신발끈 공식

3. 공식 유도

다각형의 면적을 $A$로, 다각형의 변의 개수를 $n$으로, $i=1,2,\backslash cdots,n$에 대하여 꼭짓점의 좌표를 $(x\_i,\; y\_i)$로 나타낼 때, 신발끈 공식은 다음과 같다.

:

& = {1 \over 2}|x_1y_2 + x_2y_3 + \cdots + x_{n-1}y_n + x_ny_1 - x_2y_1 - x_3y_2 - \cdots - x_ny_{n-1} - x_1y_n| \\ \end{align}

또는, 다음과 같이 나타낼 수도 있다.^[12][14][15] (단, $x\_\{n+1\}=x\_1,\; x\_0=x\_n,\; y\_\{n+1\}=y\_1,\; y\_0=y\_n$이다.)

:

꼭짓점들에 반시계방향으로 차례로 번호를 매기면 행렬식은 양의 값을 가지므로 절댓값 부호를 생략할 수 있다.^[16] 시계방향으로 번호를 매기면 행렬식은 음의 값을 가진다. 이는 신발끈 공식을 그린 정리의 특수한 경우로 볼 수 있기 때문이다.

$\backslash sum\_\{i=1\}^n\; x\_iy\_i=\backslash sum\_\{i=1\}^n\; x\_\{i+1\}y\_\{i+1\}$ ($P\_\{n+1\}=P\_1$)임을 이용하면, 면적 공식은 다음과 같이 행렬식 형태로 표현된다.

:$$A\; =\backslash frac\; 1\; 2\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; (x\_i\; y\_\{i+1\}-x\_\{i+1\}y\_i)$$

=\frac 1 2\sum_{i=1}^{n}\begin{vmatrix} x_i & x_{i+1} \\ y_i & y_{i+1} \end{vmatrix}

$\backslash sum\_\{i=1\}^n\; x\_iy\_\{i+1\}=\backslash sum\_\{i=1\}^n\; x\_\{i-1\}y\_i$ ($P\_0\; =\; P\_n,\; P\_\{n+1\}\; =\; P\_1$)임을 이용하면, 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

:$$2A=\backslash sum\_\{i=1\}^n\; (x\_iy\_\{i+1\}-x\_\{i+1\}y\_i)$$

=\sum_{i=1}^n x_iy_{i+1} - \sum_{i=1}^n x_{i+1}y_i

=\sum_{i=1}^n x_{i-1}y_i - \sum_{i=1}^n x_{i+1}y_i

두 합을 결합하고 $y\_i$를 묶으면 다음과 같다.

:$$A=\backslash frac\; 1\; 2\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; y\_i(x\_\{i-1\}-x\_\{i+1\})$$

항등식 $\backslash sum\_\{i=1\}^n\; x\_\{i+1\}y\_i=\backslash sum\_\{i=1\}^n\; x\_iy\_\{i-1\}$를 이용하면, 다음과 같은 식도 얻을 수 있다.

:$$A=\backslash frac\; 1\; 2\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; x\_i(y\_\{i+1\}-y\_\{i-1\})$$

3. 1. 사다리꼴 공식

3. 2. 삼각형 공식

3. 3. 그린 정리

4. 예시

신발끈 공식은 다각형의 넓이를 구하는 데 사용되며, 좌표평면 위에서의 좌푯값을 이용한다.^[17]

$i=1,2,\backslash cdots,5$일 때 오각형의 넓이는 아래와 같이 구한다.

: $\backslash mathbf\{A\}\_\backslash text\{5\}\; =\; \{1\; \backslash over\; 2\}|x\_1y\_2\; +\; x\_2y\_3\; +\; x\_3y\_4\; +\; x\_4y\_5\; +\; x\_5y\_1\; -\; x\_2y\_1\; -\; x\_3y\_2\; -\; x\_4y\_3\; -\; x\_5y\_4\; -\; x\_1y\_5|$

예를 들어, 꼭짓점이 $P\_1=(1,6),P\_2=(3,1),\; P\_3=(7,2),\; P\_4=(4,4),\; P\_5=(8,5)$ 인 오각형의 넓이는 다음과 같이 계산된다.

$$\backslash begin\{align\}$$

2A &=

\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 6 & 1 \end{vmatrix} +

\begin{vmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} +

\begin{vmatrix} 7 & 4 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} +

\begin{vmatrix} 4 & 8 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} +

\begin{vmatrix} 8 & 1 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} \\

& =(1-18)\;+(6-7)\;+(28-8)\;+(20-12)\;+(48-5)=33 \\

A&= 16.5

\end{align}

신발끈 공식은 10개의 열을 가진 5개의 행렬식을 계산하기 위해 6개의 열만 작성하면 되므로 효율적이다.

n개의 꼭짓점 (x₁,y₁),(x₂,y₂),...,(x_n,y_n)으로 이루어진 자기 교차하지 않는 다각형의 면적은 다음과 같이 주어진다.

:$$

\begin{align}

S&=\frac{1}{2}\left|\sum_{k=1}^{n}(x_{k}y_{k+1}-x_{k+1}y_{k})\right|\\

&=\frac{1}{2}\left|\sum_{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k+1})(y_{k}+y_{k+1})\right|\\

&=\frac{1}{2}\left|\sum_{k=1}^{n}x_k(y_{k+1}-y_{k-1})\right|\\

&=\frac{1}{2}\left|\sum_{k=1}^{n}y_k(x_{k-1}-x_{k+1})\right|

\end{align}



(단, x₀=x_n,y₀=y_n,x_n+1=x₁,y_n+1=y₁)

꼭짓점의 순서가 반시계 방향이면 총합은 양수, 시계 방향이면 음수가 된다.

이 식은 그린 정리의 특수한 경우이다. a≦t≦b에서 매개변수로 표시된 단일 폐곡선 (x(t),y(t))로 둘러싸인 영역의 면적은 다음과 같다.

:$S=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left|\backslash int\_\{a\}^\{b\}\backslash left(x(t)y\text{'}(t)-x\text{'}(t)y(t)\backslash right)\backslash ,dt\backslash right|$

4. 1. 삼각형

• 삼각형의 면적: $\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash left|x\_1y\_2-x\_2y\_1+x\_2y\_3-x\_3y\_2+x\_3y\_1-x\_1y\_3\backslash right|$

4. 2. 사각형

4. 3. 오목 다각형

5. 다각형 조작

$A(P\_1,\; \backslash dots,\; P\_n)$는 $n\backslash ge\; 4$인 단순 다각형 $P\_1,\; \backslash dots,\; P\_n$의 방향 면적을 나타낸다(위 참조). $A$는 다각형의 방향이 양/음일 경우 양/음이 된다. 면적 공식의 삼각형 형태 또는 아래 그림에서

:$$A(P\_1,\; \backslash dots,\; P\_n)\; =\; A(P\_1,\; \backslash dots,\; P\_\{k-1\},\; P\_\{k+1\},\; \backslash dots,\; P\_n)$$

+A(P_{k-1}, P_k, P_{k+1})

$k=1\backslash ;\; \backslash text\{or\}\backslash ;\; n$의 경우, 먼저 인덱스를 이동해야 한다.

따라서:

• $P\_k$를 이동하면 $A(P\_\{k-1\},P\_k,P\_\{k+1\})$에만 영향을 미치며 $A(P\_1,...,P\_\{k-1\},P\_\{k+1\},\; ...,P\_n)$은 변경되지 않는다. $P\_k$가 $\backslash overline\{P\_\{k-1\}P\_\{k+1\}\}$에 평행하게 이동하면 면적의 변화는 없다.
• $P\_k$를 제거하면 총 면적이 $A(P\_\{k-1\},P\_k,P\_\{k+1\})$만큼 변경되며, 이 값은 양수 또는 음수가 될 수 있다.
• $P\_k,P\_\{k+1\}$ 사이에 점 $Q$를 삽입하면 총 면적이 $A(P\_k,Q,P\_\{k+1\})$만큼 변경되며, 이 값은 양수 또는 음수가 될 수 있다.

• ''파란색'' 다각형: $$A(P\_1,P\_2,P\_3,P\_4,P\_5)=\backslash tfrac\; 1\; 2$$

• ''녹색'' 삼각형: $$A(P\_2,\; P\_3,\; P\_4)=\backslash tfrac\; 1\; 2$$

• ''빨간색'' 삼각형: $$A(P\_1,Q,P\_2)=\backslash tfrac\; 1\; 2$$

• 점 $P\_3$을 ''제외한'' 파란색 다각형: $$A(P\_1,\; P\_2,\; P\_4,\; P\_5)=\backslash tfrac\; 1\; 2$$

• 점 $Q$를 $P\_1,P\_2$ ''사이에'' ''추가한'' 파란색 다각형: $$A(P\_1,\; Q,\; P\_2,\; P\_3,\; P\_4,\; P\_5)=\backslash tfrac\; 1\; 2$$

6. 일반화

데카르트 좌표계에서 단순 다각형이 $P\_i=(x\_i,y\_i),\; i=1,\backslash dots,n$의 ''양의 방향'' (반시계 방향) 점의 순서를 가질 때, $P\_0\; =\; P\_n,\; P\_\{n+1\}\; =\; P\_1$로 설정하면 다각형의 면적은 다음과 같은 다양한 공식으로 표현될 수 있다.^[8]

:$$

\begin{align}

A&=\frac{1}{2}\left|\sum_{k=1}^{n}(x_{k}y_{k+1}-x_{k+1}y_{k})\right|\\

&=\frac{1}{2}\left|\sum_{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k+1})(y_{k}+y_{k+1})\right|\\

&=\frac{1}{2}\left|\sum_{k=1}^{n}x_k(y_{k+1}-y_{k-1})\right|\\

&=\frac{1}{2}\left|\sum_{k=1}^{n}y_k(x_{k-1}-x_{k+1})\right|

\end{align}



단, x₀=x_n, y₀=y_n, x_n+1=x₁, y_n+1=y₁이다.

꼭짓점의 순서가 반시계 방향이면 총합은 양수이고, 절댓값 기호는 생략 가능하다. 시계 방향이면 총합은 음수가 된다. 이 식은 그린 정리의 특수한 경우이다.

고차원에서는 다각형의 면적을 신발끈 공식의 외대수 형태로 꼭짓점을 사용하여 계산할 수 있다. 예를 들어 3차원에서는 연속적인 외적의 합으로 나타낼 수 있다.

:$$A\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left\backslash |\; \backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}\; v\_i\; \backslash wedge\; v\_\{i+1\}\; \backslash right\backslash |$$

이 공식은 n차원 폴리토프의 부피를 꼭짓점 좌표나 초표면 메쉬로 계산하는 것으로 일반화될 수 있다.^[10] 3차원 다면체의 부피는 삼각화하여 표면 메쉬를 얻고 각 표면 삼각형과 원점에 의해 형성된 유향 부피를 합산하여 구할 수 있다.

:$$V\; =\; \backslash frac\{1\}\{6\}\; \backslash left\backslash |\; \backslash sum\_\{F\}\; v\_a\; \backslash wedge\; v\_b\; \backslash wedge\; v\_c\; \backslash right\backslash |$$

여기서 합은 면에 대한 것이며, 꼭짓점 순서는 일관되게 지정해야 한다(다면체의 외부에서 볼 때 모두 시계 방향 또는 반시계 방향). 또는, 발산 정리를 사용하여 면적과 표면 법선으로 표현할 수 있다( 다면체 § 부피 참조).

7. 역사

이 공식은 보통 행렬의 형태를 이용하여 쓰이는데, 그 꼴이 신발끈을 묶는 모양과 비슷하여 신발끈 공식이라는 이름이 붙었다.^[18]

꼭짓점의 좌표가 차례로 (2, 4), (3, -8), (1, 2)인 삼각형을 생각하자. 각 꼭짓점의 좌푯값을 (2, 4)에서부터 시작해 차례대로 적고, 그 아래에 다시 (2, 4)를 적어 행렬의 꼴로 나타낼 수 있다. 왼쪽 위에서 오른쪽 바로 한 칸 아래로 직선을 그어 연결된 두 숫자를 곱해서 모두 더한다. 오른쪽 위에서 왼쪽 바로 한 칸 아래로 직선을 그어 연결된 두 수를 곱해 모두 더한다. 여기서 두 값의 차의 절댓값에 1/2을 곱하면 삼각형의 넓이를 구할 수 있다.

이렇게 숫자를 모두 적어 선분으로 이은 꼴이 신발끈이 묶인 신발의 모양과 같아, 신발끈 공식이라는 이름이 붙었다.

8. 응용

n개의 꼭짓점 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), ..., (x_n, y_n)$으로 이루어진 자기 교차하지 않는 다각형의 면적은 다음과 같이 계산할 수 있다.

$S = \frac{1}{2}|\sum_{k=1}^{n}(x_k y_{k+1} - x_{k+1} y_k)|$

$ = \frac{1}{2}|\sum_{k=1}^{n}(x_k - x_{k+1})(y_k + y_{k+1})|$

$ = \frac{1}{2}|\sum_{k=1}^{n}x_k(y_{k+1} - y_{k-1})|$

$ = \frac{1}{2}|\sum_{k=1}^{n}y_k(x_{k-1} - x_{k+1})|$

단, $x_0 = x_n, y_0 = y_n, x_{n+1} = x_1, y_{n+1} = y_1$으로 한다.

꼭짓점의 순서가 반시계 방향일 경우, 총합의 결과는 양수이며 절댓값을 생략할 수 있다. 시계 방향일 경우, 총합의 결과는 음수가 된다.

이 식은 그린 정리의 특수한 경우로 볼 수 있다. a≦t≦b에서 매개변수로 표시된 단일 폐곡선 $(x(t), y(t))$로 둘러싸인 영역의 면적은 다음과 같다.

$S = \frac{1}{2}|\int_{a}^{b}(x(t)y'(t) - x'(t)y(t))dt|$

참조

_[1] 논문 The Surveyor's Area Formula https://www.maa.org/[...]
_[2] 웹사이트 Shoelace Formula http://www.mathrefer[...] 2008-06-09
_[3] 서적 Forest Dynamics, Growth and Yield: From Measurement to Model https://books.google[...] Springer
_[4] 간행물 Generalia de genesi figurarum planarum et inde pendentibus earum affectionibus https://books.google[...]
_[5] 서적 Ebene Geometrie Springer-Verlag
_[6] 간행물 Detecting and decomposing self-overlapping curves
_[7] conference Polygon Area Problems
_[8] 서적 Guide to Competitive Programming: Learning and Improving Algorithms Through Contests Springer
_[9] 서적 Multi-Modality Imaging: Applications and Computational Techniques Springer
_[10] 논문 Computing Volumes of Polyhedra https://www.ams.org/[...] 1986
_[11] 웹인용 Shoelace Formula http://www.mathrefer[...] 2008-06-09
_[12] 서적 Forest Dynamics, Growth and Yield: From Measurement to Model http://books.google.[...] Springer
_[13] 인용 Generalia de genesi figurarum planarum et inde pendentibus earum affectionibus http://books.google.[...]
_[14] 웹사이트 Shoelace Theorem http://www.artofprob[...]
_[15] 웹인용 Polygon Area http://mathworld.wol[...] 2012-07-24
_[16] 저널 The Surveyor’s Area Formula http://www.maa.org/s[...] 2016-06-05
_[17] 서적 Geometry for Enjoyment and Challenge https://archive.org/[...] McDougal Littell
_[18] 문서 IMSA JHMC Guide, Page. 10 "Shoelace" by Cindy Xi