번사이드 정리

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1. 개요

번사이드 정리는 유한군 G의 크기가 p^mqⁿ 꼴(p, q는 소수, m, n은 음이 아닌 정수)이면 G가 가해군임을 증명하는 정리이다. 이 정리는 군 표현론을 사용하여 1904년 윌리엄 번사이드에 의해 증명되었으며, 이후 표현론을 사용하지 않는 증명도 제시되었다. 번사이드 정리는 군론에서 중요한 의미를 가지며, 특히 군 표현론의 응용으로 널리 알려져 있다.

번사이드 정리

군론

분야	군론
명명자	윌리엄 번사이드

내용

정리 내용	유한군 G의 차수가 p^a q^b (p, q는 소수)이면 G는 가해군이다.

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1. 개요
2. 정의
3. 역사
4. 증명
- 4.1. 표현론을 사용한 증명 (번사이드의 증명)
- 4.2. 표현론을 사용하지 않는 증명
5. 의의 및 활용

2. 정의

유한군 $G$ 의 크기가 다음과 같은 꼴이라면 $G$ 는 가해군이다.

: $|G|=p^mq^n$

여기서 $p$ 와 $q$ 는 소수이며, $m$ 과 $n$ 은 음이 아닌 정수이다.

3. 역사

페르디난트 게오르크 프로베니우스는 1895년에 이 정리를 p^mq 꼴의 군에 대하여 증명하였다. 카미유 조르당은 p^mq² 꼴의 군에 대한 정리를 증명하였다. 이후 1905년에 윌리엄 번사이드가 일반적인 p^mqⁿ 꼴의 군에 대한 정리를 증명하였다.

이 정리는 유한군의 표현론을 사용하여 윌리엄 번사이드가 1904년에 증명하였다. 이 정리의 몇몇 특수한 경우는 이전에 1897년 번사이드, 1898년 조르당, 1902년 프로베니우스에 의해 증명되었다. 존 G. 톰슨은 1960년대와 1970년대에 N-군 정리에 대한 그의 연구에서 표현론을 사용하지 않는 증명을 추출할 수 있다고 지적했으며, 이는 데이비드 골드슈미트(David Goldschmidt)에 의해 홀수 차수 군에 대해, 헬무트 벤더(Helmut Bender)에 의해 짝수 차수 군에 대해 명시적으로 수행되었다. 마츠야마 히로시는 증명을 단순화했다.

4. 증명

이 정리는 순수 군론에서의 정리이지만, 번사이드의 원래 증명은 군 표현론을 사용한다. 이후 표현론을 사용하지 않는 증명도 발표되었지만, 번사이드 정리는 군 표현론이 군론에서 응용된 대표적인 예시로 꼽힌다.

번사이드의 원래 증명과 표현론을 사용하지 않은 증명 두 가지 모두 귀류법을 사용한다.

4.1. 표현론을 사용한 증명 (번사이드의 증명)

군 표현론을 사용한 번사이드의 원래 증명은 다음과 같다.

# 수학적 귀납법을 사용하여, $|G|=p^mq^n$ 인 유한 단순군 $G$ 가 순환군임을 증명하는 것으로 충분하다. 귀류법을 사용해, 이러한 크기를 가진 유한 단순군 $G$ 가 순환군이 아니라고 가정한다.
# $n=0$ 인 경우는 p-군의 이론에 따라 쉽게 보일 수 있다 ( $m>1$ 인 경우 자명하지 않은 중심을 갖게 돼, 단순군이 아님). 따라서 $m,n\ge1$ 이라고 가정한다.
# 켤레류 공식(class equation^영어)에 따라서, $G$ 는 $q$ 에 대하여 서로소인 크기를 가진 켤레류를 갖는다. 따라서, $G$ 가 자명하지 않는 군의 중심을 갖거나, 아니면 크기가 $p^r$ 인 켤레류를 갖는다 ( $0). 전자는 G 가 단순군이라는 가정에 어긋나므로, 후자가 옳다. 이 켤레류의 대표 원소를 g\in G 라고 한다.$
# 지표의 직교성을 사용하여, $|\chi(g)|=\chi(1)$ 인 $G$ 의 기약 지표 $\chi$ 가 존재한다.
# $G$ 는 단순군이므로, 자명하지 않은 모든 복소수 기약 표현은 충실한 표현이며, $G$ 는 중심이 자명군이므로, 따라서 $\chi(g)=\chi(1)$ 이라면 $x=1$ 이어야 한다. 이는 모순이다.

이후의 내용은 번사이드의 원래 증명이 아닌, 더 많은 배경지식을 이용한 증명이므로, 해당 섹션의 범위에 맞지 않아 생략한다.

4.2. 표현론을 사용하지 않는 증명

Burnside's theorem^영어보다 더 많은 배경지식을 활용하며, 모순을 이용하는 증명 방식이다. p^aq^b를 비가환군 G의 차수와 같은 곱셈으로, 두 소수 거듭제곱의 가장 작은 곱으로 정의한다.

* G는 단순군이고, 중심은 자명하며, a는 0이 아니다.

만약 G가 비자명 고유 정규 부분군 H를 갖는다면 (G의 최소성 때문에) H와 G/H는 가해군이 되고, 따라서 G도 가해군이 되어 가정을 모순하게 된다. 따라서 G는 단순군이다.

만약 a가 0이라면, G는 유한 q-군이 되어 멱영군이 되고, 따라서 가해군이 된다.

마찬가지로, G는 아벨군일 수 없으며, 그렇지 않으면 가해군이 된다. G가 단순군이므로 중심은 자명해야 한다.

* G에는 q^d개의 켤레를 갖는 원소 g가 존재하며, 여기서 d > 0이다.

Sylow의 정리의 첫 번째 명제에 의해, G는 차수가 p^a인 부분군 S를 갖는다. S는 비자명한 p-군이므로, 중심 Z(S)는 비자명하다. 비자명 원소 $g\in Z(S)$ 를 고정한다. g의 켤레의 개수는 g의 안정자 부분군 G_g의 지수와 같으며, 이는 S의 지수 q^b를 나눈다 (S가 G_g의 부분군이기 때문입니다). 따라서 이 개수는 q^d의 형태를 띈다. 또한, g는 비자명하고, 따라서 G의 중심에 있지 않으므로 정수 d는 엄격하게 양수이다.

* 차원이 q로 나누어지지 않고 복소수 χ(g)가 0이 아닌, 비자명한 기약 표현 ρ와 문자 χ가 존재한다.

$\mathbb{C}$ 위의 G의 기약 문자족을 (χ_i)_{1 ≤ i ≤ h}로 정의한다 (여기서 χ₁은 자명 문자를 나타낸다). g가 1과 같은 켤레류에 있지 않으므로, 군의 지표표의 열에 대한 직교 관계는 다음과 같다.

: $0=\sum_{i=1}^h \chi_i(1)\chi_i(g)= 1 + \sum_{i=2}^h \chi_i(1)\chi_i(g).$

이제 χ_i(g)는 대수적 정수이다. 왜냐하면 단위근의 합이기 때문이다. g에서 사라지지 않는 모든 비자명 기약 문자가 1에서 q로 나누어지는 값을 갖는다면, 우리는 다음을 추론할 수 있다.

: $-\frac1q=\sum_{i\ge 2,~\chi_i(g)\ne 0}\frac{\chi_i(1)}q\chi_i(g)$

는 대수적 정수이다 (대수적 정수의 정수 배수의 합이기 때문입니다). 이는 불합리하다. 이것은 진술을 증명한다.

* 복소수 q^dχ(g)/n은 대수적 정수이다.

G 위의 정수 값을 갖는 유형 함수, Z( $\Z$ [G])는 $\Z$ 위에서 가환환, 유한 생성이다. 따라서 모든 요소는 $\Z$ 위에 정수이고, 특히 u는 g의 켤레류에서 1의 값을 갖고 다른 곳에서는 0의 값을 갖는다.

유형 함수 f를

: $\sum_{s\in G} f(s)\rho(s)$

에 보내는 매핑 $A\colon Z(\Z[G]) \rightarrow \operatorname{End}(\Complex^n)$ 는 환 준동형 사상이다. 모든 s에 대해 $\rho(s)^{-1} A(u) \rho(s) = A(u)$ 이므로, Schur의 보조정리는 $A(u)$ 가 호모테티 $\lambda I_n$ 임을 의미한다. 추적 nλ는 다음과 같다.

: $\sum_{s\in G} f(s)\chi(s)=q^d\chi(g).$

호모테티 λI_n이 정수 요소의 준동형적 이미지이므로, 이로 인해 복소수 λ = q^dχ(g)/n이 대수적 정수임이 증명된다.

* 복소수 χ(g)/n은 대수적 정수이다.

q는 n과 서로 소이므로, Bézout의 항등식에 의해 다음을 만족하는 두 정수 x와 y가 존재한다.

: $xq^d + yn=1\quad\text{따라서}\quad \frac{\chi(g)}{n}=x\frac{q^d\chi(g)}{n} + y\chi(g).$

대수적 정수의 정수 계수를 갖는 선형 조합도 대수적 정수이므로, 이것은 진술을 증명한다.

* 표현 ρ에서 g의 이미지는 호모테티이다.

ζ를 복소수 χ(g)/n으로 정의한다. 이것은 대수적 정수이므로, 그 노름 N(ζ) (즉, $\Q$ 에 대한 그 켤레, 즉 최소 다항식의 곱)는 0이 아닌 정수이다. 이제 ζ는 단위근의 평균 (ρ(g)의 고유값)이므로, 그 켤레도 평균이므로, 모두 절댓값이 1보다 작거나 같다. 그들의 곱 N(ζ)의 절댓값이 1보다 크거나 같으므로, 그들의 절댓값은 모두 1이어야 하며, 특히 ζ가 그렇습니다. 이는 ρ(g)의 고유값이 모두 같고, 따라서 ρ(g)가 호모테티임을 의미한다.

* 결론

ρ의 핵을 N이라고 정의한다. 호모테티 ρ(g)는 Im(ρ) (이는 표준적으로 G/N과 동형이다)의 중심에 있으며, g는 G의 중심에 있지 않다. 결과적으로, 단순군 G의 정규 부분군 N은 비자명하므로, G와 같다. 이는 ρ가 비자명한 표현이라는 사실과 모순된다.

이 모순은 정리를 증명한다. Q.E.D.

5. 의의 및 활용

이 정리는 순수 군론에서의 정리이지만, 번사이드의 원래 증명은 군 표현론을 사용한다. 이후 표현론을 사용하지 않는 증명도 발표된 바 있지만, 번사이드 정리는 군 표현론의 군론에서의 대표적인 응용으로 꼽힌다.

번사이드의 원래 증명은 개략적으로 다음과 같다.
# 수학적 귀납법을 사용하여, $|G|=p^mq^n$ 인 유한 단순군 $G$ 가 순환군임을 증명하는 것으로 족하다. 귀류법을 사용해, 이러한 크기를 가진 유한 단순군 $G$ 가 순환군이 아니라고 가정하자.
# $n=0$ 인 경우는 p-군의 이론에 따라 쉽게 보일 수 있다 ( $m>1$ 인 경우 자명하지 않은 중심을 갖게 돼, 단순군이 아님). 따라서 $m,n\ge1$ 이라고 놓자.
# 켤레류 공식(class equation^영어)에 따라서, $G$ 는 $q$ 에 대하여 서로소인 크기를 가진 켤레류를 갖는다. 따라서, $G$ 가 자명하지 않는 군의 중심을 갖거나, 아니면 크기가 $p^r$ 인 켤레류를 갖는다 ( $0) 전자는 G 가 단순군이라는 가정에 어긋나므로, 후자가 옳다. 이 켤레류의 대표 원소를 g\in G 라고 하자.$
# 지표의 직교성을 사용하여, $|\chi(g)|=\chi(1)$ 인 $G$ 의 기약 지표 $\chi$ 가 존재한다.
# $G$ 는 단순군이므로, 자명하지 않은 모든 복소수 기약 표현은 충실한 표현이며, $G$ 는 중심이 자명군이므로, 따라서 $\chi(g)=\chi(1)$ 이라면 $x=1$ 이어야 한다. 이는 모순이다.