남 방정식

1. 개요

남 방정식은 실수 리 대수와 1차원 리만 다양체에 대한 함수를 다루는 방정식으로, 4차원 양-밀스 순간자의 차원 축소 버전으로 볼 수 있다. 이 방정식은 자기 홀극, 칼로론, 끈 이론 등 다양한 분야와 연관되어 연구되고 있으며, 1981년 베르너 남에 의해 처음 도입되었다.

2. 정의

다음이 주어졌다고 하자.

* 실수 리 대수 $\backslash mathfrak\; g$
* 1차원 리만 다양체 (즉, 부피 형식이 주어진 선분 또는 원) $C$. 보통 $C\; =\; (0,2)$ (길이 2의 열린 선분) 또는 $C\; =\; \backslash mathbb\; R\; /\; \backslash ell\; \backslash mathbb\; Z$ (길이 $\backslash ell$의 원)으로 잡는다.

그렇다면, 남 방정식의 변수는 $C$ 위의 3개의 함수

:$\backslash vec\; T\; \backslash in\; \backslash mathcal\; C^\backslash infty(C,\backslash mathfrak\; g\; \backslash otimes\; \backslash mathbb\; R^3)$

및 $C$ 위의 (자명한) $\backslash operatorname\; U(n)$-주다발의 주접속

:$T\_0\; \backslash in\; \backslash mathcal\; C^\backslash infty(C,\backslash mathfrak\; u(n))$

이다.

(하위 섹션 "남 방정식"에서 남 방정식과 공변미분($D\; =\; \backslash frac\{\backslash mathrm\; d\}\{\backslash mathrm\; dz\}\; +\; [T\_0,-]$)에 대한 내용을 다루고 있으므로, 이 단락에서는 공변미분에 대한 정의를 생략한다.)

2.1. 남 방정식

남 방정식은 다음과 같이 표현된다.

:$DT\_i=\backslash frac12\backslash epsilon\_\{ijk\}[T\_j,T\_k]$

여기서

* $\backslash epsilon\_\{ijk\}$는 레비치비타 기호이다.
* $[-,-]$는 $\backslash mathfrak\; g$의 리 괄호이다.
* $D\; =\; \backslash frac\{\backslash mathrm\; d\}\{\backslash mathrm\; dz\}\; +\; [T\_0,-]$는 공변 미분이다.

이를 풀어 쓰면 다음과 같다.

:$\backslash frac\{\backslash mathrm\; d\}\{\backslash mathrm\; dz\}T\_1\; +\; [T\_0,T\_1]\; =\; [T\_2,T\_3]$
:$\backslash frac\{\backslash mathrm\; d\}\{\backslash mathrm\; dz\}T\_2\; +\; [T\_0,T\_2]\; =\; [T\_3,T\_1]$
:$\backslash frac\{\backslash mathrm\; d\}\{\backslash mathrm\; dz\}T\_3\; +\; [T\_0,T\_3]\; =\; [T\_1,T\_2]$

이 방정식은 4차원 양-밀스 순간자의 방정식을 1차원으로 차원 축소를 가한 것이다. $T\_1(z),\; T\_2(z),\; T\_3(z)$를 복소 변수 $z$의 세 행렬 값 메로모픽 함수라고 할 때, 남 방정식은 다음과 같은 행렬 미분 방정식 시스템이다.

:$$
\begin{align}
\frac{dT_1}{dz}&=[T_2,T_3]\\[3pt]
\frac{dT_2}{dz}&=[T_3,T_1]\\[3pt]
\frac{dT_3}{dz}&=[T_1,T_2],
\end{align}


이 세 방정식은 레비치비타 기호를 사용하여 다음과 같이 간결하게 쓸 수 있다.

:$\backslash frac\{dT\_i\}\{dz\}=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash sum\_\{j,k\}\backslash epsilon\_\{ijk\}[T\_j,T\_k]=\backslash sum\_\{j,k\}\backslash epsilon\_\{ijk\}T\_j\; T\_k.$

일반적으로, $N$ by $N$ 행렬을 고려하는 대신, 리 대수 $g$ 값을 갖는 남 방정식을 고려할 수 있다. (특정 해석적 성질, 현실 조건 및 경계 조건과 함께.)

2.2. 경계 조건

남 방정식은 자기 홀극, 칼로론 등 다양한 해를 구하기 위해 특정한 경계 조건과 함께 사용된다. 자기 홀극과 칼로론의 경계 조건에 대한 자세한 내용은 각각의 하위 섹션에서 확인할 수 있다.

2.2.1. 자기 홀극의 경계 조건

자기 홀극 해를 구성하기 위한 경계 조건은 다음과 같다.

* $\backslash mathfrak\; g\; =\; \backslash mathfrak\; u(n)$은 $n\backslash times\; n$ 반(反)에르미트 행렬의 리 대수이며, 그 리 괄호는 $n\backslash times\; n$ 행렬의 교환자이다.
* $C\; =\; (0,2)$는 길이 2의 열린구간이다.
* $T$는 해석 함수이다.
* $z\backslash to\; 0$ 또는 $z\backslash to\; 2$에서, $T\_i$는 1차 극을 가지며, 그 유수는 리 대수 $\backslash mathfrak\{su\}(2)$의 $n$차원 표현을 이룬다. 즉, 로랑 급수
::$T\_i(z)\; =\; T\_i^\{(-1)\}z^\{-1\}\; +\; T\_i^\{(0)\}\; +\; T\_i^\{(1)\}z+\backslash dotsb=T\_i^\{\backslash prime(-1)\}(z-2)^\{-1\}\; +\; T\_i^\{\backslash prime(0)\}\; +\; T\_i^\{\backslash prime(1)\}(z-2)+\backslash dotsb$
: 에서,
::$[T\_i^\{(-1)\},T\_j^\{(-1)\}]=\backslash frac12\backslash epsilon\_\{ijk\}T\_k^\{(-1)\}$
::$[T\_i^\{\backslash prime(-1)\},T\_j^\{\backslash prime(-1)\}]=\backslash frac12\backslash epsilon\_\{ijk\}T\_k^\{\backslash prime(-1)\}$
: 이다.
* 변수 $z$는 열린 구간 $(0,2)$로 제한되며, 다음 조건이 부과된다.
*# $T^*\_i\; =\; -T\_i;$
*# $T\_i(2-z)=T\_i(z)^\{T\};\backslash ,$
*# $T\_iN$은 닫힌 구간 $[0,2]$의 근방에서 $z$의 유사해석적 함수로 연속될 수 있으며, $0$과 $2$를 제외하고 해석적이며, $z\; =\; 0$과 $z\; =\; 2$에서 단순 극점을 갖는다.
*# 극점에서 $T\_1,\; T\_2,\; T\_3$의 잔류물은 SU(2) 군의 기약 표현을 형성한다.

2.2.2. 칼로론의 경계 조건

남 방정식을 통해 칼로론을 구성할 수 있다. 이 경우 다음과 같은 경계 조건을 사용한다.

* $C\; =\; \backslash mathbb\; R\; /\; \backslash ell\; \backslash mathbb\; Z$는 둘레 $\backslash ell$의 원이다.
* $C$에는 특별한 점 $z\_1,z\_2,\backslash dotsc,z\_p\; \backslash in\; C$이 주어진다.
* $[z\_a,z\_\{a+1\}]$에서, $\backslash mathfrak\; g\; =\; \backslash mathfrak\; u(n\_i)$이다.
* $T\_i$들이 작용하는 복소수 $n$차원 에르미트 벡터 다발 $E$는 따라서 각 구간마다 차원이 다르다. $[z\_a,z\_\{a+1\}]$에서의 다발을 $E^a$라고 하자. 특별한 점 $k\_a$에서, $E^\{a-1\}$과 $E^a$의 올을 잇는 다음과 같은, 에르미트 구조를 보존하는 선형 사상이 존재한다.
만약 라면, 단사 사상 $E^\{a-1\}|\_\{z\_a\}\; \backslash to\; E^a|\_\{z\_a\}$
만약 $n\_\{a-1\}\; >\; n\_a$라면, 단사 사상 $E^a|\_\{z\_a\}\; \backslash to\; E^\{a-1\}|\_\{z\_a\}$
만약 $n\_\{a-1\}\; =\; n\_a$라면, 전단사 사상 $E^\{a-1\}|\_\{z\_a\}\; \backslash to\; E^a|\_\{z\_a\}$
* $T^a\_i$는 해석 함수이며, 각 특별한 점 $z\_a$에서 $T\_i$는 다음과 같은 경계 조건을 따른다.
일 때: $z\; \backslash approx\; z\_a$에서 다음이 성립한다.
:$T^a(z)\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}$
T^{a-1}(z) & \mathcal O((z-z_i)^{(n_a-n_{a-1}-1)/2})\\
\mathcal O((z-z_a)^{(n_a-n_{a-1}-1)/2}) & (z-z_a)^{-1}R_i + \mathcal O(1)
\end{pmatrix}

* 여기서 유수 $R^a$는 $\backslash mathfrak\{su\}(2)$의 기약 표현을 이룬다.
$n\_\{a-1\}\; >\; n\_a$일 때: 위와 마찬가지로 정의한다.
$n\_\{a-1\}\; =\; n\_a$일 때: 좀 더 복잡한 경계 조건이 필요하다.
* 변수 $z$는 열린 구간 $(0,2)$로 제한되며, 다음 조건이 부과된다.

# $T^*\_i\; =\; -T\_i;$
# $T\_i(2-z)=T\_i(z)^\{T\};\backslash ,$
# $T\_iN$은 닫힌 구간 $[0,2]$의 근방에서 $z$의 유사해석적 함수로 연속될 수 있으며, $0$과 $2$를 제외하고 해석적이며, $z\; =\; 0$과 $z\; =\; 2$에서 단순 극점을 갖는다.
# 극점에서 $T\_1,\; T\_2,\; T\_3$의 잔류물은 SU(2) 군의 기약 표현을 형성한다.

3. 성질

남 방정식은 여러 가지 흥미로운 성질을 가지며, 수학과 물리학의 다양한 분야와 깊은 관련을 맺고 있다.

남 방정식은 레비-치비타 기호를 사용하여 다음과 같이 간결하게 표현할 수 있다.

:$\backslash frac\{dT\_i\}\{dz\}=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash sum\_\{j,k\}\backslash epsilon\_\{ijk\}[T\_j,T\_k]=\backslash sum\_\{j,k\}\backslash epsilon\_\{ijk\}T\_j\; T\_k.$

여기서 $T\_i$는 $z$의 함수인 $N\; \backslash times\; N$ 행렬이거나, 더 일반적으로 리 대수 값을 가질 수 있다.

3차원 자기 홀극 방정식은 미니트위스터 공간을 통해 작도할 수 있으며, 이 때 스펙트럼 곡선은 남 방정식을 통한 작도와 트위스터를 통한 작도 사이의 관계를 보여준다.

3.1. 게이지 대칭

남 방정식은 $\backslash mathcal\; C^\backslash infty(C,G)$의 게이지 변환을 갖는다.

만약 $C$가 선분인 경우, 게이지 대칭을 사용하여 $T\_0\; =\; 0$으로 놓을 수 있다. 그렇다면 이 게이지 변환에서 $\backslash operatorname\; O(n)$만이 남는다. 즉, 게이지 변환 동치류들은 켤레 작용
:$T(z)\; \backslash mapsto\; OT(z)O^\{-1\}\backslash qquad(O\backslash in\backslash operatorname\; O(n))$
에 대하여 불변이다.

$T\_0=0$ 게이지에서, 남 방정식의 해의 공간의 차원은 $4n+n(n-1)/2$이며, 남은 게이지 변환 $\backslash operatorname\; O(n)$에 대한 몫공간의 차원은 $4n$이다. 이는 n개의 자기 홀극을 포함하는 해들의 집합과 동형이다.

3.2. 럭스 쌍

남 방정식은 럭스 쌍으로 표현될 수 있다. 즉, 다음과 같이 정의한다.
:$A\_0=-\backslash mathrm\; iT\_1+T\_2,\; \backslash quad\; A\_1=-2T\_3,\; \backslash quad\; A\_2=-\backslash mathrm\; iT\_1-T\_2$
:$A(t)=A\_0+t\; A\_1+t^2\; A\_2$
:$B(t)=\backslash frac12\backslash frac\{\backslash mathrm\; dA\}\{\backslash mathrm\; dt\}=\backslash frac12A\_1+t\; A\_2\; \backslash equiv\; B\_0\; +\; tB\_1$
여기서 $t$는 어떤 형식적 변수이다. 그렇다면, 남 방정식은 다음과 같은 럭스 방정식과 동치이다.
:$\backslash frac\{\backslash partial\; A(t)\}\{\backslash partial\; z\}\; =\; [A(t),B(t)]$
양변을 $t$에 대한 멱급수로 전개하고 차수별로 비교하면 다음과 같다.
:$\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; z\}A\_0\; =\; [A\_0,B\_0]\; =\; \backslash frac12[A\_0,A\_1]$
:$\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; z\}A\_1\; =\; [A\_1,B\_0]+[A\_0,B\_1]=[A\_0,A\_2]$
:$\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; z\}A\_2\; =\; [A\_1,B\_1]\; +\; [A\_2,B\_0]=[A\_1,A\_2]+\backslash frac12[A\_2,A\_0]$
:$0\; =\; [A\_2,B\_1]$

이에 따라, 방정식
:$\backslash det(x-A(t,z))\; =\; 0$
으로 정의되는 스펙트럼 곡선은 $\backslash partial/\backslash partial\; z$에 대하여 불변이다. 이 방정식은 $x$에 대한 $n$차 방정식이다. 여기서, $t$는 자연스럽게 사영 직선 $\backslash mathbb\; P^1$의 좌표로 생각할 수 있으며, $(x,t)$는 그 접공간 $\backslash mathrm\; T\backslash mathbb\; P^1$ 위의 좌표를 이룬다. 이는 미니트위스터 공간과 같다. 즉, 남 방정식의 스펙트럼 곡선은 미니트위스터 공간 속의 대수 곡선이다.

3.3. 자기 홀극과의 관계

남 방정식은 유클리드 3차원 SU(2) 게이지 이론에서 엇호프트-폴랴코프 자기 홀극을 포함하는 상태를 작도하는 데 사용될 수 있다. 이러한 계는 4차원 순수 양-밀스 이론에서 차원 축소를 하여 얻을 수 있다.

남 방정식의 해 $T^i(z)$가 주어졌다고 하면, 다음과 같은 디랙 연산자를 정의할 수 있다.

:$\backslash Delta=\backslash frac\{d\}\{dz\}-(T^i-x^i)\backslash otimes\backslash sigma\_i$

이는 $(z,\backslash mathbf\; x)$를 매개 변수로 갖는 $(n,1)\backslash otimes(2\backslash times\; 2)=2n\backslash times\; n$ 행렬 $U^a\{\}\_i\{\}^j(z,\backslash mathbf\; x)$에 작용한다.

만약 $U$가 $\backslash Delta$의 여핵에 속한다면, 즉 그 수반 작용소 $\backslash Delta^\backslash dagger$에 대하여

:$\backslash Delta^\backslash dagger=-\backslash frac\{d\}\{dz\}-(T^i-x^i)\backslash sigma\_i$

:$\backslash Delta^\backslash dagger\; U=0$

을 만족하는 $U$를 찾으면, 스칼라장 $\backslash phi$와 게이지장 $A$는 다음과 같이 주어진다.

:$\backslash phi(\backslash mathbf\; x)=\backslash int\_0^2z(U^a)^\backslash dagger(z;\backslash mathbf\; x)U^a(z;\backslash mathbf\; x)\backslash ,dz$
:$\backslash mathrm\; iA\_i(\backslash mathbf\; x)=\backslash int\_0^2z(U^a)^\backslash dagger(z;\backslash mathbf\; x)\backslash partial\_\backslash mu\; U^a(z;\backslash mathbf\; x)\backslash ,dz$

다음과 같은 동치 관계가 성립한다.

* 게이지 변환을 제외한 $SU(2)$ 군에 대한 전하 $K$의 모노폴
* 위에 주어진 추가 조건을 만족하는 남 방정식의 해 (단, $O(k,R)$ 군에 의한 $T\_1,\; T\_2,\; T\_3$의 동시 공액은 제외)

3.4. 끈 이론과의 관계

초끈 이론에서, ⅡB 초끈 이론의 D-막 배열을 통해 남 방정식을 해석할 수 있다. D3-막과 D1-막이 특정 방식으로 배열된 상태를 고려한다.

D1-막은 D3-막에 붙어 있으며, D3-막의 수는 $k$, D1-막의 수는 $n$이다. 이 상태가 시간에 의존하지 않는다고 가정하면, 다음과 같이 묘사할 수 있다.

* D3-막 위의 이론은 $\backslash operatorname\{SU\}(k)$ 𝒩=4 초대칭 양-밀스 이론이며, 시간 불변의 경우 보고몰니 방정식으로 나타난다. D1-막은 D3-막 위의 $n$개의 자기 홀극에 해당한다.
* D1-막 위의 이론은 시간 불변의 경우 남 방정식으로 나타난다. (1차원 공간에서 게이지장을 0으로 게이지 고정할 수 있다.)

남 방정식의 $\backslash mathfrak\{su\}(2)$ 지표는 1, 2, 3 방향의 O(3) 대칭에 해당한다. 남 방정식의 장 $(T\_1,\; T\_2,\; T\_3)$는 D1-막의 1, 2, 3 방향의 위치를 나타낸다. 만약 각 $T\_i$가 대각 행렬이라면, 그 $n$개의 대각 성분은 $n$개의 D1-막의 위치에 해당한다. 일반적으로 좌표가 대각 행렬이 아닌 것은 D-막이 겹쳐졌을 때 발생하는 비가환 기하학에 의한 효과이다.

따라서 남 방정식과 보고몰니 방정식은 10차원 초끈 이론의 한 상태를 서로 다르게 표현한 것이다.

4. 추가 조건 (영어 문서)

# T^*_i^영어 = -T_i^영어
# T_i(2-z)=T_i(z)^T^영어
# T_iN^영어은 닫힌 구간 [0,2]의 근방에서 z^영어의 유사해석적 함수로 연속될 수 있으며, 0과 2를 제외하고 해석적이며, z^영어 = 0과 z^영어 = 2에서 단순 극점을 갖는다.
# 극점에서 T_1^영어, T_2^영어, T_3^영어의 잔류물은 SU(2) 군의 기약 표현을 형성한다.

5. 남-히친 모노폴 기술

다음과 같은 자연스러운 동치 관계가 성립한다.

* 게이지 변환을 제외한 SU(2)^영어 군에 대한 전하 $K$의 모노폴
* 위에 주어진 추가 조건을 만족하는 남 방정식의 해는 $O(k,R)$ 군에 의한 $T\_1,\; T\_2,\; T\_3$의 동시 공액을 제외하고 서로 동치이다.

6. 역사

남 방정식은 1981년 베르너 남(Werner Nahm^독일어)이 도입하였다. 이후 사이먼 도널드슨과 나이절 히친 등이 연구하였다. 허준이 고등과학원 교수가 필즈상을 수상하면서, 남 방정식과 관련된 연구가 더욱 주목받고 있다.