볼츠만 운송 방정식

3. 정의

볼츠만 운송 방정식은 2입자 충돌로만 상호작용하는 이상 기체의 비평형 통계역학을 다룬다. 이 경우, 입자들이 충돌하지 않는 동안에는 고전역학적으로 근사하지만, 두 입자의 충돌은 양자역학적으로 다룬다.^[27] 충돌을 다루기 위해서는 소위 '''분자 혼돈'''(分子混沌, molecular chaos^영어)이라는 통계적인 가정을 추가하여야 한다.

분자 혼돈 가정은 서로 충돌하려는 두 입자의 운동량이 서로 상관되어 있지 않다고 가정한다. 이 가정은 '''분자 혼돈 가정'''(分子混沌假定, molecular chaos assumption^영어) 또는 '''슈토스찰안자츠'''(Stoßzahlansatz^de, 충돌수 가설 풀이)라고 한다.^[2]

루트비히 볼츠만은 충돌 전에 상관관계가 없는 것으로 가정된 입자 간의 두 입자 충돌로부터 발생하는 충돌 항을 결정하였다. 이 가정 하에서 충돌 항은 일-입자 분포 함수의 곱에 대한 운동량 공간 적분으로 표현 가능하다.

3. 1. 분자 혼돈 가정 (슈토스찰안자츠)

4. H 정리

볼츠만은 H 정리를 통해 고립계에서 엔트로피가 감소하지 않음을 증명하였다. H 함수는 다음과 같이 정의된다.

:$H(t)\; \backslash equiv\; \backslash iint\; f\; \backslash ln(f)\; \backslash ,\; \backslash mathrm\; d\{\backslash boldsymbol\; v\}\backslash ,\backslash mathrm\; d\{\backslash boldsymbol\; r\}$

여기서 적분은 속도에 관해서는 전체 속도, 공간 좌표에 관해서는 입자계가 차지하는 전체 영역에 걸쳐 수행한다. 볼츠만 방정식의 양변에 ln ''f''^영어를 곱하여 $$

\frac{\mathrm dH}{\mathrm dt} = - \frac{1}{4}\iiiint(\ln(f'f_1')-\ln(ff_1))(f'f_1' - ff_1)g\,\mathrm d\Omega\,\mathrm d\mathbf{v}\,\mathrm d\mathbf{v_1}\,\mathrm d\mathbf{r}

/'''''v''''', '''''r'''''}}에 대해 적분하고 변형하면 다음을 얻는다.

{{Indent^영어

피적분 함수는 $\backslash frac\{\backslash mathrm\; dH\}\{\backslash mathrm\; dt\}\backslash le\; 0$/(ln ''x'' − ln ''y'')(''x'' − ''y'')}} 형태를 하고 있어 항상 양 또는 0이므로, 다음이 성립한다.

{{Indent^영어

이것이 볼츠만의 H 정리이다. H는 엔트로피 S와 S = -kH (k는 볼츠만 상수)로 관계되므로, 이는 입자계의 엔트로피가 시간과 함께 증가하거나 일정 값에 머물 뿐, 감소하는 일은 없다는 것을 의미한다. 더 나아가 H가 일정 값에 머물기 위해서는 전체 영역에서 ''f'' ''f''₁ ''f'' ''f''₁^영어가 성립해야 하며, 이때 f는 맥스웰-볼츠만 분포이다.

고립계가 아니더라도 입자의 공간 분포가 균일한 경우에는 '''r'''^영어의 적분을 임의의 유한 영역으로 제한함으로써 에 대해 위와 같은 형태의 식이 유도되어 같은 결론을 얻을 수 있다. 그러나 공간적으로 비균일한 분포의 경우에는 여분의 항이 발생하고 위의 논의가 성립하지 않는다. 이것은 그 영역과 인접 영역 사이에 엔트로피의 교환이 일어나므로 엔트로피의 비감소는 보장되지 않는다는 것을 의미한다.

H 정리는 볼츠만의 시대부터 역학의 가역성과의 관계에서 활발한 논의를 불러 일으켰고, 그것이 이 정리의 물리적 내용의 이해를 깊게 했다. 또한 그 개념은 그 후, 볼츠만 방정식을 벗어나 널리 논의되었다.

5. 일반 상대성 이론 및 천문학으로의 확장

볼츠만 방정식은 은하 역학에서 별들의 운동을 기술하는 데 유용하게 사용된다. 은하는 특정한 가정 하에 연속체 유체로 근사될 수 있으며, 질량 분포는 ''f''로 표현된다. 은하에서 별들 사이의 물리적 충돌은 매우 드물고, 우주의 나이보다 훨씬 긴 시간 동안 ''중력 충돌''의 영향은 무시할 수 있다.

일반 상대성 이론에서의 일반화는 다음과 같다.^[11]

:$$\backslash hat\{\backslash mathbf\{L\}\}\_\backslash mathrm\{GR\}[f]\; =\; p^\backslash alpha\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; x^\backslash alpha\}\; -\; \backslash Gamma^\backslash alpha\{\}\_\{\backslash beta\backslash gamma\}\; p^\backslash beta\; p^\backslash gamma\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; p^\backslash alpha\}\; =\; C[f],$$

여기서 (''xⁱ'', ''pⁱ'')/Γ^α_βγ}}는 제2종 크리스토펠 기호이다(이것은 외부 힘이 없어 입자가 충돌이 없을 때 측지선을 따라 이동한다고 가정한다). 중요한 미묘한 점은 밀도가 완전히 반변 좌표계 위상 공간에서의 함수라는 것이다.^[12][13]

물리 우주론에서는 전적으로 공변적인 접근 방식이 우주 마이크로파 배경 복사를 연구하는 데 사용되었다.^[14]

6. 한계 및 추가 응용 분야

볼츠만 방정식은 몇 가지 가정을 전제로 한다. 입자는 유한한 크기를 갖지 않는 점과 같은 입자라고 가정하며, 병진 운동 외에 다른 자유도는 고려하지 않는다. 또한, 2체 충돌뿐만 아니라 3체 및 고차 충돌도 고려해야 하는 경우가 많다.^[23]

엔스코그 방정식은 충돌 항을 수정하여 입자가 유한한 크기를 갖도록 볼츠만 방정식을 일반화한 것이다.^[22] 예를 들어 고정된 반지름을 가진 구로 입자를 모델링할 수 있다. 내부 자유도가 있는 경우 비탄성 충돌을 고려하여 볼츠만 방정식을 일반화해야 한다.^[22]

양자 볼츠만 방정식은 입자 수가 충돌 시 보존되지 않는 양자장론의 상대론적 양자 시스템을 기술한다. 이는 물리 우주론에서 빅뱅 핵합성의 경원소 생성, 암흑 물질 생성, 중입자 생성 등 여러 응용 분야에 사용된다.^[9] 양자 시스템의 상태가 고전적 위상 공간 밀도 ''f''로 특징지어질 수 있는지 여부는 항상 명확하지 않지만, 많은 경우 ''f''의 일반화가 존재하며, 이는 양자장론의 기본 원리로부터 유도될 수 있는 유효 볼츠만 방정식의 해이다.^[10]

볼츠만형 방정식은 세포의 움직임을 설명하는 데에도 사용된다.^[24][25] 세포는 내부 자유도를 갖는 복합 입자이므로, 이 경우 일반화된 볼츠만 방정식은 비탄성 충돌 적분을 포함해야 한다. 이러한 방정식은 조직 내 암 세포 침윤, 형태 발생, 주화성 관련 효과를 설명할 수 있다.

7. 한국의 관점 및 정책

참조

_[1] 서적 Invariant Manifolds for Physical and Chemical Kinetics https://www.academia[...] Springer 2005
_[2] 서적 Encyclopaedia of Physics VHC publishers 1991
_[3] 논문 On the Cauchy problem for Boltzmann equations: global existence and weak stability
_[4] 논문 Global classical solutions of the Boltzmann equation with long-range interactions
_[5] 서적 Statistical Mechanics https://archive.org/[...] Wiley
_[6] 서적 McGraw Hill Encyclopaedia of Physics 1993
_[7] 논문 A Model for Collision Processes in Gases. I. Small Amplitude Processes in Charged and Neutral One-Component Systems 1954-05-01
_[8] 서적 Non-Equilibrium Thermodynamics Dover Publications Inc.
_[9] 서적 The Early Universe Westview Press
_[10] 논문 The Boltzmann equation from quantum field theory 2013-01-08
_[11] 간행물 General Relativity and Cosmology (Varenna) Academic Press NY 1971
_[12] 논문 General relativistic Boltzmann equation I: Covariant treatment
_[13] 논문 General relativistic Boltzmann equation II: Manifestly covariant treatment
_[14] 논문 Cosmic microwave background anisotropies: Nonlinear dynamics 1999
_[15] 논문 Global Classical Solutions of the Boltzmann Equation without Angular Cut-off
_[16] 논문 A discontinuous finite element solution of the Boltzmann kinetic equation in collisionless and BGK forms for macroscopic gas flows https://cronfa.swan.[...] 2011-03-01
_[17] 논문 Aerodynamic optimisation of a hypersonic reentry vehicle based on solution of the Boltzmann–BGK equation and evolutionary optimisation https://cronfa.swan.[...] 2017-12
_[18] 논문 Numerical Solution of the Boltzmann Equation I: Spectrally Accurate Approximation of the Collision Operator 2000-01-01
_[19] 서적 Basics of Statistical Mechanics World Scientific 2013
_[20] 서적 The mathematical theory of non-uniform gases: an account of the kinetic theory of viscosity, thermal conduction, and diffusion in gases https://books.google[...] Cambridge University Press 1970
_[21] 논문 Theme issue 'Hilbert's sixth problem'
_[22] 웹사이트 Enskog Equation - an overview {{!}} ScienceDirect Topics https://www.scienced[...] 2022-05-10
_[23] arXiv Ring Kinetic Theory for an Idealized Granular Gas 1997-06-03
_[24] 논문 Modeling cell movement in anisotropic and heterogeneous network tissues https://www.aimscien[...] 2007
_[25] 논문 Multi-Cue Kinetic Model with Non-Local Sensing for Cell Migration on a Fiber Network with Chemotaxis 2022-02-12
_[26] 문서 세계대백과사전
_[27] 서적 http://www.mit.edu/p[...] 2014-04-06
_[28] 저널
_[29] 웹인용 http://plato.stanfor[...]