등비수열

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1. 개요
2. 등비수열의 정의와 기본 성질
- 2.1. 점화식 표현
- 2.2. 공비에 따른 변화 양상
3. 등비수열의 예
4. 등비중항
5. 등비수열의 합
- 5.1. 무한등비급수
6. 등비수열의 곱
7. 역사
참조

1. 개요

등비수열은 각 항이 이전 항에 일정한 수를 곱하여 얻어지는 수열로, 점화식으로 표현할 수 있으며, 공비에 따라 다양한 변화 양상을 보인다. 등비수열의 연속하는 세 항 a, b, c는 항상 b² = ac 관계를 만족하며, 등비수열의 합은 공비가 1이 아닐 경우 a(1-rⁿ)/(1-r)로 나타낼 수 있다. 무한등비급수는 등비수열의 각 항을 무한히 더한 것으로, 공비의 절댓값이 1보다 작을 때 수렴한다. 고대 메소포타미아 시대부터 등비수열에 대한 기록이 존재하며, 유클리드의 '원론'에서도 등비수열의 속성을 다루고 있다.

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등비수열
정의
구분	수열
수학 분야	수학
관련 개념	등차수열
수열 정보
수열 예시	4, 12, 36, 108, …
공비 계산 예시	1= , , , …
수열 표기	}}
일반항 초기값	0
공비	r
항의 위치	n
공비 계산식	1= r = \|a}}
공비가 1일 때	1=r = 1
첫 번째 항	a
공비	r
초기값	a
항의 위치	n
n번째 항	a

2. 등비수열의 정의와 기본 성질

등비수열은 연속된 두 항의 비율이 일정한 수열이다. 첫 항이 $a$ 이고 공비가 $r$ 인 등비수열의 $n$ 번째 항, 즉 일반항은 다음과 같다.

: $a_n = a r^{n-1} \;$

일반적으로 $a_n = a_m\,r^{n-m}$ 이다.

어떤 수열이 등비수열인지 확인하려면, 연속된 항들의 비가 일정한지 확인하면 된다.

등비수열은 등차수열과 달리 지수적 변화를 보인다. 토머스 로버트 맬서스는 그의 저서 ''인구론''에서 이러한 등비수열의 특징을 활용했다. 등비수열과 등차수열은 지수와 로그를 통해 서로 연관된다. 등차수열의 각 항에 지수를 취하면 등비수열이 되고, 등비수열의 각 항에 로그를 취하면 등차수열이 된다. 형식적으로 등비수열의 일반항의 대수를 취하면

: $\log a_n = \log a + n \log r$

이 되어, 수열 $\log a_n$ 은 첫째 항 $\log a$ , 공차 $\log r$ 의 등차수열이 된다.

2. 1. 점화식 표현

등비수열은 다음과 같은 선형 점화 관계를 만족한다.

:

a_n = r\,a_{n-1}

(모든 정수

n > 1

에 대해)

이는 1차 상수 계수를 갖는 선형 점화식이다.

등비수열은 또한 다음과 같은 비선형 점화 관계를 만족한다.

:

a_{n} = a_{n-1}^2 / a_{n-2}

(모든 정수

n > 2

에 대해)

이는 2차 비선형 점화식으로 상수 계수를 가진다.

등비수열을 점화식으로 나타내면 다음과 같다.

:

\begin{cases}a_0 &= a \\a_{n+1} &= r a_n & (n \ge 0)\end{cases}

등비수열의 연속하는 3항을 작은 순서대로

a

,

b

,

c

라고 하면, 항상

b^2 = ac

가 성립한다.

2. 2. 공비에 따른 변화 양상

등비수열은 공비에 따라 여러 경향을 보인다.

양수이면, 모든 항은 첫 항과 같은 부호를 가진다.
음수이면, 부호가 계속 번갈아 나타나는데, 이를 교대 수열이라고 한다. 예를 들어 1, -3, 9, -27, 81, -243, ...은 공비가 -3인 교대 등비수열이다.
1보다 크면, 양의 무한대를 향해 지수적으로 증가한다.
1이면, 모든 항의 값이 같아진다.
-1과 1사이에 있지만 0이 아니면, 0을 향해 지수적으로 감소한다.
-1이면, 모든 항의 절댓값은 같지만, 부호가 계속 번갈아 가며 나타난다.
0이면, 첫 항을 제외한 모든 항이 0이 된다.

공비가 음수인 경우, 일반항은 다음과 같이 나타낼 수 있다. r = -|r|로 치환하면,

:

a_n = a(-|r|)^n = (-1)^na|r|^n

이 되어, 각 항은 n이 홀수이면 첫째 항과 다른 부호가 되고, 짝수이면 첫째 항과 같은 부호가 된다. 예를 들어 3, -6, 12, -24, ... 와 같은 공비가 -2인 등비수열의 일반항은 다음과 같다.

:

a_n = 3 \cdot (-2)^n= (-1)^{n} \, 3 \cdot 2^n

3. 등비수열의 예

첫 항이 1이고 공비가 2인 등비수열은 다음과 같다.^[1]

: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, ...

이는 1, 1×2, 1×2², 1×2³... 과 같이 표현할 수 있다.

첫 항이 729이고 공비가 2/3인 등비수열은 다음과 같다.^[1]

: 729, 486, 324, 216, 144, 96, 64, ...

첫 항이 3이고 공비가 -1인 등비수열은 다음과 같다.^[1]

: 3, -3, 3, -3, 3, -3, 3, -3, ...

4. 등비중항

0이 아닌 세 수 $a$ , $b$ , $c$ 가 이 순서로 등비수열을 이룰 때, $b$ 를 $a$ 와 $c$ 의 '''등비중항'''이라고 한다.

세 수 $a$ , $b$ , $c$ 가 등비중항이면, $\frac{b}{a} = \frac{c}{b} = r$ 즉, $b^2 =ac$ 가 성립한다.

$b^2 =ac$ 에서 $b=\pm\sqrt{ac}$ 이므로 등비중항은 양수와 음수로 2개이다.

$b=\pm\sqrt{ac}$ 은 기하 평균의 꼴이다.

등비수열의 연속하는 3항을 작은 순서대로 $a$ , $b$ , $c$ 라고 하면, 항상 $b^2 = ac$ 가 성립한다.

5. 등비수열의 합

등비수열의 첫 항부터 $n$ 번째 항까지의 합은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $\frac{a(1-r^n)}{1-r}$ (단, $r \neq 1$ )

편의상 $\frac{a(r^n-1)}{r-1}$ 를 사용해도 된다.

만약 $r=1$ 이면, 각 항은 모두 $a$ 이므로 합은 $na$ 가 된다.

$r \neq 1$ 인 경우, 등비수열의 합 $S_n$ 은 다음과 같이 유도할 수 있다.

: $S_n=a+ar+ar^2+ar^3+...+ar^{n-1}$

양변에 $r$ 을 곱하면,

: $rS_n=ar+ar^2+ar^3+...+ar^{n-1}+ar^n$

위 두 식을 빼면,

: $(1-r)S_n=a-ar^n$

$r \neq 1$ 이므로, 양변을 $(1-r)$ 로 나누면,

: $S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$

이 공식을 이용하여

a_1

부터

a_n

까지 더한 합인 등비급수(

S_n

)를 구할 수 있다.

5. 1. 무한등비급수

'''무한등비급수'''(infinite geometric series)는 등비수열의 각 항을 무한히 더한 것이다.

무한등비급수의 합은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\sum_{k=0}^\infty ar^k = \lim_{n\to\infty}{\sum_{k=0}^{n-1} ar^k} = \lim_{n\to\infty}\frac{a(1-r^n)}{1-r} = \frac{a}{1-r}  (

단,

|r| < 1

)

등비급수는 초항이 0 (

a=0

)인 경우나 공비의 절댓값이 1보다 작은 (

|r| < 1

) 경우에 수렴한다. 반대로 초항이 0이 아니고 (

a \ne 0

) 공비의 절댓값이 1 이상 (

|r| \ge 1

)인 경우에는 등비급수는 발산한다.^[3]

무한급수는 수열의 제

n

항까지의 부분합의 극한으로 정의된다. 등비급수가 수렴한다는 것은 다음 부분합의 극한이 수렴한다는 것으로 확인할 수 있다.^[3]

:

\begin{align}\sum_{k=0}^{\infty} ar^k&:= \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n} ar^k \\&= a\lim_{n\to\infty}\frac{\;1-r^{n+1}}{1-r\;} \\&\overset

6. 등비수열의 곱

등비수열의 무한 곱은 모든 항의 곱이다. n 제곱 항까지의 등비수열의 부분 곱은 다음과 같다.:

\prod_{k=0}^{n} ar^{(k)} = a^{n + 1} r^{n(n+1)/2}.

a와 r이 양의 실수일 때, 이는 부분 수열의 첫 번째 항과 마지막 개별 항의 기하 평균을 구한 다음, 그 평균을 항의 개수 n + 1로 거듭제곱하는 것과 같다.

:

\prod_{k=0}^{n} ar^k = a^{n+1} r^{n(n+1)/2} = (\sqrt{a^{2}r^n})^{n+1} \text{ for } a \geq 0, r \geq 0.

이는 유한 등차수열의 항의 합과 유사한 속성에 해당한다. 등차수열의 합은 항의 개수에 첫 번째 및 마지막 개별 항의 산술 평균을 곱한 값이다. 이러한 대응 관계는 모든 등차수열이 등비수열 항의 로그 수열이고, 모든 등비수열이 등차수열 항의 지수 수열이라는 일반적인 패턴을 따른다. 로그의 합은 지수 값의 곱에 해당한다.

P_n

을 n제곱까지의 곱으로 나타내면 다음과 같다.

:

P_n = a \cdot ar \cdot ar^2 \cdots ar^{n-1} \cdot ar^n

.

곱셈을 수행하고 같은 항을 모으면,

:

P_n = a^{n+1} r^{1+2+3+ \cdots +(n-1)+n}

.

r의 지수는 등차수열의 합이다. 그 합의 공식을 대입하면,

:

P_n = a^{n+1} r^\frac{n(n+1)}{2}

,

이것으로 증명이 완료된다.

이 식을 재정렬하면

:

P_n = (ar^\frac{n}{2})^{n+1}.

a를

\textstyle \sqrt{a^2}

로, r을

\textstyle \sqrt{r^2}

로 다시 쓰면, a < 0 또는 r < 0의 경우에는 유효하지 않지만,

:

P_n = (\sqrt{a^{2}r^n})^{n+1} \text{ for } a \geq 0, r \geq 0

이것은 기하 평균에 대한 공식이다.

7. 역사

메소포타미아의 고대 왕조 시대 (기원전 2900년경 ~ 기원전 2350년경) 점토판 MS 3047은 밑이 3이고 곱셈 인자가 1/2인 등비수열을 포함하고 있다. 이 점토판은 수메르의 슈루파크에서 유래한 것으로 추정된다. 이는 기원전 2000년에 시작된 고대 바빌로니아 수학 이전 시대의 등비수열에 대한 유일한 기록으로 알려져 있다.^[1]

유클리드의 ''원론'' 8권과 9권은 등비수열 (예: 2의 거듭제곱)을 분석하고 그 속성들을 제시한다.^[2]

참조

_[1] 서적 A remarkable collection of Babylonian mathematical texts Springer
_[2] 서적 The Thirteen Books of Euclid's Elements https://archive.org/[...] Dover Publications
_[3] 웹사이트 등비수열

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