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다가 함수

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목차

1. 개요

다가 함수는 하나의 입력값에 대해 여러 개의 출력값을 가질 수 있는 함수를 의미한다. 다가 함수는 역사적으로 오래된 특수 함수 중 하나로, 20세기 전반까지 수학에서 함수와는 다른 의미로 사용되었다. 다가 함수는 함수 f의 역함수, 복소 로그 함수, 정칙 함수의 해석적 연속 등 다양한 형태로 나타나며, 분기점을 갖는 경우가 많다. 이러한 분기점을 통해 함수의 범위를 제한하여 단일 값 함수로 재정의할 수 있으며, 이를 주치라고 한다. 다가 함수는 최적 제어, 미분 포함식, 게임 이론, 물리학 등 다양한 분야에서 활용된다.

2. 역사

다가함수는 역사적으로 가장 오래된 특수 함수일 것이다. 다가함수의 꽤 완전한 이론적 정리는 Claude Berge의 저서 ''Topological spaces'' (1963)에 처음으로 등장했다.

수학에서 "함수"라는 용어에서 다가 함수의 의미가 제외되어 사용되게 된 것은 20세기 전반의 일이다. 하디의 저서 A Course_of_Pure_Mathematics|A Course of Pure Mathematics영어에서 판에 따라 사용법이 달라진다는 점에서 이를 알 수 있다. 이 책은 특수 함수 이론의 유용한 참고서로, 매우 오랫동안 출판되고 있다.

체계적인 다가 함수론 연구는 1963년 C. Berge의 저서 ''Topological spaces''가 최초로 여겨진다.

물리학 분야에서는 다가 함수가 사용되는 경우가 증가하고 있다. 디랙의 자기 홀극의 수학적 기초 부분, 물질의 소성을 발생시키는 결정 내의 격자 결함 이론, 초유동 및 초전도에서의 와동, 이들 계에서의 융해 및 쿼크 가두기와 같은 상전이 등이 있다. 이는 물리학의 많은 분야에서 게이지장의 구조의 근원이 되고 있다.

3. 정의 및 특징

Wriggers와 Panatiotopoulos (2014)의 ''New Developments in Contact Problems'' 29페이지에 있는 기준에 따라 다가 함수와 집합 값 관계를 구별하는 그림


다가 함수(Multivalued function)는 함수와 비슷하지만, 하나의 입력에 대해 여러 개의 출력을 가질 수 있는 함수를 말한다. Wriggers와 Panatiotopoulos (2014)는 다가 함수가 유한 개(또는 가산)의 점에서만 여러 값을 가지며, 그렇지 않으면 함수처럼 동작한다는 사실로 다가 함수와 집합 값 함수를 구별한다.[7] 기하학적으로 보면 다가 함수의 그래프는 반드시 면적이 0인 선이며 루프가 없어야 하는 반면, 집합 값 관계의 그래프는 채워진 영역이나 루프를 포함할 수 있다는 것을 의미한다.[7]

다가 함수라는 용어는 해석적 연장에서 유래했다. 복소 해석 함수 f(z)의 값을 점 z=a의 일부 근방에서 알고 있는 경우가 종종 있는데, 음함수 정리나 z=a 주위의 테일러 급수로 정의된 함수에 해당한다. 이러한 상황에서, 단일값 함수 f(z)의 정의역을 a에서 시작하는 복소 평면의 곡선을 따라 확장할 수 있는데, 이렇게 하면 점 z=b에서의 확장된 함수의 값은 a에서 b까지 선택된 곡선에 따라 달라진다. 새로운 값 중 어느 것도 다른 값보다 더 자연스럽지 않으므로, 이 모든 값은 다가 함수에 통합된다.

예를 들어 f(z)=\sqrt{z}\,를 양의 실수에 대한 일반적인 제곱근 함수라고 하자. 그 정의역을 복소 평면에서 z=1의 근방으로 확장한 다음, z=1에서 시작하는 곡선을 따라 더 확장할 수 있으며, 주어진 곡선을 따라 값은 \sqrt{1}=1에서 연속적으로 달라진다. 음의 실수로 확장하면 제곱근에 대해 두 개의 반대 값을 얻는데, 예를 들어 -1에 대해 ±''i''인데, 이는 정의역이 복소 평면의 위쪽 반 또는 아래쪽 반을 통해 확장되었는지에 따라 달라진다. 이러한 현상은 n제곱근, 로그, 역 삼각 함수에서 자주 발생한다.

복소 다가 함수에서 단일값 함수를 정의하기 위해, 여러 값 중 하나를 주값으로 구별하여 특정 경계 곡선을 따라 불연속적인 전체 평면에서 단일값 함수를 생성할 수 있다. 또는 다가 함수를 처리하면 닫힌 경로를 따를 때 가능한 값 변경을 감수하면서 어디에서나 연속적인 것을 가질 수 있는데, (모노드로미) 이러한 문제는 리만 면 이론에서 해결된다. 다가 함수 f(z)를 값을 버리지 않고 일반 함수로 간주하기 위해, 정의역을 다층 피복 공간, 즉 f(z)와 관련된 다양체인 리만 면으로 곱한다.

함수 ''f : X → Y''가 일반적인 함수라면, 그 역함수는 다가 함수이다.

: \Gamma_{f^{-1}}\ \subseteq \ Y\times X

이 함수는 ''X'' × ''Y''의 부분 집합으로 간주되는 ''Γf''로 정의된다. ''f''가 다양체 사이의 미분 가능한 함수일 때, 역함수 정리는 이것이 ''X''에서 국소적으로 단일 값 함수가 되기 위한 조건을 제공한다.

예를 들어, 복소 로그 ''log(z)''는 지수 함수 ''ez'' : '''C''' → '''C'''×의 다가 역함수이며, 그래프는 다음과 같다.

: \Gamma_{\log(z)}\ =\ \{(z,w)\ :\ w=\log (z)\}\ \subseteq\ \mathbf{C}\times\mathbf{C}^\times.

이는 단일 값 함수가 아닌데, 단일 ''w''가 주어지고 ''w = log(z)''일 때, 다음이 성립한다.

:\log(z)\ =\ w\ +\ 2\pi i \mathbf{Z}.

정칙 함수가 복소 평면 '''C'''의 열린 부분 집합에 정의되어 있다면, 그 해석적 연속은 항상 다가 함수이다.

  • 0보다 큰 모든 실수는 두 개의 실수 제곱근을 가지므로 제곱근은 다가 함수로 간주될 수 있다. 예를 들어 \sqrt{4}=\pm 2=\{2,-2\}로 쓸 수 있다. 0은 하나의 제곱근만 갖지만, \sqrt{0} =\{0\}이다.
  • 각 0이 아닌 복소수는 두 개의 제곱근, 세 개의 세제곱근, 일반적으로 ''n''개의 n제곱근을 갖는다. 0의 유일한 n제곱근은 0이다.
  • 복소 로그 함수는 다가 함수이다. 실수 a와 b에 대한 \log(a+bi)가 갖는 값은 모든 정수 n에 대해 \log{\sqrt{a^2 + b^2}} + i\arg (a+bi) + 2 \pi n i이다.
  • 역 삼각 함수는 삼각 함수가 주기적이므로 다가 함수이다.



\tan\left(\tfrac{\pi}{4}\right) = \tan\left(\tfrac{5\pi}{4}\right)

= \tan\left({\tfrac{-3\pi}{4}}\right) = \tan\left({\tfrac{(2n+1)\pi}{4}}\right) = \cdots = 1.



결과적으로, arctan(1)은 π/4, 5π/4, −3π/4 등과 같이 여러 값과 직관적으로 관련된다. tan ''x''의 정의역을 −π/2 < ''x'' < π/2로 제한하여 arctan을 단가 함수로 취급할 수 있는데, 이 정의역에서 tan ''x''는 단조 증가한다. 따라서 arctan(''x'')의 치역은 −π/2 < ''y'' < π/2가 된다. 제한된 정의역의 이러한 값들을 ''주치''라고 한다.

  • 부정 적분은 다가 함수로 간주될 수 있다. 함수의 부정 적분은 그 함수의 도함수인 함수의 집합이다. 적분 상수는 상수 함수의 도함수가 0이라는 사실에서 비롯된다.
  • 역 쌍곡선 함수는 쌍곡선 함수가 허수 축을 따라 주기적이므로 복소수 영역에서 다가 함수이다. 실수 영역에서는 arcosh 및 arsech를 제외하고 단가 함수이다.


이들은 모두 비단사 함수에서 발생하는 다가 함수의 예이다. 원래 함수는 입력의 모든 정보를 보존하지 않으므로 가역적이지 않다. 종종 다가 함수의 제한은 원래 함수의 부분 역함수이다.

복소 변수의 다가 함수는 분기점을 갖는다. 예를 들어, ''n''제곱근 및 로그 함수의 경우 0이 분기점이며, 아크탄젠트 함수의 경우 허수 단위 ''i''와 −''i''가 분기점이다. 분기점을 사용하여 함수의 범위를 제한함으로써 이러한 함수를 단일 값 함수로 재정의할 수 있다. 적절한 구간은 분지 절단을 사용하여 찾을 수 있는데, 이는 분기점 쌍을 연결하는 일종의 곡선으로, 함수의 다층 리만 곡면을 단일 층으로 축소한다. 실수 함수의 경우와 마찬가지로, 제한된 범위를 함수의 ''주요 분지''라고 부를 수 있다.

폐 그래프성이나 위 및 아래의 반연속성(Hemicontinuity)과 같은 연속 개념 하에서 미분 가능하며, 또한 다가 함수의 가측성(Measurability)에도 여러 정의가 있다.

4. 예시


  • 0 < x영어를 만족하는 x∈ℝ영어에 대해 x영어의 제곱근은 ±√x영어로 2개를 가진다.
  • x≠0영어을 만족하는 x∈ℂ영어에 대해 일반적으로 ''n''제곱근은 ''n''개의 근을 가진다.
  • 복소수 로그함수는 다수의 값을 가진다. 실수 a영어, b영어에 대해 log(a+bi)영어는 모든 정수 n영어에 대해 log(√(a2+b2))+iarg(a+bi)+2πni영어의 값을 가진다.
  • 삼각함수는 주기적인 성질을 가지고 있기 때문에 역삼각함수도 다수의 값을 가진다.
  • 부정적분도 다가함수로 여겨질 수 있다.


예로 든 다가함수들은 모두 단사함수가 아닌 함수로부터 유도된 것이다.

  • 0보다 큰 모든 실수는 두 개의 실수 제곱근을 가지므로 제곱근은 다가 함수로 간주될 수 있다. 예를 들어 √4=±2={2,-2영어}로 쓸 수 있다. 0은 하나의 제곱근만 갖지만, √0={0영어}이다.
  • 각 0이 아닌 복소수는 두 개의 제곱근, 세 개의 세제곱근, 일반적으로 ''n''개의 n제곱근을 갖는다. 0의 유일한 n제곱근은 0이다.
  • 복소 로그 함수는 다가 함수이다. 실수 a영어와 b영어에 대한 log(a+bi)영어가 갖는 값은 모든 정수 n영어에 대해 log(√(a2 + b2)) + iarg(a+bi) + 2πni영어이다.
  • 역 삼각 함수는 삼각 함수가 주기적이므로 다가 함수이다.


:

\tan\left(\tfrac{\pi}{4}\right) = \tan\left(\tfrac{5\pi}{4}\right)

= \tan\left({\tfrac{-3\pi}{4}}\right) = \tan\left({\tfrac{(2n+1)\pi}{4}}\right) = \cdots = 1.



: 결과적으로, arctan(1)은 π/4영어, 5π/4영어, −3π/4영어 등과 같이 여러 값과 직관적으로 관련된다. tan ''x''의 정의역을 -π/2 < x < π/2영어로 제한하여 arctan을 단가 함수로 취급할 수 있다. 이 정의역에서 tan ''x''는 단조 증가한다. 따라서 arctan(''x'')의 치역은 -π/2 < y < π/2영어가 된다. 제한된 정의역의 이러한 값들을 ''주치''라고 한다.

  • 부정 적분은 다가 함수로 간주될 수 있다. 함수의 부정 적분은 그 함수의 도함수인 함수의 집합이다. 적분 상수는 상수 함수의 도함수가 0이라는 사실에서 비롯된다.
  • 역 쌍곡선 함수는 쌍곡선 함수가 허수 축을 따라 주기적이므로 복소수 영역에서 다가 함수이다. 실수 영역에서는 arcosh 및 arsech를 제외하고 단가 함수이다.


이들은 모두 비단사 함수에서 발생하는 다가 함수의 예이다. 원래 함수는 입력의 모든 정보를 보존하지 않으므로 가역적이지 않다. 종종 다가 함수의 제한은 원래 함수의 부분 역함수이다.

  • 0보다 큰 실수 또는 0이 아닌 복소수에 대해 그 제곱근을 계산할 수 있지만, 이는 다가 함수이다. 4의 제곱근은 {+2, -2}라는 집합이다. 0은 다항식 x2영어의 근으로 그 중복도가 2이므로, 0의 제곱근은 {0, 0}이라는 중복 집합이다.
  • 복소수에는 세 개의 세제곱근이 있다. 세제곱근 계산도 다가 함수이다.
  • 복소 로그 함수는 다가 함수이다. log 1의 값은 모든 정수 ''n''에 대해 2''πni''로 정의된다.
  • 삼각 함수는 주기 함수이므로, 그 역함수는 다가 함수이다. 예를 들어 다음 관계


:

\tan\left({\textstyle\frac{\pi}{4}}\right) = \tan\left({\textstyle\frac{5\pi}{4}}\right)

= \tan\left({\textstyle\frac{-3\pi}{4}}\right) = \tan\left({\textstyle\frac{(2n+1)\pi}{4}}\right) = \cdots = 1.



:을 보면, tan의 역함수인 arctan에 대해 arctan(1)의 값은 ''π''/4, 5''π''/4, -3''π''/4 등의 여러 값을 가진다. 여기서 tan(''x'')의 정의역을 예를 들어 -''π''/2 < ''x'' < ''π''/2로 한다, 즉 arctan(''x'')에서 -''π''/2 < arctan(''x'') < ''π''/2로 함으로써, arctan을 일가 함수로 할 수 있다. 이 범위를 제한된 정의역에서의 함수값을 주치라고 부른다.

  • 가우스 함수, 바닥 함수, 천장 함수의 역함수는, 정수를 정의역으로 하는 무한 다가 함수이다.

5. 주치 (Principal Value)

주치(主値, principal branch)는 다가 함수의 변수 x의 하나의 값에 대한 y의 값이 무수히 많은 경우에 일정 구간을 정하여 제약을 가하고 그 구간에서의 y 값을 이르는 말이다. 복소 다중값 함수에서 단일값 함수를 정의하기 위해, 여러 값 중 하나를 주값으로 구별하여 특정 경계 곡선을 따라 불연속적인 전체 평면에서 단일값 함수를 생성할 수 있다.

복소 변수의 다가 함수는 분기점을 갖는다. 예를 들어, ''n''제곱근 및 로그 함수의 경우 0이 분기점이며, 아크탄젠트 함수의 경우 허수 단위 ''i''와 −''i''가 분기점이다. 분기점을 사용하여 함수의 범위를 제한함으로써 이러한 함수를 단일 값 함수로 재정의할 수 있다. 적절한 구간은 분지 절단을 사용하여 찾을 수 있는데, 이는 분기점 쌍을 연결하는 일종의 곡선으로, 함수의 다층 리만 곡면을 단일 층으로 축소한다. 실수 함수의 경우와 마찬가지로, 제한된 범위를 함수의 ''주요 분지''라고 부를 수 있다.


  • 0보다 큰 실수 또는 0이 아닌 복소수에 대해 그 제곱근을 계산할 수 있지만, 이는 다가 함수이다. 4의 제곱근은 {+2, -2}라는 집합이다. 0은 다항식 ''x''2의 근으로 그 중복도가 2이므로, 0의 제곱근은 {0, 0}이라는 중복 집합이다.

  • 복소수에는 세 개의 세제곱근이 있다. 세제곱근 계산도 다가 함수이다.

  • 복소 로그 함수는 다가 함수이다. log 1의 값은 모든 정수 ''n''에 대해 2''πni''로 정의된다.


::

\tan\left({\textstyle\frac{\pi}{4}}\right) = \tan\left({\textstyle\frac{5\pi}{4}}\right)

= \tan\left({\textstyle\frac{-3\pi}{4}}\right) = \tan\left({\textstyle\frac{(2n+1)\pi}{4}}\right) = \cdots = 1.



:을 보면, tan의 역함수인 arctan에 대해 arctan(1)의 값은 ''π''/4, 5''π''/4, −3''π''/4 등의 여러 값을 가진다. 여기서 tan(''x'')의 정의역을 예를 들어 −''π''/2 < ''x'' < ''π''/2로 한다, 즉 arctan(''x'')에서 −''π''/2 < arctan(''x'') < ''π''/2로 함으로써, arctan을 일가 함수로 할 수 있다. 이 범위를 제한된 정의역에서의 함수값을 주치라고 부른다.

  • 가우스 함수, 바닥 함수, 천장 함수의 역함수는, 정수를 정의역으로 하는 무한 다가 함수이다.


위는 모두, 단사 함수가 아닌 함수의 역함수로서의 예이다. 즉 입력값이 원래 함수의 사상에 의해 옮겨져 출력이 될 때, 입력에 관한 정보의 일부가 결락되어 버리기 때문에, 출력으로부터 입력을 재현할 수 없는 것이다.

복소수 함수의 다가 함수는, 분기점이라고 불리는 점을 가진다. 예를 들어 ''n''차의 제곱근 또는 로그 함수에서는, 0이 분기점이다. 역 탄젠트 함수 (arctan)에서는 실수부가 0이고 허수부가 ''i'' 또는 −''i''인 점이 분기점이다. 즉 분기점은, 그 점을 사이에 두고 한쪽 영역에서는 일가, 다른 쪽 영역에서는 다가가 되는 점이다. 따라서 분기점에 있어서의 범위 제약을 함으로써, 이러한 다가 함수를 일가 함수로서 다시 정의할 수 있다. 두 개의 분기점을 잇는 곡선 중 적절한 것을 하나 선택함으로써, 그 제약을 행하는 구간도 정해진다. 이는 복수의 리만 면으로부터 하나의 면만을 선택하는 것이다. 실수 함수의 경우에, 범위를 제약하여 정해진 함수값을 주치라고 부른다.

6. 응용

다가 함수는 최적제어론, 미분 포함식(Differential inclusion), 그리고 게임 이론 등에 사용된다. 특히 게임 이론의 미분 포함식 관련 문제에서 다가 함수에 각타니의 부동점 정리를 적용하여 내시 균형의 존재를 증명한다.

물리학에서 다가 함수는 점점 더 중요한 역할을 하고 있다. 이는 폴 디랙의 자기 홀극, 결정 내 결정 결함 이론과 이로 인한 재료의 소성, 초유동체 및 초전도체 내 와류, 이러한 시스템의 상전이(예: 융해 및 쿼크 가두기)에 대한 수학적 기초를 형성한다. 이는 물리학의 여러 분야에서 게이지 장 구조의 기원이다.

7. 종류


  • x영어가 0보다 큰 실수일 때, x영어의 제곱근은 \(\pm\sqrt{x}\)로 2개를 가진다.
  • x영어가 0이 아닌 복소수일 때, 일반적으로 ''n''제곱근은 ''n''개의 근을 가진다.
  • 복소수 로그함수는 다수의 값을 가진다. 실수 a영어, b영어에 대해 \(\log{(a+bi)}\)는 모든 정수 n영어에 대해 \(\log{\sqrt{a^2+b^2}}+i\arg{(a+bi)}+2\pi ni\)의 값을 가진다.
  • 삼각함수는 주기적인 성질을 가지고 있기 때문에 역삼각함수도 다수의 값을 가진다.
  • 부정적분도 다가함수로 여겨질 수 있다.


예로 든 다가함수들은 모두 단사함수가 아닌 함수로부터 유도된 것이다. 반연속성과 같은 연속 개념 하에서 미분 가능하며, 또한 다가 함수의 가측성에도 여러 정의가 있다.

참조

[1] 웹사이트 Multivalued Function https://archive.lib.[...] 2024-10-25
[2] 웹사이트 Multiple Valued Functions {{!}} Complex Variables with Applications {{!}} Mathematics https://ocw.mit.edu/[...] 2024-10-25
[3] 논문 Modified Reconstructability Analysis for Many-Valued Functions and Relations https://pdxscholar.l[...] 2004-01-01
[4] 논문 Implicit Multifunction Theorems https://scholarworks[...] 1999-09-01
[5] 웹사이트 Multivalued Function https://mathworld.wo[...] 2024-02-10
[6] 서적 Continuous selections of multivalued mappings https://www.worldcat[...] Kluwer Academic 1998
[7] 서적 New Developments in Contact Problems https://books.google[...] Springer 2014-05-04
[8] 문서 E. Michael, Continuous selections I" Ann. of Math. (2) 63 (1956) (英語)
[9] 문서 D. Repovs, P.V. Semenov, Ernest Michael and theory of continuous selections" arXiv:0803.4473v1 (英語)


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