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수렴급수

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목차

1. 개요

수렴급수는 급수 ${\displaystyle \sum_{j=1}^{\infty }a_{j}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots }$의 부분합 수열이 수렴하는 급수를 의미한다. 수렴급수가 아닌 급수는 발산급수라고 한다. 수렴급수는 교대 조화 급수, 2의 거듭제곱의 역수 합, 제곱수의 역수 합, 피보나치 수의 역수 합 등이 있다. 급수의 수렴 여부를 판정하는 방법으로는 발산판정법, 비교판정법, 비판정법, 근판정법, 적분판정법 등이 있으며, 절대수렴과 조건수렴의 개념이 존재한다. 또한 균등 수렴, 코시 수렴 기준과 관련된 내용도 다룬다.

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수렴급수
개요
정의유한한 합을 가지는 급수
부분합''
표기''
수렴 판정법
필요 조건급수가 수렴하면, 급수의 항은 0으로 수렴한다.
코시 수렴 판정법급수 ∑이 수렴할 필요충분조건은 임의의 ε > 0에 대해, 자연수 N이 존재하여 m > n > N일 때 |∑ | < ε을 만족하는 것이다.
양항 급수비교 판정법, 비 판정법, 근 판정법, 적분 판정법 등을 사용하여 수렴 여부를 판정한다.
교대 급수교대 급수 판정법을 사용하여 수렴 여부를 판정한다.
예시
기하 급수''
'|r| < 1' 일 때 수렴하며, 합은 ''이다.
텔레스코핑 급수부분합이 유한한 항만 남기고 대부분 상쇄되어 쉽게 계산되는 급수
같이 보기
관련 항목수열
발산급수
수렴
수렴판정법

2. 정의

급수 \sum_{j=1}^{\infty}a_j=a_1+a_2 +a_3+\cdots\,의 n\,번째 부분합을 S_n=\sum_{j=1}^{n}a_j\,이라고 할 때, 부분합이 이루는 수열 \{S_n\}\,이 수렴하면 급수 \sum_{j=1}^{\infty}a_j\,를 '''수렴급수'''(convergent series)라고 한다.

즉, 부분합이 이루는 수열 \{S_n\}\,이 어떤 고정된 유한한 수 S\,에 수렴하여

:\lim_{n\rightarrow \infty}S_n =S\,

와 같이 쓸 수 있으면, \sum_{j=1}^{\infty}a_j\,를 수렴급수라고 하거나 급수 \sum_{j=1}^{\infty}a_j\,이 S\,로 수렴한다고 한다. 이때 S\,를 급수 \sum_{j=1}^{\infty}a_j\,의 '''합'''(sum)이라고 한다. 이 관계는

:\lim_{n\rightarrow \infty}S_n=\lim_{n\rightarrow \infty}\left( \sum_{j=1}^{n}a_j \right)=

\sum_{j=1}^{\infty}a_j=S\,

와 같이 이해할 수 있다. 수렴급수가 아닌 급수를 '''발산급수'''(divergent series)라고 한다.

엄밀하게 말하면, 급수가 "통상적인 의미로" 수렴한다는 것은, 상수 ''l''이 존재하여 임의의 양수 ε > 0에 대해 충분히 큰 정수 ''N'' = ''N''ε를 적절히 선택하면, ''n'' ≥ ''N''인 임의의 정수 ''n''에 대해

:|S_n - l| \le \varepsilon

을 만족하는 것을 말한다. 수렴하지 않는 급수는 발산한다고 한다.

3. 수렴급수와 발산급수의 예

수렴급수와 발산급수는 다양한 형태로 나타난다.

'''수렴급수'''


  • :\sum_{j=1}^{\infty}(-1)^{j+1}\frac{1}{j} = \ln 2. (교대 조화 급수)
  • :\sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{2^{j-1}} = 2. (등비 급수)
  • :\sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{j^2} = {\pi^2 \over 6}. (바젤 문제)
  • :\sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{j^3} (아페리 상수)
  • 양의 정수의 역수의 부호를 번갈아 바꾸면 수렴 급수가 생성된다. ({1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots = \ln(2), 교대 조화 급수)
  • 삼각수의 역수는 수렴 급수를 생성한다. ({1 \over 1}+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+{1 \over 21}+\cdots = 2.)
  • 계승의 역수는 수렴 급수를 생성한다. (\frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + \cdots = e., e 참조)
  • 제곱수의 역수는 수렴 급수를 생성한다. ({1 \over 1}+{1 \over 4}+{1 \over 9}+{1 \over 16}+{1 \over 25}+{1 \over 36}+\cdots = {\pi^2 \over 6}., 바젤 문제)
  • 2의 거듭제곱의 역수는 수렴 급수를 생성한다. ({1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+{1 \over 32}+\cdots = 2.)
  • n>1인 등비 급수의 역수는 수렴 급수를 생성한다. ({1 \over 1}+{1 \over n}+{1 \over n^2}+{1 \over n^3}+{1 \over n^4}+{1 \over n^5}+\cdots = {n\over n-1}.)
  • 2의 거듭제곱의 역수의 부호를 번갈아 바꾸는 것도 수렴 급수를 생성한다. ({1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 4}-{1 \over 8}+{1 \over 16}-{1 \over 32}+\cdots = {2\over3}.)
  • n>1의 거듭제곱의 역수의 부호를 번갈아 바꾸면 수렴 급수가 생성된다. ({1 \over 1}-{1 \over n}+{1 \over n^2}-{1 \over n^3}+{1 \over n^4}-{1 \over n^5}+\cdots = {n\over n+1}.)
  • 피보나치 수의 역수는 수렴 급수를 생성한다. (\frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{8} + \cdots = \psi., ψ 참조)
  • 모든 자연수의 역수의 교대합(각 항의 부호가 교대적으로 바뀌는 급수)은 ln2에 수렴한다.
  • 모든 양의 홀수의 역수의 교대합은 수렴하고, \pi/4 와 같다. (라이프니츠 공식)
  • 모든 삼각수의 역수 합은 2에 수렴한다.
  • 모든 계승수의 역수 합은 수렴하여 네이피어 수와 같다.
  • 모든 제곱수의 역수 합이 수렴하는 것은 바젤 문제라고 하며, 오일러가 긍정적으로 해결했다. 이것은 리만 제타 함수의 2에서의 값 ζ(2)이다.
  • 모든 2의 거듭제곱의 역수 합은 2에 수렴한다.
  • 모든 세제곱수의 역수 합은 수렴하고, 이 값 ζ(3) (아페리 상수)은 무리수임이 증명되었다. (아페리 정리)
  • 모든 피보나치 수의 역수 합은 수렴하고, 이 값은 무리수임이 증명되었다. (피보나치 수열의 역수 합)


'''발산급수'''

  • \sum_{j=1}^{\infty}(-1)^j=-1+1-1+\cdots.
  • \sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{j}={1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+\cdots.
  • \sum_{j=1}^{\infty}\frac{2j-1}{5j}=\frac{1}{5}+\frac{3}{10}+\frac{5}{15}\cdots.


조화 급수는 자연수의 역수로 이루어진 발산 급수이다.

:{1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+\cdots \rightarrow \infty.

소수의 역수로 이루어진 급수는 발산 급수이다. (이는 소수의 집합이 "큰" 집합임을 의미한다. 소수의 역수 합의 발산 참조)

:{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+{1 \over 7}+{1 \over 11}+{1 \over 13}+\cdots \rightarrow \infty.

3. 1. 수렴급수의 예


  • :\sum_{j=1}^{\infty}(-1)^{j+1}\frac{1}{j}={1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-{1 \over 6}+\cdots = \ln 2. (교대 조화 급수)
  • :\sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{2^{j-1}}={1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+{1 \over 32}+\cdots = 2. (등비 급수)
  • :\sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{j^2}={1 \over 1}+{1 \over 4}+{1 \over 9}+{1 \over 16}+{1 \over 25}+{1 \over 36}+\cdots = {\pi^2 \over 6}. (바젤 문제)
  • :\sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{j^3}={1 \over 1}+{1 \over 8}+{1 \over 27}+\cdots (수렴급수이지만 그 정확한 합은 알려져 있지 않다.)
  • 양의 정수의 역수의 부호를 번갈아 바꾸면 수렴 급수가 생성된다(교대 조화 급수):
  • : {1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots = \ln(2)
  • 삼각수의 역수는 수렴 급수를 생성한다:
  • : {1 \over 1}+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+{1 \over 21}+\cdots = 2.
  • 계승의 역수는 수렴 급수를 생성한다(e 참조):
  • : \frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + \cdots = e.
  • 제곱수의 역수는 수렴 급수를 생성한다(바젤 문제):
  • : {1 \over 1}+{1 \over 4}+{1 \over 9}+{1 \over 16}+{1 \over 25}+{1 \over 36}+\cdots = {\pi^2 \over 6}.
  • 2의 거듭제곱의 역수는 수렴 급수를 생성한다
  • : {1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+{1 \over 32}+\cdots = 2.
  • n>1의 거듭제곱의 역수는 수렴 급수를 생성한다:
  • : {1 \over 1}+{1 \over n}+{1 \over n^2}+{1 \over n^3}+{1 \over n^4}+{1 \over n^5}+\cdots = {n\over n-1}.
  • 2의 거듭제곱의 역수의 부호를 번갈아 바꾸는 것도 수렴 급수를 생성한다:
  • : {1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 4}-{1 \over 8}+{1 \over 16}-{1 \over 32}+\cdots = {2\over3}.
  • n>1의 거듭제곱의 역수의 부호를 번갈아 바꾸면 수렴 급수가 생성된다:
  • : {1 \over 1}-{1 \over n}+{1 \over n^2}-{1 \over n^3}+{1 \over n^4}-{1 \over n^5}+\cdots = {n\over n+1}.
  • 피보나치 수의 역수는 수렴 급수를 생성한다(ψ 참조):
  • : \frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{8} + \cdots = \psi.
  • 모든 자연수의 역수의 교대합(각 항의 부호가 교대적으로 바뀌는 급수)은 ln2에 수렴한다.
  • 모든 양의 홀수의 역수의 교대합은 수렴하고, \pi/4 와 같다. (라이프니츠 공식)
  • 모든 삼각수의 역수 합은 2에 수렴한다.
  • 모든 계승수의 역수 합은 수렴하여 네이피어 수와 같다.
  • 모든 제곱수의 역수 합이 수렴하는 것은 바젤 문제라고 하며, 오일러가 긍정적으로 해결했다. 이것은 리만 제타 함수의 2에서의 값 ζ(2)이다.
  • 모든 2의 거듭제곱의 역수 합은 2에 수렴한다.
  • 모든 세제곱수의 역수 합은 수렴하고, 이 값 ζ(3) (아페리 상수)은 무리수임이 증명되었다. (아페리 정리)
  • 모든 피보나치 수의 역수 합은 수렴하고, 이 값은 무리수임이 증명되었다. (피보나치 수열의 역수 합)

3. 2. 발산급수의 예

다음은 발산하는 급수의 예시이다.

  • \sum_{j=1}^{\infty}(-1)^j=-1+1-1+\cdots.
  • \sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{j}={1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+\cdots.
  • \sum_{j=1}^{\infty}\frac{2j-1}{5j}=\frac{1}{5}+\frac{3}{10}+\frac{5}{15}\cdots.


조화 급수는 자연수의 역수로 이루어진 발산 급수이다.

:{1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+\cdots \rightarrow \infty.

소수의 역수로 이루어진 급수는 발산 급수이다. (이는 소수의 집합이 "큰" 집합임을 의미한다. 소수의 역수 합의 발산 참조)

:{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+{1 \over 7}+{1 \over 11}+{1 \over 13}+\cdots \rightarrow \infty.

4. 수렴정리

두 수렴급수 \sum_{j=1}^{\infty}a_j\,, \sum_{j=1}^{\infty}b_j\,의 합을 각각 A,\, B\,라고 하면 다음이 성립한다.


  • 상수 \alpha에 대해, \sum_{j=1}^{\infty}\alpha a_j= \alpha \sum_{j=1}^{\infty}a_j=\alpha A\,
  • \sum_{j=1}^{\infty}(a_j\pm b_j)= \sum_{j=1}^{\infty}a_j\pm\sum_{j=1}^{\infty}b_j =A\pm B\,

5. 수렴(발산)판정법

급수의 수렴 여부를 판정하는 방법은 여러 가지가 알려져 있다. 그러나 어떤 한 가지 방법으로 모든 급수의 수렴 여부를 판정하는 것은 어렵다. 또한 수렴 여부 판정이 수렴급수의 합에 대한 정보를 주는 것은 아니므로, 수렴급수의 합을 구하는 것은 또 다른 문제이다.

일반적으로 다음과 같은 판정법들이 알려져 있다.



비판정법과 근판정법은 모두 기하급수와의 비교를 기반으로 하며, 비슷한 상황에서 작동한다. 비판정법이 작동하면 (즉, 극한이 존재하고 1과 같지 않으면) 근판정법도 작동한다. 그러나 그 반대는 성립하지 않는다. 따라서 근판정법이 더 일반적으로 적용 가능하지만, 실제로는 급수의 극한을 계산하기 어려울 때가 많다.

5. 1. 발산판정법

급수 \(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)이 수렴하면 \(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0\)이다. 따라서 \(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0\)이 아닌 급수 \(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)는 발산급수이다. 이를 이용하여 급수의 발산을 판정하는 방법을 발산판정법이라고 한다.

  • \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n}{4n+1}\)은 \(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2n}{4n+1}=\frac{1}{2}\neq0\)이므로 발산급수이다.
  • 급수 \(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)이 조건 \(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0\)을 만족한다해도 수렴급수가 아닐 수도 있다.

5. 2. 비교판정법

비교판정법은 급수 \(\sum_{n=1}^\infty a_n\)의 수렴 여부를 판정하기 위해 항 \(a_n\)과 이미 수렴 또는 발산 여부가 알려진 급수 \(\sum_{n=1}^\infty b_n\)의 항 \(b_n\)을 비교하는 방법이다. 비교판정법의 내용은 다음과 같다. 모든 \(n\)에 대해

  • \(0 \le \ a_n \le \ b_n\)이고, \(\sum_{n=1}^\infty b_n\)이 수렴하면 \(\sum_{n=1}^\infty a_n\)도 수렴한다.
  • \(0 \le \ b_n \le \ a_n\)이고, \(\sum_{n=1}^\infty b_n\)이 발산하면 \(\sum_{n=1}^\infty a_n\)도 발산한다.


즉, 모든 ''n''에 대해 \(0 \le \ a_n \le \ b_n\)이고 \(\sum_{n=1}^\infty b_n\)이 수렴하면, \(\sum_{n=1}^\infty a_n\)도 수렴한다.

반대로, 모든 ''n''에 대해 \(0 \le \ b_n \le \ a_n\)이고 \(\sum_{n=1}^\infty b_n\)이 발산하면, \(\sum_{n=1}^\infty a_n\)도 발산한다.

5. 3. 비판정법

급수 \(\sum_{n=1}^\infty a_n\)의 수렴 여부를 판정하기 위해 인접한 두 항 \(a_n, a_{n+1}\)의 비(ratio)의 극한을 이용하는 방법이다. 비판정법의 내용은 다음과 같다. 모든 \(n\)에 대해 \(a_n>0\)이고

\[\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = r\]

일 때

  • ''r'' < 1 이면 \(\sum_{n=1}^\infty a_n\)은 수렴급수이다.
  • ''r'' > 1 이면 \(\sum_{n=1}^\infty a_n\)은 발산급수이다.
  • ''r'' = 1 이면 비판정법으로 급수 \(\sum_{n=1}^\infty a_n\)의 수렴 여부를 결정할 수 없다. (즉, 수렴 여부의 결정을 위해 다른 방법을 이용해야 한다.)


달랑베르의 수렴 판정법이라고도 한다. 복소수열 \((a_n)\)에 대해,

\[\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = r\]

와 같은 상수 ''r''이 존재한다고 가정한다.

''r'' < 1이면 급수 \(\Sigma a_n\)는 수렴하고, ''r'' > 1이면 급수는 발산한다. ''r'' = 1일 때는 이 판정법으로는 수렴하는지 발산하는지 알 수 없다.

비판정법은 근판정법과 함께 기하 급수의 거동과 비교하는 것에 기초한 판정법이며, 이러한 판정법이 유효한 장면도 비슷하다. 실은, 비판정법이 유효한 (극한이 존재하고 1이 아닌) 때, 근판정법은 항상 유효하지만, 그 반대는 옳지 않다.

5. 4. 근판정법

수렴급수의 수렴 여부를 판정하기 위해 항 a_n 의 ''n''제곱근(n-th root)의 극한을 이용하는 방법이다. 근판정법의 내용은 다음과 같다. 모든 n\,에 대해 a_n\ge 0\,이고

:\lim_{n \to \infty} (a_n)^{\frac{1}{n}} = r

일 때

  • ''r'' < 1 이면 \sum_{n=1}^\infty a_n\,은 수렴급수이다.
  • ''r'' > 1 이면 \sum_{n=1}^\infty a_n\,은 발산급수이다.
  • ''r'' = 1 이면 근판정법으로 급수 \sum_{n=1}^\infty a_n\,의 수렴 여부를 결정할 수 없다.(즉, 수렴 여부의 결정을 위해 다른 방법을 이용해야 한다.)

5. 5. 적분판정법

이상적분과 비교하여 급수의 수렴 또는 발산을 판정하는 방법이다.

f\,를 구간 [1, \infty)\,에서 양의 값을 갖는 단조감소하는 연속함수라고 하자. 모든 ''n''에 대해 f(n) = a_n\,이고

:\int_{1}^{\infty} f(x)\, dx = \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} f(x)\, dx < \infty,

이면 \sum_{n=1}^\infty a_n\,는 수렴급수이다. 그러나 위 이상적분이 존재하지 않으면 \sum_{n=1}^\infty a_n\,는 발산급수이다.

f(n) = a_n을 양수이고 단조 감소 함수라고 할때,

:\int_{1}^{\infty} f(x)\, dx = \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} f(x)\, dx < \infty,

이면, 그 급수는 수렴한다. 하지만 적분이 발산하면, 그 급수도 발산한다.

5. 6. 기타 판정법

이외에도 극한비교판정법, 교대급수에 대한 수렴판정법, 코시의 수렴판정법, 디리클레 판정법, 아벨 판정법 등이 있다.

극한 비교 판정법: \left \{ a_n \right \}, \left \{ b_n \right \} > 0이고 극한 \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}이 존재하고 0이 아니면, \sum_{n=1}^\infty a_n는 \sum_{n=1}^\infty b_n이 수렴할 때 필요충분 조건으로 수렴한다.

교대 급수 판정법: '라이프니츠 판정법'이라고도 알려진 교대 급수 판정법은 \sum_{n=1}^\infty a_n (-1)^n 형태의 교대 급수에 대해, 만약 \left \{ a_n \right \}이 단조롭게 감소하고, 무한대에서 0의 극한을 가지면, 그 급수는 수렴한다고 명시한다.

코시 압축 판정법: \left \{ a_n \right \}이 양수 단조 감소 수열이면, \sum_{n=1}^\infty a_n 는 \sum_{k=1}^\infty 2^k a_{2^{k}} 가 수렴할 때 필요충분 조건으로 수렴한다.

디리클레 판정법: 양의 수열 (''a''''n'')이 단조 감소하고 0으로 수렴하며, 복소수열 (''b''''n'')에 대해, 모든 양의 정수 ''N''에 대해 \left|\sum^{N}_{n=1}b_n\right|\leq M을 만족하는 상수 M이 존재한다면, 급수 \sum^{\infty}_{n=1}a_n b_n는 수렴한다.

아벨 판정법

6. 절대수렴과 조건수렴

급수 \sum_{n=1}^{\infty}a_n\,의 모든 항이 음이 아닌 값을 가지면( a_n\ge 0\,), 이 급수를 양항급수라고 한다. 비교판정법, 비판정법, 근판정법, 적분판정법은 모두 양항급수의 수렴 여부를 판정하는 방법이다. 절대수렴의 개념은 양항급수가 아닌 경우에도 이러한 판정법을 이용하여 급수의 수렴 여부를 판정할 수 있게 해준다.

절대수렴과 조건수렴은 급수의 수렴성을 더 자세히 분류하는 개념이다. 어떤 급수가 절대수렴하는 경우, 그 급수는 원래 급수와 각 항의 절대값을 취한 급수가 모두 수렴하는 급수를 의미한다. 반면, 조건수렴은 원래 급수는 수렴하지만, 각 항의 절대값을 취한 급수는 발산하는 경우를 말한다.

6. 1. 절대수렴

급수 \sum_{j=1}^{\infty}|a_j|\,가 수렴하면 \sum_{j=1}^{\infty}a_j\,가 절대수렴한다고 한다. 절대수렴하는 급수는 수렴급수이다. 즉, \sum_{j=1}^{\infty}|a_j|\,가 수렴하면 \sum_{j=1}^{\infty}a_j\,도 수렴한다.

임의의 수열 (''a''1, ''a''2, ...)에 대해, ''a''''n'' ≤ |''a''''n''|이 임의의 ''n''에 대해 성립하므로,

:\left|\sum_{n=1}^\infty a_n\right| \le \sum_{n=1}^\infty |a_n|

임을 알 수 있다. 이것은 우변이 수렴하면 원래의 급수도 수렴한다는 것을 나타낸다(역은 성립하지 않는다).

무한 급수 ∑|''a''''n''|이 수렴하면, 무한 급수 ∑ ''a''''n''은 '''절대수렴'''(absolutely convergent영어)한다고 한다. 절대 수렴 급수의 부분합이 이루는 증가열에서 각 값을 연결하여 얻어지는 꺾은선은 유한한 길이를 갖는다. 지수 함수의 테일러 급수는 모든 곳에서 절대 수렴한다.

6. 2. 조건수렴

\sum_{j=1}^{\infty}a_j\,가 수렴하지만, \sum_{j=1}^{\infty}|a_j|\,가 발산하면 \sum_{j=1}^{\infty}a_j\,를 조건수렴이라고 한다. \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots\,은 수렴급수이지만, \sum_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n+1}\frac{1}{n}\right|=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots\,는 발산하므로 \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}\,은 절대수렴하지 않는다. 그러므로 \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}\,은 조건수렴하는 급수이다.

\sum_{n=1}^\infty a_n은 수렴하지만 \sum_{n=1}^\infty \left| a_n \right|이 발산하면, 이 수열은 조건 수렴한다. 로그 함수 \ln(1+x)의 맥클로린 급수는 x = 1에서 조건 수렴한다.



무한 급수 \sum_{n=1}^\infty a_n이 수렴하고, 무한 급수 \sum_{n=1}^\infty|a_n|이 발산하면, 이 무한 급수는 조건수렴(conditionally convergent영어)한다고 한다. 조건 수렴 급수의 부분합의 값을 연결하여 얻어지는 선분은 길이가 무한대가 된다. 로그 함수의 테일러 급수는 수렴역의 각 점에서 조건 수렴한다.

리만 재배열 정리(Riemann series theorem)는 "조건 수렴 급수는 그 항을 재배열하여 임의의 값에 수렴하게 하거나, 발산시킬 수 있다"는 것을 말한다.

조건 수렴 대신에 '''반수렴''' semiconvergent영어이라고도 한다. 반대로 절대수렴 대신에 '''무조건 수렴''' unconditionally convergent영어이라고도 한다.

7. 균등 수렴

Uniform convergence영어

함수열 \left \{ f_1,\ f_2,\ f_3,\dots \right \}에 대해, 급수 \sum_{n=1}^\infty f_n이 ''f''로 균등 수렴한다는 것은 부분합 수열 \{s_n\}이 ''f''로 균등 수렴하는 것을 의미한다. 이때, \{s_n\}는 다음과 같이 정의된다.

: s_n(x) = \sum_{k=1}^n f_k (x)

함수의 무한 급수에 대한 비교 판정법과 유사한 바이어슈트라스 M-판정법이 존재한다.

8. 코시 수렴 기준

코시 수렴 기준에 따르면, 급수

:\sum_{n=1}^\infty a_n

는 부분합의 수열이 코시 수열일 때 필요충분조건으로 수렴한다.

이는 모든 \varepsilon > 0에 대해, 모든 n \geq m \geq N에 대해

: \left| \sum_{k=m}^n a_k \right| < \varepsilon.

가 성립하는 양의 정수 N이 존재함을 의미하며, 다음 식과 동치이다.

:\lim_{m \to \infty} \left(\sup_{n>m} \left|\sum_{k=m}^{n} a_k \right| \right) = 0.

실수열에 관한 코시 판정법에 따르면, 실수를 항으로 하는 급수가 수렴하는 필요충분조건은 그 부분합의 열이 코시 수열을 이루는 것이다. 즉, 임의의 양수 ε > 0에 대해 양의 정수 ''N''이 존재하여, ''n'' ≥ ''m'' ≥ ''N''인 모든 ''m'', ''n''에 대해

: \left| \sum_{k=m}^n a_k \right| < \varepsilon

이 성립한다는 것이며, 다음 식으로도 나타낼 수 있다.

:\lim_{n \to \infty \atop m\to \infty} \sum_{k=n}^{n+m} a_k = 0


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