베르트랑의 정리

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1. 개요
2. 유도
- 2.1. 고전장 포텐셜
- 2.2. 조화 진동자
3. 해 궤도
4. 응용
5. 한국의 관점
참조

1. 개요

베르트랑의 정리는 중심력 하에서 입자의 궤도가 닫히기 위한 조건을 제시하는 정리이다. 이 정리에 따르면, 닫힌 궤도를 갖는 중심력은 역제곱 힘 법칙(예: 중력)과 방사형 조화 진동자 포텐셜의 두 가지 경우뿐이다. 이 정리는 궤도의 안정성을 분석하고, 특정 힘 법칙이 궤도에 미치는 영향을 이해하는 데 중요한 역할을 한다.

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베르트랑의 정리
개요
이름	베르트랑의 정리
분야	고전역학
내용	중심력 하에서 유계 궤도를 갖는 모든 유한 퍼텐셜은 안정적인 원형 궤도에 해당하며, 닫힌 궤도를 생성하는 퍼텐셜은 역제곱 퍼텐셜과 후크 퍼텐셜뿐이다.
관련 인물	조제프 베르트랑

2. 유도

모든 인력 중심력은 자연스럽게 원형 궤도를 생성할 수 있다. 유일한 요구 사항은 중심력이 정확히 구심력과 같아야 하며, 이는 주어진 원형 반경에 필요한 각속도를 결정한다. 비중심력(즉, 반경뿐만 아니라 각 변수에 의존하는 힘)은 일반적으로 원형 궤도를 생성하지 않으므로 여기서는 무시된다.

질량

m

인 입자가 중심력

V(r)

에서 움직이는 반경

r

에 대한 운동 방정식은 운동 방정식으로 주어지며, 다음과 같다.

:

m\frac{d^2 r}{dt^2} - mr \omega^2 = m\frac{d^2 r}{dt^2} - \frac{L^2}{mr^3} = -\frac{dV}{dr},

여기서

\omega \equiv \frac{d\theta}{dt}

이고, 각운동량

L = mr^2\omega

는 보존된다. 예를 들어, 왼쪽의 첫 번째 항은 원형 궤도에서는 0이고, 가해지는 안쪽 힘

\frac{dV}{dr}

은 예상대로 구심력 요건

mr^2\omega

과 같다.

각운동량의 정의에 따라 독립 변수를

t

에서

\theta

로 변경할 수 있다.

:

\frac{d}{dt} = \frac{L}{mr^2} \frac{d}{d\theta},

시간에 독립적인 새로운 운동 방정식을 제공한다.

:

\frac{L}{r^2} \frac{d}{d\theta} \left( \frac{L}{mr^2} \frac{dr}{d\theta} \right) - \frac{L^2}{mr^3} = -\frac{dV}{dr}.

이 방정식은 변수

u \equiv \frac{1}{r}

을 변경하고 양변에

\frac{mr^2}{L^2}

를 곱하면 준선형이 된다 (또한 Binet 방정식 참조).

:

\frac{d^2 u}{d\theta^2} + u = -\frac{m}{L^2} \frac{d}{du} V\left(\frac{1}{u}\right).

위에 언급했듯이, 모든 중심력은 적절한 초기 속도가 주어지면 원형 궤도를 생성할 수 있다. 그러나 약간의 방사형 속도가 도입되면 이러한 궤도는 안정적이지 않거나(즉, 무기한 궤도에 남아 있음) 닫히지 않을 수 있다(정확히 동일한 경로로 반복적으로 돌아옴). 여기서는 안정적이고 정확하게 닫힌 비원형 궤도에 대한 필요 조건이 역제곱 힘 또는 방사형 조화 진동자 포텐셜임을 보여준다. 다음 섹션에서는 이러한 두 가지 힘 법칙이 안정적이고 정확하게 닫힌 궤도를 생성함을 보여준다.

J(u)

를 다음과 같이 정의한다.

:

\frac{d^2 u}{d\theta^2} + u =J(u) \equiv -\frac{m}{L^2} \frac{d}{du} V\left(\frac{1}{u}\right) =

\frac{m}{L^2 u^2} f\left(\frac{1}{u}\right),

여기서

f

는 방사형 힘을 나타낸다. 반경

r_0

에서 완벽한 원형 운동에 대한 기준은 왼쪽의 첫 번째 항이 0이 되는 것이다.

:

u_0 = J(u_0) = -\frac{m}{L^2 u_0^2} f\left(\frac{1}{u_0}\right),

여기서

u_0 \equiv 1/r_0

이다.

다음 단계는 완벽한 원형 궤도로부터의 ''작은 섭동''

\eta \equiv u - u_0

에서

u

에 대한 방정식을 고려하는 것이다. 오른쪽에 있는

J

함수는 표준 테일러 급수로 확장될 수 있다.

:

J(u) \approx J(u_0) + \eta J'(u_0) + \frac{1}{2} \eta^2 J''(u_0) + \frac{1}{6} \eta^3 J'''(u_0) + \cdots

이 확장을

u

에 대한 방정식에 대입하고 상수 항을 빼면 다음이 생성된다.

:

\frac{d^2 \eta}{d\theta^2} + \eta = \eta J'(u_0) + \frac{1}{2} \eta^2 J''(u_0) + \frac{1}{6} \eta^3 J'''(u_0) + \cdots,

다음과 같이 작성할 수 있다.

:

\frac{d^2 \eta}{d\theta^2} + \beta^2 \eta  = \frac{1}{2} \eta^2 J''(u_0) + \frac{1}{6} \eta^3 J'''(u_{0}) + \cdots,

여기서

\beta^2 \equiv 1 - J'(u_0)

는 상수이다.

\beta^2

는 음수가 아니어야 한다. 그렇지 않으면 궤도의 반경이 초기 반경에서 기하급수적으로 벗어난다. (해결책

\beta=0

은 완벽한 원형 궤도에 해당한다.) 오른쪽을 무시할 수 있는 경우(즉, 작은 섭동의 경우) 해는 다음과 같다.

:

\eta(\theta) = h_1 \cos(\beta\theta),

여기서 진폭

h_1

은 적분 상수이다. 궤도가 닫히려면

\beta

가 유리수여야 한다. 더 나아가,

\beta

가 연속적으로 변경될 수 없으므로 모든 반경에 대해 ''동일한'' 유리수여야 한다. 유리수는 서로 완전 분리되어 있다. 방정식과 함께

J

의 정의를 사용하면

:

J'(u_0) =\frac{2}{u_0} \left[\frac{m}{L^2 u_0^2} f\left(\frac{1}{u_0}\right)\right] - \left[\frac{m}{L^2 u_0^2} f\left(\frac{1}{u_0}\right)\right]\frac{1}{f\left(\frac{1}{u_0}\right)} \frac{d}{du_0}f\left(\frac1{u_0}\right) =

2 + \frac{u_0}{f\left(\frac{1}{u_0}\right)} \frac{d}{du_0}f\left(\frac1{u_0}\right) =

1 - \beta^2.

이는

u_0

의 모든 값에 대해 유지되어야 하므로,

:

\frac{df}{dr} = (\beta^2 - 3) \frac{f}{r},

이는 힘이 멱법칙을 따라야 함을 의미한다.

:

f(r) = -\frac{k}{r^{3-\beta^2}}.

따라서

J

는 일반적인 형식을 가져야 한다.

:

J(u) = \frac{mk}{L^2} u^{1-\beta^2}.

원형에서 보다 일반적인 편차(즉,

J

의 테일러 전개에서 고차 항을 무시할 수 없는 경우)의 경우

\eta

는 푸리에 급수로 확장될 수 있다. 예를 들어,

:

\eta(\theta) = h_0 + h_1 \cos \beta \theta + h_2 \cos 2\beta \theta + h_3 \cos 3\beta \theta + \cdots

이를 방정식에 대입하고 동일한 주파수에 속하는 계수를 동일하게 만들고 가장 낮은 차수의 항만 유지한다. 아래에서 보듯이

h_0

과

h_2

는

h_1

보다 작고

h_1^2

의 순서이다.

h_3

및 모든 추가 계수는 최소

h_1^3

의 순서이다. 원형 궤도에 접근함에 따라

h_0, h_2, h_3, \ldots

가 모두

h_1

보다 더 빨리 사라져야 하므로 이는 의미가 있다.

:

h_0 =  h_1^2 \frac{J''(u_0)}{4\beta^2},

:

h_2 = -h_1^2 \frac{J''(u_0)}{12\beta^2},

:

h_3 = -\frac{1}{8\beta^2} \left[ h_1 h_2 \frac{J''(u_0)}{2} + h_1^3 \frac{J'''(u_0)}{24} \right].

\cos\beta\theta

항에서 다음을 얻는다.

:

0 =(2 h_1 h_0 + h_1 h_2) \frac{J''(u_0)}{2} +  h_1^3 \frac{J'''(u_0)}{8} =\frac{h_1^3}{24 \beta^2} \left(3 \beta^2 J'''(u_0) + 5 J''(u_0)^2\right),

마지막 단계에서는

h_0

과

h_2

의 값을 대입했다.

방정식과 을 사용하여

u_0

에서 평가된

J

의 2차 및 3차 도함수를 계산할 수 있다.

:

J''(u_0) = -\frac{\beta^2 (1 - \beta^2)}{u_0},

:

J'''(u_0) = \frac{\beta^2 (1 - \beta^2) (1 + \beta^2)}{u_0^2}.

이러한 값을 마지막 방정식에 대입하면 '''베르트랑의 정리'''의 주요 결과가 생성된다.

:

\beta^2 (1 - \beta^2) (4 - \beta^2) = 0.

따라서 안정적인 닫힌 비원형 궤도를 생성할 수 있는 유일한 포텐셜은 역제곱 힘 법칙(

\beta=1

)과 방사형 조화 진동자 포텐셜(

\beta=2

)이다. 솔루션

\beta=0

은 위에 언급했듯이 완벽한 원형 궤도에 해당한다.

2. 1. 고전장 포텐셜

역제곱 힘 법칙, 예를 들어 중력 또는 정전기적 위치 에너지의 경우, 퍼텐셜은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

V(\mathbf{r}) = \frac{-k}{r} = -ku.

궤도 ''u''(θ)는 일반적인 방정식으로부터 유도될 수 있다.

:

\frac{d^2 u}{d\theta^2} + u = -\frac{m}{L^2} \frac{d}{du} V\left(\frac{1}{u}\right) = \frac{km}{L^2},

이 방정식의 해는 상수

\frac{km}{L^2}

와 간단한 사인파의 합이다.

:

u \equiv \frac{1}{r} = \frac{km}{L^2} [1 + e \cos(\theta - \theta_0)],

여기서 ''e'' (''이심률'')과 θ₀ (''위상 오프셋'')는 적분 상수이다.

이것은 원점을 초점으로 갖는 원뿔 곡선의 일반적인 공식이며, ''e'' = 0은 원, 0 < ''e'' < 1은 타원, ''e'' = 1은 포물선, ''e'' > 1은 쌍곡선에 해당한다. 이심률 ''e''는 전체 에너지 ''E''와 관련이 있다. (라플라스-룽게-렌츠 벡터 참조).

:

e = \sqrt{1 + \frac{2EL^2}{k^2 m}}.

이 공식들을 비교해 보면 ''E'' < 0은 타원에, ''E'' = 0은 포물선에, 그리고 ''E'' > 0은 쌍곡선에 해당한다는 것을 알 수 있다. 특히, 완벽한 원 궤도의 경우

E = -\frac{k^2 m}{2L^2}

이다.

2. 2. 조화 진동자

반경 방향 조화 진동자 포텐셜 하에서 궤도는 성분 '''r''' = (''x'', ''y'', ''z'')로 나타낼 수 있다. 포텐셜은

V(\mathbf{r}) = \frac{1}{2} kr^2 = \frac{1}{2} k (x^2 + y^2 + z^2).

와 같이 쓸 수 있다.

질량 ''m''인 입자에 대한 운동 방정식은 세 개의 독립적인 오일러 방정식으로 주어진다.

:

\frac{d^2 x}{dt^2} + \omega_0^2 x = 0,

:

\frac{d^2 y}{dt^2} + \omega_0^2 y = 0,

:

\frac{d^2 z}{dt^2} + \omega_0^2 z = 0,

여기서 상수

\omega_0^2 \equiv \frac{k}{m}

은 양수여야 한다. 그렇지 않으면 입자는 무한대로 날아가 버린다. 이들 단순 조화 진동자 방정식의 해는 모두 유사하다.

:

x = A_x \cos(\omega_0 t + \phi_x),

:

y = A_y \cos(\omega_0 t + \phi_y),

:

z = A_z \cos(\omega_0 t + \phi_z),

여기서 양의 상수 ''A_x'', ''A_y'' 및 ''A_z''는 진동의 ''진폭''을 나타내고, 각 φ_''x'', φ_''y'' 및 φ_''z''는 그들의 ''위상''을 나타낸다. 결과 궤도 '''r'''(''t'') = [''x''(''t''), ''y''(''y''), ''z''(''t'')]는 한 주기

T \equiv \frac{2\pi}{\omega_0}.

가 지난 후 정확히 반복되기 때문에 닫혀 있다. 또한 시스템은 진폭과 위상의 작은 섭동이 전체 궤도에 상응하는 작은 변화를 일으키기 때문에 안정적이다.

3. 해 궤도

조화 진동자 포텐셜 $V = \frac{ 1 }{ 2 } m \omega^2 r^2$ 의 경우, 해 궤도는 리사주 곡선이다.^[7]

: $x = A \cos ( \omega t + \phi_x ) , \ \ y = B \cos ( \omega t + \phi_y )$

이는 주기 $T = 2 \pi / \omega$ 의 닫힌 곡선이다. 역제곱 포텐셜 $V = - \mu / r$ 의 경우, 유계인 해 궤도는 타원이다.^[7]

: $r = \frac{ a ( 1 - e^2 ) }{ 1 - e \cos ( \theta - \varpi ) }$

이는 닫힌 곡선이 되며, $a$ 는 장반경, $e$ 는 이심률, $\varpi$ 는 근점 편각이다.^[7]

4. 응용

허버트 골드스타인은 자신의 교과서에서 많은 천체가 닫힌 곡선을 그린다는 관측 사실만으로 만유인력이 역제곱 법칙을 따른다는 것을 결론지을 수 있다고 지적했다.^[8] 조화 진동자형 상호 작용은 원거리에서 힘이 무한히 커지기 때문에 만유 인력의 법칙으로는 부적절하며, 베르트랑의 정리에 따르면 남은 가능성은 역제곱 법칙으로 한정되기 때문이다.

5. 한국의 관점

참조

_[1] 논문 Théorème relatif au mouvement d'un point attiré vers un centre fixe
_[2] 서적 Classical Mechanics With Applications https://books.google[...] World Scientific 2010-02-24
_[3] 논문 Théorème relatif au mouvement d'un point attiré vers un centre fixe https://gallica.bnf.[...]
_[4] 서적 新版古典力学（上）吉岡書店 1983-08-25
_[5] 서적 新版古典力学（上）吉岡書店 1983-08-25
_[6] 논문 同次式ポテンシャル系の超可積分性の必要条件 https://www.riam.kyu[...] 2008-02-27
_[7] 서적 新版古典力学（上）吉岡書店 1983-08-25
_[8] 서적 新版古典力学（上）吉岡書店 1983-08-25
_[9] 논문 Théorème relatif au mouvement d'un point attiré vers un centre fixe
_[10] 서적 Classical Mechanics With Applications https://books.google[...] World Scientific 2010-02-24

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