점근 국소 평탄 공간

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1. 개요
2. 정의
3. 분류
- 3.1. 순환군형 (A형)
- 3.2. 정이면체군형 (D형)
4. 성질
- 4.1. 위상수학적 성질
- 4.2. 기하학적 성질
5. 예시
6. 응용
참조

1. 개요

점근 국소 평탄 공간은 4차원 초켈러 다양체의 일종으로, 완비 리만 다양체이며 리만 곡률이 무한대에서 0으로 수렴하는 공간을 의미한다. 유한군 Γ ≤ O(3)에 따라 순환군형(A형)과 정이면체군형(D형)으로 분류되며, 기번스-호킹 가설 풀이를 통해 구성된다. 점근 국소 평탄 공간은 위상수학적 성질과 기하학적 성질을 가지며, A_-1형은 ℝ³ × S¹, A₀형은 토브-너트 공간, D₀형은 아티야-히친 공간과 같은 예시가 있다. 일반 상대성 이론과 끈 이론의 모듈라이 공간을 연구하는 데 응용된다.

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점근 국소 평탄 공간
점근 국소 평탄 공간
유형	리만 다양체
차원	n차원
정의
속성	평탄 국소적 점근적
관련 개념	리치 평탄 다양체
추가 설명	유클리드 공간으로 점근하는 리만 다양체

2. 정의

4차원 초켈러 다양체 $(M,g)$ 가 완비 리만 다양체이며, 리만 곡률이 무한대에서 0으로 수렴하며, 다음 조건을 만족시킨다면, '''점근 국소 평탄 공간'''이라고 한다.^[1]

어떤 콤팩트 집합 $K \subsetneq M$ 및 $R>0$ 및 유한군 $\Gamma \le \operatorname O(3)$ 및 원군 주다발 $\operatorname U(1)\hookrightarrow\tilde M \twoheadrightarrow (\mathbb R^3 \setminus \operatorname{ball}(R)) / \Gamma$ 및 그 위의 주접속 $A\in\Omega^1(\tilde M)$ 에 대하여, 미분 동형 $M \setminus K \cong \tilde M$ 이 존재하며, 이 미분 동형 아래 $M$ 의 리만 계량이 다음과 같은 꼴이다.

:

g = g_{\mathbb R^3/\Gamma} + A^2 + \mathcal O(r^{-t})\qquad(t>0)

3. 분류

점근 국소 평탄 공간은 사용된 유한군 Γ ≤ O(3)에 의해 분류되며, 순환군형(A형)과 정이면체군형(D형)으로 나뉜다. Γ = {1} 및 Γ = Cyc(2) (2차 순환군)이 가능하다.

Γ={1}인 경우는 '''순환군형'''(循環群型, cyclic type^영어) 또는 '''A형'''이라고 하며, A₋₁, A₀, A₁, …가 있다. 순환군형은 기호로 A_''n''의 꼴이며, 여기서 ''n''은 -1 이상의 정수이다. 일반적으로, 순환군형 점근 국소 평탄 공간은 기번스-호킹 가설 풀이로 구성된다. 3차원 유클리드 공간 속에 ''n''+1개의 점(너트의 위치)을 골라 기번스-호킹 가설 풀이를 구성하면 A_''n''형의 점근 국소 평탄 공간을 얻는다. 여기서 U(1) 주다발의 올의 크기에 반비례하는 ''l''은 리만 계량 전체에 적절한 상수를 곱하면 1로 놓을 수 있다. 즉, 그 모듈라이 공간은 3차원 유클리드 공간의 등거리 변환을 고려하여 결정된다.

Γ=Cyc(2)인 경우는 '''정이면체군형'''(正二面體群型, dihedral type^영어) 또는 '''D형'''이라고 하며, D₀, D₁, …가 있다. 정이면체군형은 D_n (n은 음이 아닌 정수)으로 표현된다.^[1] 이 경우, 특정 퍼텐셜을 통한 기번스-호킹 가설 풀이를 생각할 수 있다. 이는 $\|\vec x\| \ll1$ 인 경우 퍼텐셜이 음수가 돼 정의되지 않지만, 이 부분을 무시하면, 이는 특정 변환에 대하여 대칭이므로 특정 공간 위의 기번스-호킹 가설 풀이를 정의한다. 만약 l 이 충분히 크다면, 가운데에 D₀ 공간을 이어붙이면 이는 D_''n'' 점근 국소 평탄 공간을 근사하며, D_''n''이 되도록 변형할 수 있다.^[1]

모듈라이 공간은 다음과 같이 결정된다.

```wikitable

n	차원
0	1
1	2
n ≥ 2	3n-2

```

여기서 한 차원은 l 에 의한 것이며, 리만 계량에 상수를 곱한 것에 해당한다.^[1]

3. 1. 순환군형 (A형)

순환군형은 기호로 A_''n''의 꼴이며, 여기서 ''n''은 -1 이상의 정수이다.

일반적으로, 순환군형 점근 국소 평탄 공간은 기번스-호킹 가설 풀이로 구성된다. 3차원 유클리드 공간 속에 ''n''+1개의 점(너트의 위치)을 골라 기번스-호킹 가설 풀이를 구성하면 A_''n''형의 점근 국소 평탄 공간을 얻는다. 여기서 U(1) 주다발의 올의 크기에 반비례하는 ''l''은 리만 계량 전체에 적절한 상수를 곱하면 1로 놓을 수 있다.

즉, 그 모듈라이 공간은 3차원 유클리드 공간의 등거리 변환을 고려하여 결정된다.

3. 2. 정이면체군형 (D형)

정이면체군형은 Dn (n은 음이 아닌 정수)으로 표현된다.^[1] 이 경우, 퍼텐셜

:

V(\vec x) = l - \frac2{\|\vec x\|} + \sum_{i=1}^n\left(\frac1{2\|\vec r_i-\vec x\|}+\frac1{2\|\vec r_i+\vec x\|}\right)

을 통한 기번스-호킹 가설 풀이를 생각할 수 있다. 이는

\|\vec x\| \ll1

인 경우 퍼텐셜이 음수가 돼 정의되지 않지만, 이 부분을 무시하면, 이는

\vec x\mapsto -\vec x

에 대하여 대칭이므로

(\mathbb R^3 \setminus \operatorname{ball}(R)) / \operatorname{Cyc}(2)

위의 기번스-호킹 가설 풀이를 정의한다. 만약

l

이 충분히 크다면, 가운데에 D₀ 공간을 이어붙이면 이는 D_''n'' 점근 국소 평탄 공간을 근사하며, D_''n''이 되도록 변형할 수 있다.^[1]

모듈라이 공간은 다음과 같이 결정된다.

:

\dim\mathcal M_n = \begin{cases}1 & n = 0 \\2 & n = 1 \\3n-2 & n \ge 2\\\end{cases}

여기서 한 차원은

l

에 의한 것이며, 리만 계량에 상수를 곱한 것에 해당한다.^[1]

4. 성질

4. 1. 위상수학적 성질

점근 국소 평탄 공간의 위상수학적 성질은 다음과 같다.^[1]

점근 국소 평탄 공간	기본군 $\pi_1$	베티 수 $(b_0,b_1,b_2,b_3,b_4)$
A₋₁	무한 순환군 Cyc(∞)	(1,1,0,0,0)
A_n (n≥0)	자명군 1	(1,0,n,0,0)
D₀	2차 순환군 Cyc(2)	(1,0,0,0,0)
D_n (n≥1)	자명군 1	(1,0,n,0,0)

특히, A₋₁은 $\mathbb R^3\times\mathbb S^1$ 이므로, 원 $\mathbb S^1$ 과 호모토피 동치이다. 토브-너트 공간 A₀은 유클리드 공간 $\mathbb R^4$ 과 미분 동형이다.

4. 2. 기하학적 성질

wikitext

점근 국소 평탄 공간의 대칭성은 킬링 벡터장의 수를 통해 알 수 있다.

점근 국소 평탄 공간	킬링 벡터장의 수
A₋₁	4
A₀	4
A₁	2
A_n (n≥2)	1
D₀	3

이는 ISO(3)의 군의 작용의 안정자군의 차원과 원다발 올 방향의 킬링 벡터 1개를 더하여 계산할 수 있다.

5. 예시

A_-1형 점근 국소 평탄 공간은 ℝ³ × S¹이다.
A₀형 점근 국소 평탄 공간은 토브-너트 공간이다.
D₀형 점근 국소 평탄 공간은 아티야-히친 공간이다.
D₁형 점근 국소 평탄 공간의 모듈라이 공간은 (리만 계량에 상수를 곱하는 것을 제외하면) 3차원이다. 이 모듈라이 공간의 한 점은 아티야-히친 공간의 2겹 범피복 공간이다.

6. 응용

점근 국소 평탄 공간은 일반 상대성 이론과 끈 이론에 자주 등장한다. 이는 초켈러 다양체이므로, 초대칭 게이지 이론의 모듈라이 공간이나 일반 상대성 이론의 해를 이루기 때문이다.

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