근삿값

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1. 개요

근삿값은 실제 값에 가깝지만 정확히 일치하지 않는 값, 수량, 이미지 또는 설명을 의미하며, 라틴어 'proximus'(매우 가까운)에서 유래되었다. 근삿값은 수학, 과학, 사회과학 등 다양한 분야에서 활용되며, 정확한 값을 구하기 어렵거나 불가능할 때 사용된다. 수학에서는 근사론, 디오판토스 근사, 수치 근사 등이 있으며, 과학에서는 복잡한 모델을 단순화하거나 측정의 한계로 인해 근삿값을 사용한다. 사회과학에서는 경제 모델, 법률의 근접화 등에서 활용된다. 근삿값의 오차는 오차의 한계로 표현되며, 분석의 유효성을 유지하는 범위 내에서 단순화가 이루어져야 한다.

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근삿값
수학
정의	어떤 대상을 정확하게 나타내거나 구하기 어려울 때, 그 대상에 아주 가깝게 나타내거나 구하는 것
사용 분야	수학 물리학 공학 통계학 기타 과학 분야
오차
발생 원인	측정 장비의 한계 측정 방법의 부정확성 계산 과정의 반올림 또는 생략
활용 예시
원주율	π ≈ 3.14
제곱근	√2 ≈ 1.414
같이 보기
관련 개념	근사값 근사 알고리즘 수치해석 오차

2. 근삿값의 정의 및 어원

근삿값은 정확한 값은 아니지만 특정한 목적에 충분히 가까운 값을 의미한다. 근삿값에 대한 오차의 절댓값이 어떤 값 이하일 때, 그 값을 근삿값에 대한 오차의 한계라고 한다. 종종 "약"(approx.)으로 약칭된다.

이 용어는 거의 정확하지만 정확히 일치하지 않는 다양한 속성(예: 값, 수량, 이미지, 설명)에 적용될 수 있다. 유사하지만 정확히 동일하지 않은 경우에도 사용된다(예: 근삿값 시간은 10시였다).

사용되는 근삿값의 유형은 사용 가능한 정보, 필요한 정확도, 문제의 데이터에 대한 민감도 및 근삿값으로 달성할 수 있는 절약(일반적으로 시간과 노력)에 따라 달라진다. 단순화는 분석의 유효성을 잃지 않는 범위 내에서 수행되어야 한다.

분석 내용에 맞지 않을 정도로 과도하게 단순화된 모델에 기반한 분석은 근사 모델의 '''적용 한계'''를 잘못 판단한 행위이며, 잘못된 분석 결과를 초래한다. 그러나 어떤 근사 모델이 어디까지 유효성을 가지는지, 즉 적용 한계가 어디에 있는지는 실제로 그 모델에 기반한 분석을 해보지 않으면 알 수 없는 경우가 많다.

2. 1. 용어의 어원

"근삿값"(approximation)이라는 단어는 라틴어 ''proximus''(매우 가까운)와 "~에"(ad-)를 의미하는 접두사 ''ad-''에서 유래하였다.^[1] "근사적인"(approximate), "근사적으로"(approximately)와 같은 단어는 특히 기술적 또는 과학적 맥락에서 사용된다. 일상적인 영어에서는 "대략"(roughly) 또는 "약"(around)과 같은 단어가 비슷한 의미로 사용된다.^[2]

2. 2. 다양한 분야에서의 활용

근삿값은 수뿐만 아니라 수학 함수, 도형, 물리 법칙 등에도 자주 적용된다.

과학에서 근삿값은 정확한 모델을 사용하기 어려울 때 더 간단한 과정이나 모델을 사용하여 계산을 쉽게 하기 위해 사용된다. 불완전한 정보로 인해 정확한 표현을 사용할 수 없는 경우에도 근삿값이 사용된다.^[1]

3. 수학에서의 근사

근사론은 함수 해석학의 정량적인 부분을 이루는 수학의 한 분야이다. 근사는 일반적으로 정확한 형태나 숫자를 알기 어렵거나 구하기 어려울 때 사용된다. 하지만 알려진 형태를 통해 실제 형태를 나타낼 수 있으며, 유의미한 편차를 찾기 어려울 수도 있다. 예를 들어, 1.5 × 10⁶은 측정값이 10만 단위로 반올림되어 1,500,000임을 의미하며, 실제 값은 1,450,000과 1,550,000 사이에 있다.

3. 1. 디오판토스 근사

디오판토스 근사는 실수를 유리수로 근사하는 것을 다룬다.^[3]

3. 2. 수치 근사

유효숫자의 사용, 반올림 오차, 로그 표, 슬라이드 규칙, 계산기 등은 수치 근사의 예시이다. 컴퓨터 계산 결과는 일반적으로 제한된 수의 유효숫자로 표현되는 근삿값일 수 있지만, 더 정확한 결과를 생성하도록 프로그래밍할 수 있다.^[3] 십진수를 유한 개의 이진수로 표현할 수 없는 경우 근사가 발생할 수 있다.

3. 3. 함수의 점근적 분석

함수의 점근 값은 함수의 매개변수 중 하나 이상이 매우 커질 때 그 값에 대한 근삿값을 제공한다. 예를 들어, ''k''/2 + ''k''/4 + ''k''/8 + ... + ''k''/2ⁿ의 합은 ''k''와 점근적으로 같다.^[3] 수학 전반에 걸쳐 일관된 표기법이 사용되는 것은 아니며, 일부 교재에서는 ≈를 대략적으로 같음을 의미하고 ~를 점근적으로 같음을 의미하는 반면, 다른 교재에서는 이 기호를 반대로 사용한다.

4. 오차의 한계

근삿값에 대한 오차의 절댓값이 어떤 값 이하일 때, 그 값을 근삿값에 대한 오차의 한계라고 한다.

4. 1. 오차의 한계를 구하는 방법

측정값의 경우, (측정 계기의 최소 눈금) × 0.5를 하면 오차의 한계를 구할 수 있다. 반올림한 경우에는 (끝자리 단위 값) × 0.5 또는 (반올림한 자릿값)을 하면 오차의 한계를 구할 수 있다.

5. 근사 기호 (≈)

'''근사 기호'''(≈)는 알프레드 그린힐이 1892년 자신의 저서 ''타원 함수의 응용''에서 처음으로 도입한 기호이다.^[4]^[5]

"가 에 의해 근사될 수 있다"는 것은 기호로

A \simeq B

와 같이 나타낸다(∼, ≈, ≒ 에 대해서도 마찬가지).

근사 기호의 사용법은 분야나 저자에 따라 다르며 통일되어 있지 않다. 일반적으로 다음과 같은 의미로 사용된다.

# 와 가 수치적으로 거의 같다. (예:

\pi \approx 3.14.

)

# 와 의 차수가 같다. (예:

N_\mathrm{A} \sim 10^{23} ~ \mathrm{mol}^{-1}.

)

# 와 가 점근적으로 같다. (예:

\Gamma(x+1) \simeq\sqrt{2\pi x}{\left(\frac{x}{e}\right)}^x.

)

# 와 가 점근적으로 비례한다. (예:

\Gamma(x+1) \sim {\left(\frac{x}{e}\right)}^{x+1/2}.

)

의미 혼동을 피하기 위해 각 용법에 대해 서로 다른 기호를 사용하는 것이 일반적이다. 대한민국에서는 ≒ 기호가 수치적으로 거의 같다는 의미로 자주 사용된다.

5. 1. LaTeX 기호

$\approx$ (\approx): 일반적으로 숫자 사이의 근삿값을 나타내는 데 사용한다. (예: $\pi \approx 3.14$ ).^[4]^[5]
$\not\approx$ (\not\approx): 일반적으로 숫자가 근삿값으로 같지 않음을 나타내는 데 사용한다. ( $1 \not\approx 2$ ).
$\simeq$ (\simeq): 일반적으로 함수 사이의 점근적 등가성을 나타내는 데 사용한다. (예: $f(n) \simeq 3n^2$ ). 따라서 이 정의하에서는 $\pi \simeq 3.14$ 라고 쓰는 것은 잘못된 것이지만, 널리 사용되고 있다.
$\sim$ (\sim): 일반적으로 함수 간의 비례 관계를 나타내는 데 사용한다. 위 줄의 같은 $f(n)$ 은 $f(n) \sim n^2$ 가 될 것이다.
$\cong$ (\cong): 일반적으로 도형 간의 합동을 나타내는 데 사용한다. (예: $\Delta ABC \cong \Delta A'B'C'$ ).
$\eqsim$ (\eqsim): 일반적으로 두 양이 상수까지 같음을 나타내는 데 사용한다.
$\lessapprox$ (\lessapprox) 및 $\gtrapprox$ (\gtrapprox): 일반적으로 부등식이 성립하거나 두 값이 근삿값으로 같음을 나타내는 데 사용한다.

5. 2. 유니코드

≈ (U+2248): 거의 같음^[6]

≅ (U+2245): 근삿값^[6]

∼ (U+223C): 틸드 연산자 (비례 관계에도 사용)^[6]

≃ (U+2252): 근삿값 또는 사상 (일본, 대만 및 한국에서 사용)^[6]

근삿값 기호의 유니코드 및 명칭
기호	유니코드	JIS X 0213	문자 참조
∼	U+223C	-	유사, 순서가 같음, (점근적으로) 비례
≃	U+2252	1-2-66	거의 같음
≅	U+2245	-	근삿값
≈	U+2248	1-2-78	근사적으로 같음, 동상

근삿값 기호는 다음과 같은 의미로 자주 사용된다.

# 수치적으로 거의 같음.

# 차수가 같음.

# 점근적으로 같음.

# 점근적으로 비례함.

의미 혼동을 피하기 위해 각 용법에 대해 서로 다른 기호를 사용하는 것이 일반적이다. 대한민국에서는 ≃ (U+2252) 기호가 수치적으로 거의 같다는 의미로 자주 사용된다.

아래 표는 근삿값을 나타내는 다양한 기호와 그 유니코드 값을 정리한 것이다.^[6]

근삿값 관련 유니코드 문자
기호	설명
	때때로 비례를 나타내는 데에도 사용됨.
	때때로 비례를 나타내는 데에도 사용됨.
	"≈"와 "="의 조합으로, 점근적 등식을 나타냄.
	"≈"와 "="의 또 다른 조합으로, 동형 사상 또는 합동을 나타냄.




	"≈"와 "="의 또 다른 조합으로, 동치 또는 근사 동치를 나타냄.
	변수가 극한에 접근하는 것을 나타내는 데 사용 가능.
	일본, 대만 및 한국에서 "≈" 또는 "≃"와 같이 사용됨.
	의 반전된 변형.

6. 과학에서의 근사

과학에서 근삿값은 정확한 모델을 사용하기 어려울 때 더 간단한 과정이나 모델을 사용하는 것을 의미한다. 근사 모델은 계산을 더 쉽게 하기 위해 사용된다. 불완전한 정보로 인해 정확한 표현을 사용할 수 없는 경우에도 근삿값이 사용될 수 있다. 사용되는 근삿값의 유형은 사용 가능한 정보, 필요한 정확도, 문제의 데이터에 대한 민감도 및 근삿값으로 달성할 수 있는 절약(일반적으로 시간과 노력)에 따라 달라진다.

과학 실험에서 이론의 예측은 실제 측정값과 다를 수 있다. 이는 실제 상황에는 이론에 포함되지 않은 요인이 있기 때문일 수도 있고, 측정 기술의 한계로 인해 차이가 발생할 수도 있다. 이 경우, 측정값은 실제 값에 대한 근삿값이다.^[8]

가장 일반적인 과학철학의 버전은 경험적 측정이 항상 ''근삿값''임을 받아들인다. 즉, 측정 대상을 완벽하게 나타내지는 않는다. 단순화는 분석의 유효성을 잃지 않는 범위 내에서 수행되어야 한다. 분석 내용에 맞지 않을 정도로 과도하게 단순화된 모델에 기반한 분석은 근사 모델의 '''적용 한계'''를 잘못 판단한 행위이며, 잘못된 분석 결과를 초래한다. 그러나 어떤 근사 모델이 어디까지 유효성을 가지는지, 즉 적용 한계가 어디에 있는지는 실제로 그 모델에 기반한 분석을 해보지 않으면 알 수 없는 경우가 많다.

6. 1. 근사 이론의 예시

단순 계산에서 공기 저항의 영향은 포함되지 않을 수 있다. 이러한 경우, 이론은 현실에 대한 근사값이 된다.^[8] 물리학자들은 더 정확한 표현이 가능함에도 불구하고 종종 지구의 모양을 구로 근사하는데, 이는 많은 물리적 특성(예: 중력)이 다른 모양보다 구에 대해 훨씬 더 쉽게 계산되기 때문이다.

별 주위를 공전하는 여러 행성의 운동을 분석하는 데에도 근사값이 사용된다. 행성의 중력 효과가 서로 복잡하게 상호 작용하기 때문에 이는 매우 어렵다.^[9] 근사 해는 반복을 수행하여 얻어진다. 첫 번째 반복에서 행성의 중력 상호 작용은 무시되고 별은 고정된 것으로 가정된다. 더 정확한 해가 필요하면, 첫 번째 반복에서 확인된 행성의 위치와 운동을 사용하지만 각 행성의 다른 행성에 대한 1차 중력 상호 작용을 추가하여 다른 반복을 수행한다. 이 과정은 만족스러울 정도로 정확한 해가 얻어질 때까지 반복될 수 있다.

6. 2. 대응 원리

대응 원리에 따르면, 새로운 과학 이론은 기존의 잘 확립된 이론이 유효한 영역에서 그 이론의 결과를 재현해야 한다.^[8] 이 경우 기존 이론은 새로운 이론의 근삿값이 된다.

7. 사회과학에서의 근사

사회과학에서 근사는 특정한 현상을 설명하기 위해 사용되는 개념이나 모델이 실제 현상을 완벽하게 반영하지 못하고, 어느 정도 근사적으로 설명하는 것을 의미한다.

경제학에서 경제인 모델은 인간을 합리적이고 이기적인 존재로 가정하지만, 실제 인간의 행동은 이보다 더 복잡하고 다양하다.
법학에서 EU 법률의 "근접화"는 각국의 법률 체계를 EU 법률에 통합하는 과정을 의미한다.^[10] 유럽 집행위원회는 이것을 "유럽 연합 회원국의 고유한 의무"라고 설명한다.^[10]

7. 1. 경제학

경제학에서 경제인 모델은 인간을 합리적이고 이기적인 존재로 가정한다.

7. 2. 법학 (EU)

유럽 연합 내에서 "근접화"는 각국의 기존 법적 체계의 차이에도 불구하고 EU 법률이 회원국의 국내법에 이행되고 통합되는 과정을 의미한다. 근접화는 신규 회원국의 가입 전 과정의 일환으로 요구되며, EU 지침이 요구하는 경우 지속적인 과정으로 진행된다.^[10] "근접화"는 지침 제목에 일반적으로 사용되는 중요한 용어이며, 예를 들어 2015년 12월 16일의 상표 지침은 "상표와 관련된 회원국 법률의 근접화"를 목적으로 한다.^[11] 유럽 집행위원회는 법률의 근접화를 "유럽 연합 회원국의 고유한 의무"라고 설명한다.^[10]

8. 근사의 종류 (분야별)

근사론은 수학의 한 분야이며, 함수 해석학의 정량적인 부분이다. 디오판토스 근사는 실수를 유리수로 근사하는 것을 다룬다. 수치 근사는 때때로 적은 수의 유효숫자를 사용하는 결과로 발생한다.^[3] 로그 표, 계산자 및 계산기는 근사값을 생성한다. 컴퓨터 계산 결과는 일반적으로 제한된 수의 유효숫자로 표현되지만, 더 정확한 결과를 생성하도록 프로그래밍할 수 있다.^[3]

수학에서 사용되는 근사 방법은 다음과 같다:

근사법
섭동
변분법
디리클레의 디오판토스 근사 정리
몬테카를로 방법
* 마르코프 연쇄 몬테카를로 방법
** 메트로폴리스-헤이스팅스 알고리즘

물리학에서 사용되는 근사 방법은 다음과 같다:

평균장 근사
베테 근사
단열 근사
보른-오펜하이머 근사
GW 근사
강결합 근사
국소밀도 근사
난잡 위상 근사
자유전자 근사
거의 자유로운 전자
일전자 근사
슬래브 근사
코히어런트 포텐셜 근사
클라인만-바일란더 근사
프로즌 코어 근사
가상결정 근사
원자구 근사
분자역학법
분자궤도법
GGA(Generalized Gradient Approximation)
평균 t-행렬 근사(Averaged t-matrix Approximation)
카-파리넬로 방법
단사이트 근사

컴퓨터 과학 분야에서는 근사 알고리즘이 사용된다.

8. 1. 수학

근사론은 수학의 한 분야이며, 함수 해석학의 정량적인 부분이다. 디오판토스 근사는 실수를 유리수로 근사하는 것을 다룬다.

근사는 일반적으로 정확한 형태 또는 정확한 숫자가 알려져 있지 않거나 구하기 어려울 때 발생한다. 그러나 알려진 어떤 형태가 존재하여 실제 형태를 나타낼 수 있고, 유의미한 편차를 찾을 수 없을 수 있다. 예를 들어, 150만은 측정되는 어떤 값의 실제 값이 10만 단위로 반올림하여 1,500,000임을 의미한다(따라서 실제 값은 1,450,000과 1,550,000 사이에 있다). 이는 1,500,000만이 실제 값이 1,000 단위로 반올림하여 1,500,000임을 의미하는 것과 대조된다(실제 값은 1,499,500과 1,500,500 사이에 있음을 의미).

수치 근사는 때때로 적은 수의 유효숫자를 사용하는 결과로 발생한다. 계산에는 반올림 오차 및 기타 근사 오차가 포함될 가능성이 높다. 로그 표, 슬라이드 규칙 및 계산기는 가장 간단한 계산을 제외한 모든 계산에 대한 근사값을 생성한다. 컴퓨터 계산의 결과는 일반적으로 제한된 수의 유효숫자로 표현되는 근사값이지만, 더 정확한 결과를 생성하도록 프로그래밍할 수 있다.^[3] 십진수를 유한 개의 이진수로 표현할 수 없는 경우 근사가 발생할 수 있다.

함수의 근사와 관련된 것은 함수의 점근 값, 즉 함수의 매개변수 중 하나 이상이 임의로 커짐에 따라 값이다. 예를 들어, 합 ''k''/2+''k''/4+''k''/8+ \cdots +''k''/2ⁿ은 점근적으로 ''k''와 같다. 수학 전반에 걸쳐 일관된 표기법이 사용되는 것은 아니며, 일부 교재에서는 ≈를 대략적으로 같음을 의미하고 ~를 점근적으로 같음을 의미하는 반면, 다른 교재에서는 이 기호를 반대로 사용한다.

근사법
섭동
변분법
디리클레의 디오판토스 근사 정리
몬테카를로 방법
* 마르코프 연쇄 몬테카를로 방법
** 메트로폴리스-헤이스팅스 알고리즘

8. 2. 물리학

평균장 근사
베테 근사
단열 근사
보른-오펜하이머 근사
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강결합 근사
국소밀도 근사
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GGA(Generalized Gradient Approximation)
평균 t-행렬 근사(Averaged t-matrix Approximation)
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단사이트 근사

8. 3. 컴퓨터 과학

근사 알고리즘

9. 근사의 한계 및 주의점

단순화는 분석의 유효성을 잃지 않는 범위 내에서 수행되어야 한다.

분석 내용에 맞지 않을 정도로 과도하게 단순화된 모델에 기반한 분석은 근사 모델의 '''적용 한계'''를 잘못 판단한 행위이며, 잘못된 분석 결과를 초래한다.

그러나 어떤 근사 모델이 어디까지 유효성을 가지는지, 즉 적용 한계가 어디에 있는지는 실제로 그 모델에 기반한 분석을 해보지 않으면 알 수 없는 경우가 많다.

참조

_[1] 서적 The Concise Oxford Dictionary Oxford University Press
_[2] 서적 Longman Dictionary of Contemporary English Pearson Education Ltd
_[3] 웹사이트 Numerical Computation Guide https://web.archive.[...] 2013-06-16
_[4] 서적 The Applications of Elliptic Functions https://quod.lib.umi[...] MacMillan and Co
_[5] 서적 Linear Algebra as an Introduction to Abstract Mathematics https://doi.org/10.1[...] LibreTexts 2016-01-01
_[6] 웹사이트 Mathematical Operators – Unicode https://www.unicode.[...] 2013-04-20
_[7] 서적 D & D Standard Oil & Gas Abbreviator https://books.google[...] PennWell 2020-05-21
_[8] 웹사이트 Correspondence principle https://www.britanni[...]
_[9] 웹사이트 The three body problem http://plus.maths.or[...]
_[10] 간행물 Guide to the Approximation of European Union Environmental Legislation https://ec.europa.eu[...] European Commission 2022-11-15
_[11] 간행물 Directive (EU) 2015/2436 of the European Parliament and of the Council of 16 December 2015 to approximate the laws of the Member States relating to trade marks (recast) (Text with EEA relevance) https://eur-lex.euro[...] EUR-Lex 2022-11-15
_[12] 문서 한글 맞춤법 개정 및 사이시옷 사용에 대한 설명

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