수렴급수

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1. 개요

수렴급수는 급수 ${\displaystyle \sum_{j=1}^{\infty }a_{j}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots }$의 부분합 수열이 수렴하는 급수를 의미한다. 수렴급수가 아닌 급수는 발산급수라고 한다. 수렴급수는 교대 조화 급수, 2의 거듭제곱의 역수 합, 제곱수의 역수 합, 피보나치 수의 역수 합 등이 있다. 급수의 수렴 여부를 판정하는 방법으로는 발산판정법, 비교판정법, 비판정법, 근판정법, 적분판정법 등이 있으며, 절대수렴과 조건수렴의 개념이 존재한다. 또한 균등 수렴, 코시 수렴 기준과 관련된 내용도 다룬다.

수렴급수

개요

정의	유한한 합을 가지는 급수
부분합	''
표기	''

수렴 판정법

필요 조건	급수가 수렴하면, 급수의 항은 0으로 수렴한다.
코시 수렴 판정법	급수 ∑이 수렴할 필요충분조건은 임의의 ε > 0에 대해, 자연수 N이 존재하여 m > n > N일 때 \|∑ \| < ε을 만족하는 것이다.
양항 급수	비교 판정법, 비 판정법, 근 판정법, 적분 판정법 등을 사용하여 수렴 여부를 판정한다.
교대 급수	교대 급수 판정법을 사용하여 수렴 여부를 판정한다.

예시

기하 급수	'\|r\| < 1' 일 때 수렴하며, 합은 이다.
텔레스코핑 급수	부분합이 유한한 항만 남기고 대부분 상쇄되어 쉽게 계산되는 급수

같이 보기

관련 항목	수열 발산급수 수렴 수렴판정법

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1. 개요
2. 정의
3. 수렴급수와 발산급수의 예
- 3.1. 수렴급수의 예
- 3.2. 발산급수의 예
4. 수렴정리
5. 수렴(발산)판정법
6. 절대수렴과 조건수렴
- 6.1. 절대수렴
- 6.2. 조건수렴
7. 균등 수렴
8. 코시 수렴 기준

2. 정의

급수 $\sum_{j=1}^{\infty}a_j=a_1+a_2 +a_3+\cdots\,$ 의 $n\,$ 번째 부분합을 $S_n=\sum_{j=1}^{n}a_j\,$ 이라고 할 때, 부분합이 이루는 수열 $\{S_n\}\,$ 이 수렴하면 급수 $\sum_{j=1}^{\infty}a_j\,$ 를 수렴급수(convergent series)라고 한다.

즉, 부분합이 이루는 수열 $\{S_n\}\,$ 이 어떤 고정된 유한한 수 $S\,$ 에 수렴하여
: $\lim_{n\rightarrow \infty}S_n =S\,$
와 같이 쓸 수 있으면, $\sum_{j=1}^{\infty}a_j\,$ 를 수렴급수라고 하거나 급수 $\sum_{j=1}^{\infty}a_j\,$ 이 $S\,$ 로 수렴한다고 한다. 이때 $S\,$ 를 급수 $\sum_{j=1}^{\infty}a_j\,$ 의 합(sum)이라고 한다. 이 관계는
: $\lim_{n\rightarrow \infty}S_n=\lim_{n\rightarrow \infty}\left( \sum_{j=1}^{n}a_j \right)=\sum_{j=1}^{\infty}a_j=S\,$
와 같이 이해할 수 있다. 수렴급수가 아닌 급수를 발산급수(divergent series)라고 한다.

엄밀하게 말하면, 급수가 "통상적인 의미로" 수렴한다는 것은, 상수 l이 존재하여 임의의 양수 ε > 0에 대해 충분히 큰 정수 N = N_ε를 적절히 선택하면, n ≥ N인 임의의 정수 n에 대해

: $|S_n - l| \le \varepsilon$

을 만족하는 것을 말한다. 수렴하지 않는 급수는 발산한다고 한다.

3. 수렴급수와 발산급수의 예

수렴급수와 발산급수는 다양한 형태로 나타난다.

수렴급수

* : $\sum_{j=1}^{\infty}(-1)^{j+1}\frac{1}{j} = \ln 2.$ (교대 조화 급수)
* : $\sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{2^{j-1}} = 2.$ (등비 급수)
* : $\sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{j^2} = {\pi^2 \over 6}.$ (바젤 문제)
* : $\sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{j^3}$ (아페리 상수)
* 양의 정수의 역수의 부호를 번갈아 바꾸면 수렴 급수가 생성된다. ( ${1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots = \ln(2)$ , 교대 조화 급수)
* 삼각수의 역수는 수렴 급수를 생성한다. ( ${1 \over 1}+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+{1 \over 21}+\cdots = 2.$ )
* 계승의 역수는 수렴 급수를 생성한다. ( $\frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + \cdots = e.$ , e 참조)
* 제곱수의 역수는 수렴 급수를 생성한다. ( ${1 \over 1}+{1 \over 4}+{1 \over 9}+{1 \over 16}+{1 \over 25}+{1 \over 36}+\cdots = {\pi^2 \over 6}.$ , 바젤 문제)
* 2의 거듭제곱의 역수는 수렴 급수를 생성한다. ( ${1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+{1 \over 32}+\cdots = 2.$ )
* n>1인 등비 급수의 역수는 수렴 급수를 생성한다. ( ${1 \over 1}+{1 \over n}+{1 \over n^2}+{1 \over n^3}+{1 \over n^4}+{1 \over n^5}+\cdots = {n\over n-1}.$ )
* 2의 거듭제곱의 역수의 부호를 번갈아 바꾸는 것도 수렴 급수를 생성한다. ( ${1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 4}-{1 \over 8}+{1 \over 16}-{1 \over 32}+\cdots = {2\over3}.$ )
* n>1의 거듭제곱의 역수의 부호를 번갈아 바꾸면 수렴 급수가 생성된다. ( ${1 \over 1}-{1 \over n}+{1 \over n^2}-{1 \over n^3}+{1 \over n^4}-{1 \over n^5}+\cdots = {n\over n+1}.$ )
* 피보나치 수의 역수는 수렴 급수를 생성한다. ( $\frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{8} + \cdots = \psi.$ , ψ 참조)
* 모든 자연수의 역수의 교대합(각 항의 부호가 교대적으로 바뀌는 급수)은 ln2에 수렴한다.
* 모든 양의 홀수의 역수의 교대합은 수렴하고, $\pi/4$ 와 같다. (라이프니츠 공식)
* 모든 삼각수의 역수 합은 2에 수렴한다.
* 모든 계승수의 역수 합은 수렴하여 네이피어 수와 같다.
* 모든 제곱수의 역수 합이 수렴하는 것은 바젤 문제라고 하며, 오일러가 긍정적으로 해결했다. 이것은 리만 제타 함수의 2에서의 값 ζ(2)이다.
* 모든 2의 거듭제곱의 역수 합은 2에 수렴한다.
* 모든 세제곱수의 역수 합은 수렴하고, 이 값 ζ(3) (아페리 상수)은 무리수임이 증명되었다. (아페리 정리)
* 모든 피보나치 수의 역수 합은 수렴하고, 이 값은 무리수임이 증명되었다. (피보나치 수열의 역수 합)

발산급수

* $\sum_{j=1}^{\infty}(-1)^j=-1+1-1+\cdots.$
* $\sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{j}={1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+\cdots.$
* $\sum_{j=1}^{\infty}\frac{2j-1}{5j}=\frac{1}{5}+\frac{3}{10}+\frac{5}{15}\cdots.$

조화 급수는 자연수의 역수로 이루어진 발산 급수이다.

: ${1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+\cdots \rightarrow \infty.$

소수의 역수로 이루어진 급수는 발산 급수이다. (이는 소수의 집합이 "큰" 집합임을 의미한다. 소수의 역수 합의 발산 참조)

: ${1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+{1 \over 7}+{1 \over 11}+{1 \over 13}+\cdots \rightarrow \infty.$

3.1. 수렴급수의 예

* : $\sum_{j=1}^{\infty}(-1)^{j+1}\frac{1}{j}={1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-{1 \over 6}+\cdots = \ln 2.$ (교대 조화 급수)
* : $\sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{2^{j-1}}={1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+{1 \over 32}+\cdots = 2.$ (등비 급수)
* : $\sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{j^2}={1 \over 1}+{1 \over 4}+{1 \over 9}+{1 \over 16}+{1 \over 25}+{1 \over 36}+\cdots = {\pi^2 \over 6}.$ (바젤 문제)
* : $\sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{j^3}={1 \over 1}+{1 \over 8}+{1 \over 27}+\cdots$ (수렴급수이지만 그 정확한 합은 알려져 있지 않다.)
* 양의 정수의 역수의 부호를 번갈아 바꾸면 수렴 급수가 생성된다(교대 조화 급수):
*: ${1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots = \ln(2)$
* 삼각수의 역수는 수렴 급수를 생성한다:
*: ${1 \over 1}+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+{1 \over 21}+\cdots = 2.$
* 계승의 역수는 수렴 급수를 생성한다(e 참조):
*: $\frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + \cdots = e.$
* 제곱수의 역수는 수렴 급수를 생성한다(바젤 문제):
*: ${1 \over 1}+{1 \over 4}+{1 \over 9}+{1 \over 16}+{1 \over 25}+{1 \over 36}+\cdots = {\pi^2 \over 6}.$
* 2의 거듭제곱의 역수는 수렴 급수를 생성한다
*: ${1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+{1 \over 32}+\cdots = 2.$
* n>1의 거듭제곱의 역수는 수렴 급수를 생성한다:
*: ${1 \over 1}+{1 \over n}+{1 \over n^2}+{1 \over n^3}+{1 \over n^4}+{1 \over n^5}+\cdots = {n\over n-1}.$
* 2의 거듭제곱의 역수의 부호를 번갈아 바꾸는 것도 수렴 급수를 생성한다:
*: ${1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 4}-{1 \over 8}+{1 \over 16}-{1 \over 32}+\cdots = {2\over3}.$
* n>1의 거듭제곱의 역수의 부호를 번갈아 바꾸면 수렴 급수가 생성된다:
*: ${1 \over 1}-{1 \over n}+{1 \over n^2}-{1 \over n^3}+{1 \over n^4}-{1 \over n^5}+\cdots = {n\over n+1}.$
* 피보나치 수의 역수는 수렴 급수를 생성한다(ψ 참조):
*: $\frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{8} + \cdots = \psi.$
* 모든 자연수의 역수의 교대합(각 항의 부호가 교대적으로 바뀌는 급수)은 ln2에 수렴한다.
* 모든 양의 홀수의 역수의 교대합은 수렴하고, $\pi/4$ 와 같다. (라이프니츠 공식)
* 모든 삼각수의 역수 합은 2에 수렴한다.
* 모든 계승수의 역수 합은 수렴하여 네이피어 수와 같다.
* 모든 제곱수의 역수 합이 수렴하는 것은 바젤 문제라고 하며, 오일러가 긍정적으로 해결했다. 이것은 리만 제타 함수의 2에서의 값 ζ(2)이다.
* 모든 2의 거듭제곱의 역수 합은 2에 수렴한다.
* 모든 세제곱수의 역수 합은 수렴하고, 이 값 ζ(3) (아페리 상수)은 무리수임이 증명되었다. (아페리 정리)
* 모든 피보나치 수의 역수 합은 수렴하고, 이 값은 무리수임이 증명되었다. (피보나치 수열의 역수 합)

3.2. 발산급수의 예

다음은 발산하는 급수의 예시이다.

* $\sum_{j=1}^{\infty}(-1)^j=-1+1-1+\cdots.$
* $\sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{j}={1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+\cdots.$
* $\sum_{j=1}^{\infty}\frac{2j-1}{5j}=\frac{1}{5}+\frac{3}{10}+\frac{5}{15}\cdots.$

조화 급수는 자연수의 역수로 이루어진 발산 급수이다.

: ${1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+\cdots \rightarrow \infty.$

소수의 역수로 이루어진 급수는 발산 급수이다. (이는 소수의 집합이 "큰" 집합임을 의미한다. 소수의 역수 합의 발산 참조)

: ${1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+{1 \over 7}+{1 \over 11}+{1 \over 13}+\cdots \rightarrow \infty.$

4. 수렴정리

두 수렴급수 $\sum_{j=1}^{\infty}a_j\,$ , $\sum_{j=1}^{\infty}b_j\,$ 의 합을 각각 $A,\, B\,$ 라고 하면 다음이 성립한다.

* 상수 $\alpha$ 에 대해, $\sum_{j=1}^{\infty}\alpha a_j= \alpha \sum_{j=1}^{\infty}a_j=\alpha A\,$
* $\sum_{j=1}^{\infty}(a_j\pm b_j)= \sum_{j=1}^{\infty}a_j\pm\sum_{j=1}^{\infty}b_j =A\pm B\,$

5. 수렴(발산)판정법

급수의 수렴 여부를 판정하는 방법은 여러 가지가 알려져 있다. 그러나 어떤 한 가지 방법으로 모든 급수의 수렴 여부를 판정하는 것은 어렵다. 또한 수렴 여부 판정이 수렴급수의 합에 대한 정보를 주는 것은 아니므로, 수렴급수의 합을 구하는 것은 또 다른 문제이다.

일반적으로 다음과 같은 판정법들이 알려져 있다.

* 발산판정법
* 비교판정법
* 비판정법
* 근판정법
* 적분판정법
* 극한비교판정법
* 교대급수에 대한 수렴판정법
* 코시의 수렴판정법
* 디리클레 판정법
* 아벨 판정법

비판정법과 근판정법은 모두 기하급수와의 비교를 기반으로 하며, 비슷한 상황에서 작동한다. 비판정법이 작동하면 (즉, 극한이 존재하고 1과 같지 않으면) 근판정법도 작동한다. 그러나 그 반대는 성립하지 않는다. 따라서 근판정법이 더 일반적으로 적용 가능하지만, 실제로는 급수의 극한을 계산하기 어려울 때가 많다.

5.1. 발산판정법

급수 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$이 수렴하면 $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0$이다. 따라서 $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0$이 아닌 급수 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$는 발산급수이다. 이를 이용하여 급수의 발산을 판정하는 방법을 발산판정법이라고 한다.

* $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n}{4n+1}$은 $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2n}{4n+1}=\frac{1}{2}\neq0$이므로 발산급수이다.
* 급수 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$이 조건 $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0$을 만족한다해도 수렴급수가 아닐 수도 있다.

5.2. 비교판정법

비교판정법은 급수 $\sum_{n=1}^\infty a_n$의 수렴 여부를 판정하기 위해 항 $a_n$과 이미 수렴 또는 발산 여부가 알려진 급수 $\sum_{n=1}^\infty b_n$의 항 $b_n$을 비교하는 방법이다. 비교판정법의 내용은 다음과 같다. 모든 $n$에 대해

* $0 \le \ a_n \le \ b_n$이고, $\sum_{n=1}^\infty b_n$이 수렴하면 $\sum_{n=1}^\infty a_n$도 수렴한다.
* $0 \le \ b_n \le \ a_n$이고, $\sum_{n=1}^\infty b_n$이 발산하면 $\sum_{n=1}^\infty a_n$도 발산한다.

--

즉, 모든 n에 대해 $0 \le \ a_n \le \ b_n$이고 $\sum_{n=1}^\infty b_n$이 수렴하면, $\sum_{n=1}^\infty a_n$도 수렴한다.

반대로, 모든 n에 대해 $0 \le \ b_n \le \ a_n$이고 $\sum_{n=1}^\infty b_n$이 발산하면, $\sum_{n=1}^\infty a_n$도 발산한다.

5.3. 비판정법

급수 $\sum_{n=1}^\infty a_n$의 수렴 여부를 판정하기 위해 인접한 두 항 $a_n, a_{n+1}$의 비(ratio)의 극한을 이용하는 방법이다. 비판정법의 내용은 다음과 같다. 모든 $n$에 대해 $a_n>0$이고
\[\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = r\]
일 때
* r < 1 이면 $\sum_{n=1}^\infty a_n$은 수렴급수이다.
* r > 1 이면 $\sum_{n=1}^\infty a_n$은 발산급수이다.
* r = 1 이면 비판정법으로 급수 $\sum_{n=1}^\infty a_n$의 수렴 여부를 결정할 수 없다. (즉, 수렴 여부의 결정을 위해 다른 방법을 이용해야 한다.)

달랑베르의 수렴 판정법이라고도 한다. 복소수열 $(a_n)$에 대해,
\[\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = r\]
와 같은 상수 r이 존재한다고 가정한다.
r < 1이면 급수 $\Sigma a_n$는 수렴하고, r > 1이면 급수는 발산한다. r = 1일 때는 이 판정법으로는 수렴하는지 발산하는지 알 수 없다.

비판정법은 근판정법과 함께 기하 급수의 거동과 비교하는 것에 기초한 판정법이며, 이러한 판정법이 유효한 장면도 비슷하다. 실은, 비판정법이 유효한 (극한이 존재하고 1이 아닌) 때, 근판정법은 항상 유효하지만, 그 반대는 옳지 않다.

5.4. 근판정법

수렴급수의 수렴 여부를 판정하기 위해 항 $a_n$ 의 n제곱근(n-th root)의 극한을 이용하는 방법이다. 근판정법의 내용은 다음과 같다. 모든 $n\,$ 에 대해 $a_n\ge 0\,$ 이고
: $\lim_{n \to \infty} (a_n)^{\frac{1}{n}} = r$
일 때
* r < 1 이면 $\sum_{n=1}^\infty a_n\,$ 은 수렴급수이다.
* r > 1 이면 $\sum_{n=1}^\infty a_n\,$ 은 발산급수이다.
* r = 1 이면 근판정법으로 급수 $\sum_{n=1}^\infty a_n\,$ 의 수렴 여부를 결정할 수 없다.(즉, 수렴 여부의 결정을 위해 다른 방법을 이용해야 한다.)

5.5. 적분판정법

이상적분과 비교하여 급수의 수렴 또는 발산을 판정하는 방법이다.

$f\,$ 를 구간 $[1, \infty)\,$ 에서 양의 값을 갖는 단조감소하는 연속함수라고 하자. 모든 n에 대해 $f(n) = a_n\,$ 이고
: $\int_{1}^{\infty} f(x)\, dx = \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} f(x)\, dx < \infty,$
이면 $\sum_{n=1}^\infty a_n\,$ 는 수렴급수이다. 그러나 위 이상적분이 존재하지 않으면 $\sum_{n=1}^\infty a_n\,$ 는 발산급수이다.

$f(n) = a_n$ 을 양수이고 단조 감소 함수라고 할때,

: $\int_{1}^{\infty} f(x)\, dx = \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} f(x)\, dx < \infty,$

이면, 그 급수는 수렴한다. 하지만 적분이 발산하면, 그 급수도 발산한다.

5.6. 기타 판정법

이외에도 극한비교판정법, 교대급수에 대한 수렴판정법, 코시의 수렴판정법, 디리클레 판정법, 아벨 판정법 등이 있다.

극한 비교 판정법: $\left \{ a_n \right \}, \left \{ b_n \right \} > 0$ 이고 극한 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$ 이 존재하고 0이 아니면, $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 는 $\sum_{n=1}^\infty b_n$ 이 수렴할 때 필요충분 조건으로 수렴한다.

교대 급수 판정법: '라이프니츠 판정법'이라고도 알려진 교대 급수 판정법은 $\sum_{n=1}^\infty a_n (-1)^n$ 형태의 교대 급수에 대해, 만약 $\left \{ a_n \right \}$ 이 단조롭게 감소하고, 무한대에서 0의 극한을 가지면, 그 급수는 수렴한다고 명시한다.

코시 압축 판정법: $\left \{ a_n \right \}$ 이 양수 단조 감소 수열이면, $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 는 $\sum_{k=1}^\infty 2^k a_{2^{k}}$ 가 수렴할 때 필요충분 조건으로 수렴한다.

디리클레 판정법: 양의 수열 (a_n)이 단조 감소하고 0으로 수렴하며, 복소수열 (b_n)에 대해, 모든 양의 정수 N에 대해 $\left|\sum^{N}_{n=1}b_n\right|\leq M$ 을 만족하는 상수 $M$ 이 존재한다면, 급수 $\sum^{\infty}_{n=1}a_n b_n$ 는 수렴한다.

아벨 판정법

6. 절대수렴과 조건수렴

급수 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n\,$ 의 모든 항이 음이 아닌 값을 가지면( $a_n\ge 0\,$ ), 이 급수를 양항급수라고 한다. 비교판정법, 비판정법, 근판정법, 적분판정법은 모두 양항급수의 수렴 여부를 판정하는 방법이다. 절대수렴의 개념은 양항급수가 아닌 경우에도 이러한 판정법을 이용하여 급수의 수렴 여부를 판정할 수 있게 해준다.

절대수렴과 조건수렴은 급수의 수렴성을 더 자세히 분류하는 개념이다. 어떤 급수가 절대수렴하는 경우, 그 급수는 원래 급수와 각 항의 절대값을 취한 급수가 모두 수렴하는 급수를 의미한다. 반면, 조건수렴은 원래 급수는 수렴하지만, 각 항의 절대값을 취한 급수는 발산하는 경우를 말한다.

6.1. 절대수렴

급수 $\sum_{j=1}^{\infty}|a_j|\,$ 가 수렴하면 $\sum_{j=1}^{\infty}a_j\,$ 가 절대수렴한다고 한다. 절대수렴하는 급수는 수렴급수이다. 즉, $\sum_{j=1}^{\infty}|a_j|\,$ 가 수렴하면 $\sum_{j=1}^{\infty}a_j\,$ 도 수렴한다.

임의의 수열 (a₁, a₂, ...)에 대해, a_n ≤ |a_n|이 임의의 n에 대해 성립하므로,

: $\left|\sum_{n=1}^\infty a_n\right| \le \sum_{n=1}^\infty |a_n|$

임을 알 수 있다. 이것은 우변이 수렴하면 원래의 급수도 수렴한다는 것을 나타낸다(역은 성립하지 않는다).

무한 급수 ∑|a_n|이 수렴하면, 무한 급수 ∑ a_n은 절대수렴(absolutely convergent^영어)한다고 한다. 절대 수렴 급수의 부분합이 이루는 증가열에서 각 값을 연결하여 얻어지는 꺾은선은 유한한 길이를 갖는다. 지수 함수의 테일러 급수는 모든 곳에서 절대 수렴한다.

6.2. 조건수렴

$\sum_{j=1}^{\infty}a_j\,$ 가 수렴하지만, $\sum_{j=1}^{\infty}|a_j|\,$ 가 발산하면 $\sum_{j=1}^{\infty}a_j\,$ 를 조건수렴이라고 한다. $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots\,$ 은 수렴급수이지만, $\sum_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n+1}\frac{1}{n}\right|=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots\,$ 는 발산하므로 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}\,$ 은 절대수렴하지 않는다. 그러므로 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}\,$ 은 조건수렴하는 급수이다.

$\sum_{n=1}^\infty a_n$ 은 수렴하지만 $\sum_{n=1}^\infty \left| a_n \right|$ 이 발산하면, 이 수열은 조건 수렴한다. 로그 함수 $\ln(1+x)$ 의 맥클로린 급수는 x = 1에서 조건 수렴한다.

무한 급수

\sum_{n=1}^\infty a_n

이 수렴하고, 무한 급수

\sum_{n=1}^\infty|a_n|

이 발산하면, 이 무한 급수는 조건수렴(conditionally convergent^영어)한다고 한다. 조건 수렴 급수의 부분합의 값을 연결하여 얻어지는 선분은 길이가 무한대가 된다. 로그 함수의 테일러 급수는 수렴역의 각 점에서 조건 수렴한다.

리만 재배열 정리(Riemann series theorem)는 "조건 수렴 급수는 그 항을 재배열하여 임의의 값에 수렴하게 하거나, 발산시킬 수 있다"는 것을 말한다.

조건 수렴 대신에 반수렴 semiconvergent^영어이라고도 한다. 반대로 절대수렴 대신에 무조건 수렴 unconditionally convergent^영어이라고도 한다.

7. 균등 수렴

Uniform convergence^영어

함수열 $\left \{ f_1,\ f_2,\ f_3,\dots \right \}$ 에 대해, 급수 $\sum_{n=1}^\infty f_n$ 이 f로 균등 수렴한다는 것은 부분합 수열 $\{s_n\}$ 이 f로 균등 수렴하는 것을 의미한다. 이때, $\{s_n\}$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $s_n(x) = \sum_{k=1}^n f_k (x)$

함수의 무한 급수에 대한 비교 판정법과 유사한 바이어슈트라스 M-판정법이 존재한다.

8. 코시 수렴 기준

코시 수렴 기준에 따르면, 급수
: $\sum_{n=1}^\infty a_n$
는 부분합의 수열이 코시 수열일 때 필요충분조건으로 수렴한다.

이는 모든 $\varepsilon > 0$ 에 대해, 모든 $n \geq m \geq N$ 에 대해
: $\left| \sum_{k=m}^n a_k \right| < \varepsilon.$
가 성립하는 양의 정수 $N$ 이 존재함을 의미하며, 다음 식과 동치이다.

: $\lim_{m \to \infty} \left(\sup_{n>m} \left|\sum_{k=m}^{n} a_k \right| \right) = 0.$

실수열에 관한 코시 판정법에 따르면, 실수를 항으로 하는 급수가 수렴하는 필요충분조건은 그 부분합의 열이 코시 수열을 이루는 것이다. 즉, 임의의 양수 ε > 0에 대해 양의 정수 N이 존재하여, n ≥ m ≥ N인 모든 m, n에 대해
: $\left| \sum_{k=m}^n a_k \right| < \varepsilon$
이 성립한다는 것이며, 다음 식으로도 나타낼 수 있다.
: $\lim_{n \to \infty \atop m\to \infty} \sum_{k=n}^{n+m} a_k = 0$