrix} - dI_2\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{cc|cc}0 &b &-b &0 \\c &d-a &0 &-b \\\hline

c &0 &a-d &b \\

0 &-c &c &0\end{array}\right)

를 고려하면 유효한 식이 되며, 이 행렬식은 실제로

0

이 된다. 그러나 이 행렬은 위에서

\det

의 인수로 삼은

AI_n - A

가 아니다.

이 논법이 다른 다중 선형 형식에는 적용될 수 없음을 퍼머넌트를 이용해 보일 수 있다. perm(

\lambda I_n - A

)라고 하면, 같은 논법으로 perm(

A I_n - A

) = 0 이 증명되어야 하지만, 이는 오류이다. 2차 정사각 행렬의 경우,

\operatorname{perm} \begin{pmatrix}a &b \\c &d\end{pmatrix} = ad + bc

이므로,

q(\lambda) = \operatorname{perm} (\lambda I_2 - A) = \lambda^2 - (a+d)\lambda + (ad+bc)

이며, 여기에

A

를 대입하면

:

q(A)=A^2-(a+d)A+(ad+bc)I_2=\begin{pmatrix}2bc &0 \\0 &2bc\end{pmatrix}

는 일반적으로 영행렬이 아니다.

참조

_[1] 문헌
_[2] 문헌
_[3] 문헌
_[4] 문헌
_[5] 문헌
_[6] 문헌
_[7] 문헌
_[8] 문헌
_[9] 문헌
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_[11] 문헌
_[12] 문헌
_[13] 문헌
_[14] 문헌
_[15] 문헌
_[16] 문헌
_[17] 서적 Algebraic Number Theory, a Computational Approach http://wstein.org/bo[...]
_[18] 문헌
_[19] 문헌
_[20] 학술지 A combinatorial proof of the Cayley-Hamilton theorem https://linkinghub.e[...] 1983-01-01
_[21] 문헌
_[22] 문헌
_[23] 서적 Algebraic Number Theory, a Computational Approach http://wstein.org/bo[...]
_[24] 서적 線型代数演習東京大学出版会 1985-03-25
_[25] 서적 線型代数入門東京大学出版会 1966-03-31
_[26] 서적 Linear Algebra https://archive.org/[...] Prentice-Hall 1971

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