소멸자

3. 성질

왼쪽 가군의 부분 집합의 소멸자는 왼쪽 아이디얼을 이룬다. 마찬가지로, 오른쪽 가군의 부분 집합의 소멸자는 오른쪽 아이디얼을 이룬다. 왼쪽 또는 오른쪽 가군 $M$의 부분 가군 $N\backslash subseteq\; M$이 주어졌을 때, $\backslash operatorname\{Ann\}\_RN$은 양쪽 아이디얼을 이룬다.^[1]

가환환 $R$의 가군 $M$의 소멸자 $\backslash operatorname\{Ann\}\_RM$은 환 준동형

:$R\backslash to\backslash operatorname\{End\}\_RM$

:$r\backslash mapsto(m\backslash mapsto\; rm)$

의 핵이다.^[1]

$R$을 환으로 하고, $M$을 좌$R$-가군으로 하자. $M$의 공집합이 아닌 부분 집합 $S$의 소멸자는 Ann_R(S)로 표기하며, 모든 $s\; \backslash in\; S$에 대해 $rs\; =\; 0$을 만족하는 $R$의 모든 원소 $r$의 집합이다. 집합 표기법으로 나타내면 다음과 같다.

:$\backslash mathrm\{Ann\}\_R(S)=\backslash \{r\backslash in\; R\backslash mid\; rs\; =\; 0$ for all $s\backslash in\; S\; \backslash \}$

이는 $S$를 소멸시키는 $R$의 모든 원소의 집합이다. ^[1]

만약 $S$가 왼쪽 $R$-가군 $M$의 부분 집합이라면, Ann(S)는 $R$의 왼쪽 아이디얼이다.^[2] 만약 $S$가 $M$의 부분 가군이라면, Ann_R(S)는 양쪽 아이디얼이다.^[3]

만약 $S$가 $M$의 부분 집합이고 $N$이 $S$에 의해 생성된 $M$의 부분 가군이라면, 일반적으로 Ann_R(N)은 Ann_R(S)의 부분 집합이지만, 반드시 같지는 않다. 만약 $R$이 가환환이라면, 등식이 성립한다.

$M$은 또한 작용 $\backslash overline\{r\}m:=rm\backslash ,$을 사용하여 $R/\backslash operatorname\{Ann\}\_R(M)$-가군으로 볼 수 있다. $R/\backslash operatorname\{Ann\}\_R(M)$-가군으로 간주될 때, $M$은 자동으로 충실 가군이 된다.

3. 1. 가환환의 경우

3. 1. 1. 짧은 완전열과의 관계

3. 1. 2. 몫가군과의 관계

4. 예시

''R''을 환이라 하고, ''M''을 좌 ''R''-가군이라고 하자. ''M''의 부분 집합 ''S''에 대해, ''S''의 모든 원소 ''s''에 대해 ''rs'' = 0인 ''R''의 모든 원소 ''r''로 구성된 집합을 ''S''의 '''영인자'''(annihilator^영어)라고 하며, Ann_''R''(''S'')로 표기한다.^[1] 즉, 집합 표기법으로는 다음과 같다.

:$\backslash mathrm\{Ann\}\_R(S)=\backslash \{\backslash ,\; r\backslash in\; R\backslash mid\; \backslash forall\; s\backslash in\; S,\; rs=0\; \backslash ,\backslash \}\backslash ,$

이는 ''S''를 "소멸시키는"(annihilate) ''R''의 원소의 집합이다.^[1] 우 가군의 부분 집합에 대해서도 비슷하게 정의되지만, "''sr'' = 0"으로 수정해야 한다.

원소 하나 ''x''의 영인자는 Ann_''R''({''x''}) 대신 Ann_''R''(''x'')로 나타낸다. 환 ''R''이 문맥에서 명확하면 아래첨자 ''R''은 생략할 수 있다.

''R''은 자기 자신 위의 가군이므로, ''S''를 ''R'' 자체의 부분 집합으로 생각할 수 있다. 하지만 ''R''은 좌우 양쪽 ''R'' 가군이므로, 좌측인지 우측인지 구별하기 위해 표기를 약간 수정해야 한다. 필요하다면 $\backslash ell\_R(S)$과 $r\_R(S)$ 또는 $\backslash ell.\backslash mathrm\{Ann\}\_R(S)\backslash ,$과 $r.\backslash mathrm\{Ann\}\_R(S)\backslash ,$와 같은 아래첨자를 사용하여 좌우 영인자를 구별한다.

''R''-가군 ''M''이 Ann_''R''(''M'') = 0을 만족하면, ''M''을 '''충실 가군'''이라고 한다.

''S''가 왼쪽 ''R''-가군 ''M''의 부분 집합이면, Ann(''S'')는 ''R''의 왼쪽 아이디얼이다. ''a''와 ''b''가 모두 ''S''를 소멸시키면, 각 ''s'' ∈ ''S''에 대해 (''a'' + ''b'')''s'' = ''as'' + ''bs'' = 0이고, 임의의 ''r'' ∈ ''R''에 대해 (''ra'')''s'' = ''r''(''as'') = ''r''0 = 0이기 때문이다. (비슷한 증명으로 오른쪽 가군의 부분 집합의 영인자는 오른쪽 아이디얼임을 보일 수 있다.)

''S''가 ''M''의 부분 가군이면, Ann_''R''(''S'')는 양쪽 아이디얼이 된다. ''rs''는 ''S''의 원소이므로, (''ar'')''s'' = ''a''(''rs'') = 0이다.^[1]

''S''가 ''M''의 부분 집합이고 ''N''이 ''S''로 생성되는 ''M''의 부분 가군이면, Ann_''R''(''N'')은 Ann_''R''(''S'')의 부분 집합이지만, 반드시 같지는 않다. ''R''이 가환이면 등호가 성립한다.

''M''은 작용 $\backslash overline\{r\}m:=rm\backslash ,$을 사용하여 ''R''/Ann_''R''(''M'')-가군으로 생각할 수도 있다. 하지만, 아이디얼 ''I''가 ''M''의 영인자의 부분 집합일 때만, 이 작용이 잘 정의(well-defined)된다. ''R''/Ann_''R''(''M'')-가군으로, ''M''은 자동적으로 충실 가군이 된다.

4. 1. 정수환

4. 2. 다항식환

5. 소멸자 아이디얼의 쇄 조건

$\backslash ell.\backslash mathrm\{Ann\}\_R(S)$ 형태의 격자는 ''S''가 ''R''의 부분 집합일 때, 포함 관계에 의해 완비 격자를 이룬다. ''R''의 왼쪽 소멸 아이디얼의 격자를 $\backslash mathcal\{LA\}\backslash ,$로, ''R''의 오른쪽 소멸 아이디얼의 격자를 $\backslash mathcal\{RA\}\backslash ,$로 나타낸다. $\backslash mathcal\{LA\}\backslash ,$가 상승 연쇄 조건을 만족하는 것은 $\backslash mathcal\{RA\}\backslash ,$가 하강 연쇄 조건을 만족하는 것과 필요충분조건이며, 대칭적으로 $\backslash mathcal\{RA\}\backslash ,$가 상승 연쇄 조건을 만족하는 것은 $\backslash mathcal\{LA\}\backslash ,$가 하강 연쇄 조건을 만족하는 것과 같다. 이 격자 중 하나가 이러한 연쇄 조건을 가지면, ''R''은 무한한 쌍별 직교 집합의 멱등원을 갖지 않는다.^[2]

6. 범주론적 기술 (가환환의 경우)

''R''이 가환환이고 ''M''이 ''R''-가군일 때, Ann_''R''(''M'')은 항등 사상 ''M'' → ''M''의 Hom-텐서 수반에 대한 수반 사상에 의해 결정되는 작용 사상 ''R'' → End_''R''(''M'')의 핵으로 설명할 수 있다.

7. 다른 환 성질과의 관계

소멸자는 좌 리커트 환 및 베어 환을 정의하는 데 사용된다.^[1] ''S''의 (좌) 영인자 집합 ''D''_''S''는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$D\_S\; =\; \backslash bigcup\_\{x\; \backslash in\; S\; \backslash setminus\; \backslash \{0\backslash \}\}\{\backslash mathrm\{Ann\}\_R(x)\}.$

(여기서 0은 영인자로 간주한다.) 특히, ''D_R''은 ''S'' = ''R''로 놓고, ''R''이 자신을 좌 ''R''-가군으로 작용할 때, ''R''의 (좌) 영인자의 집합이다.^[1]

뇌터 가환환 ''R''에서, 집합 $D\_R$은 ''R''-가군 ''R''의 연관 소수의 합집합과 정확히 같다.^[1]

참조

_[1] 서적 Pierce (1982)
_[2] 문서
_[3] 서적 Pierce (1982)
_[4] 웹사이트 Lemma 10.39.5 (00L2)—The Stacks project https://stacks.math.[...] 2020-05-13
_[5] 웹사이트 Lemma 10.39.9 (00L3)—The Stacks project https://stacks.math.[...] 2020-05-13
_[6] 웹사이트 Lemma 10.39.9 (00L3)—The Stacks project https://stacks.math.[...] 2020-05-13
_[7] 웹사이트 https://dictionary.g[...]
_[8] 웹사이트 Annihilator | Definition of Annihilator by Merriam-Webster https://www.merriam-[...] 2017-05-06