약한 골트바흐의 추측

3. 골트바흐의 추측과의 관계

골트바흐의 추측은 "2 초과의 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다"는 추측으로, 약한 골트바흐의 추측을 함의한다. 이는 골트바흐의 추측이 참일 경우 7 이상의 홀수 a를 3+(a-3)으로 나누고, (4 이상의 짝수) a-3에 대해 골트바흐의 추측을 적용하여 두 소수의 합으로 나타내는 방식을 이용해 결과적으로 a를 세 소수의 합으로 나타낼 수 있기 때문이다.

골드바흐의 추측이 옳다고 가정하면 4 이상의 짝수는 2개의 소수의 합으로 나타낼 수 있다. 따라서 자연수를 n이라고 하면, n번째 양의 짝수에 대해

:$2\; n\; =\; p\_1\; +\; p\_2\; \backslash qquad\; n>1$

을 만족하는 소수 p₁ , p₂가 반드시 존재하게 된다. 여기서 n+2 번째 양의 홀수는

:$2\; (n+2)\; -1\; =\; p\_1\; +\; p\_2\; +\; 3\; \backslash qquad\; n>1$

과 같이 3개의 소수의 합으로 나타낼 수 있으므로, 약한 골드바흐의 추측도 옳다.

반대로 약한 골드바흐의 추측이 옳다고 가정하면 n번째 양의 홀수에 대해

:$2\; n\; -\; 1\; =\; p\_1\; +\; p\_2\; +\; p\_3\; \backslash qquad\; n>3$

을 만족하는 소수 p₁ , p₂ , p₃가 반드시 존재하게 된다. 여기서 n번째 양의 짝수는

:$2\; n\; =\; p\_1\; +\; (p\_2\; +\; p\_3\; +\; 1)\; \backslash qquad\; n>3$

으로 나타낼 수 있지만, p₂ + p₃ + 1은 소수라고는 할 수 없으므로 (p₂ = 3 , p₃ = 5인 경우 등) ''강한'' 골드바흐의 추측은 증명할 수 없다.

이러한 점들로부터, 약한 골드바흐의 추측은 ''강한'' 골드바흐의 추측의 계라고 할 수 있다.

:$2\; n\; -\; 1\; =\; p\_1\; +\; p\_2\; +\; p\_3\; \backslash qquad\; n>3$

이라면

:$2\; (n\; +\; 1)\; =\; p\_1\; +\; p\_2\; +\; p\_3\; +\; 3\; \backslash qquad\; n>3$

이므로, 이 추측이 옳다면 8보다 큰 짝수는 4개의 소수의 합으로 나타낼 수 있게 된다. 또한, 8도 8 = 2 + 2 + 2 + 2 와 같이 4개의 소수의 합으로 나타낼 수 있으므로, 약한 골드바흐의 추측이 옳다면 7 이상의 자연수는 3개 또는 4개의 소수의 합으로 나타낼 수 있다. 이는 "약한 골드바흐의 추측이 옳다면 4 이상의 자연수는 기껏 4개의 소수의 합으로 나타낼 수 있다"라고 바꿔 말할 수도 있다. 골드바흐의 추측에 대해서는 이와 마찬가지로 "골드바흐의 추측이 옳다면 4 이상의 자연수는 기껏해야 3개의 소수의 합으로 나타낼 수 있다"라고 할 수 있다.

4. 기타

작은 홀수를 순서대로 3개의 소수의 합으로 나타내면 다음과 같다.

• 7 = 2 + 2 + 3
• 9 = 2 + 2 + 5 = 3 + 3 + 3
• 11 = 2 + 2 + 7 = 3 + 3 + 5
• 13 = 3 + 3 + 7 = 3 + 5 + 5
• 15 = 2 + 2 + 11 = 3 + 5 + 7 = 5 + 5 + 5
• 17 = 2 + 2 + 13 = 3 + 3 + 11 = 5 + 5 + 7
• 19 = 3 + 3 + 13 = 3 + 5 + 11 = 5 + 7 + 7
• 21 = 2 + 2 + 17 = 3 + 5 + 13 = 5 + 5 + 11 = 7 + 7 + 7
• 23 = 2 + 2 + 19 = 3 + 3 + 17 = 5 + 5 + 13 = 5 + 7 + 11

참조

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