변수 변환

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1. 개요
2. 다항식에서의 변수 변환
3. 적분에서의 변수 변환
- 3.1. 정적분의 변수 변환
- 3.2. 중적분의 변수 변환
4. 방정식 풀이에서의 변수 변환
- 4.1. 연립 방정식 풀이
- 4.2. 미분 방정식 풀이
5. 좌표 변환
- 5.1. 극좌표 변환
6. 물리학에서의 변수 변환
참조

1. 개요

변수 변환은 다항식, 무리 방정식, 상반 방정식 풀이, 다항식의 기약성 판단, 적분, 미분 방정식, 좌표 변환 등 다양한 수학적 문제 해결에 활용되는 기법이다. 이 기법은 변수를 다른 변수로 대체하여 문제의 형태를 변형하고, 복잡한 방정식을 단순화하거나, 적분을 용이하게 계산하는 데 도움을 준다. 특히, 적분에서는 치환 적분법, 야코비 행렬과 행렬식을 이용한 변환이 중요하며, 물리학에서도 스케일링과 이동, 운동량과 속도, 라그랑주 역학 등 다양한 분야에서 활용된다.

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변수 변환
개요
정의	수학에서 변수 변환은 문제를 더 쉽게 풀기 위해 변수를 변경하는 절차이다.
사용 목적	미분 방정식 풀이 적분 계산 기하학적 문제 단순화
적분에서의 변수 변환
설명	적분 계산을 단순화하기 위해 적분 변수를 변경하는 방법이다.
공식	∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(u)du (u = g(x))
미분 방정식에서의 변수 변환
설명	미분 방정식을 풀기 위해 독립 변수 또는 종속 변수를 변경하는 방법이다.
예시	극좌표 변환 (x = rcosθ, y = rsinθ)
통계학에서의 변수 변환
설명	데이터 분석 및 모델링을 위해 데이터의 분포를 변경하거나 관계를 단순화하는 데 사용된다.
종류	로그 변환 제곱근 변환 박스-칵스 변환
기타
주의사항	변수 변환 시에는 야코비안과 같은 변환에 따른 변화를 고려해야 한다.

2. 다항식에서의 변수 변환

다항식에서 변수를 다른 변수로 바꾸는 방법은 다항 방정식의 해를 구하거나 다항식의 특징을 연구할 때 유용하다.

예를 들어, 다항식 : $f(x)=x^2-1$ 에서 변수 x를 2t+1로 바꾸면 : $f(2t+1)=(2t+1)^2-1=4t^2+4t$ 가 된다.

2. 1. 무리 방정식의 풀이

변수 변환 기법은 무리 방정식의 근을 구하는 과정에서 사용될 수 있다. 예를 들어, 다음 무리 방정식을 보자.

:

x+\sqrt{x+1}-1=0

여기서

\sqrt{x+1}=t

로 변수를 변환하면, 주어진 식은 다음과 같은 이차 방정식으로 바뀐다.

:

t^2+t-2=0

이 이차 방정식의 근은

t=1,-2

이다. 그런데

t=\sqrt{x+1}\ge0

이어야 하므로,

t=-2

는 무연근이다. 따라서

t=1

만을 취한다.

다시

\sqrt{x+1}=1

로부터

x

를 풀면 원래 무리 방정식의 근

x=0

을 얻는다.

2. 2. 상반 방정식의 풀이

상반 방정식의 풀이에서 자주 사용되는 변수 변환은 다음과 같다.

:

x+\frac1x=t

예를 들어, 4차 상반 방정식

:

ax^4+bx^3+cx^2+bx+a\qquad(a\ne0)

은 양변을

x^2

로 나누면 다음과 같다.

:

ax^2+bx+c+\frac bx+\frac a{x^2}=0

이를 더 정리하면 다음과 같다.

:

a\left(x^2+\frac1{x^2}\right)+b\left(x+\frac1x\right)+c=0

위의 변수 변환을 통해 식을 다음과 같이 바꿀 수 있다.

:

a(t^2-2)+bt+c=0

이 식에서

t\in(-\infty,2]\cup[2,\infty)

의 값을 둘 이하로 푼 뒤, 다시

:

t=x+\frac1x

에 대입하여 얻는 둘 이하의 방정식으로부터 각각 둘 이하의

x\ne0

을 풀면, 원래의 상반 방정식의 넷 이하의 근을 얻는다.

2. 3. 다항식의 기약성 판단

다항식

x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1

이 기약 다항식인지 판단하는 과정에서 변수 변환

x=y+1

를 사용한다. 이 변수 변환은 기약 다항식의 기약성과 비기약성을 보존한다. 그러면 이 다항식은 7-아이젠슈타인 다항식

y^6+7y^5+21y^4+35y^3+35y^2+21y+7

로 전환되므로, 전환된 다항식은 기약 다항식이며, 따라서 원래의 다항식 역시 기약 다항식이다.

3. 적분에서의 변수 변환

어려운 적분은 종종 변수 변환을 통해 평가될 수 있으며, 이는 치환 적분법에 의해 가능하다. 이는 연쇄 법칙의 사용과 유사하다. 어려운 적분은 또한 해당 야코비 행렬과 행렬식에 의해 제공되는 변수 변환을 사용하여 적분을 단순화함으로써 해결될 수 있다.^[1] 야코비 행렬식과 이에 상응하는 변수 변환을 사용하는 것은 극좌표계, 원통 좌표계 및 구면 좌표계와 같은 좌표계의 기초가 된다.

3. 1. 정적분의 변수 변환

정적분

:

\int_a^bf(x)dx

의 계산에서, 직접적인 계산보다 치환 적분을 통한 계산이 더 간편할 때가 많다. 이 경우에 변수 변환

:

x=x(t)

을 적용한 결과는

:

\int_{x^{-1}(a)}^{x^{-1}(b)}f(x(t))\frac{dx}{dt}dt

이다.

한 가지 구체적인 예는 다음과 같다.

:

\int_1^2\frac{\ln x}xdx=\int_0^{\ln2}tdt=\frac12\ln^22

여기서 사용한 변수 변환은

:

x=e^t

이다.

그 밖에도 삼각 치환, 쌍곡 치환, 바이어슈트라스 치환, 오일러 치환이 사용된다. 어려운 적분은 종종 변수 변환을 통해 평가될 수 있으며, 이는 치환 적분법에 의해 가능하다. 이는 위에서 언급한 연쇄 법칙의 사용과 유사하다. 어려운 적분은 또한 해당 야코비 행렬과 행렬식에 의해 제공되는 변수 변환을 사용하여 적분을 단순화함으로써 해결될 수 있다.^[1] 야코비 행렬식과 이에 상응하는 변수 변환을 사용하는 것은 극좌표계, 원통 좌표계 및 구면 좌표계와 같은 좌표계의 기초가 된다.

3. 2. 중적분의 변수 변환

중적분

:

\iint\cdots\int_Df(x_1,\dots,x_n)dx_1\cdots dx_n

을 변수 변환

:

x_1=x_1(t_1,\dots,t_n)

:

\vdots

:

x_n=x_n(t_1,\dots,t_n)

에 의하여 계산하는 공식은 다음과 같다.

:

\iint\cdots\int_Df(x_1,\dots,x_n)dx_1\cdots dx_n=\iint\cdots\int_{x^{-1}(D)}f(x_1(t_1,\dots,t_n),\dots,x_n(t_1,\dots,t_n))\left|\det\frac{\partial(x_1,\dots,x_n)}{\partial(t_1,\dots,x_n)}\right|dt_1\cdots dt_n

한 가지 예시는 다음과 같다.

:

\;\iint\limits_{x^2+y^2\le9}x^2+y^2dxdy=\iint\limits_r^3drd\theta=\int_0^3r^3dr\int_0^{2\pi}d\theta=\frac{81}{2}\pi

여기서 사용한 변수 변환은 극좌표 변환이다.

:

x=r\cos\theta

:

y=r\sin\theta

어려운 적분은 종종 변수 변환을 통해 계산될 수 있다. 이는 치환 적분법에 의해 가능하며, 위에서 언급한 연쇄 법칙의 사용과 유사하다. 어려운 적분은 또한 해당 야코비 행렬과 행렬식에 의해 제공되는 변수 변환을 사용하여 적분을 단순화함으로써 해결될 수 있다.^[1] 야코비 행렬식과 이에 상응하는 변수 변환을 사용하는 것은 극좌표계, 원통 좌표계 및 구면 좌표계와 같은 좌표계의 기초가 된다.

4. 방정식 풀이에서의 변수 변환

무리 방정식 $x+\sqrt{x+1}-1=0$ 의 근을 구할 때, 변수 변환 $\sqrt{x+1}=t$ 를 사용한다. 이를 대입하면 이차 방정식 $t^2+t-2=0$ 으로 바뀐다. 이 이차 방정식의 근은 $t=1,-2$ 인데, $t=\sqrt{x+1}\ge0$ 이므로 $t=-2$ 는 무연근이다. 따라서 $t=1$ 만을 취한다. 다시 $\sqrt{x+1}=1$ 로부터 $x$ 를 풀면 원래 무리 방정식의 근 $x=0$ 이 나온다.^[1]

상반 방정식 풀이에는 $x+\frac1x=t$ 변수 변환이 자주 사용된다. 예를 들어 4차 상반 방정식 $ax^4+bx^3+cx^2+bx+a\qquad(a\ne0)$ 은 양변을 $x^2$ 로 나누어 정리하면 $a\left(x^2+\frac1{x^2}\right)+b\left(x+\frac1x\right)+c=0$ 을 얻는다. 위 변수 변환은 이를 $a(t^2-2)+bt+c=0$ 으로 전환시킨다. 이로부터 $t$ 값을 구하고, 다시 $x$ 값을 구하는 방식으로 원래 상반 방정식의 근을 얻는다.^[1]

4. 1. 연립 방정식 풀이

다음 연립 방정식을 보자.

:

xy+x+y=71

:

x^2y+xy^2=880

여기서

x

와

y

는

x>y

를 만족하는 양의 정수이다. (출처: 1991년 AIME)

이것을 통상적으로 푸는 것은 어렵지 않지만, 다소 지루할 수 있다. 그러나 두 번째 방정식을

xy(x+y)=880

으로 다시 쓸 수 있다.

s=x+y

와

t=xy

로 치환하면 연립 방정식이

s+t=71, st=880

으로 줄어든다. 이것을 풀면

(s,t)=(16,55)

와

(s,t)=(55,16)

이 나온다. 첫 번째 순서쌍을 다시 대입하면

x+y=16, xy=55, x>y

가 되어 해

(x,y)=(11,5)

를 얻는다. 두 번째 순서쌍을 다시 대입하면

x+y=55, xy=16, x>y

가 되어 해가 없다. 따라서 시스템을 푸는 해는

(x,y)=(11,5)

이다.

4. 2. 미분 방정식 풀이

변수 변환은 미분 방정식을 풀 때 매우 유용하게 사용된다. 연쇄 법칙을 사용하여 독립 변수를 변경하거나, 종속 변수를 변경하여 미분을 수행할 수 있다. 점 변환 및 접촉 변환과 같이 종속 변수와 독립 변수가 혼합되는 특이한 변환은 매우 복잡하지만, 더 많은 자유도를 제공한다.

일반적으로 문제에 변환의 일반적인 형태를 대입하고, 문제를 가장 간단하게 만들 수 있도록 매개변수를 선택하는 방식으로 진행된다.

5. 좌표 변환

일부 시스템은 극좌표로 변환하면 더 쉽게 풀 수 있다. 예를 들어, 특정 물리적 문제에 대한 잠재 에너지 함수를 나타내는 방정식은 극좌표 변환을 통해 해결할 수 있다. 이때, 변환 함수 $\Phi$ 의 전단사성을 고려하여 해를 구해야 한다.

5. 1. 극좌표 변환

일부 시스템은 극좌표로 변환하면 더 쉽게 풀 수 있다. 예를 들어, 다음과 같은 방정식을 생각해 보자.

:

U(x, y) := (x^2 + y^2) \sqrt{ 1 - \frac{x^2}{x^2 + y^2} } = 0.

이것은 어떤 물리적 문제에 대한 잠재 에너지 함수일 수 있다. 만약 바로 해를 알 수 없다면, 다음과 같은 치환을 시도해 볼 수 있다.

:

\displaystyle (x, y) = \Phi(r, \theta)

는

\displaystyle \Phi(r,\theta) = (r \cos(\theta), r \sin(\theta))

로 주어진다.

\theta

가

[0, 2\pi]

와 같은

2\pi

길이 구간 밖으로 벗어나면,

\Phi

는 더 이상 전단사 함수가 아니다. 따라서

\Phi

는 예를 들어

(0, \infty] \times [0, 2\pi)

로 제한되어야 한다.

r = 0

이 제외된 것을 주목해야 하는데, 왜냐하면

\Phi

는 원점에서 전단사가 아니기 때문이다(

\theta

는 어떤 값이든 가질 수 있으며, 점은 (0, 0)으로 매핑된다). 그런 다음, 원래 변수의 모든 항을

\Phi

에 의해 규정된 새로운 수식으로 대체하고, 항등식

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

을 사용하면,

:

V(r, \theta) = r^2 \sqrt{ 1 - \frac{r^2 \cos^2 \theta}{r^2} } = r^2 \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = r^2\left|\sin\theta\right|.

이제 해를 쉽게 찾을 수 있다.

\sin(\theta) = 0

이므로,

\theta = 0

또는

\theta = \pi

이다.

\Phi

의 역함수를 적용하면 이것은

x \not= 0

인 동안

y = 0

과 동일하다. 실제로

y = 0

일 때 함수는 원점을 제외하고 사라지는 것을 볼 수 있다.

r = 0

을 허용했다면, 원점도 해가 되었겠지만, 원래 문제의 해는 아니다. 여기서

\Phi

의 전단사성이 중요하다. 함수는 항상 양수이므로(

x,y\in\reals

), 절댓값이 사용된다.

6. 물리학에서의 변수 변환

물리학에서 변수 변환은 문제를 단순화하거나 특정 형태로 만들기 위해 사용된다. 변수 변환의 가장 간단한 예시는 스케일링과 이동이 있으며, 이는 변수를 상수배만큼 늘리거나, 상수값만큼 이동시키는 새로운 변수로 대체하는 것이다.

예를 들어, 다음과 같은 경계값 문제를 살펴보자.

: $\mu \frac{d^2 u}{d y^2} = \frac{d p}{d x} \quad ; \quad u(0) = u(L) = 0$

이는 거리 δ만큼 떨어진 평평한 고체 벽 사이의 평행 유체 흐름을 설명한다. 여기서 μ는 점도이고, $d p/d x$ 는 압력 기울기이며, 둘 다 상수이다. 이 식에 변수 스케일링을 적용하면 문제는 다음과 같이 변환된다.

: $\frac{d^2 \hat u}{d \hat y^2} = 1 \quad ; \quad \hat u(0) = \hat u(1) = 0$

스케일링은 매개변수의 수를 줄여 분석을 단순화하고, 변수를 정규화하여 의미 있는 범위를 갖도록 하며, 수치적 해가 필요한 경우 계산 횟수를 줄이는 데 유용하다.

뉴턴의 운동 방정식은 다음과 같다.

: $m \ddot x = \varphi(t, x, v).$

라그랑주는 변수 치환을 통해 이 방정식이 어떻게 변하는지 연구했다. 그는 운동 에너지 ''T''와 위치 에너지 ''V''의 차이인 함수 ''L''에 대해 다음 방정식

: $\frac{ \partial{L} }{ \partial y} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial{L}}{\partial{w}}$

이 뉴턴의 방정식과 동등하다는 것을 발견했다. 시스템의 대칭성과 제약 조건을 활용하여 치환을 잘 선택하면 직교 좌표계에서의 뉴턴 방정식보다 쉽게 풀 수 있다.

6. 1. 스케일링과 이동

변수 변환에서 가장 간단한 형태는 변수의 스케일링과 이동이다. 이는 변수를 상수배만큼 늘리고, 상수값만큼 이동시키는 새로운 변수로 대체하는 것이다. 실제 응용 분야에서는 물리적 매개변수를 문제에서 추출하기 위해 매우 흔하게 사용된다. ''n''차 도함수의 경우, 이러한 변환은 다음과 같은 결과를 낳는다.

:

\frac{d^n y}{d x^n} = \frac{y_\text{scale}}{x_\text{scale}^n} \frac{d^n \hat y}{d \hat x^n}

여기서

:

x = \hat x x_\text{scale} + x_\text{shift}

:

y = \hat y y_\text{scale} + y_\text{shift}.

이는 연쇄 법칙과 미분의 선형성을 통해 쉽게 증명할 수 있다. 이러한 변환은 실제 응용에서 물리적 매개변수를 문제에서 얻기 위해 매우 흔하게 사용된다. 예를 들어, 다음과 같은 경계값 문제를 살펴보자.

:

\mu \frac{d^2 u}{d y^2} = \frac{d p}{d x} \quad ; \quad u(0) = u(L) = 0

이는 거리 δ만큼 떨어진 평평한 고체 벽 사이의 평행 유체 흐름을 설명한다. 여기서 μ는 점도이고,

d p/d x

는 압력 기울기이며, 둘 다 상수이다. 변수를 스케일링하면 문제는 다음과 같이 변환된다.

:

\frac{d^2 \hat u}{d \hat y^2} = 1 \quad ; \quad \hat u(0) = \hat u(1) = 0

여기서

:

y = \hat y L \qquad \text{and} \qquad u = \hat u \frac{L^2}{\mu} \frac{d p}{d x}.

스케일링은 여러 가지 이유로 유용하다. 우선, 매개변수의 수를 줄이고 문제를 더 깔끔하게 만들어 분석을 단순화한다. 또한, 적절한 스케일링을 통해 변수를 "정규화"하여 0에서 1과 같이 의미 있는 무차원 범위를 갖도록 만들 수 있다. 마지막으로, 문제가 수치적 해를 필요로 하는 경우, 매개변수가 적을수록 계산 횟수가 줄어든다는 장점이 있다.

6. 2. 운동량과 속도

다음 연립 방정식을 고려해 볼 수 있다.

:

\begin{align}m \dot v & = - \frac{ \partial H }{ \partial x } \\[5pt]m \dot x & = \frac{ \partial H }{ \partial v }\end{align}

주어진 함수

H(x, v)

에 대해, 질량은 치환

\Phi(p) = \frac{1}{m} \cdot p

를 통해 제거할 수 있다. 이는 명백히

\mathbb{R}

에서

\mathbb{R}

로의 전단사 함수이다. 치환

v = \Phi(p)

하에서, 시스템은 다음과 같이 표현된다.

:

\begin{align}\dot p & = - \frac{ \partial H }{ \partial x } \\[5pt]\dot x & = \frac{ \partial H }{ \partial p }\end{align}

6. 3. 라그랑주 역학

주어진 힘장

\varphi(t, x, v)

에 대해, 뉴턴의 운동 방정식은 다음과 같다.

:

m \ddot x = \varphi(t, x, v).

라그랑주는 변수

x = \Psi(t, y)

,

v = \frac{\partial \Psi(t, y)}{\partial t} + \frac{\partial\Psi(t, y)}{\partial y} \cdot w

의 임의의 치환 하에서 이러한 운동 방정식이 어떻게 변하는지 연구했다.

그는 다음 방정식

:

\frac{ \partial{L} }{ \partial y} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial{L}}{\partial{w}}

이 함수

L = T - V

에 대해 뉴턴의 방정식과 동등하다는 것을 발견했다. 여기서 ''T''는 운동 에너지, ''V''는 위치 에너지를 나타낸다.

사실, 치환을 잘 선택하면 (예를 들어, 시스템의 대칭성과 제약 조건을 활용하면) 이러한 방정식은 직교 좌표에서 뉴턴의 방정식보다 훨씬 쉽게 풀 수 있다.

참조

_[1] 서적 Advanced Calculus Addison-Wesley
_[2] 서적 Real analysis : modern techniques and their applications https://www.worldcat[...] Wiley 1999

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