상반평면

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1. 개요

상반평면은 허수부가 양수인 복소수들의 집합을 의미하며, 닫힌 상반평면은 허수부가 음수가 아닌 복소수들의 집합이다. 복소평면에서 실수부는 좌우 축, 허수부는 상하 축으로 나타내므로, 상반평면은 실수선 위의 부분 공간이 된다. 상반평면은 아핀 기하학, 반전 기하학, 거리 기하학, 복소해석학 등 다양한 수학 분야에서 활용되며, 특히 쌍곡 기하학의 푸앵카레 상반평면 모델은 쌍곡 운동을 연구하는 데 사용된다. 또한 리 군의 작용, 보형 형식 연구에도 중요한 역할을 하며, 일반화된 개념으로 쌍곡 n-공간과 지겔 상반 공간 등이 있다.

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상반평면
개요
복소 평면의 상반평면
정의	복소수 z = x + iy에서 y > 0을 만족하는 집합 여기서 x와 y는 실수
상세 정보
기호	𝔽
성질	단일 연결 리만 곡면
관련 개념
관련 항목	푸앵카레 원반 모형 모듈러 군 슈바르츠-크리스토펠 사상 클라인 군
수학적 특성
군 작용	PSL(2,R)

2. 정의

'''(열린) 상반평면'''((open) upper half-plane^영어) $\mathbb H$ 는 허수부가 양수인 복소수들의 집합이다. 즉, 다음과 같다.

: $\mathbb H=\{z\in\mathbb C\colon\operatorname{Im}z>0\}\subset\mathbb C$

'''닫힌 상반평면'''(closed upper half-plane^영어 $\bar{\mathbb H})$ 은 허수부가 0 이상인 복소수들의 집합이다. 즉, 다음과 같다.

: $\bar{\mathbb H}=\{z\in\mathbb C\colon\operatorname{Im}z\ge0\}\subset\mathbb C$

보통 복소수를 평면에 대응시킬 때 실수부를 좌우 축으로, 허수부를 상하 축으로 나타내므로, 이 경우 (열린) 상반평면은 실수선 $\mathbb R\subset\mathbb C$ 위의 부분공간이고, 닫힌 상반평면은 실수선 및 열린 상반평면을 포함하는 부분공간이다.

3. 아핀 기하학

상반평면의 아핀 변환에는 다음과 같은 것들이 있다.

이동: $(x,y)\mapsto (x+c,y)$ ( $c\in\mathbb{R}$ )
확대: $(x,y)\mapsto (\lambda x,\lambda y)$ ( $\lambda > 0$ )

'''정리:''' A와 B가 경계 위에 중심을 둔 상반평면의 반원이라고 가정하면, A를 B로 변환하는 아핀 매핑이 존재한다.

: 증명은 하위 섹션에서 자세히 설명한다.

3. 1. 이동

상반평면의 이동은 다음과 같다.

:

(x,y)\mapsto (x+c,y)

(

c\in\mathbb{R}

)

A^영어와 B^영어가 경계 위에 중심을 둔 상반평면의 반원이라고 가정하면,

A

를

B

로 변환하는 아핀 매핑이 존재한다. 먼저 A^영어의 중심을

(0,0)

으로 이동하고,

\lambda=(\text{B의 지름})/(\text{A의 지름})

으로 하여 확대한다. 그 다음

(0,0)

을 B^영어의 중심으로 이동한다.

3. 2. 확대

아핀 변환에는 다음이 포함된다.

이동 $(x,y)\mapsto (x+c,y)$ , $c\in\mathbb{R}$
확대 $(x,y)\mapsto (\lambda x,\lambda y)$ , $\lambda > 0.$

'''정리:''' A와 B가 경계 위에 중심을 둔 상반평면의 반원이라고 가정하면, A를 B로 변환하는 아핀 매핑이 존재한다.

: 증명: 먼저 A의 중심을 (0,0)으로 이동한다. 그런 다음

\lambda=(\text{B의 지름})/(\text{A의 지름})

으로 하여 확대한다. 그런 다음 (0,0)을 B의 중심으로 이동한다.

3. 3. 정리

아핀 변환에는 다음이 포함된다.

이동 $(x,y)\mapsto (x+c,y)$ , $c\in\mathbb{R}$
확대 $(x,y)\mapsto (\lambda x,\lambda y)$ , $\lambda > 0.$

'''정리:''' A와 B가 경계 위에 중심을 둔 상반평면의 반원이라고 가정한다. 그러면 다음을 만족하는 아핀 매핑이 존재한다.

: A를 B로 변환한다.

: 증명: 먼저 A의 중심을 (0,0)으로 이동한다. 그런 다음

\lambda=(\text{B의 지름})/(\text{A의 지름})

으로 하여 확대한다. 그런 다음 (0,0)을 B의 중심으로 이동한다.

4. 반전 기하학

(0, 0), $\rho(\theta)$ in $\mathcal{Z}$ , (1, tan θ)는 공선점이다.

4. 1. 정의

\mathcal{Z}

는 (

\tfrac{1}{2}

, 0)을 중심으로 하고 반지름이

\tfrac{1}{2}

인 원으로 인식될 수 있으며, ρ(θ) = cos θ의 극좌표 그래프로 인식될 수도 있다.

\mathcal{Z}

는 원에서의 반전에서 선

\left\{(1, y) \mid y > 0 \right\}

의 반전이다. 실제로, (0,0)에서 (1, tan θ)까지의 대각선의 제곱 길이는

1 + \tan^2 θ = \sec^2 θ

이므로, ρ(θ) = cos θ는 그 길이의 역수이다.

4. 2. 명제

mathcal Z^영어는 )을 중심으로 하고 반지름이 0.5인 원으로 인식될 수 있으며, ρ(θ) = cos θ^한국어의 극좌표 그래프로도 인식될 수 있다.

(0, 0), ρ(θ)^영어 in mathcal Z^영어, 그리고 (1, tan θ)는 공선점이다.

사실, mathcal Z^영어는 원에서의 반전에서 선 {(1, y) | y > 0 ^한국어}의 반전이다. 실제로, (0, 0)에서 (1, tan θ)까지의 대각선의 제곱 길이는 1 + tan² θ = sec² θ^한국어이므로, ρ(θ) = cos θ^한국어는 그 길이의 역수이다.

5. 거리 기하학 (쌍곡 기하학)

상반평면의 두 점 $p$ 와 $q$ 사이의 거리는 다음과 같이 정의할 수 있다. $p$ 에서 $q$ 까지의 선분의 수직 이등분선은 경계와 교차하거나 경계와 평행하다.

후자의 경우 $p$ 와 $q$ 는 경계에 수직인 광선 위에 있으며, 로그 척도를 사용하여 확장에 불변하는 거리를 정의할 수 있다.
전자의 경우 $p$ 와 $q$ 는 수직 이등분선과 경계의 교차점을 중심으로 하는 원 위에 있다. 이 원은 아핀 변환을 통해 $\mathcal Z$ 로 이동할 수 있다. $\mathcal Z$ 에서의 거리는 $\bigl\{(1, y) \mid y > 0 \bigr\}$ 상의 점과의 대응 관계와 이 광선 상의 로그 척도를 사용하여 정의할 수 있다.

결과적으로 상반평면은 거리 공간이 된다. 이 거리 공간의 일반적인 이름은 쌍곡면이다. 쌍곡 기하학의 모델 측면에서, 이 모델은 종종 푸앵카레 상반평면 모델로 불린다.

5. 1. 푸앵카레 상반평면 모델

푸앵카레 상반평면 모델은 쌍곡 기하학을 유클리드 공간 내에서 나타낸 것이다. 이 모델에서 계량은 다음과 같이 주어진다.

:

\frac{d(z\bar{z})}

5. 2. 계량

상반평면의 두 점 p와 q 사이의 거리는 다음과 같이 정의할 수 있다. p에서 q까지의 선분의 수직 이등분선은 경계와 교차하거나 경계와 평행하다. 후자의 경우 p와 q는 경계에 수직인 광선 위에 있으며, 로그 척도를 사용하여 확장에 불변하는 거리를 정의할 수 있다. 전자의 경우 p와 q는 수직 이등분선과 경계의 교차점을 중심으로 하는 원 위에 있다. 이 원은 아핀 변환을 통해 Z로 이동할 수 있다. Z에서의 거리는

\bigl\{(1, y) \mid y > 0 \bigr\}

상의 점과의 대응 관계와 이 광선 상의 로그 척도를 사용하여 정의할 수 있다. 결과적으로 상반평면은 거리 공간이 된다. 이 거리 공간의 일반적인 이름은 쌍곡면이다. 쌍곡 기하학의 모델 측면에서, 이 모델은 종종 푸앵카레 상반평면 모델로 지정된다.

푸앵카레 상반평면 모델이라고 불리는 쌍곡 기하학의 유클리드 공간 내에서의 실현이 있다. 이 모델에서는, 계량이

:

\frac{d(z\bar{z})}

6. 복소해석학

상반평면은 복소해석학에서 중요한 많은 함수의 정의역으로 사용된다. 예를 들어 모듈 형식이 이러한 함수의 예시이다. Lower half-plane^영어인 하반평면도 동일하게 유효하지만, 관례상 상반평면이 더 많이 사용된다.단위 열린 원판

\mathcal D

(절댓값이 1보다 작은 모든 복소수의 집합)는 등각 사상으로 상반평면과 동등하다. ("푸앵카레 계량" 참조) 이는 일반적으로 상반평면과

\mathcal D

사이를 변환하는 것이 가능하다는 것을 의미한다.

푸앵카레 상반평면 모델에서, 상반평면은 쌍곡 기하학의 모델로 사용되며, "직선"(측지선)은 양 끝이 실수축에 직교하는 원주(직선도 반지름이 무한대인 것으로 간주)이다. 상반평면을 단위 원판

:

D=\{z\in\mathbb{C}\mid z\bar{z} < 1\}

에 사상하는 정칙인 전단사

:

\mathfrak{H}\ni z \mapsto \frac{z-i}{z+i}\in D

:

D\ni w \mapsto \frac{1+w}{1-w}i \in \mathfrak{H}

가 존재하며, 상반평면 모델은 단위 원판 모델과 서로 대응된다. 이것은 두 모델이 리만 면으로서 해석적 동형임을 의미한다.

6. 1. 모듈 형식

수학자들은 때때로 데카르트 평면을 복소 평면과 동일시하며, 이 경우 상반평면은 양의 허수부를 가진 복소수 집합에 해당한다.

상반평면은 특히 모듈 형식과 같이 복소해석학에서 중요한 많은 함수의 정의역이다. English: Lower half-plane, 한국어 하반평면도 동일하게 유효하지만, 관례상 덜 사용된다.

6. 2. 등각 사상

상반평면은 단위 열린 원판

\mathcal D

(절댓값이 1보다 작은 모든 복소수의 집합)와 등각 사상으로 동등하다. ("푸앵카레 계량" 참조) 이는 일반적으로 상반평면과

\mathcal D

사이를 변환하는 것이 가능하다는 것을 의미한다.

푸앵카레 상반평면 모델에서, 상반평면은 쌍곡 기하학의 모델로 사용되며, "직선"(측지선)은 양 끝이 실수축에 직교하는 원주(직선도 반지름이 무한대인 것으로 간주)이다. 상반평면을 단위 원판

:

D=\{z\in\mathbb{C}\mid z\bar{z} < 1\}

에 사상하는 정칙인 전단사

:

\mathfrak{H}\ni z \mapsto \frac{z-i}{z+i}\in D

:

D\ni w \mapsto \frac{1+w}{1-w}i \in \mathfrak{H}

가 존재하며, 상반평면 모델은 단위 원판 모델과 서로 대응된다. 이것은 두 모델이 리만 면으로서 해석적 동형임을 의미한다.

7. 리 군의 작용

리 군 GL(2, '''R''')은 상반평면에 작용하며, 이 작용은 계량을 보존한다. 상반평면 '''H'''는 같은 작용으로 SL(2)의 작용을 받는다. ''z'' = ''i''일 때 고정 부분군은 다음과 같다.

: $SO(2,\mathbb{R})=\left\{\begin{pmatrix}\cos\,\theta & -\sin\,\theta\\ \sin\,\theta & \cos\,\theta\end{pmatrix}\right\}$

따라서 다음 해석 동상이 성립한다.

: $\mathfrak{H}\simeq SL(2,\mathbb{R})/SO(2,\mathbb{R})$

SL(2, '''Z''')와 같은 이산 부분군(종종 Γ로 표시됨)의 작용으로 '''H'''를 나눈 공간 위의 미분 형식은 보형 형식이라고 불리는 수론적 대상이다.

7. 1. 리 군의 작용

리 군 GL(2, '''R''')이 상반평면에 다음과 같이 작용한다.

:

\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}z:=\frac{az+b}{cz+d}\quad\text{ for }z\in\mathfrak{H}

이 작용은 계량을 유지한다. 상반평면 '''H'''는 같은 작용으로 SL(2)의 작용을 받는다. 이때, ''z'' = ''i''의 고정 부분군은 다음과 같다.

:

SO(2,\mathbb{R})=\left\{\begin{pmatrix}\cos\,\theta & -\sin\,\theta\\ \sin\,\theta & \cos\,\theta\end{pmatrix}\right\}

따라서, 해석 동상

:

\mathfrak{H}\simeq SL(2,\mathbb{R})/SO(2,\mathbb{R})

이 성립한다. 또한 SL(2, '''Z''')와 같은 이산 부분군(종종 Γ로 표시됨)의 작용으로 '''H'''를 나눈 공간(이 또한 적절한 방식으로 리만 면의 구조를 갖는다) 위의 미분 형식은 보형 형식이라고 불리는 수론적 대상을 정의한다.

7. 2. 보형 형식

상반평면에는 리 군 GL(2, '''R''')이 다음과 같이 작용한다.

:

\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}z:=\frac{az+b}{cz+d}\quad\text{ for }z\in\mathfrak{H}

'''H'''는 같은 작용으로 SL(2)의 작용을 받는다. 이때, ''z'' = ''i''의 고정 부분군은 다음과 같다.

:

SO(2,\mathbb{R})=\left\{\begin{pmatrix}\cos\,\theta & -\sin\,\theta\\ \sin\,\theta & \cos\,\theta\end{pmatrix}\right\}

따라서, 다음 해석 동상이 성립한다.

:

\mathfrak{H}\simeq SL(2,\mathbb{R})/SO(2,\mathbb{R})

또한 SL(2, '''Z''')와 같은 이산 부분군(종종 Γ로 표시됨)의 작용으로 '''H'''를 나눈 공간(이 또한 적절한 방식으로 리만 면의 구조를 갖는다) 위의 미분 형식은 보형 형식이라고 불리는 수론적 대상을 정한다.

8. 일반화

미분 기하학에서 상반평면의 일반화는 쌍곡 $n$ -공간 $\mathcal H^n$ 이다. 이는 상수 단면 곡률 $-1$ 을 갖는, 최대 대칭적인, 단일 연결된, $n$ 차원 리만 다양체이다. 상반평면은 실수 2차원이므로 $\mathcal H^2$ 이다.

수론에서 힐베르트 모듈 형식 이론은 상반평면의 $n$ 개 복사본의 직접 곱 $\mathcal H^n$ 에 대한 특정 함수 연구와 관련이 있다. 지겔 상반 공간 $\mathcal H_n$ 은 지겔 모듈 형식의 영역이다.

상반평면에 리 군 GL(2, '''R''')이

: $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}z:=\frac{az+b}{cz+d}\quad\text{ for }z\in\mathfrak{H}$

에 의해 (계량을 유지하며) 작용한다. '''H'''는 같은 작용으로 SL(2)의 작용을 받는다. ''z'' = ''i''의 고정 부분군은

: $SO(2,\mathbb{R})=\left\{\begin{pmatrix}\cos\,\theta & -\sin\,\theta\\ \sin\,\theta & \cos\,\theta\end{pmatrix}\right\}$

이므로, 해석 동상

: $\mathfrak{H}\simeq SL(2,\mathbb{R})/SO(2,\mathbb{R})$

이 성립한다. SL(2, '''Z''')와 같은 이산 부분군 (Γ로 표시됨)의 작용으로 '''H'''를 나눈 공간 (리만 면의 구조를 갖는다) 위의 미분 형식은 보형 형식이다.

8. 1. 쌍곡 n-공간

미분 기하학에서 한 가지 자연스러운 일반화는 쌍곡 n-공간인데, 이는 상수 단면 곡률 -1을 갖는, 최대 대칭적인, 단일 연결된, n차원 리만 다양체이다. 이 용어에서, 상반평면은 실수 2차원이므로

\mathcal H^2

이다.

수론에서, 힐베르트 모듈 형식 이론은 상반평면의 n개의 복사본의 직접 곱

\mathcal H^n

에 대한 특정 함수 연구와 관련이 있다. 수론학자들에게 흥미로운 또 다른 공간은 지겔 상반 공간

\mathcal H_n

인데, 이는 지겔 모듈 형식의 영역이다.

8. 2. 지겔 상반 공간

수론에서 힐베르트 모듈 형식 이론은 상반평면의 n개의 복사본의 직접 곱

\mathcal H^n

에 대한 특정 함수 연구와 관련이 있다. 수론학자들에게 흥미로운 또 다른 공간은 지겔 상반 공간

\mathcal H_n

인데, 이는 지겔 모듈 형식의 영역이다.

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