연환

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 매듭 불변량
3. 예시
- 3.1. 호프 연환
- 3.2. 보로메오 고리
4. 일반화
- 4.1. 일반적인 다양체
- 4.2. 탱글, 스트링 링크, 땋기
참조

1. 개요

연환은 유한 개의 원의 분리합집합과 위상동형인 3차원 공간의 부분공간이다. 연결된 연환은 매듭이라고 한다. 매듭 불변량은 연환에 대해 일반화될 수 있다. 호프 연환은 두 개의 연결 성분을 가진 자명하지 않은 연환이며, 보로메오 고리는 세 개의 연결 성분으로 이루어진 연환으로, 한 고리를 제거하면 나머지 두 고리가 풀린다. 링크는 구의 임의의 부분다양체를 설명하는 데 사용되며, 매듭과 동일한 개념으로 볼 수 있다. 땋기 이론과 같이 임베딩된 구간을 고려하는 경우도 있으며, 탱글과 스트링 링크는 대수적 구조를 갖는다.

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연환
수학적 정보
유형	매듭의 모임, 교차하지 않지만 연결될 수 있음
관련 개념	매듭 이론, 땋은군
추가 정보
참고	연결 고리 숫자

2. 정의

'''연환'''은 유한 개의 원들의 분리합집합과 위상동형인, 3차원 구 $S^3$ 의 부분공간이다.^[1] 연결된 연환은 '''매듭'''이라고 한다.^[1]

일반적으로 '''링크'''라는 단어는 유한 개수의 서로소인 구 $S^j$ 의 분리된 합집합과 미분동형인 구 $S^n$ 의 부분다양체를 설명하는 데 사용되기도 한다.^[2] 더 일반적으로는, 다양체 ''N'' 안에 부분다양체 ''M''이 있을 때, ''M''이 연결되어 있지 않으면 '''연환'''(또는 링크)이라고 부르고, ''M''이 연결되어 있으면 '''매듭'''이라고 부른다.

2. 1. 매듭 불변량

대부분의 매듭 불변량(존스 다항식 등)은 연환에 대하여 일반화시킬 수 있다.

3. 예시

매듭 외에도 다양한 연환이 존재한다. 대표적인 예시는 다음과 같다.

호프 연환(Hopf link^영어): 두 개의 연결 성분으로 이루어진 가장 간단한 자명하지 않은 연환이다.
보로메오 고리(Borromean rings^영어): 세 개의 연결 성분으로 이루어져 있으며, 어느 한 고리를 제거하면 나머지 두 고리가 풀리는 특징을 가진다.

3. 1. 호프 연환

호프 연환(Hopf link^eng)은 두 개의 연결 성분을 가진, 자명하지 않은 유일한 연환이다. 수학자 하인츠 호프의 이름을 따서 명명되었다.

3. 2. 보로메오 고리

보로메오 고리( Borromean rings^영어)는 세 개의 연결 성분으로 이루어진 연환이다. 이 연환의 독특한 점은 세 고리 중 어느 하나라도 제거하면, 나머지 두 개의 고리는 서로 연결되지 않고 풀어진다는 것이다. 즉, 남은 두 고리는 위상수학적으로 자명한 상태가 되며, 호프 연환과 같은 얽힌 구조를 이루지 않는다.

4. 일반화

연환(링크) 개념은 여러 가지 방식으로 일반화될 수 있다. 주요한 일반화 방향으로는 연환을 구의 부분다양체로 확장하는 일반적인 다양체로의 접근 방식과, 기술적 편의나 특정 응용을 위해 선분의 매장을 고려하는 탱글, 스트링 링크, 땋기^[1]^[2] 등의 개념이 있다.

4. 1. 일반적인 다양체

일반적으로 '''연환'''(link)이라는 용어는 유한 개수의 서로소인 구

S^j

의 분리합집합과 미분동형인 구

S^n

의 임의의 부분다양체를 설명하는 데 사용된다.

더 일반적으로, '''연환'''이라는 용어는 본질적으로 '''매듭'''(knot)이라는 용어와 유사하게 사용되기도 한다. 즉, 다양체

N

의 부분다양체

M

이 주어졌을 때 (자명하게 포함된 것으로 간주),

M

을

N

에 비자명하게 포함시키는 방법을 고려한다. 여기서 비자명하다는 것은 두 번째 포함 방법이 첫 번째 포함 방법과 동위(isotopic) 관계가 아니라는 의미이다. 만약

M

이 연결되어 있지 않다면, 이러한 포함 방법을 연환이라고 부른다. 반면

M

이 연결되어 있다면, 이를 매듭이라고 부른다.

4. 2. 탱글, 스트링 링크, 땋기

매듭 이론에서는 전통적으로 원을 3차원 공간에 매장(embedding)한 것을 다루지만, 기술적인 편의나 특정 응용을 위해 땋기 이론에서처럼 선분(가닥, strand)의 매장을 고려하는 경우도 많다. 이러한 개념들을 더 일반적으로 다루기 위해 탱글, 스트링 링크, 땋기 등의 개념이 도입되었다.

'''탱글'''^[1]^[2]: 가장 일반적인 개념으로, 여러 개의 선분이나 원을 3차원 공간의 특정 영역(보통 $\mathbb{R}^2 \times [0,1]$ ) 안에 배치한 것이다. 이때 선분의 양 끝점은 영역의 경계가 되는 두 평면( $\mathbb{R}^2 \times \{0\}$ 과 $\mathbb{R}^2 \times \{1\}$ ) 위에 놓인다. 탱글은 매듭(원이 하나만 있는 경우)이나 땋기 등을 포함하는 포괄적인 대상이다.
'''스트링 링크''': 탱글 중에서 오직 선분(가닥)으로만 구성된 경우를 말한다. 각 가닥의 시작점과 끝점은 미리 정해진 위치(예: 정수 좌표)에 순서대로 연결되어야 한다. 스트링 링크는 가닥이 되돌아가거나 꼬일 수 있어 반드시 땋기일 필요는 없다.
'''땋기'''(braid^eng): 탱글의 특별한 종류로, 모든 가닥이 항상 한 방향(예: $z$ 축 양의 방향 또는 음의 방향)으로만 진행하는 것을 말한다. 즉, 가닥이 되돌아가는 부분이 없어야 한다. 땋기이면서 동시에 스트링 링크의 조건을 만족하는 것을 순수한 땋기라고 부른다.

이러한 탱글, 스트링 링크, 땋기는 각각 고유한 대수적 구조를 가지며, 연환이나 매듭의 성질을 연구하고 분류하는 데 중요한 도구로 사용된다. 예를 들어, 모든 매듭은 특정 방식으로 닫힌 땋기나 스트링 링크로 표현될 수 있으며, 이를 통해 매듭의 불변량을 계산하기도 한다.

4. 2. 1. 탱글

(1차원) 매듭은 원의 임베딩으로 정의되지만, 기술적으로 유용하게 땋기 이론과 같이 임베딩된 구간(가닥)을 고려하는 경우가 많다.

가장 일반적으로는 '''탱글'''^[1]^[2]을 고려할 수 있다. 탱글은 경계가 있는 (매끄러운) 컴팩트 1-다양체

(X,\partial X)

를 평면과 구간

I=[0,1]

의 곱으로 보내는 다음과 같은 임베딩이다.

:

T\colon X \to \mathbf{R}^2 \times I

이때, 경계

T(\partial X)

는

\mathbf{R} \times \{0,1\}

(

\{0,1\} = \partial I

)에 임베딩된다.

탱글의 '''타입'''은 다양체 ''X''와

\partial X

의 고정된 임베딩으로 이루어진다.

구체적으로, 경계를 가진 연결된 컴팩트 1-다양체는 구간

I=[0,1]

또는 원

S^1

이다. (컴팩트성은 열린 구간

(0,1)

과 반열린 구간

[0,1)

을 배제한다. 이들은 비자명한 임베딩을 생성하지 않기 때문이다.) 따라서, 분리될 수 있는 컴팩트 1-다양체는 ''n''개의 구간

I=[0,1]

과 ''m''개의 원

S^1

의 모음이다. ''X''의 경계가

\mathbf{R} \times \{0,1\}

안에 있다는 조건은 구간의 끝점들이 두 선(

\mathbf{R} \times 0

과

\mathbf{R} \times 1

)을 연결하거나, 한 선 위의 두 점을 연결해야 함을 의미한다. 원에 대해서는 특별한 조건이 부과되지 않는다.

탱글은 수직 방향(''I'')을 가지며, 두 선(

\mathbf{R} \times 0

과

\mathbf{R} \times 1

) 사이에 놓여 있고, 이 선들 사이에서 2차원 수평 방향(

\mathbf{R}^2

)으로 움직이는 가닥들로 시각화할 수 있다. 이를 평면에 투영하여 매듭 다이어그램과 유사한 '''탱글 다이어그램'''을 만들 수 있다.

탱글은 매듭(''X''가 원으로만 구성된 경우), 땋기 등을 포함한다. 예를 들어, 두 선을 연결하는 가닥과 그 주위에 연결된 원으로 구성된 탱글도 가능하다.

이 맥락에서, 땋기는 항상 아래 방향으로 진행하는 탱글로 정의된다. 즉, 그 도함수는 항상 수직(''I'') 방향으로 0이 아닌 성분을 갖는다. 특히, 땋기는 구간으로만 구성되어야 하며, 스스로 되돌아가지 않아야 한다.

'''스트링 링크'''는 구간으로만 구성된 탱글로, 각 가닥의 끝점은 특정한 위치, 예를 들어 (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1), ... 와 같이 정수 좌표를 연결하며 시작한 순서대로 끝나야 한다. (다른 고정된 점 집합을 사용할 수도 있다.) 이것이 ''ℓ''개의 성분(가닥)을 가지면, "''ℓ''-성분 스트링 링크"라고 부른다. 스트링 링크는 땋기일 필요는 없으며, 오버핸드 매듭처럼 스스로 되돌아갈 수 있다. 땋기이면서 스트링 링크인 것은 순수한 땋기라고 불리며, 일반적인 개념과 일치한다.

탱글과 스트링 링크의 주요 기술적 가치는 대수적 구조를 갖는다는 점이다. 탱글의 동위류는 텐서 범주를 형성한다. 범주 구조에서, 한 탱글의 하단 끝점이 다른 탱글의 상단 끝점과 일치하면 두 탱글을 합성(쌓아 올리기)할 수 있다. (엄밀히 말해 점별 항등원이 없어 범주를 형성하지는 않지만, 동위류까지 고려하면 가능하다.) 텐서 구조는 탱글들을 나란히 배치하여 정의된다.

고정된 ''ℓ''에 대해, ''ℓ''-성분 스트링 링크의 동위류는 모노이드를 형성한다. 모든 ''ℓ''-성분 스트링 링크는 합성 가능하며 항등원도 존재하기 때문이다. 그러나 역원을 가질 필요는 없으므로 그룹은 아니다. 반면, 스트링 링크의 ''합동''류(따라서 ''호모토피''류)는 역원(스트링 링크를 뒤집어서 얻음)을 가지므로 그룹을 형성한다.

모든 매듭은 스트링 링크를 형성하도록 잘라낼 수 있지만, 이 방법은 유일하지 않다. 매듭의 불변량은 때때로 스트링 링크의 불변량으로 이해될 수 있는데, 밀너 불변량이 그 예이다. 이는 닫힌 땋기 개념과 비교될 수 있다.

4. 2. 2. 스트링 링크

'''스트링 링크'''는 구간으로만 구성된 탱글의 한 종류이다.^[1]^[2] 각 가닥(성분)의 끝점은 (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1), ... 와 같이 특정 정수 좌표에 위치해야 하며, 시작한 순서대로 끝나야 한다. ''ℓ''개의 성분을 가진 스트링 링크를 "''ℓ''-성분 스트링 링크"라고 부른다.

스트링 링크는 땋기와 달리 반드시 아래로만 내려갈 필요는 없으며, 오버핸드 매듭처럼 스스로 되돌아가는 구조를 가질 수도 있다. 만약 어떤 대상이 땋기이면서 동시에 스트링 링크라면, 이를 순수한 땋기라고 부른다. 이는 일반적으로 사용되는 순수 땋기의 개념과 일치한다.

주어진 성분 개수 ''ℓ''에 대해, ''ℓ''-성분 스트링 링크들의 동위류(isotopy classes)는 모노이드를 형성한다. 즉, 스트링 링크들을 이어 붙여 합성할 수 있고 항등원도 존재하지만, 모든 스트링 링크가 역원을 가지지는 않기 때문에 그룹은 아니다. 하지만 스트링 링크의 ''합동''류(concordance classes) 또는 호모토피류는 그룹 구조를 가진다. 이때 역원은 스트링 링크를 뒤집어서 얻을 수 있다.

모든 매듭은 적절히 잘라서 스트링 링크 형태로 만들 수 있다. 비록 이 방법이 유일하지는 않지만, 이를 통해 매듭의 불변량을 스트링 링크의 불변량으로 이해하고 연구하는 것이 가능하다. 대표적인 예로 밀너 불변량이 있다. 이는 닫힌 땋기를 통해 매듭을 연구하는 것과 유사한 접근 방식이다.

4. 2. 3. 탱글, 스트링 링크의 대수적 구조

매듭(수학) 이론에서는 원의 임베딩인 매듭 외에도, 땋기 이론처럼 선분(가닥)의 임베딩을 다루는 경우가 많다. 이를 더 일반적으로 다루는 개념이 '''탱글'''^[1]^[2]이다. 탱글은 기본적으로 여러 개의 선분이나 원을 3차원 공간 (좀 더 정확히는 평면과 수직선 구간 [0, 1]의 곱) 안에 배치한 것으로 생각할 수 있다. 이때 선분의 양 끝점은 두 개의 평행한 평면 위에 고정된다. 탱글은 매듭 다이어그램처럼 2차원 평면에 투영하여 '''탱글 다이어그램'''으로 나타낼 수 있다. 탱글은 매듭(원이 하나만 있는 경우)이나 땋기(가닥이 항상 한 방향으로 진행하는 경우) 등을 포괄하는 더 넓은 개념이다.

'''스트링 링크'''는 탱글 중에서 오직 선분(구간)으로만 이루어진 특별한 경우이다. 각 선분의 시작점과 끝점은 미리 정해진 위치(예: (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), ...)에 순서대로 연결되어야 한다. 스트링 링크는 가닥이 꼬이거나 되돌아갈 수 있으므로 반드시 땋기일 필요는 없다. 만약 스트링 링크이면서 동시에 땋기인 경우, 이를 순수한 땋기라고 부른다.

탱글과 스트링 링크가 수학적으로 중요한 이유는 이들이 대수적 구조를 가지기 때문이다.

탱글: 같은 종류의 탱글들을 위아래로 이어 붙여 합성할 수 있고, 옆으로 나란히 놓아 텐서곱을 정의할 수 있다. 이러한 연산을 통해 탱글의 동위류(같은 것으로 간주하는 탱글들의 모임)는 텐서 범주라는 대수적 구조를 형성한다.
스트링 링크: 같은 개수(ℓ개)의 성분을 가진 스트링 링크들은 합성이 가능하고 항등원(아무런 꼬임이 없는 스트링 링크)도 존재하므로, 이들의 동위류는 모노이드를 이룬다. 하지만 일반적으로 역원이 존재하지 않아 군(group)은 되지 않는다. 그러나 동위보다 더 약한 조건인 합동(congruence) 또는 호모토피(homotopy)를 기준으로 보면, 스트링 링크를 뒤집는 연산이 역원의 역할을 하여 군 구조를 갖게 된다.

이러한 대수적 구조는 탱글과 스트링 링크를 추상적으로 다루고 연구하는 강력한 도구가 된다. 또한, 모든 매듭은 적절히 잘라서 스트링 링크로 만들 수 있다. 이 때문에 밀너 불변량과 같은 일부 매듭 불변량은 스트링 링크의 불변량으로 이해하고 계산하기도 한다. 이는 닫힌 땋기를 통해 매듭을 연구하는 것과 유사한 접근 방식이다.

참조

_[1] 논문 The classification of links up to homotopy American Mathematical Society
_[2] 논문 The Kontsevich integral and Milnor's invariants

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