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보고몰니 방정식

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목차

1. 개요

보고몰니 방정식은 3차원 유향 리만 다양체에서 정의되는 1차 편미분 방정식으로, 자기 홀극을 나타낸다. 게이지 군 SU(2) 및 M=R^3일 경우, 유한 에너지를 갖는 보고몰니 방정식 해의 게이지 변환군 작용에 대한 동치류는 자기 홀극이라고 불린다. 보고몰니 방정식은 4차원 양-밀스 순간자를 차원 축소하여 얻을 수 있으며, 해의 모듈라이 공간은 초켈러 다양체이다. 특히, k=1인 경우 프라사드-소머필드 해가 존재하며, k=2일 때 모듈라이 공간은 아티야-히친 다양체이다. 이 방정식은 예브게니 보리소비치 보고몰니에 의해 도입되었으며, 한국에서는 응집물질물리학 분야에서 활발히 연구되고 있다.

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보고몰니 방정식
개요
유형미분 방정식
분야수학, 물리학
관련 개념자기 홀극, 게이지 이론
창시자예브게니 보고몰니
설명
목적자기 홀극의 존재를 설명하는 방정식
특징3차원 공간에서 정의됨
자기장과 힉스장의 상호작용을 다룸
해는 자기 홀극의 물리적 특성을 나타냄
수학적 표현
방정식$\displaystyle D_{i}\Phi =B_{i}$
변수"$\displaystyle \Phi$": 힉스장
"$\displaystyle B_{i}$": 자기장
"$\displaystyle D_{i}$": 공변 미분
조건경계 조건에 따라 해가 결정됨
물리적 의미
자기 홀극방정식의 해는 자기 홀극을 나타냄
에너지해의 에너지는 자기 홀극의 질량과 관련됨
안정성방정식의 해는 안정적인 자기 홀극을 나타냄
응용
양자장론자기 홀극 연구에 활용
응집물질물리학특정 물질의 특성 연구에 활용
끈 이론끈 이론 연구에 활용

2. 정의

보고몰니 방정식을 정의하기 위해서는 다음과 같은 수학적 대상들이 필요하다.


  • 3차원 유향 리만 다양체 (M,g): 방향을 정할 수 있고, 각 점에서의 거리를 잴 수 있는 3차원 공간이다. 이 다양체 위에서는 호지 쌍대 연산 *\colon\Omega^\bullet(M) \to \Omega^{3-\bullet}(M)를 정의할 수 있다.
  • 콤팩트 단순 리 군 G: 특정 대수적 구조를 가지며 위상적으로 닫혀 있고 유계인 군이다.
  • G-주다발 \pi\colon P \twoheadrightarrow M: 다양체 M 위에 군 G의 구조를 "덧붙인" 공간이다. 이를 이용해 G의 딸림표현에 대한 연관 벡터 다발 \operatorname{ad}(P) = P \times_G \mathfrak{lie}(G)을 정의할 수 있다.
  • 주다발 \pi의 주접속 \nabla_A: 주다발 위에서 미분을 정의하는 방법이다. 이 접속의 곡률은 F_A \in\Omega^2(M;\operatorname{ad}(P))로 표현된다.
  • \operatorname{ad}(P)의 매끄러운 단면 \phi \in \Gamma^\infty (\operatorname{ad}(P)): 연관 벡터 다발의 각 점에 매끄럽게 벡터를 대응시키는 함수이다. 이에 대한 공변 미분 \nabla_A \phi \in \Omega^1(M;\operatorname{ad}(P))을 계산할 수 있다.


위의 데이터들이 주어졌을 때, 다음과 같은 1차 편미분 방정식을 보고몰니 방정식이라고 한다.

:F_A = * \nabla_A\phi

이 방정식의 해는 물리학에서 자기 홀극을 나타내는 것으로 해석된다.

2. 1. 자기 홀극

편의상, 게이지 군 G=\operatorname{SU}(2) 및 공간 M=\mathbb R^3인 경우를 생각하자.

보고몰니 방정식의 해 중에서 유한한 에너지

:\int_M (\langle F,F\rangle + \langle \mathrm D\phi,\mathrm D\phi\rangle)\,\mathrm d^3x <\infty

를 가지는 해들의 게이지 변환군

:\mathcal C^\infty(\mathbb R^3,\operatorname{SU}(2))

의 작용에 대한 동치류를 자기 홀극이라고 부른다. 만약 M = \mathbb R^3인 경우, 유한 에너지 조건은 해가 공간의 무한대에서 다음과 같은 점근적 형태를 가져야 함을 의미한다.[3]

:|\phi| = \phi_0 - \frac k{2r} + \mathcal O(r^{-2})

:\frac{\partial|\phi|}{\partial\theta} = \mathcal O(r^{-2})

:|\mathrm D\phi| = \mathcal O(r^{-2})

여기서 \theta는 \mathbb R^3의 구면 좌표계에서 임의 방향으로의 각 좌표이며, r는 원점으로부터의 거리이다. \phi_0는 임의의 상수이며, k\in\mathbb Z는 자하(磁荷, magnetic charge영어)라고 불리는 정수이다. 주어진 자하 k를 갖는 보고몰니 방정식 해들의 모듈라이 공간을 \mathcal N_k로 표기한다.

다른 방식으로, \mathbb R^3의 특정 방향을 선택하여 그 방향의 무한대에서 게이지 변환이 자명하다는 조건을 추가할 수 있다. 이러한 조건을 만족하는 게이지 변환들의 군을

:\mathcal G_0 \le \mathcal G = \mathcal C^\infty(\mathbb R^3,\operatorname{SU}(2))

라고 하자. 유한 에너지를 갖는 보고몰니 방정식 해의 \mathcal G_0 동치류를 틀 갖춘 자기 홀극(framed monopole영어)이라고 한다.[3] 자하가 k인 틀 갖춘 자기 홀극의 모듈라이 공간을 \mathcal M_k라고 표기한다. 정의에 따라, 이들 모듈라이 공간 사이에는 U(1) 주다발 구조가 존재한다.

:\operatorname U(1) \hookrightarrow \mathcal M_k \twoheadrightarrow \mathcal N_k

3. 성질

보고몰니 방정식은 여러 중요한 수학적, 물리적 성질을 가진다. 이 방정식은 4차원 양-밀스 순간자와의 관계를 통해 유도될 수 있으며, 그 해들의 집합인 모듈라이 공간은 초켈러 다양체와 같은 풍부한 기하학적 구조를 나타낸다. 또한, 남 방정식과의 연관성을 통해 해를 구성하는 방법도 연구된다.[3]

3. 1. 순간자와의 관계

보고몰니 방정식은 4차원 양-밀스 순간자가 만족하는 자기 쌍대성 방정식

:F^{(4)}=\pm*F^{(4)}

을 차원 축소하여 얻을 수 있다. 이 과정에서 4차원의 게이지 퍼텐셜 A는 3차원의 게이지 퍼텐셜과 스칼라장으로 나뉘게 된다. 즉, 4차원 주접속의 곡률은 다음과 같은 형태로 표현된다.

:F^{(4)} =

\begin{pmatrix}

0 & \nabla_A \Phi \\

  • \nabla_A\Phi & F

\end{pmatrix}

따라서, 이 경우 자기 (반)쌍대 방정식은

:F = \pm*\nabla_A\Phi

와 같이 나타난다. 여기서 부호 ±는 스칼라장 \Phi를 다시 정의함으로써 없앨 수 있다.

3. 2. 모듈라이 공간

\mathbb R^3 위의 SU(2) 틀을 갖춘 자기 홀극의 모듈라이 공간 \mathcal M_k는 4k 차원의 리만 다양체이며, 특히 초켈러 다양체의 성질을 가진다. 이 다양체 위의 리만 계량은 해의 L2 계량으로 주어진다.

이 모듈라이 공간 위에는 아벨 리 군 \mathbb R^3 \times \operatorname U(1)이 작용한다. 이에 대한 몫공간을 다음과 같이 정의할 수 있다.

:\frac{\mathcal M_k}{\mathbb R^3\times\operatorname U(1)} = \tilde{\mathcal M}_k

이 몫공간 \tilde{\mathcal M}_k는 4(k-1) 차원의 초켈러 다양체이다.

특히, k=1일 때 모듈라이 공간은 \mathcal M_1 = \mathbb R^3 \times \operatorname U(1)이 되어 자명한 구조를 가진다. 이러한 k=1 해는 프라사드-소머필드 해(Prasad–Sommerfield solution영어)라고 불리며, 그 형태는 다음과 같다.

:A = \left(\frac1{\sinh r}-\frac1r\right)\epsilon_{ijk} \frac{x^j}r\sigma^k \,\mathrm dx^i

:\phi = \left(\frac1{\tanh r}-\frac1r \right)\frac{x^i}r\sigma_i

여기서 \sigma_i는 리 대수 \mathfrak{su}(2)의 기저를 이루는 파울리 행렬이다.

k=2인 경우, 몫공간 \tilde{\mathcal M}_2는 아티야-히친 다양체라고 불린다.[4] 이 다양체는 점근 국소 평탄 공간의 한 예이며, ADE 분류에서는 D0형에 해당한다.[5] (참고로, A−1형은 \mathbb R^3\times\mathbb S^1, A₀형은 토브-너트 공간, A''n''은 (n-1)중 토브-너트 공간에 해당하며, E형은 존재하지 않는다.) 아티야-히친 다양체는 SU(2) 등거리군을 가지는데, 이는 원점을 중심으로 하는 회전에 해당한다. 또한, 아티야-히친 다양체의 2겹 피복 공간은 D₁형 점근 국소 평탄 공간이다.

3. 3. 남 방정식

보고몰니 방정식의 해는 남 방정식으로 구성된다.[3]

4. 역사

예브게니 보리소비치 보고몰니( Евге́ний Бори́сович Богомо́льныйru )가 도입하였다.[6]

참조

[1] 서적 The geometry and dynamics of magnetic monopoles Princeton University Press
[2] 간행물 Monopoles and geodesics https://projecteucli[...]
[3] 서적 The geometry and dynamics of magnetic monopoles https://press.prince[...] Princeton University Press
[4] 저널 (Anti-)Instantons andthe Atiyah-Hitchin Manifold
[5] 저널 ALF gravitational instantons and collapsing Ricci-flat metrics on the K3 surface
[6] 저널 Устойчивость Классических Решений 1976


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