단면환

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 관련 개념
5. 역사
참조

1. 개요

단면환은 대수적으로 닫힌 체 K 위의 대수다양체 X와 가역층 L이 주어졌을 때, 가역층 L의 단면들로 구성된 등급 대수이다. 단면환은 K-벡터 공간이며, 사영 공간으로의 유리 사상을 정의한다. 이 사영 공간의 차원을 L의 이타카 차원이라고 하며, L이 효과적 인자가 아닐 경우 이타카 차원은 -∞로 정의된다. 또한, 단면환과 관련된 개념으로 고다이라 차원, 큰 가역층, 이타카 추측 등이 있으며, 이타카 추측은 대수다양체 분류에 중요한 미해결 문제로 남아 있다.

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단면환
정의
유형	유리 사상
정의	대수다양체 V의 단면환의 차원 - 1
로마자 표기	Iitaka dimension
역사
창시자	이이타카 시게루(1970년-1971년)

2. 정의

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 대수다양체 $X$ 와 그 위에 주어진 가역층 $\mathcal L$ 에 대하여, $\mathcal L$ 의 단면환 $\operatorname R(\mathcal L)$ 은 $\mathcal L$ 의 텐서 거듭제곱 $\mathcal L^{\otimes n}$ (여기서 $n$ 은 음이 아닌 정수)들의 전역 단면 공간 $\Gamma(X;\mathcal L^{\otimes n})$ 들을 모아 만든 등급 대수이다. 즉, $n$ 차 등급 성분은 $\mathcal L^{\otimes n}$ 의 전역 단면들로 구성된다.

2. 1. 단면환

다음이 주어졌다고 하자.

대수적으로 닫힌 체 $K$
$K$ 위의 대수다양체 $X$
$X$ 위의 가역층 $\mathcal L$

그렇다면, 다음과 같은, 자연수(음이 아닌 정수) 등급의,

K

위의 등급 대수를 정의할 수 있다.

:

\operatorname R(\mathcal L) = \bigoplus_{n=0}^\infty\Gamma(X;\mathcal L^{\otimes n})

:

\operatorname R^n(\mathcal L) = \Gamma(X;\mathcal L^{\otimes n})

여기서

\Gamma(X;\mathcal L^{\otimes n})

은 가역층

\mathcal L^{\otimes n}

의 단면 공간을 나타낸다. 즉,

n

차 등급의 원소는 가역층

\mathcal L^{\otimes n}

의 단면이다. 이를

\mathcal L

의 단면환이라고 한다.

단면환은

K

-벡터 공간이며, 항상 단면들로 정의되는, 사영 공간으로의 유리 사상

:

X \to \mathbb P(\operatorname R(\mathcal L)) \cong \mathbb P_K^{\dim_K\operatorname R(\mathcal L)-1}

이 존재한다. 이 사영 공간의 차원(즉, 단면환의 차원 빼기 1)을

\mathcal L

의 이타카 차원이라고 한다. 다만, 만약

\mathcal L

이 효과적 인자가 아니어서 단면을 가지지 않는다면, 이타카 차원은

-\infty

로 놓는다.

2. 2. 이타카 차원

단면환

\operatorname R(\mathcal L)

은 벡터 공간이며, 이 단면환의 원소들(단면들)을 이용하여 대수다양체

X

에서 사영 공간

\mathbb P(\operatorname R(\mathcal L))

으로 가는 유리 사상을 정의할 수 있다.

:

X \dashrightarrow \mathbb P(\operatorname R(\mathcal L)) \cong \mathbb P_K^{\dim_K\operatorname R(\mathcal L)-1}

이 사영 공간의 차원, 즉 단면환

\operatorname R(\mathcal L)

의

K

-벡터 공간으로서의 차원에서 1을 뺀 값(

\dim_K\operatorname R(\mathcal L)-1

)을 가역층

\mathcal L

의 '''이타카 차원'''이라고 한다.

만약

\mathcal L

이 효과적 인자가 아니어서 단면을 전혀 가지지 않는 경우 (즉,

\operatorname R(\mathcal L)

이 0차 외에는 모두 0인 경우), 이타카 차원은

-\infty

로 정의한다.

매끄러운 대수다양체의 표준 번들의 이타카 차원은 해당 다양체의 고다이라 차원과 같다.

2. 3. 큰 가역층

다음 조건들은 서로 동치이며, 이 조건들을 만족시키는 가역층

\mathcal L

을 '''큰 가역층'''(big invertible sheaf^영어)이라고 한다. 이는 대응하는 선다발(또는 직선 다발)이 '''크다'''(big^영어)고 말하는 것과 같다.

$\mathcal L$ 은 풍부한 가역층과 효과적 가역층의 텐서곱으로 나타낼 수 있다.
이타카 차원이 기저 다양체 $X$ 의 차원과 같다. 즉, $\kappa(\mathcal L) = \dim X$ 이다.
단면환 $R(\mathcal L) = \bigoplus_{d=0}^\infty H^0(X, \mathcal L^{\otimes d})$ 의 힐베르트 다항식의 차수가 $\dim X$ 이다.

'크다'는 성질은 쌍유리 변환에 대하여 불변이다. 즉, 만약

f : Y \to X

가 다양체 사이의 쌍유리 사상이고

\mathcal L

이

X

위의 큰 가역층(또는 선다발)이라면, 당김

f^*\mathcal L

은

Y

위의 큰 가역층(또는 선다발)이다. 이 성질 때문에 큰 가역층은 쌍유리 기하학에서 중요하게 사용된다.

모든 풍부한 선다발은 큰 선다발이다.

그러나 큰 선다발이라고 해서 항상

X

와 그 상(image) 사이의 쌍유리 동형사상을 정의하는 것은 아니다. 예를 들어,

C

가 초타원 곡선(예: 종수가 2인 곡선)일 경우, 그 표준 선다발

\omega_C

는 크지만, 이 선다발에 의해 정의되는 유리 사상

\phi_

: C \dashrightarrow \mathbb{P}^{\dim H^0(C, \omega_C) - 1}은 쌍유리 동형사상이 아니다. 대신 이 사상은

C

의 표준 곡선(이 경우는 유리 정규 곡선) 위로의 2:1 덮개 사상이다.

3. 성질

다음 조건들은 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 가역층을 '''큰 가역층'''(big invertible sheaf^영어)이라고 한다.^[1]^[2]

$\mathcal L$ 은 풍부한 가역층과 효과적 가역층의 텐서곱으로 나타낼 수 있다.
이타카 차원이 기저 다양체의 차원 $\dim X$ 와 같다. 즉, 이타카 차원이 최대값을 갖는다.
단면환의 힐베르트 다항식 차수가 $\dim X$ 이다.

'크다'는 성질은 쌍유리 변환에 대하여 불변이며, 따라서 쌍유리 기하학에서 중요하게 사용된다.^[1]^[2] 구체적으로, ''f'' : ''Y'' → ''X''가 다양체의 쌍유리 사상이고, ''L''이 ''X'' 위의 큰 가역층이면, ''f''^*''L''은 ''Y'' 위의 큰 가역층이다.

모든 풍부한 가역층은 큰 가역층이다.

그러나 큰 가역층이라고 해서 항상 다양체 ''X''와 그 상 사이의 쌍유리 동형사상을 결정하는 것은 아니다. 예를 들어, ''C''가 초타원 곡선(예: 종수 2인 곡선)이라고 할 때, 그 표준 가역층은 크지만, 이것이 결정하는 유리 사상은 쌍유리 동형사상이 아니다. 대신, 이 사상은 ''C''의 표준 곡선(유리 정규 곡선)에 대한 2:1 덮개이다.

4. 관련 개념

단면환의 구조와 성질을 이해하는 것은 대수기하학, 특히 복소다양체의 분류 이론에서 매우 중요하다. 단면환과 관련된 주요 개념으로는 다음과 같은 것들이 있다.

'''고다이라 차원''': 대수다양체의 중요한 쌍유리 불변량으로, 표준 선다발의 이타카 차원으로 정의된다. 단면환의 증가율과 밀접한 관련이 있다.
'''m-종수''': 표준 선다발의 거듭제곱( $K^m$ )의 정칙 단면 공간의 차원으로 정의되며, 다양체의 기하학적 성질을 반영하는 불변량이다.
'''이타카 섬유 공간''': 고다이라 차원이 0과 최대 차원 사이에 있는 다양체를 분석하기 위한 중요한 도구로, m-다중정칙 사상을 통해 구성된다. 일반적인 올(fiber)의 고다이라 차원은 0이다.
'''이타카 추측''': 섬유 공간 구조에서 전체 공간, 밑공간, 일반 올의 고다이라 차원 사이의 관계에 대한 중요한 추측이다.

이러한 개념들은 단면환의 점근적 행동을 연구하고, 이를 통해 대수다양체의 기하학적 구조와 분류를 이해하는 데 핵심적인 역할을 한다.

4. 1. 고다이라 차원

매끄러운 대수다양체의 표준 다발의 이타카 차원은 그 고다이라 차원이라고 불린다.

4. 2. m-종수

복소 다양체 M에서 W로의 m-다중정칙 사상은 섬유 공간 구조를 유도한다.

복소 대수다양체 M을 생각하자.

M 위의 표준 번들을 K라고 하자. K^m의 정칙 단면 공간 H⁰(M, K^m)의 차원을 P_m(M)으로 표기하며, 이를 '''m-종수'''(m-genus)라고 부른다.

:

N(M)=\{m\ge1|P_m(M)\ge1\}

로 정의하면, N(M)은 0이 아닌 m-종수를 갖는 모든 양의 정수의 집합이 된다. N(M)이 공집합이 아닐 경우,

m\in N(M)

에 대해 m-다중정칙 사상

\Phi_{mK}

는 다음과 같이 정의된다.

:

\begin{align}\Phi_{mK}: & M\longrightarrow\ \ \ \ \ \ \mathbb{P}^N \\& z\ \ \ \mapsto\ \ (\varphi_0(z):\varphi_1(z):\cdots:\varphi_N(z))\end{align}

여기서

\varphi_i

는 H⁰(M, K^m)의 기저이다. 그러면

\Phi_{mK}

의 이미지

\Phi_{mK}(M)

은 사영 공간

\mathbb{P}^N

의 부분 다양체로 정의된다.

어떤

m

에 대해

\Phi_{mk}:M\rightarrow W=\Phi_{mK}(M)\subset \mathbb{P}^N

을 m-다중정칙 사상이라고 하자. 여기서 W는 사영 공간 '''P'''^N에 매장된 복소 다양체이다.

고다이라 차원 κ(M)=1인 곡면의 경우, 위의 W는 곡선 C로 대체되며, 이는 타원 곡선(κ(C)=0)이다. 이 사실을 일반적인 차원으로 확장하여 오른쪽 상단 그림에 묘사된 해석적 섬유 구조를 얻을 수 있다.

쌍유리 사상

\varphi:M \longrightarrow W

가 주어지면, m-다중정칙 사상은 왼쪽 그림에 묘사된 가환 다이어그램을 만족시킨다. 이는

\Phi_{mK}(M)=\Phi_{mK}(W)

임을 의미하며, 즉 m-종수는 쌍유리 불변량이다.

이이타카 시게오(飯高茂)는 n차원 콤팩트 복소 다양체 M의 고다이라 차원 κ(M)이 1 ≤ κ(M) ≤ n-1을 만족할 경우, 충분히 큰 정수 m₁, m₂에 대해, m₁-다중정칙 사상

\Phi_{m_1K}:M\longrightarrow W_{m_1}(M)

과 m₂-다중정칙 사상

\Phi_{m_2K}:M\longrightarrow W_{m_2}(M)

의 상(image)인

W_{m_1}(M)

과

W_{m_2}(M)

이 쌍유리 동치임을 보였다. 즉, 오른쪽 그림과 같이 쌍유리 사상

\varphi:W_{m_1}\longrightarrow W_{m_2}(M)

가 존재하여 다이어그램이 가환한다.

더 나아가, M과 쌍유리 동치인

M^*

와,

W_{m_1}

및

W_{m_2}

모두와 쌍유리 동치인

W^*

를 적절히 선택하여 다음 조건을 만족하는 쌍유리 사상

\Phi : M^* \longrightarrow W^*

를 찾을 수 있다.

$\Phi$ 의 섬유는 단순 연결이다.
$\Phi$ 의 일반적인 섬유 $M^*_w:= \Phi^{-1}(w),\ \ w\in W^*$ 는 고다이라 차원 0을 갖는다.

위와 같은 섬유 구조를 '''이이타카 섬유 공간'''(Iitaka fiber space)이라고 부른다. 곡면 S (n = 2 = dim(S))의 경우, W^*는 대수 곡선이고, 섬유 구조는 차원이 1이며, 일반 섬유는 고다이라 차원 0, 즉 타원 곡선이다. 따라서 S는 타원 곡면이다. 이러한 사실은 일반적인 차원 n으로 확장될 수 있다. 결과적으로 고차원 쌍유리 기하학 연구는 κ = -∞, 0, n인 경우와, 섬유가 κ=0인 섬유 공간의 연구로 분해된다.

다음은 이이타카가 제시한 추측으로, '''이이타카 추측'''(Iitaka conjecture)이라고 불리며, 대수 다양체 또는 콤팩트 복소 다양체의 분류에 중요하다.
이이타카 추측m차원 다양체

V

에서 n차원 다양체

W

로 가는 섬유 공간

f:V\rightarrow W

가 주어지고, 각 섬유

V_w=f^{-1}(w)

가 연결되어 있다고 하자. 그러면 다음 부등식이 성립한다.

:

\kappa(V)\ge\kappa(V_w)+\kappa(W).

이 추측은 모이셰존 다양체의 경우와 같이 부분적으로만 풀렸다. 분류 이론은 이이타카 추측을 풀고, 이를 통해 3차원 다양체 V가 아벨 다양체가 되는 것과 κ(V)=0이고 q(V)=3인 것이 동치라는 정리 및 그 일반화를 이끌어내려는 노력으로 볼 수 있다. 극소 모델 프로그램 역시 이 추측과 관련이 있을 수 있다.

4. 3. 이타카 섬유 공간

복소 다양체 M 위의 표준 선다발(canonical bundle)을 K라고 하자. K^m의 정칙 단면 공간 H⁰(M, K^m)의 차원 P_m(M)을 '''m-종수'''라고 부른다. m-종수가 0이 아닌 양의 정수 m에 대해, m-다중정칙 사상(pluricanonical map)

\Phi_{mK}

는 H⁰(M, K^m)의 기저

(\varphi_0, \dots, \varphi_N)

를 이용하여 다음과 같이 정의된다.

:

\begin{align}\Phi_{mK}: & M\longrightarrow\ \ \ \ \ \ \mathbb{P}^N \\& z\ \ \ \mapsto\ \ (\varphi_0(z):\varphi_1(z):\cdots:\varphi_N(z))\end{align}

여기서

\mathbb{P}^N

은 사영 공간이며, 사상의 상

W = \Phi_{mK}(M)

는

\mathbb{P}^N

안의 부분 다양체가 된다.

이이타카 시게오飯高茂^일본어는 n차원 콤팩트 복소다양체 M의 고다이라 차원 κ(M)이

1 \le \kappa(M) \le n-1

을 만족할 때 중요한 결과를 제시했다.^[1]^[2] 그는 충분히 큰 양의 정수 m₁, m₂에 대해, 두 m-다중정칙 사상의 상

W_{m_1} = \Phi_{m_1K}(M)

과

W_{m_2} = \Phi_{m_2K}(M)

가 서로 쌍유리 동치(birationally equivalent)임을 보였다. 즉, 두 상 사이에 쌍유리 사상

\psi: W_{m_1} \longrightarrow W_{m_2}

가 존재한다.

더 나아가, 이이타카는 M과 쌍유리 동치인 다양체

M^*

와, 모든

W_m

과 쌍유리 동치인 다양체

W^*

를 적절히 선택하면 다음 조건을 만족하는 쌍유리 사상

\Phi : M^* \longrightarrow W^*

를 구성할 수 있음을 보였다.

$\Phi$ 의 일반적인 섬유(fiber) $M^*_w = \Phi^{-1}(w)$ (여기서 $w \in W^*$ )는 연결 공간이다.
일반적인 섬유 $M^*_w$ 의 고다이라 차원은 0이다 ( $\kappa(M^*_w) = 0$ ).

이렇게 구성된 섬유화 구조

\Phi : M^* \longrightarrow W^*

를 '''이타카 섬유 공간'''(Iitaka fibration^영어) 또는 '''이타카 파이버 공간'''이라고 부른다.

예를 들어, 대수 곡면 S (즉, n=2)의 고다이라 차원이 κ(S) = 1인 경우, 밑공간

W^*

는 대수 곡선이 되고 일반적인 섬유

M^*_w

는 고다이라 차원이 0인 곡선, 즉 타원 곡선이 된다. 따라서 이 경우 곡면 S는 타원 곡면과 쌍유리 동치이다. 이러한 결과는 더 높은 차원으로 일반화될 수 있다. 이타카 섬유 공간의 개념은 고차원 쌍유리 기하학 연구에서 다양체를 분류하는 데 중요한 역할을 한다. 연구는 주로 고다이라 차원이 κ = -∞, 0, n인 다양체들과, 일반 섬유의 고다이라 차원이 0인 이타카 섬유 공간으로 나누어 진행된다.

4. 4. 이타카 추측

이이타카 시게오(飯高茂|이이타카 시게오^일본어)가 제시한 다음 공식은 '''이이타카 추측'''(Iitaka conjecture^영어)이라고 불리며, 대수다양체 또는 콤팩트 복소다양체의 분류에 있어서 중요하다.

'''이이타카 추측'''

f\colon V\rightarrow W

를 ''m''차원 다양체 ''V''에서 ''n''차원 다양체 ''W''로 가는 파이버 공간으로 하고, 각 파이버

V_w=f^{-1}(w)

는 연결되어 있다고 가정한다. 이때 다음 부등식이 성립한다.

:

\kappa(V)\ge\kappa(V_w)+\kappa(W).

여기서

\kappa

는 고다이라 차원을 나타낸다.

이 추측은 아직 완전히 해결되지 않았으며, 부분적으로만 증명되었다. 예를 들어 모이셰존 다양체의 경우 이 추측이 성립한다. 대수다양체 분류 이론은 이이타카 추측을 증명하고, 이를 바탕으로 다른 정리들을 이끌어내려는 노력으로 볼 수 있다. 예를 들어, 3차원 다양체 ''V''가 아벨 다양체인 것과

\kappa(V) = 0

이고 ''q''(''V'') = 3인 것이 동치라는 정리 및 그 일반화 등이 있다. 극소 모델 프로그램 역시 이 추측과 관련이 있을 것으로 여겨진다.

이 추측의 배경에는 '''이이타카 파이버 공간'''이라는 개념이 있다. ''n''차원 콤팩트 복소다양체 ''M''의 고다이라 차원

\kappa(M)

이

1 \le \kappa(M) \le n-1

을 만족할 때, 충분히 큰 ''m''에 대해 ''m''-중다중 사상

\Phi_{mK}: M \longrightarrow W_m(M)

을 정의할 수 있다. 여기서

W_m(M)

은 사상의 상이다. 이이타카는 서로 다른 충분히 큰

m_1, m_2

에 대해 그 상

W_{m_1}(M)

과

W_{m_2}(M)

이 쌍유리 동치임을 보였다.

나아가,

M

과 쌍유리 동치인

M^*

와

W_m(M)

과 쌍유리 동치인

W^*

를 적절히 선택하면, 쌍유리 사상

\Phi : M^* \longrightarrow W^*

가 존재하며, 이 사상의 일반적인 파이버

M^*_w = \Phi^{-1}(w)

는 고다이라 차원

\kappa(M^*_w) = 0

을 갖도록 만들 수 있다. 이러한 구조를 이이타카 파이버 공간이라고 부른다.

이 구조는 고차원 쌍유리 기하학 연구에서 중요한 역할을 한다. 다양체 연구를

\kappa = -\infty, 0, n

인 경우와, 파이버의 고다이라 차원이 0인 파이버 공간(

\kappa = 1, \dots, n-1

인 경우에 해당)으로 나누어 분석할 수 있게 해주기 때문이다. 이이타카 추측은 이러한 파이버 공간 구조에서 전체 다양체 ''V'', 일반 파이버 ''V_w'', 밑공간 ''W''의 고다이라 차원 사이의 관계를 설명하는 핵심적인 내용이다.

5. 역사

이타카 시게루(일본어: 飯高茂, 飯高茂|이타카 시게루^일본어, 1942~)가 고다이라 차원의 개념을 “D-차원”(D-dimension^영어)이라는 이름으로 도입하였다.^[1]^[2]

다음 논의는 복소 대수다양체를 대상으로 한다.

''M'' 위의 표준 번들을 ''K''라고 하자. ''K^m''의 정칙 단면 공간 ''H''⁰(''M'', ''K''^''m'')의 차원을 ''P_m''(''M'')으로 표기하며, 이를 '''m-종수'''(''m''-genus)라고 부른다.

:

N(M)=\{m\ge1\mid P_m(M)\ge1\}

라고 정의하면, ''N''(''M'')은 0이 아닌 ''m''-종수를 갖는 모든 양의 정수 집합이다. ''N''(''M'')이 공집합이 아닐 경우,

m\in N(M)

에 대해 ''m''-다중정칙 사상

\Phi_{mK}

는 다음과 같이 정의된다.

:

\begin{align}\Phi_{mK}: & M\longrightarrow\ \ \ \ \ \ \mathbb{P}^N \\& z\ \ \ \mapsto\ \ (\varphi_0(z):\varphi_1(z):\cdots:\varphi_N(z))\end{align}

여기서

\varphi_i

는 ''H''⁰(''M'', K^''m'')의 기저이다. 그러면 사상

\Phi_{mK}

의 상(image)

\Phi_{mK}(M)

은 사영 공간

\mathbb{P}^N

의 부분 다양체로 정의된다. ''W'' =

\Phi_{mK}(M)

라고 하자.

고다이라 차원 κ(''M'') = 1인 곡면의 경우, 위에서 정의된 ''W''는 타원 곡선(κ(''C'') = 0)인 곡선 ''C''가 된다. 이 사실을 일반적인 차원으로 확장하여 해석적 섬유 구조를 얻는 것이 목표이다.

만약 쌍유리 사상

\varphi\colon M \longrightarrow W

가 주어지면, ''m''-다중정칙 사상은 왼쪽 그림과 같은 가환 다이어그램을 만족시킨다. 이는

\Phi_{mK}(M)=\Phi_{mK}(W)

임을 의미하며, 즉 ''m''-종수는 쌍유리 불변량이다.

이타카 시게루는 ''n''차원 콤팩트 복소다양체 ''M''의 고다이라 차원 κ(''M'')이 1 ≤ κ(''M'') ≤ ''n'' − 1을 만족할 때, 충분히 큰 ''m''₁, ''m''₂에 대해 두 사영 다양체

W_{m_1} = \Phi_{m_1K}(M)

과

W_{m_2} = \Phi_{m_2K}(M)

가 서로 쌍유리 동치임을 보였다. 즉, 오른쪽 그림과 같이 이들을 연결하는 쌍유리 사상

\psi\colon W_{m_1}\longrightarrow W_{m_2}

가 존재한다.

더 나아가,

M

과 쌍유리 동치인

M^*

와, 모든

W_m

에 쌍유리 동치인

W^*

를 적절히 선택하여 다음 조건을 만족하는 쌍유리 사상

\Phi : M^* \longrightarrow W^*

를 구성할 수 있다:

$\Phi$ 의 섬유(fiber)는 단일 연결이다.
$\Phi$ 의 일반적인 섬유 $M^*_w:= \Phi^{-1}(w)$ (단, $w\in W^*$ )는 고다이라 차원 0을 갖는다.

위와 같이 구성된 섬유 구조

\Phi : M^* \longrightarrow W^*

를 '''이타카 섬유 공간'''(Iitaka fiber space)이라고 부른다. 예를 들어, 곡면 ''S'' (''n'' = 2 = dim(''S''))의 경우, ''W''^*는 대수 곡선이고 섬유는 1차원이며 일반 섬유는 고다이라 차원 0인 타원 곡선이다. 따라서 ''S''는 타원 곡면이 된다. 이 구성은 일반적인 차원 ''n''으로 확장될 수 있다. 결과적으로 고차원 쌍유리 기하학 연구는 κ = −∞, 0, ''n''인 경우와, 섬유가 κ = 0인 이타카 섬유 공간의 연구로 분해될 수 있다.

이타카는 대수다양체 또는 콤팩트 복소다양체의 분류에서 중요한 역할을 하는 다음 부등식을 추측했으며, 이를 '''이타카 추측'''(Iitaka conjecture)이라고 부른다.

>

f\colon V\rightarrow W

를 ''m''차원 다양체 ''V''에서 ''n''차원 다양체 ''W''로 가는 전사 정칙 사상(surjective morphism)으로, 모든 섬유

V_w=f^{-1}(w)

가 연결되어 있다고 가정하자. 이때 다음 부등식이 성립한다.

> :

\kappa(V)\ge\kappa(V_w)+\kappa(W)

> 여기서

V_w

는 일반적인 섬유(generic fiber)를 나타낸다.

이 추측은 아직 완전히 해결되지 않았으나, 모이셰존 다양체(Moishezon manifold) 등 일부 경우에 대해서는 증명되었다. 대수다양체 분류 이론의 발전은 이타카 추측을 증명하려는 노력과 밀접하게 연관되어 있으며, 예를 들어 3차원 다양체 ''V''가 아벨 다양체일 필요충분조건이 κ(''V'') = 0이고 ''q''(''V'') = 3이라는 정리(및 그 일반화)를 이끌어내는 데 기여했다. 최소 모형 프로그램(Minimal Model Program) 역시 이 추측과 관련이 깊은 것으로 여겨진다.

참조

_[1] 저널 On D-dimensions of algebraic varieties
_[2] 저널 On D-dimensions of algebraic varieties.

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