대칭행렬

3. 성질

유한 차원 벡터 공간의 대칭 쌍선형 형식은 대칭 행렬의 개념과 일치한다.

임의의 실수 대칭 행렬은 복소 행렬로 볼 때 에르미트 행렬이므로, 모든 고윳값은 실수이다(오귀스탱 루이 코시, 1829). 이 고윳값들은 행렬 대각화의 성분이며, 따라서 대각 행렬은 원래의 대칭 행렬에 의해 (성분 나열 순서 제외) 유일하게 결정된다. 실행렬이 대칭 행렬이라는 성질은 복소 행렬이 에르미트 행렬이라는 성질에 대응한다.

복소 대칭 행렬의 조르당 표준형은 대각 행렬이 아닐 수 있어 대각화가 불가능할 수 있다. 복소 대칭 행렬은 유니타리 행렬에 의해 "대각화"된다. 즉, 복소 대칭 행렬 A에 대해 유니타리 행렬 U가 존재하여 UAU^T가 음이 아닌 실수 성분을 갖는 대각 행렬이 되게 할 수 있다. 이 사실은 "오톤-다카기 분해"라고도 불린다.^[8]

각 대각 성분의 제곱은 A^*A의 고유값이며, A의 특잇값과 일치한다.

대칭 행렬에 합동인 임의의 행렬은 그 자체가 대칭이다. 즉, X가 대칭 행렬이면 임의의 정사각 행렬 A에 대해 AXA^T도 대칭 행렬이다.

대칭 행렬은 정규 행렬이다.

조르당 분해를 사용하면 임의의 실수 정사각 행렬이 두 실수 대칭 행렬의 곱으로 표현될 수 있으며, 임의의 복소 정사각 행렬이 두 복소 대칭 행렬의 곱으로 표현될 수 있음을 증명할 수 있다.^[9]

임의의 실수 정칙 행렬은 직교 행렬과 대칭 정치 행렬의 곱으로 유일하게 분해될 수 있으며, 이를 Polar decomposition|극 분해^영어라고 한다. 특이 행렬도 유사한 분해를 가지지만 유일하지 않다.

촐레스키 분해는 임의의 실수 양의 정부호 대칭 행렬 A가 하삼각 행렬 L과 그 전치인 상삼각 행렬의 곱 A = LL^T로 표현될 수 있음을 보여준다.

3. 1. 기본 성질

4. 행렬 분해

조르당 분해를 사용하면 모든 정방 행렬은 두 개의 실수 대칭 행렬의 곱으로, 모든 정방 복소 행렬은 두 개의 복소 대칭 행렬의 곱으로 쓸 수 있음을 증명할 수 있다.^[5]

대칭 부정부호 행렬은 $PAP^\backslash textsf\{T\}\; =\; LDL^\backslash textsf\{T\}$로 분해될 수 있다. 여기서 $P$는 피벗 때문에 발생하는 순열 행렬, $L$은 하단 단위 삼각 행렬, $D$는 대칭 $1\; \backslash times\; 1$ 및 $2\; \backslash times\; 2$ 블록의 직합이다. 이를 번치-카우프만 분해라고 한다.^[6]

일반적인 (복소수) 대칭 행렬은 결함 행렬일 수 있으며, 따라서 대각화될 수 없는 경우도 있다.

4. 1. 촐레스키 분해

4. 2. 고유값 분해

4. 3. 극 분해

5. 응용

대칭행렬은 이차 형식과 헤세 행렬 연구에 응용된다.

라그랑주는 1759년에 $\backslash mathbb\{R\}^n$상의 모든 이차 형식 $q$를 대칭 $n\; \backslash times\; n$ 행렬 $A$를 사용하여 $q(\backslash mathbf\{x\})\; =\; \backslash mathbf\{x\}^\backslash textsf\{T\}\; A\; \backslash mathbf\{x\}$ 형태로 유일하게 표현할 수 있음을 보였다.^[7] 스펙트럼 정리에 따르면, $\backslash R^n$의 정규 직교 기저를 선택하면 모든 이차 형식은 $q\backslash left(x\_1,\; \backslash ldots,\; x\_n\backslash right)\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; \backslash lambda\_i\; x\_i^2$ ($\backslash lambda\_i$는 실수)와 같이 표현 가능하다. 이는 이차 형식 및 원뿔 곡선의 일반화인 레벨 집합 $\backslash left\backslash \{\; \backslash mathbf\{x\}\; :\; q(\backslash mathbf\{x\})\; =\; 1\; \backslash right\backslash \}$의 연구를 단순화한다.

$n$차 실수 대칭 행렬은 실수 ''n''변수의 두 번 연속 미분 가능한 함수의 헤세 행렬로 나타난다.^[7] 테일러 정리에 의해, 모든 매끄러운 다변수 함수의 2계 동작은 함수의 헤시안에 속하는 이차 형식에 의해 설명된다. 임의의 다변수 미분 가능 함수의 2계 거동은 $f(\backslash mathbf\{x\}+\backslash Delta\backslash mathbf\{x\})\backslash approx\; f(\backslash mathbf\{x\})\; +\; J(\backslash mathbf\{x\})\backslash Delta\; \backslash mathbf\{x\}\; +\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash Delta\backslash mathbf\{x\}^\backslash mathrm\{T\}\; H(\backslash mathbf\{x\})\; \backslash Delta\backslash mathbf\{x\}$ 와 같이 나타낼 수 있다.

5. 1. 이차 형식

5. 2. 헤세 행렬

6. 예시

다음은 $3\; \backslash times\; 3$ 대칭행렬의 예시이다.

:$$

\begin{pmatrix}

1&2&4\\

2&3&5\\

4&5&6

\end{pmatrix}

^[1]

:$$

\begin{bmatrix}

1 & 7 & 3 \\

7 & 4 & 5 \\

3 & 5 & 2

\end{bmatrix}

^[2]

7. 대칭화 가능 행렬

$n\; \backslash times\; n$ 행렬 $A$가 가역 대각 행렬 $D$와 대칭 행렬 $S$가 존재하여 $A\; =\; DS$를 만족하면 '''대칭화 가능'''하다고 한다.

대칭화 가능한 행렬의 전치 행렬도 대칭화 가능한데, $A^\{\backslash mathrm\; T\}=(DS)^\{\backslash mathrm\; T\}=SD=D^\{-1\}(DSD)$이고 $DSD$는 대칭 행렬이기 때문이다. 행렬 $A=(a\_\{ij\})$가 대칭화 가능하기 위한 필요충분조건은 다음과 같다.

# 모든 $1\; \backslash le\; i\; \backslash le\; j\; \backslash le\; n$에 대해 $a\_\{ij\}\; =\; 0$이면 $a\_\{ji\}\; =\; 0$이다.

# 임의의 유한 수열 $\backslash left(i\_1,\; i\_2,\; \backslash dots,\; i\_k\backslash right)$에 대해 $a\_\{i\_1\; i\_2\}\; a\_\{i\_2\; i\_3\}\; \backslash dots\; a\_\{i\_k\; i\_1\}\; =\; a\_\{i\_2\; i\_1\}\; a\_\{i\_3\; i\_2\}\; \backslash dots\; a\_\{i\_1\; i\_k\}$이다.

참고:왜대칭화 가능 행렬

참조

_[1] 서적 Álgebra lineal Editorial AC
_[2] 서적 Introduction to Matrix Analysis SIAM
_[3] 간행물
_[4] 간행물 On simultaneous diagonalization of one Hermitian and one symmetric form https://gallica.bnf.[...]
_[5] 논문 The factorization of a square matrix into two symmetric matrices
_[6] 서적 Matrix Computations Johns Hopkins University Press
_[7] 서적 Foundations of Modern Analysis Academic Press
_[8] 간행물 On simultaneous diagonalization of one Hermitian and one symmetric form http://www.jstor.org[...]
_[9] 논문 The factorization of a square matrix into two symmetric matrices
_[10] 서적 알기쉬운 선형대수 범한서적