단순군

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 유한 단순군
- 3.2. 무한 단순군
4. 예제
5. 유한 단순군의 분류
- 5.1. 분류 목록
6. 유한 단순군의 구조
7. 단순군이 아닌 경우 판정
- 7.1. 실로우 판정법
- 7.2. 번사이드 판정법
8. 유한 단순군의 역사
- 8.1. 구성
- 8.2. 분류
참조

1. 개요

단순군은 정규 부분군이 자기 자신과 항등원뿐인 군을 의미한다. 아벨 단순군은 소수 위수의 순환군과 동치이며, 비아벨 단순군 분류는 더 복잡하다. 최소 비아벨 단순군은 위수 60의 교대군 A5이며, 유한 단순군은 유한군의 기본적인 구성 요소로 여겨진다. 무한 교대군 A∞와 같은 무한 단순군도 존재하며, 유한 단순군은 소수 차수의 순환군, n ≥ 5인 교대군, 리 유형 군 16가지, 26개의 산재군으로 분류된다. 유한 단순군 분류는 1981년 다니엘 고렌스틴에 의해 완료되었다고 선언되었으나, 2004년 마이클 아시바커와 스티븐 스미스의 연구로 완결되었다.

2. 정의

군 $G$ 가 다음 조건을 만족시키면, '''단순군'''이라고 한다.

만약 $N\triangleleft G$ 라면, $N=1$ 이거나 $N=G$ 이다.

3을 법으로 한 동치류(합동 산술 참조)에 의해 만들어지는 순환군 ''G'' = '''Z'''/3'''Z'''는 단순군이다. ''H''를 이 군의 부분군이라고 하면, 그 위수(원소의 수)는 ''G''의 위수(3)의 약수여야 한다. 3은 소수이므로, 약수는 1과 3뿐이다. 따라서 ''H''는 ''G''와 일치하거나, 혹은 자명군이다. 반면에, 군 ''G'' = '''Z'''/12'''Z'''는 단순군이 아니다. 각각 0, 4, 8의 법 12에서의 동치류를 원소로 갖는 집합 ''H''는 위수 3의 부분군이며, 아벨 군의 임의의 부분군은 정규 부분군이므로, ''H''는 정규 부분군이다. 마찬가지로, 정수의 덧셈군은 단순군이 아니다. 짝수 전체의 집합은 자명하지 않은 진부분군이며, 따라서 정규 부분군이다.

이와 유사한 고찰을 임의의 아벨 군에 대해 수행하면, 단순 아벨 군은 소수 위수의 순환군뿐이라는 것을 알 수 있다.

3. 성질

아벨 군은 소수 위수의 순환군만이 단순군이며, 비아벨 단순군 분류는 이보다 복잡하다. 가장 작은 비아벨 단순군은 위수 60의 교대군 ''A''₅이며, 위수 60인 모든 단순군은 ''A''₅와 동형이다. 두 번째로 작은 비아벨 단순군은 위수 168의 사영 특수 선형군 PSL(2,7)이다.^[5]

무한 단순군의 예로는 무한 교대군 $A_\infty$ 와 무한체 $F$ 에 대한 $PSL_n(F)$ ( $n\geq2$ )가 있다. 그레이엄 하이먼은 하이먼 군의 단순 몫으로 최초의 비명시적 ''유한 생성'' 무한 단순군의 존재를 증명했으며, 유한 표시로 판명되는 명시적인 예시에는 무한 톰슨 군 $T$ 와 $V$ 가 있다.^[6]

3. 1. 유한 단순군

아벨 단순군, 순환 단순군, 소수 크기의 군은 서로 동치이다.

유한 단순군은 크게 18개의 계열과 26개의 예외적인 산재군으로 분류된다.

$\mathbb{Z}_p$ – 소수 차수의 순환군
$A_n$ – $n\geq5$ 에 대한 교대군
: 교대군은 원소 1을 갖는 체에 대한 리 유형 군으로 간주될 수 있으며, 이는 이 계열을 다음 계열과 통합하므로, 비가환 유한 단순군의 모든 계열이 리 유형으로 간주될 수 있다.
리 유형 군 또는 그 도함수 중 16개 계열
: 티츠 군은 엄밀히 말해 리 유형이 아니지만, 리 유형의 군에서 지수 2를 가지기 때문에 일반적으로 이 형식으로 간주된다.
26개의 예외 중 하나인 산재군
: 이 중 20개는 몬스터 군의 부분군 또는 부분상군이며 "행복한 가족"이라고 불리고, 나머지 6개는 패리아 군이라고 불린다.

3을 법으로 한 동치류(합동 산술 참조)에 의해 만들어지는 순환군 ''G'' = '''Z'''/3'''Z'''는 단순군이다. ''H''를 이 군의 부분군이라고 하면, 그 위수(원소의 수)는 ''G''의 위수(3)의 약수여야 한다. 3은 소수이므로, 약수는 1과 3뿐이다. 따라서 ''H''는 ''G''와 일치하거나, 혹은 자명군이다. 반면에, 군 ''G'' = '''Z'''/12'''Z'''는 단순군이 아니다. 각각 0, 4, 8의 법 12에서의 동치류를 원소로 갖는 집합 ''H''는 위수 3의 부분군이며, 아벨 군의 임의의 부분군은 정규 부분군이므로, ''H''는 정규 부분군이다. 마찬가지로, 정수의 덧셈군은 단순군이 아니다. 짝수 전체의 집합은 자명하지 않은 진부분군이며, 따라서 정규 부분군이다.

이와 유사한 고찰을 임의의 아벨 군에 대해 수행하면, 단순 아벨 군은 소수 위수의 순환군뿐이라는 것을 알 수 있다. 비아벨 단순군에 대한 분류는 훨씬 더 복잡하다. 최소의 비아벨 단순군은 위수 60의 교대군 ''A''₅이며, 임의의 위수 60의 단순군은 ''A''₅에 동형이다. 두 번째로 작은 비아벨 단순군은 위수 168의 사영 특수 선형군 PSL(2,7)이며, 임의의 위수 168의 단순군은 PSL(2,7)에 동형임을 증명할 수 있다.

3. 2. 무한 단순군

무한 교대군

A_\infty

, 즉 정수의 짝수 유한 지지 순열의 군은 단순군이다. 이 군은 표준 매입

A_n \rightarrow A_{n+1}

에 대해 유한 단순군

A_n

의 증가하는 합집합으로 쓸 수 있다. 또 다른 무한 단순군 예시는

PSL_n(F)

로 주어지며, 여기서

F

는 무한체이고

n\geq2

이다.^[5]

그레이엄 하이먼은 하이먼 군의 단순 몫으로 최초의 비명시적 ''유한 생성'' 무한 단순군의 존재를 증명하였다. 유한 표시로 판명되는 명시적인 예에는 무한 톰슨 군

T

와

V

가 포함된다. 버거와 모제스는 유한 표시 꼬임이 없는 무한 단순군을 구성했다.^[6]

4. 예제

순환군 $G=(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z},+)=\mathbb{Z}_3$ 은 모듈로 3 합동류에 대해 단순군이다. 군 $G$ 의 부분군 $H$ 의 차수 (원소의 개수)는 $G$ 의 차수인 3의 약수여야 한다. 3은 소수이므로, 약수는 1과 3뿐이다. 따라서 $H$ 는 $G$ 이거나 자명군이다. 반면에, 군 $G=(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z},+)=\mathbb{Z}_{12}$ 는 단순군이 아니다. 0, 4, 8의 합동류 집합 $H$ 는 차수가 3인 부분군이며, 아벨 군의 모든 부분군은 정규 부분군이므로 정규 부분군이다.^[1]

$G' = \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ 는 단순군이 아니다. $H' = \{12\mathbb{Z}, 4+12\mathbb{Z}, 8+12\mathbb{Z}\}$ 는 차수가 3인 정규부분군이다. (아벨 군의 임의의 부분군은 정규부분군이다.) 정수 전체의 덧셈군 $\mathbb{Z}$는 단순군이 아니다. 짝수들의 집합은 자명하지 않은 정규 진부분군이 되기 때문이다.^[1]

4. 1. 유한 단순군

순환군

G=(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z},+)=\mathbb{Z}_3

은 모듈로 3 합동류에 대해 단순군이다. 군

G

의 부분군

H

의 차수 (원소의 개수)는

G

의 차수인 3의 약수여야 한다. 3은 소수이므로, 약수는 1과 3뿐이다. 따라서

H

는

G

이거나 자명군이다. 반면에, 군

G=(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z},+)=\mathbb{Z}_{12}

는 단순군이 아니다. 0, 4, 8의 합동류 집합

H

는 차수가 3인 부분군이며, 아벨 군의 모든 부분군은 정규 부분군이므로 정규 부분군이다.^[1]

모든 아벨 군에 대해 같은 방식으로 추론하면, 유일한 단순 아벨 군은 소수 차수의 순환군임을 알 수 있다. 비아벨 단순군의 분류는 훨씬 더 복잡하다. 가장 작은 비아벨 단순군은 차수가 60인 교대군

A_5

이며, 차수가 60인 모든 단순군은

A_5

와 군 동형이다.^[2] 두 번째로 작은 비아벨 단순군은 차수가 168인 사영 특수 선형군 PSL(2,7)이며, 차수가 168인 모든 단순군은 PSL(2,7)과 동형이다.^[3]^[4]

4. 2. 무한 단순군

무한 교대군

A_\infty

, 즉 정수의 짝수 유한 지지 순열의 군은 단순군이다. 이 군은 표준 매입

A_n \rightarrow A_{n+1}

에 대해 유한 단순군

A_n

의 증가하는 합집합으로 쓸 수 있다.^[5] 또 다른 무한 단순군의 예로는

PSL_n(F)

가 있으며, 여기서

F

는 무한체이고

n\geq2

이다.

유한 표시로 판명되는 명시적인 예로는 무한 톰슨 군

T

와

V

가 있다.^[6]

4. 3. 단순군이 아닌 예

순환군

G' = \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}

는 단순군이 아니다.

H' = \{12\mathbb{Z}, 4+12\mathbb{Z}, 8+12\mathbb{Z}\}

는 차수가 3인 정규부분군이다. (아벨 군의 임의의 부분군은 정규부분군이다.) 정수 전체의 덧셈군 $\mathbb{Z}$는 단순군이 아니다. 짝수들의 집합은 자명하지 않은 정규 진부분군이 되기 때문이다.^[1]

5. 유한 단순군의 분류

유한 단순군의 분류는 수학에서 아주 중요한 문제였다. 1981년 다니엘 고렌스틴이 이 문제를 해결했다고 선언했으나, 증명 과정에서 일부 문제가 발견되었다. 이후 2004년 마이클 아시바커와 스티븐 스미스가 쓴 Quasithin case(준얇은 군)에 대한 논문이 출간되면서 증명이 완결되었다.^[7]

이는 소수가 정수의 기본적인 구성 요소가 되는 것과 유사하게, 유한 단순군이 모든 유한군의 "기본적인 구성 요소"라는 의미에서 중요성을 가진다. 조르당-횔더 정리에 따르면, 주어진 군의 임의의 두 조성열은 길이가 같고, 순서와 동형을 제외하면 같은 인자를 갖는다.

1981년 몬스터군이 구성된 직후, 다니엘 고렌스타인은 10,000페이지가 넘는 증명을 제시하며 모든 유한 단순군을 열거했다고 주장했다. 그러나 이는 시기상조였는데, 준경박군 분류에서 틈이 발견되었기 때문이다. 이 틈은 2004년에 1300페이지에 달하는 준경박군 분류를 통해 메워졌고, 현재 이 증명은 일반적으로 완료된 것으로 받아들여진다.

5. 1. 분류 목록

유한단순군은 18가지 종류로 분류되며, 이들 분류에 속하지 않는 산재군이 26개 존재한다.

소수 차수를 가지는 순환군
$n \ge 5$ 인 교대군
: 교대군은 원소 1을 갖는 체에 대한 리 유형 군으로 간주될 수 있으며, 이는 이 계열을 다음 계열과 통합하므로, 비가환 유한 단순군의 모든 계열이 리 유형으로 간주될 수 있다.
16가지의 리 유형 군
: 티츠 군은 엄밀히 말해 리 유형이 아니지만, 리 유형의 군에서 지수 2를 가지기 때문에 일반적으로 이 형식으로 간주된다.
26개의 산재군
: 20개는 몬스터 군의 부분군 또는 부분상군이며 "행복한 가족"이라고 불리고, 나머지 6개는 패리아 군이라고 불린다.

6. 유한 단순군의 구조

페이트와 톰슨의 페이트-톰슨 정리에 따르면, 홀수 위수의 모든 군은 가해군이다. 따라서 모든 유한 단순군은 짝수 위수이거나, 소수 위수의 순환군이다.^[1]

슈라이어 추측에 따르면, 모든 유한 단순군의 outer automorphism|외부 자기 동형군^영어은 가해군이다. 이는 유한 단순군 분류 정리를 사용하여 증명할 수 있다.^[1]

7. 단순군이 아닌 경우 판정

실로우 검사와 번사이드 정리를 통해 단순군이 아닌 경우를 판정할 수 있다.

'''실로우 검사''': ''n''이 소수가 아닌 양의 정수이고, ''p''가 ''n''의 소수 약수라고 하자. 1이 ''p''를 모듈로 1과 합동인 ''n''의 유일한 약수이면, 차수가 ''n''인 단순군은 존재하지 않는다.

'''번사이드 정리''': 비가환 유한 단순군의 차수는 서로 다른 세 개 이상의 소수로 나누어진다.

7. 1. 실로우 판정법

''n''을 소수가 아닌 양의 정수라고 하고, ''p''를 ''n''의 소인수라고 하자. 만약 ''n''의 약수 중에서 ''p''를 법으로 1과 합동인 것이 1뿐이라면, 위수 ''n''의 단순군은 존재하지 않는다.

증명: 만약 ''n''이 소수의 거듭제곱이라면, 위수 ''n''의 군은 자명하지 않은 중심을 가지므로, 단순군이 아니다. ''n''이 소수의 거듭제곱이 아니라면, 실로우 부분군은 모두 진부분군이고, 실로우의 제3정리에 의해 위수 ''n''의 군의 실로우 ''p''-부분군의 개수는 ''p''를 법으로 1과 합동이며 ''n''의 약수이다. 그러한 수는 1뿐이므로, 실로우 ''p''-부분군은 유일하며, 따라서 정규 부분군이다. 진정한, 자명하지 않은 정규 부분군이 존재하므로, 이 군은 단순군이 아니다.

7. 2. 번사이드 판정법

비가환 유한 단순군의 위수는 적어도 3종류의 서로 다른 소수로 나누어진다. 이는 번사이드 정리로부터 따른다.^[13]

8. 유한 단순군의 역사

유한 단순군의 역사는 크게 두 가지 흐름으로 나뉜다. 하나는 1820년대 에바리스트 갈루아의 연구부터 1981년 몬스터 군의 구성까지, 특정 단순군과 군족을 발견하고 구성하는 과정이다. 다른 하나는 이 목록이 완전하다는 것을 증명하는 과정이다. 이 증명은 19세기에 시작되어 1955년부터 1983년까지 가장 중요한 시기를 거쳤고 (승리가 처음 선언된 시점), 2004년에야 일반적으로 완료된 것으로 합의되었다.^[8] 이 증명은 2018년까지 12권의 모노그래프로 출판될 예정이었으며,^[8] 그 중 10번째가 2023년에 출판되었다.^[9]

8. 1. 구성

단순군은 적어도 초기 갈루아 이론 시대부터 연구되어 왔다. 에바리스트 갈루아는 5차 이상의 교대군이 단순군임을 증명했다. 갈루아는 또한 유한체 위의 평면의 사영 특수 선형군 PSL(2, ''p'')를 구성했으며, ''p''가 2 또는 3이 아니라면 이러한 군은 단순군이 된다는 것을 확인했다.^[10]^[11]

카미유 조르당은 소수 차수의 유한체에 대한 4개의 단순 행렬군 계열(고전군)을 발견했다.^[12]

에밀 레오나르 마티외에 의해 처음 기술된 마티외 군 또한 단순군임이 밝혀졌다.

레너드 딕슨은 고전군에 대한 조르당의 결과를 임의의 유한체로 일반화하고, G₂와 E₆ 유형의 예외적인 군을 구성했다. 1955년 클로드 슈발레는 고전군과 예외적인 유형의 군에 대한 균일한 구성을 제공했다. 스타인버그, 티츠, 헤르지히, 스즈키와 리는 나머지 리 유형의 군을 생성했다.

1964년 첫 번째 얀코 군이 발견되었고, 1965년부터 1975년 사이에 나머지 20개의 돌발군이 발견 또는 추측되었다. 1981년 로버트 그리스는 베른트 피셔의 "몬스터 군"을 구성했다고 발표했다.

8. 2. 분류

유한단순군의 분류는 1962~1963년의 페이트-톰슨 정리로 시작하여 2004년에 완료된 것으로 받아들여진다. 1983년에 다니엘 고렌스타인이 유한 단순군 분류가 완성되었다고 선언했으나, 준경박군 분류에서 틈이 발견되어 2004년에 보완되었다.^[8]

참조

_[1] 서적 Z is not simple, having the nontrivial subgroup 2Z Google books
_[2] 서적 simple groups of order 60 are isomorphic Google books
_[3] 서적
_[4] 서적 any two simple groups of order 168 are isomorphic Google books
_[5] 간행물 A finitely generated infinite simple group
_[6] 간행물 Lattices in product of trees
_[7] 간행물 Problemas del Milenio Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas, Químicas y Naturales de Zaragoza
_[8] 간행물 The classification of finite simple groups: a progress report https://www.ams.org/[...]
_[9] 서적 The classification of the finite simple groups, Number 10. Part V. Chapters 9–17. Theorem $C_6$ and Theorem $C^{\ast}_4$ , Case A American Mathematical Society, Providence, RI
_[10] 간행물 Lettre de Galois à M. Auguste Chevalier http://visualiseur.b[...] 2009-02-04
_[11] 웹사이트 The finite simple groups http://www.maths.qmu[...] 2006-10-31
_[12] 서적 Traité des substitutions et des équations algébriques
_[13] 문서 See the proof in p-group, for instance.
_[14] 서적 群論岩波書店〈岩波全書〉
_[15] 간행물 A finitely generated infinite simple group
_[16] 간행물 Lattices in product of trees.
_[17] 간행물 Lettre de Galois à M. Auguste Chevalier http://visualiseur.b[...] 2009-02-04
_[18] 웹사이트 The finite simple groups http://www.maths.qmu[...] 2006-10-31
_[19] 서적 Traité des substitutions et des équations algébriques

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