스칼라 곱셈

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 노름 벡터 공간에서의 스칼라 곱셈
- 2.2. 일반적인 벡터 공간에서의 스칼라 곱셈
3. 성질
4. 예시 및 해석
참조

1. 개요

스칼라 곱셈은 스칼라와 벡터를 곱하여 새로운 벡터를 생성하는 연산이다. 이는 체 K와 K 위의 벡터 공간 V에 대해 정의되며, K × V에서 V로 가는 함수로 나타낼 수 있다. 스칼라 곱셈은 노름 벡터 공간에서 노름과 방향에 대한 규칙을 따르며, 스칼라의 덧셈, 벡터의 덧셈, 스칼라 곱의 스칼라 곱셈과의 호환성 등 여러 가지 성질을 갖는다. 스칼라 곱셈은 벡터의 크기를 조절하거나 방향을 반대로 바꾸는 역할을 하며, 행렬의 각 원소에 스칼라를 곱하는 형태로도 정의된다.

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스칼라 곱셈
스칼라 곱셈 정보
정의	스칼라 곱셈은 벡터 공간의 벡터와 스칼라의 곱셈 연산임.
결과	새로운 벡터를 생성함.
표기법	'스칼라 * 벡터, 여기서 스칼라는 실수 또는 복소수이고 벡터는 해당 벡터 공간의 원소임.'
연산
벡터 공간	'주어진 벡터 공간 V와 체 F에 대해 스칼라 곱셈은 F × V → V로 정의되는 함수임.'
성분별 곱셈	'좌표 벡터의 경우, 스칼라 곱셈은 벡터의 각 성분에 스칼라를 곱하는 것으로 수행됨. 예를 들어, 스칼라 c와 벡터 v = (v₁, v₂, ..., vn)에 대해 c⋅v = (c⋅v₁, c⋅v₂, ..., c⋅vn)임.'
성질
결합 법칙	a(bv) = (ab)v (여기서 a와 b는 스칼라)
분배 법칙 (스칼라)	(a + b)v = av + bv
분배 법칙 (벡터)	a(v + w) = av + aw (여기서 v와 w는 벡터)
항등원	1v = v (여기서 1은 곱셈에 대한 체 F의 항등원)
예시
2차원 벡터	'실수 스칼라 2와 2차원 벡터 (1, 2)의 스칼라 곱셈은 2 * (1, 2) = (2 * 1, 2 * 2) = (2, 4)임.'
복소수 벡터	'복소수 스칼라 i와 복소수 벡터 (1 + i, 2 - i)의 스칼라 곱셈은 i * (1 + i, 2 - i) = (i * (1 + i), i * (2 - i)) = (-1 + i, 1 + 2i)임.'

2. 정의

$V$ 를 노름 벡터 공간, $K$ 를 스칼라들의 체라고 할 때, '''스칼라 곱셈'''은 스칼라 $k$ 와 벡터 $\mathbf{v}$ 각각 하나로부터 새로운 벡터 $k\mathbf{v}$ 를 만드는 연산이다. 일반적으로, ''K''가 체이고 ''V''가 ''K'' 위의 벡터 공간일 때, 스칼라 곱셈은 ''K'' × ''V''에서 ''V''로 가는 함수이다. 이 함수를 ''K''의 ''k''와 ''V''의 '''v'''에 적용한 결과는 ''k''''''v'''로 표기한다.

2. 1. 노름 벡터 공간에서의 스칼라 곱셈

V

를 노름 벡터 공간,

K

를 스칼라들의 체라고 하자. '''스칼라 곱셈'''은 스칼라

k

와 벡터

\mathbf{v}

각각 하나로부터 새로운 벡터

k\mathbf{v}

를 만드는 연산이다.

:

\cdot: K\times V \to V

::

(k, \mathbf{v}) \mapsto k\mathbf{v}

스칼라 곱셈에서 노름은 다음과 같다.

:

|k\mathbf{v}| = |k||\mathbf{v}|

방향은 다음과 같다.

$k > 0$ 이면, $\mathbf{v}$ 와 같다.
$k < 0$ 이면, $-\mathbf{v}$ 와 같다.

2. 2. 일반적인 벡터 공간에서의 스칼라 곱셈

V^영어를 노름 벡터 공간, K^영어를 스칼라들의 체라고 할 때, '''스칼라 곱셈'''은 스칼라 k^영어와 벡터 '''v'''^영어 각각 하나로부터 새로운 벡터 k'''v'''^영어를 만드는 연산이다.

이는 노름에 대해

:|k'''v'''| = |k||'''v'''|^영어

이고, 방향은

k > 0^영어이면, '''v'''^영어와 같고,
k < 0^영어이면, -'''v'''^영어와 같다.

일반적으로, ''K''가 체이고 ''V''가 ''K'' 위의 벡터 공간일 때, 스칼라 곱셈은 ''K'' × ''V''에서 ''V''로 가는 함수이다. 이 함수를 ''K''의 ''k''와 ''V''의 '''v'''에 적용한 결과는 ''k''''''v'''로 표기한다.

3. 성질

스칼라 곱셈은 다음과 같은 규칙을 따른다(''굵은 글씨로 표시된 벡터''):

스칼라에 대한 가법성: (''c'' + ''d'')'''v''' = ''c'''''v''' + ''d'''''v''';
벡터에 대한 가법성: ''c''('''v''' + '''w''') = ''c'''''v''' + ''c'''''w''';
스칼라 곱의 스칼라 곱셈과의 호환성: (''cd'')'''v''' = ''c''(''d'''''v''');
1을 곱해도 벡터가 변하지 않음: 1'''v''' = '''v''';
0을 곱하면 영 벡터가 됨: 0'''v''' = '''0''';
−1을 곱하면 덧셈의 역원이 됨: (−1)'''v''' = −'''v'''.

여기서 +는 체 또는 벡터 공간에서의 덧셈을 의미하며, 0은 둘 중 하나의 덧셈 항등원을 의미한다.

결합은 스칼라 곱셈 또는 체에서의 곱셈 연산을 나타낸다.

4. 예시 및 해석

벡터 공간은 원소가 ''K''의 원소 목록과 연관된 좌표 공간으로 간주될 수 있다. 체의 단위는 그룹 ''K''^×을 형성하고, 스칼라-벡터 곱셈은 ''K''^×에 의한 좌표 공간에서의 군 작용이다. 체의 영원은 좌표 공간에 작용하여 이를 영벡터로 축소시킨다.^[6]

''V''가 ''K'' 자체가 될 수 있으며, 스칼라 곱셈은 단순히 체에서의 곱셈으로 간주될 수 있다. ''V''가 ''K''^''n''일 때, 스칼라 곱셈은 각 성분을 스칼라로 곱하는 것과 같으며, 그렇게 정의될 수 있다.

동일한 아이디어가 ''K''가 가환환이고 ''V''가 ''K''상의 가군일 때 적용된다. ''K''는 반환일 수도 있지만, 덧셈의 역원은 없다. ''K''가 가환이 아닌 경우, 서로 다른 연산인 ''좌 스칼라 곱셈'' ''c'''''v'''와 ''우 스칼라 곱셈'' '''v'''''c''가 정의될 수 있다.

4. 1. 노름 벡터 공간에서의 예시

1을 임의의 벡터에 곱하면, 자신과 같은 벡터가 된다. 즉,

1\mathbf{v} = \mathbf{v}

이다. 0을 임의의 벡터에 곱하면, 영벡터가 된다. 즉,

0\mathbf{v} = \mathbf{0}

이다. -1을 임의의 벡터에 곱하면, 그 벡터의 덧셈 역원이 된다. 즉,

(-1)\mathbf{v} = -\mathbf{v}

이다.

4. 2. 기하학적 해석

''K''가 실수 체일 때, 스칼라 곱셈은 벡터를 상수 인자로 늘리거나 줄이는 것으로 기하학적으로 해석할 수 있다. 결과적으로, 원래 벡터와 같은 방향 또는 반대 방향으로 길이가 다른 벡터를 생성한다.^[6]

몇 가지 특별한 경우는 다음과 같다.

1을 임의의 벡터에 곱하면 자신과 같은 벡터가 된다. 즉, $1\mathbf{v} = \mathbf{v}$ 이다.
0을 임의의 벡터에 곱하면 영벡터가 된다. 즉, $0\mathbf{v} = \mathbf{0}$ 이다.
-1을 임의의 벡터에 곱하면 그 벡터의 덧셈 역원이 된다. 즉, $(-1)\mathbf{v} = -\mathbf{v}$ 이다.

4. 3. 행렬에서의 스칼라 곱셈

행렬 '''A'''와 스칼라 ''λ''의 '''좌측 스칼라 곱셈'''은 '''A'''와 크기가 같은 다른 행렬을 생성한다. 이것은 ''λ'''''A'''로 표기되며, ''λ'''''A'''의 원소는 다음과 같이 정의된다.

:(''λ'''''A''')_ij = ''λ''('''A''')_ij

구체적으로 다음과 같다.

:λ'''A''' = λ

⎛⎜⎝A₁₁ A₁₂ ⋯ A_1m

A₂₁ A₂₂ ⋯ A_2m

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

A_n1 A_n2 ⋯ A_nm⎞⎟⎠

=

⎛⎜⎝λA₁₁ λA₁₂ ⋯ λA_1m

λA₂₁ λA₂₂ ⋯ λA_2m

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

λA_n1 λA_n2 ⋯ λA_nm⎞⎟⎠

널리 받아들여지는 정의는 없지만, 행렬 '''A'''와 스칼라 ''λ''의 '''우측 스칼라 곱셈'''은 유사하게 다음과 같이 정의될 수 있다.

:('''A'''λ)_ij = ('''A''')_ij λ

구체적으로 다음과 같다.

:'''A'''λ =

⎛⎜⎝A₁₁ A₁₂ ⋯ A_1m

A₂₁ A₂₂ ⋯ A_2m

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

A_n1 A_n2 ⋯ A_nm⎞⎟⎠λ

=

⎛⎜⎝A₁₁λ A₁₂λ ⋯ A_1mλ

A₂₁λ A₂₂λ ⋯ A_2mλ

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

A_n1λ A_n2λ ⋯ A_nmλ⎞⎟⎠

행렬의 원소와 스칼라가 동일한 가환체(예: 실수체 또는 복소수체)에서 온다면, 이 두 곱셈은 동일하며, 단순히 "스칼라 곱셈"이라고 할 수 있다. 더 일반적인 체에서 행렬의 경우, 그 체가 교환적이지 않다면, 그들은 같지 않을 수 있다.

실수 스칼라 및 행렬의 경우는 다음과 같다.

:λ = 2, '''A''' = ⎛⎜⎝a b

c d⎞⎟⎠

:2'''A''' = 2⎛⎜⎝a b

c d⎞⎟⎠ = ⎛⎜⎝2⋅a 2⋅b

2⋅c 2⋅d⎞⎟⎠ = ⎛⎜⎝a⋅2 b⋅2

c⋅2 d⋅2⎞⎟⎠ = ⎛⎜⎝a b

c d⎞⎟⎠2= '''A'''2.

사원수 스칼라 및 행렬의 경우는 다음과 같다.

:λ = i, '''A''' = ⎛⎜⎝i 0

0 j⎞⎟⎠

:i⎛⎜⎝i 0

0 j⎞⎟⎠ = ⎛⎜⎝i² 0

0 ij⎞⎟⎠ = ⎛⎜⎝-1 0

0 k⎞⎟⎠ ≠ ⎛⎜⎝-1 0

0 -k⎞⎟⎠ = ⎛⎜⎝i² 0

0 ji⎞⎟⎠ = ⎛⎜⎝i 0

0 j⎞⎟⎠i

여기서 ''i'', ''j'', ''k''는 사원수 단위이다. 사원수 곱셈의 비가환성은 ''ij'' +''k''를 ''ji'' −''k''로 바꾸는 변환을 막는다.

참조

_[1] 서적 Linear Algebra and Its Applications https://archive.org/[...] Addison–Wesley
_[2] 서적 Linear Algebra and Its Applications Brooks Cole
_[3] 서적 Linear Algebra Done Right Springer Science+Business Media
_[4] 서적 Abstract Algebra John Wiley & Sons
_[5] 서적 Algebra Springer Science+Business Media
_[6] 웹사이트 Scalar Multiplication https://mathworld.wo[...] 2020-09-06

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