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빗변

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목차

1. 개요

빗변은 직각삼각형에서 직각의 대변에 위치하는 변을 의미한다. 고대 그리스어에서 유래되었으며, 피타고라스 정리를 통해 빗변의 길이를 계산할 수 있다. 빗변은 직각삼각형에서 가장 긴 변이며, 삼각법의 코사인 법칙과 삼각비를 사용하여 각도와 변의 관계를 구할 수 있다.

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빗변
정의
설명직각삼각형에서 직각의 대변, 즉 가장 긴 변
명칭한국어: 빗변
영어: Hypotenuse (하이포테뉴즈)
일본어: 斜辺 (샤헨)
특징
길이직각삼각형에서 가장 긴 변
위치직각의 대변
관련 정리피타고라스 정리
수학적 표현
삼각형 표기삼각형 ABC에서 각 C가 직각일 때, 변 AB
변수 표기일반적으로 소문자 c로 표기

2. 어원

"빗변"(영어: hypotenuse)이라는 단어는 "직각을 마주보는 [변]"을 뜻하는 고대 그리스어 ἡ τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτείνουσα|헤 텐 오르텐 고니안 휘포테이누사grc (sc. γραμμή|그람메grc 또는 πλευρά|플레우라grc)에서 유래되었다.[4][5] ὑποτείνουσα|휘포테이누사grc는 "아래로 뻗다, 마주보다"라는 뜻의 동사 ὑποτείνω|휘포테이노grc의 여성 현재 능동 분사형이며, "뻗다, 확장하다"라는 뜻의 τείνω|테이노grc에서 파생되었다. 명사화된 분사 ἡ ὑποτείνουσα|헤 휘포테이누사grc는 기원전 4세기에 삼각형의 빗변을 지칭하는 데 사용되었으며 (플라톤의 ''티마이오스'' 54d에 언급됨), 이 용어는 차용되어 후기 라틴어에서 ''hypotēnūsa''로 사용되었다.[4][5] ''-e''로 끝나는 철자, 즉 ''hypotenuse''는 프랑스어에서 유래되었다 (에티엔 드 라 로슈 1520).[6]

3. 성질 및 계산

두 변 a와 b, 빗변 c를 가진 직각 삼각형
빗변 ''c''를 가진 직각 삼각형


직각삼각형에서 빗변은 직각의 반대편에 있는 변이며, 다른 두 변은 '''직각변''' 또는 '''다리'''라고 불린다.[7] 빗변의 길이는 피타고라스 정리를 사용하여 계산할 수 있는데, 피타고라스 정리는 두 직각변의 제곱의 합이 빗변의 제곱과 같다는 것을 나타낸다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

:a^2 + b^2 = c^2 (단, a와 b는 직각변, c는 빗변)

이 식의 양변에 제곱근 함수를 사용하면 빗변의 길이를 구할 수 있다.

:c = \sqrt { a^2 + b^2 } .

피타고라스 정리로 인해, 빗변은 직각삼각형의 세 변 중 가장 길다. 예를 들어 직각변의 길이가 a = 5이고 b = 12라면, 빗변의 길이는 13이 된다.

직각을 끼고 있는 두 변의 길이가 3m와 4m일 때, 빗변의 길이는 5m가 된다.


제곱근을 이용하면, 그림의 직각삼각형에서 빗변의 길이 c는 직각을 끼고 있는 두 변의 길이 a, b로부터 위와 같이 표현할 수 있다.

빗변의 길이는 코사인 법칙을 통해서도 구할 수 있다. 코사인 법칙은 다음과 같다.

:c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\theta (단, θ는 빗변과 마주보는 각)

빗변의 반대편 각이 직각(90°)이고 그 코사인 값이 0임을 이용하면, 위 식은 다음과 같이 간단하게 정리된다.

:c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\theta = a^2 + b^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2}.

많은 컴퓨터 언어는 ISO C 표준 함수 hypot(''x'',''y'')를 지원하며,[8] 이 함수는 위에서 설명한 빗변의 길이를 반환한다. 이 함수는 직접적인 계산이 오버플로 또는 언더플로될 수 있는 경우에도 오류가 발생하지 않도록 설계되었으며, 좀 더 정확하지만 때로는 느릴 수 있다.

일부 과학 계산기는 직교 좌표에서 극좌표로 변환하는 기능을 제공한다. 이 기능은 ''x''와 ''y''값이 주어지면 빗변의 길이와 빗변이 밑변과 이루는 각도를 동시에 계산해 준다. 반환되는 각도는 일반적으로 atan2(''y'',''x'')로 제공된다.

3. 1. 삼각비

삼각비를 사용하면 직각삼각형의 두 예각의 크기를 구할 수 있다.

빗변 c\,와 한 변 b\,의 길이가 주어지면, 그 비율은 다음과 같다.

:\frac{b}{c} = \sin(\beta)\,

삼각함수의 역함수를 이용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:\beta\ = \arcsin\left(\frac{b}{c}\right)\,

여기서 \beta\,는 변 b\,의 맞은편 각도이다. 변 b\,의 인접 각도는 \alpha\, = 90° – \beta\,이다.

또한 다음 방정식을 통해 각도 \beta\,의 값을 구할 수 있다.

:\beta\ = \arccos\left(\frac{a}{c}\right)\,

여기서 a\,는 다른 변이다.

4. 같이 보기

참조

[1] EB1911 Triangle (geometry)
[2] 서적 I Hate Trig!: A Practical Guide to Understanding Trigonometry https://books.google[...] Jesse Moland 2009-08
[3] LSJ u(po/}}, {{LSJ|tei/nw}}, {{LSJ|pleura/|ref
[4] 웹사이트 hypotenuse {{!}} Origin and meaning of hypotenuse by Online Etymology Dictionary https://www.etymonli[...] 2019-05-14
[5] 웹사이트 hypotenuse definition and word origin https://www.collinsd[...] Collins 2022-04-12
[6] 문서 Estienne de La Roche, ''l'Arismetique'' (1520), fol. 221r (cited after TLFi). http://www.cnrtl.fr/[...]
[7] 서적 Geometry: A Metric Approach with Models Springer 1981
[8] 웹사이트 hypot(3) https://manpages.deb[...] 2021-12-04
[9] 웹사이트 C++ std::hypot https://en.cpprefere[...] 2024-06-06
[10] 웹사이트 Python math.hypot https://docs.python.[...] 2024-06-06
[11] 문서 Schwartzman, Steven The Words of Mathematics, An Etymological Dictionary of Mathematical Terms used in English, Published by the Mathematical Association of America.
[12] 서적 Romping Through Mathematics Faber
[13] 문서 스티븐, 슈바르츠만 The Words of Mathematics, An Etymological Dictionary of Mathematical Terms used in English, 미국 수학 협회.
[14] 서적 Romping Through Mathematics


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