번사이드 정리

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1. 개요
2. 정의
3. 역사
4. 증명
- 4.1. 표현론을 사용한 증명 (번사이드의 증명)
- 4.2. 표현론을 사용하지 않는 증명
5. 의의 및 활용
참조

1. 개요

번사이드 정리는 유한군 G의 크기가 p^mqⁿ 꼴(p, q는 소수, m, n은 음이 아닌 정수)이면 G가 가해군임을 증명하는 정리이다. 이 정리는 군 표현론을 사용하여 1904년 윌리엄 번사이드에 의해 증명되었으며, 이후 표현론을 사용하지 않는 증명도 제시되었다. 번사이드 정리는 군론에서 중요한 의미를 가지며, 특히 군 표현론의 응용으로 널리 알려져 있다.

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번사이드 정리
군론
분야	군론
명명자	윌리엄 번사이드
내용
정리 내용	유한군 G의 차수가 p^a q^b (p, q는 소수)이면 G는 가해군이다.

2. 정의

유한군 $G$ 의 크기가 다음과 같은 꼴이라면 $G$ 는 가해군이다.

: $|G|=p^mq^n$

여기서 $p$ 와 $q$ 는 소수이며, $m$ 과 $n$ 은 음이 아닌 정수이다.

3. 역사

페르디난트 게오르크 프로베니우스는 1895년에 이 정리를 p^mq 꼴의 군에 대하여 증명하였다.^[2] 카미유 조르당은 p^mq² 꼴의 군에 대한 정리를 증명하였다. 이후 1905년에 윌리엄 번사이드가 일반적인 p^mqⁿ 꼴의 군에 대한 정리를 증명하였다.^[3]

이 정리는 유한군의 표현론을 사용하여 윌리엄 번사이드가 1904년에 증명하였다. 이 정리의 몇몇 특수한 경우는 이전에 1897년 번사이드, 1898년 조르당, 1902년 프로베니우스에 의해 증명되었다. 존 G. 톰슨은 1960년대와 1970년대에 N-군 정리에 대한 그의 연구에서 표현론을 사용하지 않는 증명을 추출할 수 있다고 지적했으며, 이는 데이비드 골드슈미트(David Goldschmidt)에 의해 홀수 차수 군에 대해, 헬무트 벤더(Helmut Bender)에 의해 짝수 차수 군에 대해 명시적으로 수행되었다. 마츠야마 히로시는 증명을 단순화했다.

4. 증명

이 정리는 순수 군론에서의 정리이지만, 번사이드의 원래 증명은 군 표현론을 사용한다. 이후 표현론을 사용하지 않는 증명도 발표되었지만, 번사이드 정리는 군 표현론이 군론에서 응용된 대표적인 예시로 꼽힌다.

번사이드의 원래 증명과 표현론을 사용하지 않은 증명 두 가지 모두 귀류법을 사용한다.

4. 1. 표현론을 사용한 증명 (번사이드의 증명)

군 표현론을 사용한 번사이드의 원래 증명은 다음과 같다.

# 수학적 귀납법을 사용하여,

|G|=p^mq^n

인 유한 단순군

G

가 순환군임을 증명하는 것으로 충분하다. 귀류법을 사용해, 이러한 크기를 가진 유한 단순군

G

가 순환군이 아니라고 가정한다.

#

n=0

인 경우는 p-군의 이론에 따라 쉽게 보일 수 있다 (

m>1

인 경우 자명하지 않은 중심을 갖게 돼, 단순군이 아님). 따라서

m,n\ge1

이라고 가정한다.

# 켤레류 공식(class equation^영어)에 따라서,

G

는

q

에 대하여 서로소인 크기를 가진 켤레류를 갖는다. 따라서,

G

가 자명하지 않는 군의 중심을 갖거나, 아니면 크기가

p^r

인 켤레류를 갖는다 (

0). 전자는 G 가 단순군이라는 가정에 어긋나므로, 후자가 옳다. 이 켤레류의 대표 원소를 g\in G 라고 한다.

# 지표의 직교성을 사용하여,

|\chi(g)|=\chi(1)

인

G

의 기약 지표

\chi

가 존재한다.

#

G

는 단순군이므로, 자명하지 않은 모든 복소수 기약 표현은 충실한 표현이며,

G

는 중심이 자명군이므로, 따라서

\chi(g)=\chi(1)

이라면

x=1

이어야 한다. 이는 모순이다.

이후의 내용은 번사이드의 원래 증명이 아닌, 더 많은 배경지식을 이용한 증명이므로, 해당 섹션의 범위에 맞지 않아 생략한다.

4. 2. 표현론을 사용하지 않는 증명

Burnside's theorem|번사이드 정리^영어보다 더 많은 배경지식을 활용하며, 모순을 이용하는 증명 방식이다. ''p''^''a''''q''^''b''를 비가환군 ''G''의 차수와 같은 곱셈으로, 두 소수 거듭제곱의 가장 작은 곱으로 정의한다.

''' ''G''는 단순군이고, 중심은 자명하며, ''a''는 0이 아니다.'''

만약 ''G''가 비자명 고유 정규 부분군 ''H''를 갖는다면 (''G''의 최소성 때문에) ''H''와 ''G''/''H''는 가해군이 되고, 따라서 ''G''도 가해군이 되어 가정을 모순하게 된다. 따라서 ''G''는 단순군이다.

만약 ''a''가 0이라면, ''G''는 유한 q-군이 되어 멱영군이 되고, 따라서 가해군이 된다.

마찬가지로, ''G''는 아벨군일 수 없으며, 그렇지 않으면 가해군이 된다. ''G''가 단순군이므로 중심은 자명해야 한다.

''' ''G''에는 ''q''^''d''개의 켤레를 갖는 원소 ''g''가 존재하며, 여기서 ''d'' > 0이다.'''

Sylow의 정리의 첫 번째 명제에 의해, ''G''는 차수가 ''p''^''a''인 부분군 ''S''를 갖는다. ''S''는 비자명한 ''p''-군이므로, 중심 ''Z''(''S'')는 비자명하다. 비자명 원소

g\in Z(S)

를 고정한다. ''g''의 켤레의 개수는 ''g''의 안정자 부분군 ''G''_''g''의 지수와 같으며, 이는 ''S''의 지수 ''q''^''b''를 나눈다 (''S''가 ''G''_''g''의 부분군이기 때문입니다). 따라서 이 개수는 ''q''^''d''의 형태를 띈다. 또한, ''g''는 비자명하고, 따라서 ''G''의 중심에 있지 않으므로 정수 ''d''는 엄격하게 양수이다.

'''차원이 ''q''로 나누어지지 않고 복소수 ''χ''(''g'')가 0이 아닌, 비자명한 기약 표현 ρ와 문자 χ가 존재한다.'''

\mathbb{C}

위의 ''G''의 기약 문자족을 (''χ''_''i'')_{1 ≤ ''i'' ≤ ''h''}로 정의한다 (여기서 ''χ''₁은 자명 문자를 나타낸다). ''g''가 1과 같은 켤레류에 있지 않으므로, 군의 지표표의 열에 대한 직교 관계는 다음과 같다.

:

0=\sum_{i=1}^h \chi_i(1)\chi_i(g)= 1 + \sum_{i=2}^h \chi_i(1)\chi_i(g).

이제 ''χ''_''i''(''g'')는 대수적 정수이다. 왜냐하면 단위근의 합이기 때문이다. ''g''에서 사라지지 않는 모든 비자명 기약 문자가 1에서 ''q''로 나누어지는 값을 갖는다면, 우리는 다음을 추론할 수 있다.

:

-\frac1q=\sum_{i\ge 2,~\chi_i(g)\ne 0}\frac{\chi_i(1)}q\chi_i(g)

는 대수적 정수이다 (대수적 정수의 정수 배수의 합이기 때문입니다). 이는 불합리하다. 이것은 진술을 증명한다.

'''복소수 ''q''^''d''''χ''(''g'')/''n''은 대수적 정수이다.'''

''G'' 위의 정수 값을 갖는 유형 함수, ''Z''(

\Z

[''G''])는

\Z

위에서 가환환, 유한 생성이다. 따라서 모든 요소는

\Z

위에 정수이고, 특히 ''u''는 ''g''의 켤레류에서 1의 값을 갖고 다른 곳에서는 0의 값을 갖는다.

유형 함수 ''f''를

:

\sum_{s\in G} f(s)\rho(s)

에 보내는 매핑

A\colon Z(\Z[G]) \rightarrow \operatorname{End}(\Complex^n)

는 환 준동형 사상이다. 모든 ''s''에 대해

\rho(s)^{-1} A(u) \rho(s) = A(u)

이므로, Schur의 보조정리는

A(u)

가 호모테티

\lambda I_n

임을 의미한다. 추적 ''nλ''는 다음과 같다.

:

\sum_{s\in G} f(s)\chi(s)=q^d\chi(g).

호모테티 ''λI''_''n''이 정수 요소의 준동형적 이미지이므로, 이로 인해 복소수 ''λ'' = ''q''^''d''''χ''(''g'')/''n''이 대수적 정수임이 증명된다.

'''복소수 ''χ''(''g'')/''n''은 대수적 정수이다.'''

''q''는 ''n''과 서로 소이므로, Bézout의 항등식에 의해 다음을 만족하는 두 정수 ''x''와 ''y''가 존재한다.

:

xq^d + yn=1\quad\text{따라서}\quad \frac{\chi(g)}{n}=x\frac{q^d\chi(g)}{n} + y\chi(g).

대수적 정수의 정수 계수를 갖는 선형 조합도 대수적 정수이므로, 이것은 진술을 증명한다.

'''표현 ''ρ''에서 ''g''의 이미지는 호모테티이다.'''

''ζ''를 복소수 ''χ''(''g'')/''n''으로 정의한다. 이것은 대수적 정수이므로, 그 노름 ''N''(''ζ'') (즉,

\Q

에 대한 그 켤레, 즉 최소 다항식의 곱)는 0이 아닌 정수이다. 이제 ''ζ''는 단위근의 평균 (''ρ''(''g'')의 고유값)이므로, 그 켤레도 평균이므로, 모두 절댓값이 1보다 작거나 같다. 그들의 곱 ''N''(''ζ'')의 절댓값이 1보다 크거나 같으므로, 그들의 절댓값은 모두 1이어야 하며, 특히 ''ζ''가 그렇습니다. 이는 ''ρ''(''g'')의 고유값이 모두 같고, 따라서 ''ρ''(''g'')가 호모테티임을 의미한다.

'''결론'''

''ρ''의 핵을 ''N''이라고 정의한다. 호모테티 ''ρ''(''g'')는 Im(''ρ'') (이는 표준적으로 ''G''/''N''과 동형이다)의 중심에 있으며, ''g''는 ''G''의 중심에 있지 않다. 결과적으로, 단순군 ''G''의 정규 부분군 ''N''은 비자명하므로, ''G''와 같다. 이는 ''ρ''가 비자명한 표현이라는 사실과 모순된다.

이 모순은 정리를 증명한다. Q.E.D.

5. 의의 및 활용

이 정리는 순수 군론에서의 정리이지만, 번사이드의 원래 증명은 군 표현론을 사용한다.^[1] 이후 표현론을 사용하지 않는 증명도 발표된 바 있지만, 번사이드 정리는 군 표현론의 군론에서의 대표적인 응용으로 꼽힌다.^[1]

번사이드의 원래 증명은 개략적으로 다음과 같다.^[1]

# 수학적 귀납법을 사용하여, $|G|=p^mq^n$ 인 유한 단순군 $G$ 가 순환군임을 증명하는 것으로 족하다. 귀류법을 사용해, 이러한 크기를 가진 유한 단순군 $G$ 가 순환군이 아니라고 가정하자.

# $n=0$ 인 경우는 p-군의 이론에 따라 쉽게 보일 수 있다 ( $m>1$ 인 경우 자명하지 않은 중심을 갖게 돼, 단순군이 아님). 따라서 $m,n\ge1$ 이라고 놓자.

# 켤레류 공식(class equation|클래스 방정식^영어)에 따라서, $G$ 는 $q$ 에 대하여 서로소인 크기를 가진 켤레류를 갖는다. 따라서, $G$ 가 자명하지 않는 군의 중심을 갖거나, 아니면 크기가 $p^r$ 인 켤레류를 갖는다 ( $0) 전자는 G 가 단순군이라는 가정에 어긋나므로, 후자가 옳다. 이 켤레류의 대표 원소를 g\in G 라고 하자.$

# 지표의 직교성을 사용하여, $|\chi(g)|=\chi(1)$ 인 $G$ 의 기약 지표 $\chi$ 가 존재한다.

# $G$ 는 단순군이므로, 자명하지 않은 모든 복소수 기약 표현은 충실한 표현이며, $G$ 는 중심이 자명군이므로, 따라서 $\chi(g)=\chi(1)$ 이라면 $x=1$ 이어야 한다. 이는 모순이다.

참조

_[1] 서적 Finite Groups American Mathematical Society
_[2] 저널 Über auflösbare Gruppen II 1895
_[3] 서적 Theory of Groups of Finite Order https://archive.org/[...]

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