보로메오 고리
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1. 개요
보로메오 고리는 세 개의 고리가 서로 얽혀 있지만, 어느 두 고리도 얽혀 있지 않은 독특한 형태의 매듭으로, 수학, 과학, 예술 등 다양한 분야에서 활용된다. 이탈리아 보로메오 가문의 문장에서 유래되었으며, 삼위일체를 상징하는 데 사용되기도 한다. 수학적으로는 브루니언 링크의 일종으로, 3차원 공간에서 원으로 구현하는 것은 불가능하지만, 타원이나 다른 도형을 사용하여 표현할 수 있다. 분자 보로메오 고리는 화학 분야에서, 에피모프 상태는 물리학 분야에서 연구되며, 한국 전통 매듭에서도 유사한 구조를 찾아볼 수 있다.
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2. 역사적 배경
"보로메오 고리"라는 이름은 북부 이탈리아의 귀족 가문인 보로메오 가문이 자신들의 문장에 세 개의 고리가 얽힌 이 형태를 사용한 데서 유래했다. 하지만 이 독특한 연결 구조 자체는 훨씬 더 오래전부터 다양한 문화권에서 발견된다.
고대 노르드인의 이미지석에서는 7세기의 발크누트Valknutnon라는, 세 개의 정삼각형이 얽힌 형태로 나타나며, 일본의 오미와 신사에서도 유사한 원형 모티프가 사용되었다. 인도의 6세기 마룬디쉬와라 사원 돌기둥에도 세 개의 정삼각형이 서로 맞물린 문양이 새겨져 있다.[8][9]
역사적으로 보로메오 고리는 다양한 맥락에서 '단결' 또는 '결속'의 상징으로 사용되어 왔다. 예를 들어 기독교에서는 삼위일체를 나타내는 상징으로 쓰였으며, 정신분석학자 자크 라캉은 이를 인간 정신의 세 가지 요소(현실계, 상징계, 상상계)의 관계를 설명하는 모델로 사용했다. 또한 발렌타인 맥주의 로고로 사용되어 '발렌타인 고리'라는 별칭을 얻기도 했다.[6]
수학 분야에서는 19세기 피터 테이트가 매듭 이론 연구에서 처음 다루었으며, 20세기에는 마틴 가드너가 대중 과학 칼럼을 통해 널리 알렸다. 2006년에는 국제 수학 연맹(IMU)이 보로메오 고리를 형상화한 새로운 로고를 채택하기도 했다.[7]
2. 1. 고대 및 중세의 상징
"보로메오 고리"라는 이름은 북부 이탈리아의 귀족 가문인 보로메오 가문이 가문의 문장에 이 고리 모양을 사용한 데서 유래했다. 하지만 이 세 개의 고리가 서로 얽힌 형태 자체는 훨씬 더 오래전부터 나타난다.
가장 오래된 예시 중 하나는 7세기로 거슬러 올라가는 노르드인의 이미지석에서 발견되는 Valknut|발크누트non이다. 이는 서로 연결된 세 개의 정삼각형 형태로 나타난다. 일본의 오미와 신사 역시 보로메오 고리와 유사한 전통적인 원형 모티프로 장식되어 있다.
인도의 6세기 마룬디쉬와라 사원의 돌기둥에는 서로 맞물려 회전하는 듯한 세 개의 정삼각형이 새겨져 있다. 이 세 삼각형은 보로메오 고리처럼 서로 연결되어 있지만, 두 개씩 쌍으로 연결되지는 않으며, 교차하는 방식도 보로메오 고리와는 다른 형태의 연결을 보여준다.
보로메오 고리는 다양한 문화권에서 결속력과 단결을 상징하는 데 사용되어 왔다. 특히 기독교에서는 삼위일체를 상징하는 데 사용되기도 했다. 삼위일체 안에서의 단결을 보로메오 고리로 묘사한 13세기 프랑스 필사본이 있었으나, 1940년대 화재로 소실되었다. 다행히 아돌프 나폴레옹 디드론이 1843년에 쓴 책에 그 모습이 재현되어 남아있다. 일부 학자들은 단테 알리기에리가 ''천국''편에서 삼위일체를 세 개의 동일한 원으로 묘사한 것이 이러한 보로메오 고리 이미지에서 영감을 받았을 것이라고 추측하기도 한다. 하지만 단테는 시 속에서 이 원들이 구체적으로 어떻게 배열되어 있는지 자세히 설명하지는 않았다.
2. 2. 근대 이후의 발전
1876년, 물리학자 피터 테이트는 매듭과 고리(링크) 목록을 만들면서 보로메오 고리를 매듭 이론 연구 대상으로 처음 다루었다. 정신분석학자 자크 라캉은 보로메오 고리를 인간의 정신 구조를 설명하는 모델로 활용했다. 라캉은 세 개의 고리가 각각 현실계, 상징계, 상상계를 나타내며 서로 연결되어 있다고 보았다.보로메오 고리는 발렌타인 맥주의 로고로 사용되면서 '발렌타인 고리'라는 별칭을 얻기도 했다. 이 로고는 현재 브랜드를 소유한 파브스트 양조 회사에서도 계속 사용하고 있다.
레크리에이션 수학 분야에서는 마틴 가드너가 보로메오 고리를 대중에게 알리는 데 기여했다. 그는 1961년 과학 잡지 ''사이언티픽 아메리칸''의 '수학 게임' 칼럼을 통해 보로메오 고리와 그 자이페르트 곡면을 소개했다.
2006년 스페인 마드리드에서 열린 제25차 국제 수학자 회의에서 국제 수학 연맹(IMU)은 보로메오 고리를 형상화한 새로운 공식 로고를 채택했다.
3. 수학적 특징
보로메오 고리는 위상수학, 매듭 이론, 쌍곡기하학 등 다양한 수학 분야에서 중요한 연구 대상이다. 기하학적으로 볼 때, 보로메오 고리는 완벽한 원 세 개로는 만들 수 없다는 것이 증명되었으나, 타원을 사용하면 만들 수 있으며 거의 원에 가까운 형태로도 구현 가능하다.
매듭 이론에서 보로메오 고리는 브루니언 링크의 가장 간단한 예시이다. 브루니언 링크는 여러 개의 고리로 이루어져 있는데, 그중 어느 하나라도 제거하면 나머지 고리들이 서로 풀려서 분리되지만, 모든 고리가 함께 있을 때는 전체를 절대로 분리할 수 없는 특별한 연결 상태를 의미한다. 즉, 보로메오 고리의 세 고리 중 어떤 두 고리만 보면 서로 연결되어 있지 않지만, 세 고리가 모이면 하나의 분리 불가능한 전체를 이룬다.[2] 이러한 연결 상태는 대수적 위상수학의 도구인 기본군이나 코호몰로지의 '매시 곱(Massey product)' 개념을 이용하여 수학적으로 증명된다.
흥미롭게도 수론적 위상수학이라는 분야에서는 보로메오 고리와 유사한 성질을 소수들의 관계에서도 찾아볼 수 있다. 예를 들어 세 소수 (13, 61, 937)은 마치 보로메오 고리처럼, 세 수가 함께 있을 때는 특정 조건(2로 나눈 나머지) 하에서 서로 연결되어 있지만, 어떤 두 수만 골라서는 같은 조건에서 연결되어 있지 않은 특성을 보인다. 이 때문에 이 소수들을 "2를 법으로 하는 보로메오 삼중체(proper Borromean triple mod 2)"[3] 또는 "2를 법으로 하는 보로메오 소수(mod 2 Borromean primes)"라고 부르기도 한다.[4]
3. 1. 위상수학적 정의
수학에서는 보로메오 고리를 주로 링크 다이어그램으로 정의한다. 이는 평면 위에 곡선들을 그리고 교차점에서 어떤 곡선이 위로 가고 어떤 곡선이 아래로 가는지를 표시한 그림이다. 이 다이어그램은 평면을 3차원 공간에 배치하고, 각 교차점에서 표시된 대로 곡선을 위아래로 움직여 3차원 공간의 곡선 시스템으로 변환할 수 있다. 보로메오 고리의 일반적인 다이어그램은 정삼각형의 꼭짓점에 중심을 둔 세 개의 동일한 원으로 구성된다. 이 원들은 벤 다이어그램이나 뢸로 삼각형처럼 내부가 공통 교차점을 갖도록 충분히 가깝게 배치된다. 각 원의 교차점은 위와 아래를 교대로 지나간다. 다르게 설명하면, 각 원은 두 개의 교차점에서 다른 한 원 위를 지나가고, 나머지 한 원 아래를 지나간다. 두 링크가 공간의 연속적인 변형(주변 등위)을 통해 서로 변환될 수 있을 때 동등하다고 보며, 보로메오 고리는 이 표준 다이어그램과 동등한 모든 링크를 의미할 수 있다.''매듭 아틀라스(The Knot Atlas)''에서 보로메오 고리는 코드 "L6a4"로 표시된다. 이 표기법은 이것이 여섯 개의 교차점과 교대 다이어그램을 가진 링크임을 의미하며, 이는 모웬 시슬스웨이트(Morwen Thistlethwaite)가 13개의 교차점까지의 모든 소수 링크 목록에서 식별한 다섯 개의 교대 6-교차점 링크 중 네 번째이다. 데일 롤프센의 1976년 저서 ''매듭과 링크''(Knots and Links)의 매듭 및 링크 표에서, 알렉산더와 브릭스가 1920년대에 발표한 이전 목록을 확장하여 보로메오 고리는 알렉산더-브릭스 표기법 "632"를 사용했는데, 이는 세 개의 6-교차점 3-성분 링크 중 두 번째로 나열됨을 의미한다. 보로메오 고리에 대한 컨웨이 표기법 ".1"은 이 링크에 대한 표준 링크 다이어그램의 축약된 설명이다.
매듭 이론에서 보로메오 고리는 브루니언 링크의 간단한 예시인데, 브루니언 링크는 분리될 수는 없지만 구성 요소 중 하나라도 제거되면 개별적으로 묶이지 않은 루프로 분해되는 링크이다. 브루니언 링크는 무한히 많으며, 3개의 곡선으로 이루어진 브루니언 링크도 무한히 많은데, 보로메오 고리가 가장 단순한 예이다.
보로메오 고리가 얽혀 있다는 것을 알 수 있는 방법은 여러 가지가 있다. 그 중 하나는 Fox n-채색을 사용하는 것이다. 이는 링크 도표의 호를 모듈로 n 정수로 채색하여 각 교차점에서 아래쪽 교차점의 두 색상이 위쪽 교차점 호의 색상과 동일한 평균(모듈로 n)을 갖도록 하고, 최소 두 가지 색상이 사용되도록 하는 것이다. 이러한 조건을 충족하는 채색의 수는 링크에 대해 선택된 도표와 무관한 매듭 불변량이다. 세 개의 구성 요소로 이루어진 자명한 링크는 n3-n개의 채색을 가지는데, 표준 도표에서 각 구성 요소에 대해 독립적으로 색상을 선택하고 한 가지 색상만 사용하는 n개의 채색을 버림으로써 얻어진다. 반면에 보로메오 고리의 표준 도표에서는 동일한 호 쌍이 두 개의 아래쪽 교차점에서 만나기 때문에 이들을 가로지르는 호가 서로 동일한 색상을 갖도록 강제하며, 이로부터 교차 조건에 맞는 유일한 채색이 두 가지 이상의 색상을 사용하는 조건을 위반한다는 결론이 나온다. 자명한 링크는 유효한 채색이 많고 보로메오 고리는 유효한 채색이 없으므로, 이 둘은 동등할 수 없다.
보로메오 고리는 기존의 링크 도표가 곡선을 따라 교차점이 각 곡선 위아래를 교대로 통과하므로 교호 링크이다. 또한 대수적 링크이기도 한데, Conway sphere에 의해 2-탱글로 분해될 수 있는 링크이다. 이는 교호적이면서 대수적인 도표를 동시에 갖지 않는 가장 단순한 교호적 대수적 링크이다. Tait conjectures에 따르면 보로메오 고리의 교차 수 (모든 링크 도표에서 가장 적은 교차 수)는 6인데, 이는 교호 도표의 교차 수이다.
매듭 이론에서 매듭 또는 고리의 로프 길이는 매듭 또는 고리를 실현할 수 있는 가장 짧은 길이의 유연한 로프(반지름 1)를 의미한다. 수학적으로 이러한 실현은 반지름이 1인 관형 이웃이 자기 교차를 피하는 매끄러운 곡선으로 설명될 수 있다. 보로미안 고리의 최소 로프 길이는 증명되지 않았지만, 달성된 가장 작은 값은 2개의 엽으로 이루어진 평면 곡선의 세 개의 복사본으로 실현된다. 이전의 최소 로프 길이 후보와 유사하지만, 반지름 2의 4개의 원호로 구성되었으며, 해당 모양에서 약간 수정되었으며, 타원 적분으로 정의된 42개의 매끄러운 조각으로 구성되어 조각별 원형 실현보다 몇 퍼센트 더 짧다. 로프 길이를 최소화하는 것으로 추측되는 이 실현이 국제 수학 연맹 로고에 사용되었다. 길이는 약 58.006인 반면, 길이에 대한 가장 잘 증명된 하한은 12π(약 37.699)이다.
로프 길이의 이산적인 유사물에 대해, 정수 격자의 모서리만 사용하여 가장 짧은 표현을 사용하면 보로미안 고리의 최소 길이는 정확히 36이다. 이것은 황금 직사각형에 의한 표현이 정규 20면체에 내접하는 방식과 동일하게 예센의 20면체에 내접하는 세 개의 2×4 정수 직사각형을 사용한 표현의 길이이다.
세 개의 고리가 있으며, 각각이 교차하기 위해 그림과 같이 8개의 영역으로 나뉜다. 이 영역을 면으로, 각 교차점을 꼭짓점으로 간주하면 팔면체 그래프와 대응된다.
그리고 팔면체 그래프에서 생각하면 모든 꼭짓점에서 4개의 변이 연결되어 있으며, 변을 3가지 색으로 칠함으로써 각 꼭짓점에서 고리의 겹침을 나타낼 수 있다.
보로미안 고리는 교대로 꼭짓점의 위아래를 통과하며, 그 결과 3개의 독립적인 고리가 형성된다[2]。
매듭 이론에서, 보로미오 고리는 보로미오 링크(임의의 두 고리는 분리 가능하지만, 전체는 분리 불가능하다)의 간결한 예이다. 이 그래프는 다양한 관점에서 볼 수 있다.
첫 번째 관점은 군론을 사용한 관점이다. 두 고리의 매듭 보완 공간의 기본군은 자이페르트-판 캄펜 정리에 의해 두 개의 생성자 a와 b의 자유군이 된다. 이 경우, 세 번째 고리가 교환자 [a, b] = aba-1b-1을 가진다. 이는 고리의 위아래를 통과하는 것에 해당하지만, 이는 기본군에서는 자명하지 않으므로 보로미오 고리는 분리 불가능하다.
그 외에도, 보완 공간의 코호몰로지는 비자명한 Massey product를 기반으로 하는데, 이는 분리 가능한 경우와 다르다. Massey product의 단순한 예이며, 이 대수는 기하학과 대응한다. 3-fold Massey product는 2-fold Massey product가 존재하지 않는 경우에만 정의되는 곱이며, 보로미오 고리의 두 고리가 분리 가능한(＝2-fold Massey product가 존재하지 않는) 성질에 대응하고 있으며, 3-fold Massey product가 존재하는 성질은 세 개의 고리가 분리 불가능하다는 것을 보여준다.
수론적 위상수학에서는, 정수환의 아이디얼은 매듭에 대응하고, 소 아이디얼은 매듭에 대응한다. 세 개의 소수 (13, 61, 937)는 2로 나눈 나머지에 링크되어 있지만, 어떤 두 소수끼리도 링크되어 있지 않다(르장드르 기호는 1이다). 따라서, 이 소수들은 2를 법으로 하는 "proper Borromean triple"[3] 또는 "mod 2 Borromean primes"라고 불린다[4].
보로미안 고리의 고리를 절단하면 세 가닥 땋기의 1개 유닛이 된다. 그리고 반대로 세 가닥 땋기의 1개 유닛의 양쪽 끝을 연결하면 보로미안 고리가 된다. 보로미안 고리의 고리 중 하나를 제거하면 나머지 고리가 분리될 수 있는 것과 마찬가지로, 세 가닥 땋기 역시 끈 하나를 제거하면 나머지 두 끈이 분리될 수 있다. 이것들은 각각 보로미안 링크와 보로미안 브레이드라고 불린다.
보로미안 고리의 고리들은 고리 순환을 형성하고 있으며, 비추이적이다. 위의 그림을 사용하여 설명하면, 빨간색 고리는 녹색 고리 위에 있고, 녹색 고리는 파란색 고리 위에 있으며, 파란색 고리는 빨간색 고리 위에 있다. 그러므로 어떤 고리를 제외하면 나머지 두 고리는 분리될 수 있다. 마찬가지로 땋은 머리도 두 가닥만 고려하면 상하 관계가 있지만, 세 가닥에서는 고리 순환이 된다.
3. 2. 기하학적 구현
보로메오 고리는 일반적으로 고리가 그림의 평면에 원으로 투영되도록 그려지지만, 3차원 공간에서 원으로 보로메오 고리를 형성하는 것은 불가능한 물체이다. 즉, 3차원 공간에서 세 개의 원으로는 보로메오 고리를 만들 수 없다. 더 일반적으로 Michael H. Freedman과 Richard Skora는 1987년 4차원 쌍곡 기하학을 사용하여 브루니안 고리는 정확히 원형일 수 없음을 증명했다. 일반적인 보로메오 배열에서 세 개의 고리의 경우, 고리 다이어그램을 통해 이를 확인할 수 있다. 만약 두 개의 원이 두 교차점에서 만난다고 가정하면, 이 두 원은 하나의 평면 또는 구 위에 놓이게 된다. 이때 세 번째 원이 보로메오 고리를 완성하려면 이 평면 또는 구를 네 번 통과해야 하는데, 이는 위상적으로 불가능하다. Helge Tverberg는 반전 기하학을 사용하여 세 원 중 하나를 직선으로 변환함으로써, 나머지 두 원이 서로 엮이지 않아 보로메오 고리를 형성할 수 없음을 보이는 방식으로 원형 구현의 불가능성을 설명하기도 했다.
그러나 보로메오 고리는 타원을 사용하여 3차원 공간에서 실제로 구현할 수 있다. 이 타원들은 이심률을 얼마든지 작게 만들 수 있으므로, 모양이 원에 매우 가깝더라도 완벽하게 원형만 아니라면 적절히 배치하여 보로메오 고리를 형성하는 것이 가능하다.
구체적인 기하학적 구현 방법 중 하나는 세 개의 서로 수직인 황금 직사각형을 이용하는 것이다. 이는 정이십면체의 꼭짓점 중 서로 마주보는 세 쌍의 모서리를 연결하여 만들 수 있다. 또한, 유클리드 공간에 있는 어떤 세 개의 풀려있는 다각형이라도 적절한 크기 변환을 통해 보로메오 고리 형태로 엮을 수 있다. 만약 세 다각형이 모두 평면 위에 있다면 크기 변환은 필요하지 않다. 특히 보로메오 고리는 세 개의 삼각형으로도 구현될 수 있기 때문에, 각 고리를 구성하는 데 필요한 최소 변의 수, 즉 보로메오 고리의 스틱 수는 9이다.
더 나아가, Matthew Cook은 모두 원이 아닌 공간상의 풀린 단순 폐곡선 세 개는 크기 조절 없이도 서로 엮어 보로메오 고리를 만들 수 있다고 추측했다. 이후 Hugh Nelson Howards는 이 추측의 범위를 '모두 원이 아닌 평면 곡선 세 개'로 좁혀 수정 제안했다. 한편, 세 개의 고리로 이루어진 브루니안 고리는 무수히 많이 존재하지만, 보로메오 고리는 세 개의 볼록한 곡선으로 만들 수 있는 유일한 형태이다.
매듭 이론에서는 매듭이나 고리의 로프 길이라는 개념을 사용하는데, 이는 해당 매듭이나 고리를 만들 수 있는 가장 짧은 로프(반지름 1 가정)의 길이를 의미한다. 수학적으로는 반지름이 1인 관형 이웃이 자기 자신과 겹치지 않는 매끄러운 곡선으로 표현된다. 보로메오 고리의 정확한 최소 로프 길이는 아직 증명되지 않았지만, 현재까지 알려진 가장 짧은 길이는 두 개의 엽(lobe)을 가진 평면 곡선 세 개를 복제하여 만든 형태이다. 이 형태는 이전에 후보였던 반지름 2의 네 원호로 구성된 모양을 약간 변형한 것으로, 타원 적분으로 정의되는 42개의 매끄러운 조각으로 이루어져 있으며, 여러 원호 조각으로 이루어진 구현보다 약간 더 짧다. 로프 길이를 최소화하는 것으로 추정되는 이 형태는 국제 수학 연맹(IMU)의 로고 디자인에 사용되었다. 이 형태의 로프 길이는 약 58.006이며, 현재까지 증명된 로프 길이의 하한값은 이다.
로프 길이의 개념을 정수 격자 위에서 생각할 수도 있다. 즉, 격자의 모서리만을 따라 이동하여 만들 수 있는 가장 짧은 보로메오 고리의 길이는 정확히 이다. 이는 예센의 20면체 내부에 세 개의 크기의 정수 직사각형을 배치하여 구현한 길이와 같으며, 이는 황금 직사각형이 정이십면체 내부에 배치되는 방식과 유사하다.
3. 3. 쌍곡기하학적 성질
보로메오 고리는 쌍곡 링크이며, 그 링크 여집합은 유한한 부피를 가지는 완전한 쌍곡 3-다양체 구조를 가진다. 보로메오 고리는 1970년대에 쌍곡 구조를 가지는 것이 증명된 초기 링크 중 하나로, 그 여집합은 기하학 센터가 1991년에 제작한 비디오 ''Not Knot''에서도 중요하게 다루어졌다.
이 쌍곡 다양체는 엡스타인-페너 분해를 통해 두 개의 이상적인 정팔면체로 분해될 수 있다. 보로메오 고리 여집합의 쌍곡 부피는 16Λ(π/4) = 8G ≈ 7.32772… 이다. 여기서 Λ는 로바체프스키 함수, G는 카탈랑 상수를 나타낸다. 또한, 보로메오 고리의 여집합은 모든 닫힌 3-다양체가 이 공간 위의 분기 덮개가 된다는 점에서 보편적인 성질을 가진다.
3. 4. 수론과의 연관성
수론적 위상수학에서는 정수환의 아이디얼을 매듭에, 소 아이디얼을 소수에 대응시켜 유사성을 찾는다. 이러한 관점에서 특정 소수들의 연결 관계는 보로메오 고리의 특성에 비유될 수 있다.예를 들어 세 개의 소수 (13, 61, 937)은 2를 법으로 하여 서로 연결된 관계를 갖지만 (Rédei 기호는 -1), 어떤 두 소수만을 골라서는 2를 법으로 연결되어 있지 않다. 이는 각 쌍의 르장드르 기호 값이 모두 1이라는 것을 통해 확인된다. 이러한 특성은 마치 보로메오 고리에서 어떤 두 고리는 서로 연결되어 있지 않지만 세 고리 전체는 분리할 수 없는 것과 유사하다. 따라서 이 소수들을 "2를 법으로 한 적절한 보로메오 삼중체(proper Borromean triple mod 2)"[3] 또는 "2를 법으로 한 보로메오 소수(mod 2 Borromean primes)"라고 부르기도 한다.[4]
4. 과학적 응용
보로메오 고리는 그 독특한 위상학적 구조로 인해 물리학, 화학 등 다양한 과학 분야에서 흥미로운 연구 주제이며, 새로운 발견과 응용 가능성을 제시하고 있다.
특히 화학 분야에서는 DNA나 다른 분자 구성 요소를 이용하여 보로메오 고리와 동일한 구조를 가지는 분자 보로메오 고리를 합성하는 연구가 활발하며, 특정 나노클러스터의 구조를 설명하는 데에도 활용되기도 한다. 또한, 물리학에서는 세 입자가 함께 있을 때만 결합하는 양자역학적 상태인 에피모프 상태가 보로메오 고리와 유사한 특성을 가지는 것으로 밝혀져 주목받는다. 이는 보로미안 핵 현상이나 양자 정보 이론의 그린버거-호른-자일링거 상태(GHZ state) 연구와도 연관되어 있다.
4. 1. 분자 보로메오 고리
화학 분야에서는 보로메오 고리와 동일한 구조를 가지는 '''분자 보로메오 고리'''를 합성하는 데 성공했다. 이는 기계적으로 상호 연결된 분자 구조의 한 형태로, 각 고리가 분리될 수 없도록 얽혀 있는 구조이다.1997년, 뉴욕 대학교의 생물학자 마오 청더와 동료 연구자들은 DNA 가닥들을 이용하여 분자 수준에서 보로메오 고리 구조를 성공적으로 구현했다.[12] 이후 2003년에는 캘리포니아 대학교 로스앤젤레스의 화학자 프레이저 스토더트 연구팀이 배위 화학 원리를 사용하여 18개의 분자 구성 요소를 단 한 번의 반응으로 조립하여 분자 보로메오 고리를 합성하는 성과를 거두었다.[11]
분자 보로메오 고리 구조는 특정 귀금속 나노클러스터의 구조를 설명하는 데 유용하게 사용되기도 한다. 예를 들어, 티올레이트 리간드로 표면이 보호된 금(Au) 또는 은(Ag) 클러스터(Au25(SR)18이나 Ag25(SR)18 등)의 복잡한 구조를 보로메오 고리 형태로 표현할 수 있다.[13] 또한, 주세페 레스나티와 동료 연구자들은 할로겐 결합을 이용한 자기 조립 방식을 통해 다양한 종류의 보로메오 네트워크 구조를 설계하고 합성하는 방법을 개발했다.[14] 한편, 세 개의 고리 크기가 서로 다른 불균등한 분자 보로메오 고리를 만들기 위해 제이 S. 시겔 연구팀은 단계적인 합성 방법을 제안하기도 했다.
4. 2. 양자역학적 현상
물리학에서 보로메오 고리의 양자역학적 유사체는 에피모프 상태(Efimov state) 또는 헤일로 상태라고 불린다. 이는 개별적으로는 서로 묶이지 않지만, 세 개가 함께 있을 때 결합하는 입자 상태를 의미한다. 이 상태의 존재는 1970년 러시아의 이론물리학자 비탈리 에피모프가 처음 예측했으며, 2006년 이후 여러 실험을 통해 그 존재가 확인되었다.오스트리아 인스브루크 대학교 연구팀은 2006년 극저온 상태의 세슘 원자 기체에서 에피모프 상태를 처음으로 실험적으로 관측하는 데 성공하여 과학 저널 네이처에 발표했다.[15] 이후 미국 라이스 대학교 연구팀은 리튬 원자 3개를 이용해 에피모프 상태를 구현했으며, 관련 연구 결과를 사이언스 익스프레스(Science Express)에 발표했다.[16] 2010년에는 일본 연구팀이 탄소 원자핵 내부에서 에피모프 상태를 발견하기도 했다.[17]
에피모프 상태는 두 입자끼리는 결합하지 못하지만 세 입자가 모이면 안정적인 핵을 이루는 보로미안 핵(Borromean nucleus) 현상과 밀접한 관련이 있다. 양자 정보 이론 분야에서는 세 개의 큐비트가 얽혀 있는 그린버거-호른-자일링거 상태(GHZ state)가 보로메오 고리와 유사한 특성을 보이는 것으로 연구되고 있다.
5. 한국 문화와의 관련성
한국의 전통적인 방식 중 하나인 세 가닥 땋기는 보로메오 고리와 구조적으로 유사한 특징을 보인다. 보로메오 고리의 각 고리를 자르면 세 가닥 땋기의 한 단위와 같은 모양이 되며, 반대로 세 가닥 땋기의 한 단위를 가져와 양 끝을 이으면 보로메오 고리 형태가 만들어진다.
보로메오 고리는 고리 하나를 풀면 나머지 두 고리가 서로 분리되는 특징이 있는데, 세 가닥 땋기 역시 끈 하나를 풀면 나머지 두 끈이 분리되는 비슷한 성질을 가진다. 이러한 구조적 유사성 때문에 각각 보로메오 고리(Borromean ringseng)와 보로메오 땋기(Borromean braideng)라고 불리기도 한다.
보로메오 고리의 각 고리는 서로 맞물려 순환하는 구조를 이루며, 어떤 고리도 다른 고리보다 명확히 위에 있거나 아래에 있지 않은 비추이적인 관계를 가진다. 예를 들어 그림에서 빨간 고리는 녹색 고리 위에, 녹색 고리는 파란 고리 위에, 파란 고리는 다시 빨간 고리 위에 놓이는 순환 구조를 보인다. 세 가닥 땋기 역시 두 가닥씩 보면 위아래 관계가 있지만, 세 가닥 전체로 보면 서로 맞물려 순환하는 구조를 이룬다.
6. 예술 및 대중문화
보로메오 고리는 세 개의 고리가 서로 얽혀 있지만 어느 두 고리만으로는 연결되지 않는 독특한 위상수학적 구조를 가진다. 이러한 흥미로운 특징 때문에 고대의 문양에서부터 현대의 시각 예술, 로고 디자인, 매듭, 정신분석학 이론에 이르기까지 다양한 분야에서 상징적인 의미를 부여받거나 시각적인 모티프로 활용되어 왔다.
6. 1. 시각 예술
"보로메오 고리"라는 이름은 이탈리아 북부의 귀족 가문인 보로메오 가문의 문장에 세 개의 연결된 원 형태로 사용된 것에서 유래했다. 이 연결 형태 자체는 훨씬 더 오래전부터 나타났다. 7세기 노르드인의 이미지석에는 평행한 면을 가진 세 개의 연결된 정삼각형 모양인 발크누트non가 새겨져 있다. 일본의 오미와 신사 역시 보로메오 고리의 전통적인 원형 모티프로 장식되어 있다. 인도의 6세기 마룬디쉬와라 사원 돌기둥에는 서로 회전하며 정규 구각형을 이루는 세 개의 정삼각형이 조각되어 있는데, 이는 보로메오 고리처럼 세 요소가 연결되어 있지만 쌍으로는 연결되지 않는다는 점에서 유사하나, 교차 패턴은 보로메오 고리와는 다른 연결 방식을 보여준다.
보로메오 고리는 다양한 맥락에서 단결의 힘을 상징하는 데 사용되어 왔다. 특히 기독교에서는 삼위일체를 상징하는 디자인으로 사용되기도 했다. 삼위일체 안에서의 단결을 묘사한 보로메오 고리가 그려진 13세기 프랑스 필사본이 있었으나, 1940년대 화재로 소실되었고 아돌프 나폴레옹 디드론이 1843년에 쓴 책에 그 모습이 재현되어 있다. 디드론 등은 단테 알리기에리가 ''천국''편에서 삼위일체를 세 개의 동일한 원으로 묘사한 것이 이와 유사한 이미지에서 영감을 받았을 수 있다고 추측했지만, 단테는 원들의 구체적인 기하학적 배열을 설명하지는 않았다. 정신분석학자 자크 라캉은 보로메오 고리에서 영감을 받아 인간 주관성을 설명하는 위상학적 모델을 만들었는데, 각 고리는 현실의 기본 요소인 "현실", "상상", "상징"을 나타낸다고 보았다.
이 고리 디자인은 발렌타인 맥주의 로고로 사용되었으며, 현재 브랜드 소유주인 파브스트 양조 회사에서 유통하는 발렌타인 브랜드 맥주에서도 여전히 사용되고 있다. 이 때문에 때때로 "발렌타인 고리"라고 불리기도 한다. 2006년 국제 수학 연맹은 스페인 마드리드에서 열린 제25차 국제 수학자 회의에서 보로메오 고리를 기반으로 한 새로운 로고를 채택했다.
몽키 피스트 매듭은 본질적으로 보로메오 고리의 3차원 표현으로 볼 수 있으며, 대부분 세 겹으로 이루어져 있다. 조각가 존 로빈슨은 세 개의 정삼각형을 얇은 금속판으로 만들어 보로메오 고리 형태를 이루도록 했는데, 이는 발크누트 문양을 3차원으로 구현한 것과 유사한 예술 작품이다. 또한, 접는 나무 삼각대의 일반적인 디자인 중 하나는 나무 한 조각에서 조각된 세 개의 부분으로 구성되는데, 각 부분의 길쭉한 중앙 구멍을 통해 다른 조각이 통과하며 세 조각이 보로메오 고리 패턴으로 연결된다. 이러한 형태의 삼각대는 인도 또는 아프리카의 수공예품에서 유래한 것으로 알려져 있다. 매듭 이론가 로라 탈만은 보로메오 고리를 뜨개질로 표현하는 예술 프로젝트를 진행하기도 했다.
6. 2. 상징적 의미
보로메오 고리는 다양한 맥락에서 단결의 강점이나 상호 의존성을 나타내는 상징으로 사용되어 왔다. "보로메오 고리"라는 이름은 이탈리아 북부의 귀족 가문인 보로메오 가문이 가문의 문장에 세 개의 연결된 원 형태로 이 고리를 사용한 데서 유래했다.
그러나 이 고리 문양 자체는 훨씬 더 오래전부터 나타난다. 7세기 노르드인의 이미지석(그림 비석)에는 세 개의 정삼각형이 서로 맞물린 형태의 발크누트non가 새겨져 있는데, 이는 보로메오 고리와 유사한 구조를 보여준다. 일본의 오미와 신사 역시 보로메오 고리의 전통적인 원형 모티프로 장식되어 있다. 인도의 6세기 마룬디쉬와라 사원의 돌기둥에는 서로 겹쳐진 세 개의 정삼각형이 새겨져 있는데, 이 역시 세 요소가 서로 연결되어 있지만 어느 두 개만으로는 연결되지 않는다는 점에서 보로메오 고리와 유사한 특징을 보인다. 다만 교차 방식은 보로메오 고리와는 다르다.
특히 기독교 문화권에서는 이 디자인을 삼위일체의 상징으로 사용하기도 했다. 삼위일체 안에서의 단결을 묘사하기 위해 보로메오 고리를 그린 13세기 프랑스 필사본이 있었으나, 1940년대 화재로 소실되었고 1843년 아돌프 나폴레옹 디드론의 책에 복제된 그림으로 남아있다. 디드론 등은 단테 알리기에리가 ''천국'' 편에서 삼위일체를 세 개의 동일한 원으로 묘사한 것이 이러한 이미지에서 영감을 받았을 수 있다고 추측했지만, 단테는 원들의 구체적인 배열 방식까지 설명하지는 않았다.
정신분석학자 자크 라캉은 보로메오 고리에서 영감을 받아 인간 주관성을 설명하는 위상학적 모델을 제시했다. 그는 각 고리가 현실의 기본적인 세 요소, 즉 "현실계", "상상계", "상징계"를 나타낸다고 보았다.
상업적으로는 발렌타인 맥주의 로고로 사용되었으며, 현재 브랜드 소유주인 파브스트 양조 회사에서 유통하는 발렌타인 브랜드 맥주에서도 여전히 사용되고 있다. 이 때문에 때때로 "발렌타인 고리"라고 불리기도 한다.
몽키 피스트 매듭은 본질적으로 보로메오 고리의 3차원적 표현으로 간주되며, 대부분 세 겹으로 이루어져 있다. 조각가 존 로빈슨은 세 개의 정삼각형을 얇은 금속판으로 만들어 보로메오 고리 형태를 이루는 예술 작품을 제작했는데, 이는 발크누트의 3차원 버전과 유사하다. 또한, 접는 나무 삼각대의 일반적인 디자인 중 하나는 나무 한 조각에서 조각된 세 개의 조각으로 구성되는데, 각 조각의 구멍을 통해 다른 조각이 통과하며 세 조각이 보로메오 고리 패턴으로 연결되는 구조를 가진다. 이러한 형태의 삼각대는 인도 또는 아프리카의 수공예품에서 유래한 것으로 알려져 있다.
7. 추가 정보
(내용 없음)
7. 1. 변형 및 확장
매듭 이론에서는 보로메오 고리의 고리 개수를 늘려 확장할 수 있는데, 이를 다중 보로메오 고리(multiple Borromean rings)라고 부른다. 일부 매듭 이론적 링크는 여러 개의 보로메오 고리 구성을 포함하기도 한다.특히 5개의 고리로 이루어진 다중 보로메오 고리는 디스코디안주의의 상징으로 사용되기도 하는데, 이는 ''프린키피아 디스코르디아''에 그려진 묘사에 기반한다.
7. 2. 미해결 문제
모두 원이 아닌 세 개의 풀린 곡선이 보로메오 고리를 형성할 수 없는 경우가 있는지 여부는 아직 해결되지 않은 문제이다.더 일반적으로, Matthew Cook은 모두 원이 아닌 공간의 세 개의 풀린 단순 폐곡선이 스케일링 없이 결합되어 보로메오 고리를 형성할 수 있다고 추측했다. Jason Cantarella가 가능한 반례를 제시한 후, Hugh Nelson Howards는 추측을 모두 원이 아닌 세 개의 평면 곡선에 적용하도록 약화시켰다. 반면에, 세 개의 고리를 가진 브루니안 고리가 무한히 많지만, 보로메오 고리는 세 개의 볼록 곡선으로 형성될 수 있는 유일한 고리이다.
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