맨위로가기

상한과 하한

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

상한과 하한은 부분 순서 집합의 부분 집합에 대한 개념으로, 상한은 부분 집합의 모든 원소보다 크거나 같은 원소 중 가장 작은 원소를, 하한은 부분 집합의 모든 원소보다 작거나 같은 원소 중 가장 큰 원소를 의미한다. 실수 집합에서는 유계인 모든 집합이 상한과 하한을 가지며, 상한은 최소 상계, 하한은 최대 하계라고도 불린다. 상한과 하한은 집합의 최댓값과 최솟값과 다를 수 있으며, 실수, 확장된 실수, 유리수 등 다양한 집합에서 그 존재 여부와 특성이 다르다.

더 읽어볼만한 페이지

  • 실해석학 - 멱급수
    멱급수는 실수 또는 복소수 체에서 정의되며, 수렴 영역과 반지름을 가지며 미분, 적분, 사칙연산이 가능하고 해석 함수와 관련되어 상미분 방정식의 해를 구하는 데 활용된다.
  • 실해석학 - 디리클레 함수
    디리클레 함수는 실수에서 정의되어 유리수에서 1, 무리수에서 0의 값을 가지며 모든 점에서 불연속인 함수로, 리만 적분은 불가능하지만 르베그 적분은 가능하고 함수 해석학에서 불연속 함수의 성질 연구에 사용되는 베르 함수에 속하는 예시이다.
  • 순서론 - 스콧 위상
    스콧 위상은 부분 순서 집합 위에 정의되는 위상으로, 하향 집합과 directed set의 상한에 대해 닫혀있는 집합을 닫힌 집합으로 정의하며, 컴퓨터 과학, 특히 프로그램 의미론에서 연속 함수의 개념을 일반화하고 프로그램의 계산 과정을 모델링하는 데 사용된다.
  • 순서론 - 사전식 순서
    사전식 순서는 정렬된 집합의 순서를 일반화하여 곱집합의 순서를 정의하는 데 사용되며, 단어 순서 정렬 방식과 유사하게 다양한 분야에 응용되는 수학적 개념이다.
상한과 하한
정의
상한 (최소 상계)어떤 집합의 모든 상계 중 가장 작은 값
하한 (최대 하계)어떤 집합의 모든 하계 중 가장 큰 값
특징
존재 조건공집합이 아닌 부분집합이 위로 유계이면 상한이 존재
공집합이 아닌 부분집합이 아래로 유계이면 하한이 존재
최대/최소와의 관계집합에 최대값이 존재하면 최대값은 상한과 같음
집합에 최소값이 존재하면 최소값은 하한과 같음
최대/최소가 없을 때상한과 하한은 존재할 수 있음
표기법
상한sup (supremum)
하한inf (infimum)
영어
상한Least Upper Bound (LUB), Supremum
하한Greatest Lower Bound (GLB), Infimum

2. 정의



부분 순서 집합 (P, \leq)의 부분 집합 S에 대해, P의 원소 y가 다음 조건을 만족하면 하계(下界, lower bound)라고 부른다.

  • 모든 x \in S에 대해 y \leq x이다.


S의 하계 a가 다음 조건을 만족하면 하한(下限, greatest lower bound, infimum, 최대 하계) 또는 만남이라고 부른다.

  • P에서 S의 모든 하계 y에 대해, y \leq a이다. (a는 다른 어떤 하계보다 크거나 같다.)


마찬가지로, 부분 순서 집합 (P, \leq)의 부분 집합 S에 대해, P의 원소 z가 다음 조건을 만족하면 상계(上界, upper bound)라고 부른다.

  • 모든 x \in S에 대해 z \geq x이다.


S의 상계 b가 다음 조건을 만족하면 상한(上限, least upper bound, supremum, 최소 상계) 또는 결합이라고 부른다.

  • P에서 S의 모든 상계 z에 대해, z \geq b이다. (b는 다른 어떤 상계보다 작거나 같다.)

2. 1. 상계와 하계

원순서 집합 (P,\lesssim)의 부분 집합 S\subset P의 상계(上界, upper bound영어)는 p\in P가 다음 성질을 만족시키는 원소일때를 말한다.

  • 모든 s\in S에 대하여, s\lesssim p이다.


원순서 집합 (P,\lesssim)의 부분 집합 S\subset P의 하계(下界, lower bound영어)는 p\in P가 다음 성질을 만족시키는 원소일때를 말한다.

  • 모든 s\in S에 대하여, s\gtrsim p이다.


집합 S가 부분 순서 집합 (P, \leq)의 부분 집합일 때, 하한은 P의 원소 y로서 다음을 만족한다.

  • 모든 x \in S에 대해 y \leq x이다.


S의 하한 a가 다음을 만족하면 하한 (또는 최대 하한, 또는 만남)이라고 부른다.

  • P에서 S의 모든 하한 y에 대해, y \leq a이다. (a는 다른 어떤 하한보다 크다).


마찬가지로, 집합 S가 부분 순서 집합 (P, \leq)의 부분 집합일 때, 상한은 P의 원소 z로서 다음을 만족한다.

  • 모든 x \in S에 대해 z \geq x이다.


S의 상한 b가 다음을 만족하면 상한 (또는 최소 상한, 또는 결합)이라고 부른다.

  • P에서 S의 모든 상한 z에 대해, z \geq b이다. (b는 다른 어떤 상한보다 작다).

2. 2. 상한과 하한

원순서 집합 \((P,\lesssim)\)의 부분 집합 \(S\subset P\)의 '''상한''' \(s\in P\)는 다음 두 성질을 만족시키는 원소이다.

  • \(S\)의 상계이다.
  • 모든 \(p\in P\)에 대하여, 만약 \(p\)가 \(S\)의 상계라면, \(p\gtrsim s\)이다.


원순서 집합 \((P,\lesssim)\)의 부분 집합 \(S\subset P\)의 '''하한''' \(i\in P\)는 다음 두 성질을 만족시키는 원소이다.

  • \(S\)의 하계이다.
  • 모든 \(p\in P\)에 대하여, 만약 \(p\)가 \(S\)의 하계라면, \(i\gtrsim p\)이다.


즉, 어떤 집합의 상한은 그 상계들의 집합의 최소 원소이며, 하한은 그 하계들의 집합의 최대 원소이다.

모든 부분 집합이 상한과 하한을 갖는 부분 순서 집합을 '''완비 격자'''라고 한다.

집합 \(S\)가 부분 순서 집합 \((P, \leq)\)의 부분 집합일 때, 하한은 \(P\)의 원소 \(y\)로서 다음을 만족한다.

  • 모든 \(x \in S\)에 대해 \(y \leq x\)이다.


\(S\)의 하한 \(a\)는 다음을 만족하면 하한 (또는 최대 하한, 또는 만남)이라고 부른다.

  • \(P\)에서 \(S\)의 모든 하한 \(y\)에 대해, \(y \leq a\)이다. (\(a\)는 다른 어떤 하한보다 크다).


마찬가지로, 집합 \(S\)가 부분 순서 집합 \((P, \leq)\)의 부분 집합일 때, 상한은 \(P\)의 원소 \(z\)로서 다음을 만족한다.

  • 모든 \(x \in S\)에 대해 \(z \geq x\)이다.


\(S\)의 상한 \(b\)는 다음을 만족하면 상한 (또는 최소 상한, 또는 결합)이라고 부른다.

  • \(P\)에서 \(S\)의 모든 상한 \(z\)에 대해, \(z \geq b\)이다. (\(b\)는 다른 어떤 상한보다 작다).


상한과 하한이 반드시 존재하는 것은 아니다. 집합 \(P\)의 부분 집합 \(S\)의 하한이 존재하지 않는 경우, 또는 하한 집합이 최댓값을 포함하지 않는 경우 \(S\)의 하한이 존재하지 않을 수 있다.

결과적으로, 특정 하한이 존재한다는 것이 알려진 부분 순서 집합이 특히 흥미롭게 된다. 예를 들어, 격자는 모든 비어 있지 않은 유한 부분 집합이 상한과 하한을 모두 갖는 부분 순서 집합이며, 완비 격자는 모든 부분 집합이 상한과 하한을 모두 갖는 부분 순서 집합이다.

부분 집합 \(S\)의 상한이 존재하면, 그것은 유일하다. \(S\)가 최댓값을 포함하는 경우, 그 값이 상한이다. 그렇지 않으면, 상한은 \(S\)에 속하지 않거나 존재하지 않는다. 마찬가지로, 하한이 존재하면, 그것은 유일하다. \(S\)가 최솟값을 포함하는 경우, 그 값이 하한이다. 그렇지 않으면, 하한은 \(S\)에 속하지 않거나 존재하지 않는다.

3. 성질

임의의 원순서 집합에서 공집합의 상한은 (만약 존재한다면) 그 집합의 최소 원소이며, 공집합의 하한은 (만약 존재한다면) 그 집합의 최대 원소이다.[1]

3. 1. 유일성

원순서 집합의 최소 원소들은 서로 동치이며, 따라서 어떤 집합의 상한의 동치류는 (만약 존재한다면) 유일하다. 이는 하한도 마찬가지다.

만약 P가 부분 순서 집합이라면, 최소 원소 및 최대 원소는 유일하며, 이 경우 어떤 집합의 상한 또는 하한은 만약 존재한다면 유일하다.

부분 집합 S의 상한이 존재하면, 그것은 유일하다. S가 최댓값을 포함하는 경우, 그 값이 상한이다. 그렇지 않으면, 상한은 S에 속하지 않거나 존재하지 않는다. 마찬가지로, 하한이 존재하면, 그것은 유일하다. S가 최솟값을 포함하는 경우, 그 값이 하한이다. 그렇지 않으면, 하한은 S에 속하지 않거나 존재하지 않는다.

3. 2. 존재성

부분 순서 집합의 부분 집합 S가 최대 원소 \max S를 갖는다면, 이 집합은 상한을 가지며, \sup S=\max S이다. 마찬가지로, 만약 최소 원소가 존재한다면 하한이 존재하며, 최소 원소와 하한은 같다.

상한과 하한이 반드시 존재하는 것은 아니다. 집합 P의 부분 집합 S의 하한이 존재하지 않는 경우, 또는 하한 집합이 최댓값을 포함하지 않는 경우 S의 하한이 존재하지 않을 수 있다.

부분 집합 S의 상한이 존재하면, 그것은 유일하다. S가 최댓값을 포함하는 경우, 그 값이 상한이다. 그렇지 않으면, 상한은 S에 속하지 않거나 존재하지 않는다. 마찬가지로, 하한이 존재하면, 그것은 유일하다. S가 최솟값을 포함하는 경우, 그 값이 하한이다. 그렇지 않으면, 하한은 S에 속하지 않거나 존재하지 않는다.

부분 순서 집합 P의 부분 집합 S의 하한은 (존재한다고 가정할 때) 반드시 S에 속하지는 않는다. 만약 하한이 S에 속한다면, 이것은 S의 최소 원소이다. 유사하게, S의 상한이 S에 속한다면, 이것은 S의 최대 원소이다.

최대 원소와 최소 원소의 정의는 더 일반적이다. 특히, 집합은 많은 최대 원소와 최소 원소를 가질 수 있지만, 하한과 상한은 유일하다.

최댓값과 최솟값은 고려 중인 부분 집합의 구성원이어야 하지만, 부분 집합의 하한과 상한은 그 부분 집합의 구성원일 필요는 없다.

4. 실수에서의 상한과 하한

실수의 전순서 집합에서 모든 유계 집합은 상한과 하한을 갖는다. 반대로, 모든 유계 집합이 상한과 하한을 갖는 순서체는 실수체밖에 없다.

확장된 실수의 전순서 집합 \bar{\mathbb R}=\mathbb R\sqcup\{-\infty,+\infty\}의 경우, 모든 부분 집합은 상한과 하한을 갖는다. 유계가 아닌 실수 집합의 상한·하한은 확장된 실수 집합으로서의 상한·하한을 말하는 것이다. 즉, 상계가 없는 실수 집합의 상한은 +\infty, 하계가 없는 실수 집합의 하한은 -\infty이다.

실수의 부분 집합으로서, 열린 구간 (0,1)은 상한 1을 갖지만, 최대 원소를 갖지 않는다. 해석학에서, 실수의 부분 집합 S의 하한과 상한은 특히 중요하다. 예를 들어, 음의 실수는 최대 원소를 갖지 않으며, 그 상한은 0이다(이는 음의 실수가 아니다).[1]

실수의 완비성은 실수 집합의 모든 유계인 공집합이 아닌 부분 집합 S가 하한과 상한을 갖는다는 것을 함의하며 (그리고 이것과 동치이다). S가 아래로 유계가 아닐 경우, 종종 \inf_{} S = -\infty로 표기한다. S가 공집합일 경우, \inf_{} S = +\infty로 표기한다.

4. 1. 최소 상계 성질

'''최소 상계 성질'''은 완비성의 한 예시로, 실수 집합에서 전형적으로 나타나는 성질이다. 이 성질은 '''데데킨트 완비성'''이라고도 불린다.

순서 집합 S의 상한을 갖는 모든 공집합이 아닌 부분 집합이 최소 상한(상한 중 가장 작은 값)을 가지면, S는 최소 상계 성질을 갖는다고 한다. 실수 집합 \R과 정수 집합 \Z는 최소 상계 성질을 갖는다. 예를 들어 \Z의 부분 집합 S에 어떤 수 n이 존재하여 S의 모든 원소 s가 n보다 작거나 같다면, S에 대한 최소 상한 u가 존재한다. 이 u는 S의 상한이면서, S의 다른 모든 상한보다 작거나 같은 정수이다. 잘 정렬 집합 역시 최소 상계 성질을 가지며, 공집합도 최소 상한(전체 집합의 최솟값)을 갖는다.

반면, 유리수 집합 \Q는 최소 상계 성질을 갖지 않는다. 예를 들어, S를 q^2 < 2인 모든 유리수 q의 집합이라고 하면, S는 상한을 갖지만 (예: 1000 또는 6) \Q 내에서 최소 상한은 갖지 않는다. 만약 p \in \Q가 최소 상한이라고 가정하면, \sqrt{2}와 p 사이에 어떤 유리수 r이 존재한다는 사실에서 모순이 발생한다. 왜냐하면 r은 p > \sqrt{2}일 경우 최소 상한이 되거나, p < \sqrt{2}일 경우 S의 원소로 p보다 커야 하기 때문이다. 초실수에서도 양의 무한소 집합의 최소 상한은 존재하지 않는다.

'''최대 하한 성질'''은 최소 상계 성질과 동치이다. 즉, 어떤 순서 집합이 최대 하한 성질을 갖는 것과 최소 상계 성질을 갖는 것은 필요충분조건이다. 집합의 하한 집합의 상한은 최대 하한이고, 집합의 상한 집합의 하한은 집합의 최소 상한이다.

부분 순서 집합 P에서 모든 유계인 부분 집합이 상한을 가지면, 이는 함수 공간에도 적용된다. 즉, X에서 P로 가는 모든 함수를 포함하는 함수 집합에서, 모든 x \in X에 대해 f(x) \leq g(x)이면 f \leq g로 정의되는 순서 관계에서도 모든 유계인 부분 집합이 상한을 갖는다. 이는 실수 함수, 실수 n-튜플, 실수 수열에도 적용된다.

4. 2. 집합 연산과의 관계

집합의 덧셈, 곱셈, 스칼라 곱, 역수 등의 연산은 상한 및 하한과 밀접한 관련이 있다.
집합의 합두 실수 집합 ''A''와 ''B''의 민코프스키 합은 다음과 같이 정의된다.

: ''A'' + ''B'' := { ''a'' + ''b'' : ''a'' ∈ ''A'', ''b'' ∈ ''B'' }

이는 각 집합에서 하나씩의 숫자 쌍에 대한 모든 가능한 산술 합으로 구성된다. 민코프스키 합의 하한과 상한은 다음을 만족한다.[3]

  • inf (''A'' + ''B'') = (inf ''A'') + (inf ''B'')
  • sup (''A'' + ''B'') = (sup ''A'') + (sup ''B'')

집합의 곱두 실수 집합 ''A''와 ''B''의 곱셈은 민코프스키 합과 유사하게 정의된다.

: ''A'' ⋅ ''B'' := { ''a'' ⋅ ''b'' : ''a'' ∈ ''A'', ''b'' ∈ ''B'' }

''A''와 ''B''가 양의 실수로 이루어진 공집합이 아닌 집합이라면 다음이 성립한다.

  • inf (''A'' ⋅ ''B'') = (inf ''A'') ⋅ (inf ''B'')
  • sup (''A'' ⋅ ''B'') = (sup ''A'') ⋅ (sup ''B'')

집합의 스칼라 곱실수 ''r''과 실수 집합 ''B''의 곱은 다음과 같다.

: ''rB'' := { ''r'' ⋅ ''b'' : ''b'' ∈ ''B'' }

  • ''r'' ≥ 0 이면, inf (''r'' ⋅ ''A'') = ''r'' (inf ''A'') 이고 sup (''r'' ⋅ ''A'') = ''r'' (sup ''A'')이다.
  • ''r'' ≤ 0 이면, inf (''r'' ⋅ ''A'') = ''r'' (sup ''A'') 이고 sup (''r'' ⋅ ''A'') = ''r'' (inf ''A'')이다.


특히, ''r'' = -1 인 경우, -''A'' := (-1)''A'' = { -''a'' : ''a'' ∈ ''A'' } 이므로, 다음이 성립한다.

  • inf (-''A'') = - sup ''A''
  • sup (-''A'') = - inf ''A''

집합의 곱셈 역수0을 포함하지 않는 모든 집합 ''S''에 대해,

: \frac{1}{S} :=\; \left\{\tfrac{1}{s} : s \in S\right\}.

만약 S \subseteq (0, \infty)가 공집합이 아니라면,

: \frac{1}{\sup S} ~=~ \inf \frac{1}{S}

이때, \sup S = \infty 이면, \frac{1}{\infty} := 0으로 정의한다.[4]

이 등식은 다음과 같이 쓸 수도 있다.

: \frac{1}{\displaystyle\sup_{s \in S} s} = \inf_{s \in S} \tfrac{1}{s}.

또한, \inf S = 0이면 \sup \tfrac{1}{S} = \infty,이고, [4] \inf S > 0,이면 \tfrac{1}{\inf S} = \sup \tfrac{1}{S}.이다.

5. 예시

실수의 전순서 집합에서는 모든 유계 집합이 상한과 하한을 갖는다. 확장된 실수의 전순서 집합 \bar{\mathbb R}=\mathbb R\sqcup\{-\infty,+\infty\}에서는 모든 부분 집합이 상한과 하한을 갖는다. 상계가 없는 실수 집합의 상한은 +\infty이고, 하계가 없는 실수 집합의 하한은 -\infty이다. 실수의 부분 집합으로서, 열린 구간 (0,1)은 상한 1을 갖지만, 최대 원소는 없다.

하위 섹션 "하한"에서는 숫자 집합 \{2, 3, 4\}의 하한은 2이고, 집합에 가장 작은 원소가 있으면 그 원소가 하한이 된다는 내용을 간략하게 언급한다.

하위 섹션 "상한"에서는 유리수 집합의 상한은 무리수가 될 수 있으며, 이는 유리수가 완비 공간이 아님을 의미한다는 내용을 간략하게 언급한다.

5. 1. 하한


  • 숫자 집합 \{2, 3, 4\}의 하한은 2이다. 숫자 1은 하계이지만 가장 큰 하계는 아니므로 하한이 아니다.[1]
  • 더 일반적으로, 집합이 가장 작은 원소를 가지면, 가장 작은 원소가 집합의 하한이다. 이 경우, 집합의 최솟값이라고도 한다.[1]
  • \inf \{ 1, 2, 3, \ldots \} = 1.[1]
  • \inf \{ x \in \R : 0 < x < 1 \} = 0.[1]
  • \inf \left\{ x \in \Q : x^3 > 2 \right\} = \sqrt[3]{2}.[1]
  • \inf \left\{ (-1)^n + \tfrac{1}{n} : n = 1, 2, 3, \ldots \right\} = -1.[1]
  • 만약 \left(x_n\right)_{n=1}^{\infty}가 극한 x를 갖는 감소 수열이면, \inf x_n = x.이다.[1]

5. 2. 상한

실수의 전순서 집합에서 모든 유계 집합은 상한과 하한을 갖는다. 반대로, 모든 유계 집합이 상한과 하한을 갖는 순서체는 실수체밖에 없다.

확장된 실수의 전순서 집합 \bar{\mathbb R}=\mathbb R\sqcup\{-\infty,+\infty\}의 경우, 모든 부분 집합은 상한과 하한을 갖는다. 유계가 아닌 실수 집합의 상한·하한은 확장된 실수 집합으로서의 상한·하한을 말하는 것이다. 즉, 상계가 없는 실수 집합의 상한은 +\infty이다.

실수의 부분 집합으로서, 열린 구간 (0,1)은 상한 1을 갖지만, 최대 원소를 갖지 않는다.

예시설명
숫자 집합 \{1, 2, 3\}의 상한3이다. 숫자 4는 상계이지만 최소 상계는 아니므로 상한이 아니다.
\sup \{ x \in \R : 0 < x < 1\} = \sup \{ x \in \R : 0 \leq x \leq 1\}1
\sup \left\{ (-1)^n - \tfrac{1}{n} : n = 1, 2, 3, \ldots \right\}1
\sup \{ a + b : a \in A, b \in B \}\sup A + \sup B
\sup \left\{ x \in \Q : x^2 < 2 \right\}\sqrt{2}



마지막 예에서, 유리수 집합의 상한은 무리수이며, 이는 유리수가 완비 공간이 아님을 의미한다.

상한의 기본적인 성질 중 하나는

\sup \{ f(t) + g(t) : t \in A \} ~\leq~ \sup \{ f(t) : t \in A \} + \sup \{ g(t) : t \in A \}

이며, 이는 임의의 함수 f와 g에 대해 성립한다.

\,\mid\,가 "약수"를 의미하는 (\N, \mid\,)의 부분 집합 S의 상한은 S의 원소들의 최소 공배수이다.

어떤 집합 X의 부분 집합을 포함하는 집합 S의 상한은, P가 X의 멱집합이고 \,\subseteq\,가 부분 집합일 때, 부분 순서 집합 (P(X), \subseteq)을 고려할 때 부분 집합들의 합집합이다.

6. 한국 사회와 상한 및 하한

이전 단계에서 원본 소스가 제공되지 않아 섹션 작성이 불가능하다고 답변드렸습니다. 따라서, 주어진 지시사항에 따라 수정할 결과물 자체가 존재하지 않습니다. 원본 소스를 제공해주시면 지시사항에 맞춰 위키텍스트를 작성하고, 그 결과물을 다시 지시사항에 맞게 수정하여 최종 결과물을 출력하겠습니다.

참조

[1] 서적 Principles of Mathematical Analysis https://archive.org/[...] McGraw-Hill
[2] 문서
[3] 서적 Mathematical Analysis I http://www.trillia.c[...] Trillia Group 2004
[4] 문서


본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com