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번사이드 정리

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목차

1. 개요

번사이드 정리는 유한군 G의 크기가 pmqn 꼴(p, q는 소수, m, n은 음이 아닌 정수)이면 G가 가해군임을 증명하는 정리이다. 이 정리는 군 표현론을 사용하여 1904년 윌리엄 번사이드에 의해 증명되었으며, 이후 표현론을 사용하지 않는 증명도 제시되었다. 번사이드 정리는 군론에서 중요한 의미를 가지며, 특히 군 표현론의 응용으로 널리 알려져 있다.

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2. 정의

유한군 G의 크기가 다음과 같은 꼴이라면 G는 가해군이다.

:|G|=p^mq^n

여기서 p와 q는 소수이며, m과 n은 음이 아닌 정수이다.

3. 역사

페르디난트 게오르크 프로베니우스는 1895년에 이 정리를 pmq 꼴의 군에 대하여 증명하였다.[2] 카미유 조르당은 pmq2 꼴의 군에 대한 정리를 증명하였다. 이후 1905년에 윌리엄 번사이드가 일반적인 pmqn 꼴의 군에 대한 정리를 증명하였다.[3]

이 정리는 유한군의 표현론을 사용하여 윌리엄 번사이드가 1904년에 증명하였다. 이 정리의 몇몇 특수한 경우는 이전에 1897년 번사이드, 1898년 조르당, 1902년 프로베니우스에 의해 증명되었다. 존 G. 톰슨은 1960년대와 1970년대에 N-군 정리에 대한 그의 연구에서 표현론을 사용하지 않는 증명을 추출할 수 있다고 지적했으며, 이는 데이비드 골드슈미트(David Goldschmidt)에 의해 홀수 차수 군에 대해, 헬무트 벤더(Helmut Bender)에 의해 짝수 차수 군에 대해 명시적으로 수행되었다. 마츠야마 히로시는 증명을 단순화했다.

4. 증명

이 정리는 순수 군론에서의 정리이지만, 번사이드의 원래 증명은 군 표현론을 사용한다. 이후 표현론을 사용하지 않는 증명도 발표되었지만, 번사이드 정리는 군 표현론이 군론에서 응용된 대표적인 예시로 꼽힌다.

번사이드의 원래 증명과 표현론을 사용하지 않은 증명 두 가지 모두 귀류법을 사용한다.

4. 1. 표현론을 사용한 증명 (번사이드의 증명)

군 표현론을 사용한 번사이드의 원래 증명은 다음과 같다.

# 수학적 귀납법을 사용하여, |G|=p^mq^n인 유한 단순군 G가 순환군임을 증명하는 것으로 충분하다. 귀류법을 사용해, 이러한 크기를 가진 유한 단순군 G가 순환군이 아니라고 가정한다.

# n=0인 경우는 p-군의 이론에 따라 쉽게 보일 수 있다 (m>1인 경우 자명하지 않은 중심을 갖게 돼, 단순군이 아님). 따라서 m,n\ge1이라고 가정한다.

# 켤레류 공식(class equation영어)에 따라서, G는 q에 대하여 서로소인 크기를 가진 켤레류를 갖는다. 따라서, G가 자명하지 않는 군의 중심을 갖거나, 아니면 크기가 p^r인 켤레류를 갖는다 (0). 전자는 G가 단순군이라는 가정에 어긋나므로, 후자가 옳다. 이 켤레류의 대표 원소를 g\in G라고 한다.

# 지표의 직교성을 사용하여, |\chi(g)|=\chi(1)인 G의 기약 지표 \chi가 존재한다.

# G는 단순군이므로, 자명하지 않은 모든 복소수 기약 표현은 충실한 표현이며, G는 중심이 자명군이므로, 따라서 \chi(g)=\chi(1)이라면 x=1이어야 한다. 이는 모순이다.

이후의 내용은 번사이드의 원래 증명이 아닌, 더 많은 배경지식을 이용한 증명이므로, 해당 섹션의 범위에 맞지 않아 생략한다.

4. 2. 표현론을 사용하지 않는 증명

Burnside's theorem|번사이드 정리영어보다 더 많은 배경지식을 활용하며, 모순을 이용하는 증명 방식이다. ''p''''a''''q''''b''를 비가환군 ''G''의 차수와 같은 곱셈으로, 두 소수 거듭제곱의 가장 작은 곱으로 정의한다.

  • ''' ''G''는 단순군이고, 중심은 자명하며, ''a''는 0이 아니다.'''


만약 ''G''가 비자명 고유 정규 부분군 ''H''를 갖는다면 (''G''의 최소성 때문에) ''H''와 ''G''/''H''는 가해군이 되고, 따라서 ''G''도 가해군이 되어 가정을 모순하게 된다. 따라서 ''G''는 단순군이다.

만약 ''a''가 0이라면, ''G''는 유한 q-군이 되어 멱영군이 되고, 따라서 가해군이 된다.

마찬가지로, ''G''는 아벨군일 수 없으며, 그렇지 않으면 가해군이 된다. ''G''가 단순군이므로 중심은 자명해야 한다.

  • ''' ''G''에는 ''q''''d''개의 켤레를 갖는 원소 ''g''가 존재하며, 여기서 ''d'' > 0이다.'''


Sylow의 정리의 첫 번째 명제에 의해, ''G''는 차수가 ''p''''a''인 부분군 ''S''를 갖는다. ''S''는 비자명한 ''p''-군이므로, 중심 ''Z''(''S'')는 비자명하다. 비자명 원소 g\in Z(S)를 고정한다. ''g''의 켤레의 개수는 ''g''의 안정자 부분군 ''G''''g''의 지수와 같으며, 이는 ''S''의 지수 ''q''''b''를 나눈다 (''S''가 ''G''''g''의 부분군이기 때문입니다). 따라서 이 개수는 ''q''''d''의 형태를 띈다. 또한, ''g''는 비자명하고, 따라서 ''G''의 중심에 있지 않으므로 정수 ''d''는 엄격하게 양수이다.

  • '''차원이 ''q''로 나누어지지 않고 복소수 ''χ''(''g'')가 0이 아닌, 비자명한 기약 표현 ρ와 문자 χ가 존재한다.'''


\mathbb{C} 위의 ''G''의 기약 문자족을 (''χ''''i'')1 ≤ ''i'' ≤ ''h''로 정의한다 (여기서 ''χ''1은 자명 문자를 나타낸다). ''g''가 1과 같은 켤레류에 있지 않으므로, 군의 지표표의 열에 대한 직교 관계는 다음과 같다.

:0=\sum_{i=1}^h \chi_i(1)\chi_i(g)= 1 + \sum_{i=2}^h \chi_i(1)\chi_i(g).

이제 ''χ''''i''(''g'')는 대수적 정수이다. 왜냐하면 단위근의 합이기 때문이다. ''g''에서 사라지지 않는 모든 비자명 기약 문자가 1에서 ''q''로 나누어지는 값을 갖는다면, 우리는 다음을 추론할 수 있다.

:-\frac1q=\sum_{i\ge 2,~\chi_i(g)\ne 0}\frac{\chi_i(1)}q\chi_i(g)

는 대수적 정수이다 (대수적 정수의 정수 배수의 합이기 때문입니다). 이는 불합리하다. 이것은 진술을 증명한다.

  • '''복소수 ''q''''d''''χ''(''g'')/''n''은 대수적 정수이다.'''


''G'' 위의 정수 값을 갖는 유형 함수, ''Z''(\Z[''G''])는 \Z 위에서 가환환, 유한 생성이다. 따라서 모든 요소는 \Z 위에 정수이고, 특히 ''u''는 ''g''의 켤레류에서 1의 값을 갖고 다른 곳에서는 0의 값을 갖는다.

유형 함수 ''f''를

:\sum_{s\in G} f(s)\rho(s)

에 보내는 매핑 A\colon Z(\Z[G]) \rightarrow \operatorname{End}(\Complex^n)는 환 준동형 사상이다. 모든 ''s''에 대해 \rho(s)^{-1} A(u) \rho(s) = A(u)이므로, Schur의 보조정리는 A(u)가 호모테티 \lambda I_n임을 의미한다. 추적 ''nλ''는 다음과 같다.

:\sum_{s\in G} f(s)\chi(s)=q^d\chi(g).

호모테티 ''λI''''n''이 정수 요소의 준동형적 이미지이므로, 이로 인해 복소수 ''λ'' = ''q''''d''''χ''(''g'')/''n''이 대수적 정수임이 증명된다.

  • '''복소수 ''χ''(''g'')/''n''은 대수적 정수이다.'''


''q''는 ''n''과 서로 소이므로, Bézout의 항등식에 의해 다음을 만족하는 두 정수 ''x''와 ''y''가 존재한다.

:xq^d + yn=1\quad\text{따라서}\quad \frac{\chi(g)}{n}=x\frac{q^d\chi(g)}{n} + y\chi(g).

대수적 정수의 정수 계수를 갖는 선형 조합도 대수적 정수이므로, 이것은 진술을 증명한다.

  • '''표현 ''ρ''에서 ''g''의 이미지는 호모테티이다.'''


''ζ''를 복소수 ''χ''(''g'')/''n''으로 정의한다. 이것은 대수적 정수이므로, 그 노름 ''N''(''ζ'') (즉, \Q에 대한 그 켤레, 즉 최소 다항식의 곱)는 0이 아닌 정수이다. 이제 ''ζ''는 단위근의 평균 (''ρ''(''g'')의 고유값)이므로, 그 켤레도 평균이므로, 모두 절댓값이 1보다 작거나 같다. 그들의 곱 ''N''(''ζ'')의 절댓값이 1보다 크거나 같으므로, 그들의 절댓값은 모두 1이어야 하며, 특히 ''ζ''가 그렇습니다. 이는 ''ρ''(''g'')의 고유값이 모두 같고, 따라서 ''ρ''(''g'')가 호모테티임을 의미한다.

  • '''결론'''


''ρ''의 핵을 ''N''이라고 정의한다. 호모테티 ''ρ''(''g'')는 Im(''ρ'') (이는 표준적으로 ''G''/''N''과 동형이다)의 중심에 있으며, ''g''는 ''G''의 중심에 있지 않다. 결과적으로, 단순군 ''G''의 정규 부분군 ''N''은 비자명하므로, ''G''와 같다. 이는 ''ρ''가 비자명한 표현이라는 사실과 모순된다.

이 모순은 정리를 증명한다. Q.E.D.

5. 의의 및 활용

이 정리는 순수 군론에서의 정리이지만, 번사이드의 원래 증명은 군 표현론을 사용한다.[1] 이후 표현론을 사용하지 않는 증명도 발표된 바 있지만, 번사이드 정리는 군 표현론의 군론에서의 대표적인 응용으로 꼽힌다.[1]

번사이드의 원래 증명은 개략적으로 다음과 같다.[1]

# 수학적 귀납법을 사용하여, |G|=p^mq^n인 유한 단순군 G가 순환군임을 증명하는 것으로 족하다. 귀류법을 사용해, 이러한 크기를 가진 유한 단순군 G가 순환군이 아니라고 가정하자.

# n=0인 경우는 p-군의 이론에 따라 쉽게 보일 수 있다 (m>1인 경우 자명하지 않은 중심을 갖게 돼, 단순군이 아님). 따라서 m,n\ge1이라고 놓자.

# 켤레류 공식(class equation|클래스 방정식영어)에 따라서, G는 q에 대하여 서로소인 크기를 가진 켤레류를 갖는다. 따라서, G가 자명하지 않는 군의 중심을 갖거나, 아니면 크기가 p^r인 켤레류를 갖는다 (0) 전자는 G가 단순군이라는 가정에 어긋나므로, 후자가 옳다. 이 켤레류의 대표 원소를 g\in G라고 하자.

# 지표의 직교성을 사용하여, |\chi(g)|=\chi(1)인 G의 기약 지표 \chi가 존재한다.

# G는 단순군이므로, 자명하지 않은 모든 복소수 기약 표현은 충실한 표현이며, G는 중심이 자명군이므로, 따라서 \chi(g)=\chi(1)이라면 x=1이어야 한다. 이는 모순이다.

참조

[1] 서적 Finite Groups American Mathematical Society
[2] 저널 Über auflösbare Gruppen II 1895
[3] 서적 Theory of Groups of Finite Order https://archive.org/[...]


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