완전 유계 공간

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
5. 위상 벡터 공간에서의 완전 유계성
6. 콤팩트성과의 관계
7. 한국의 관점
참조

1. 개요

완전 유계 공간은 균등 공간의 일종으로, 다양한 정의와 특징을 갖는다. 균등 공간 $(X,\mathcal E)$가 완전 유계 공간이 되기 위한 조건으로, 임의의 측근 $E$에 대해 유한 덮개가 존재하거나, 완비화가 콤팩트 공간이거나, 모든 필터가 코시 부분 필터를 갖는 것 등이 있다. 거리 공간에서는 주어진 양의 실수 $\epsilon$에 대해 반지름이 $\epsilon$인 열린 공으로 덮을 수 있는 유한 덮개가 존재하거나, 모든 점렬이 코시 부분 점렬을 갖는 것과 동치이다. 완전 유계성은 유계성을 포함하지만, 이산 거리 공간과 같은 경우처럼 유계성이 완전 유계성을 함축하지는 않는다. 위상군과 위상 벡터 공간에서도 정의되며, 콤팩트 공간과 밀접한 관련이 있다. 특히, 콤팩트 공간은 완전 유계 공간이면서 완비 공간이다.

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완전 유계 공간
정의
정의	모든 ε > 0에 대해, 거리 공간 (X, d)의 부분 집합이 주어지면, X의 유한한 부분 집합 {x₁, ..., xₙ}이 존재하여 X의 모든 점 x에 대해 d(x, xᵢ) < ε인 xᵢ가 {x₁, ..., xₙ}에 존재하면, 해당 부분 집합은 전유계(totally bounded)라고 한다.
성질
완비 거리 공간	거리 공간 X가 완비 거리 공간일 필요충분조건은 X가 전유계이고 완비적인 것이다.
콤팩트 공간	거리 공간의 경우, 콤팩트 공간일 필요충분조건은 전유계이고 완비적인 것이다.
상대적 콤팩트 공간	거리 공간 X의 부분 집합이 상대적으로 콤팩트(즉, 폐쇄가 콤팩트)일 필요충분조건은 전유계인 것이다.
유계	전유계 공간은 항상 유계 공간이다. 그러나 유계 공간이라고 해서 항상 전유계인 것은 아니다.
예시
유클리드 공간	유클리드 공간 ℝⁿ의 유계 부분 집합은 전유계이다.
함수 공간	함수 공간 C([a, b]) (구간 [a, b]에서 정의된 연속 함수들의 공간)에 균등 수렴 위상을 부여하면, 아르젤라-아스콜리 정리(Arzelà–Ascoli theorem)에 따라 이 공간의 유계 부분 집합이 전유계일 필요충분조건은 동등연속(equicontinuous)인 것이다.

2. 정의

균등 공간 $(X,\mathcal E)$에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 균등 공간을 '''완전 유계 공간'''이라고 한다.

임의의 측근 $E\in\mathcal E$에 대하여, $X_1^2,X_2^2,\dots,X_n^2\subseteq E$인 유한 덮개 $X_1,X_2,\dots,X_n\subseteq X$, $\textstyle\bigcup_{i=1}^nX_i=X$가 존재한다.
$(X,\mathcal E)$의 완비화는 콤팩트 공간이다.
$X$ 위의 모든 필터는 코시 부분 필터를 갖는다.
$X$ 위의 모든 극대 필터는 코시 필터이다.

완전 유계성은 유한 덮개의 각 원소가 비슷한 크기를 갖도록 하기 위해 거리 공간의 정의에 나타나며, 이는 균등 구조로 약화될 수 있다. 균등 공간의 부분 집합이 완전 유계가 되는 필요충분 조건은 모든 근방에 대해, 부분 집합을 덮는 유한 덮개가 존재하고, 각 부분 집합의 데카르트 곱이 근방의 부분 집합이 되는 것이다.

이 정의는 콤팩트 공간과 코시 완비성의 개념을 가진 공간의 모든 범주로 더 확장될 수 있다. 즉, 공간이 완전 유계가 되는 필요충분 조건은 그 (코시) 완비화가 콤팩트 공간이 되는 것이다.

거리 공간은 자연스럽게 균등 공간 구조를 갖는다. 거리 공간

(X,d)

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

완전 유계 공간이다. 즉, 임의의 양의 실수 $\epsilon>0$ 에 대하여, 반지름이 $\epsilon$ 인 열린 공들로 구성된 유한 $X$ -덮개가 존재한다.
$X$ 의 모든 점렬은 코시 부분 점렬을 갖는다.

A unit square can be covered by finitely many discs of radius ε < 1/2, 1/3, 1/4 — [0, 1]²는 모든 ''ε'' > 0에 대해 단위 정사각형을 반경 ''ε''인 유한 개의 열린 원반으로 덮을 수 있기 때문에 완전 유계 공간입니다.

즉, (코시) 필터 대신 (코시) 점렬을 사용할 수 있다.

거리 공간

(M,d)

는 모든 실수

\varepsilon > 0

에 대해, 중심이 ''M''에 있고 합집합이 을 포함하는 반경

\varepsilon

인 열린 공의 유한한 모음이 존재할 때 '''''완전 유계'''''이다. 이는 유한한 ε-망의 존재와 동치이다.

각 완전 유계 공간은 유계이다. 반대는 유클리드 공간의 부분 집합(부분 공간 위상)에 대해서는 성립하지만, 일반적으로는 그렇지 않다. 예를 들어, 이산 거리를 갖춘 무한 집합은 유계이지만 완전 유계는 아니다.

위상군

X

의 부분 집합

S

가 완전 유계(totally bounded)라는 것은, 항등원의 모든 근방

U

에 대해, 유한개의 원소에 의한

U

의 평행 이동으로

S

를 덮을 수 있다는 것을 의미한다. 이는 다음의 동치 조건들로 정의될 수 있다:

항등원 $0$ 의 모든 근방 $U$ 에 대해, $S \subseteq \bigcup_{j=1}^n \left(x_j + U\right)$ 를 만족하는 유한 개의 $x_1, \ldots, x_n \in X$ 가 존재한다.
$0$ 의 모든 근방 $U$ 에 대해, $S \subseteq F + U$ 를 만족하는 유한 부분 집합 $F \subseteq X$ 가 존재한다. 여기서 우변은 민코프스키 합 $F + U := \{ f + u : f \in F, u \in U \}$ 이다.
$0$ 의 모든 근방 $U$ 에 대해, $S \subseteq B_1 \cup \cdots \cup B_n$ 이고 각 $B_j$ 가 $U$ -작은 유한 개의 부분 집합 $B_1, \ldots, B_n$ 이 존재한다.
항등원의 근방 필터 $\mathcal{N}$ 의 주어진 필터 부분 기저 $\mathcal{B}$ 에 대해, 모든 $B \in \mathcal{B}$ 에 대해, $S$ 의 유한 개의 $B$ -작은 부분 집합으로의 덮개가 존재한다.
$S$ 는 '''코시 유계'''이다: 항등원의 모든 근방 $U$ 와 $S$ 의 모든 가산 무한 부분 집합 $I$ 에 대해, $x - y \in U$ 를 만족하는 서로 다른 $x, y \in I$ 가 존재한다. $S$ 가 유한하면 이 조건은 공허하게 만족된다.

S \subseteq X

가

(- S) + S \subseteq U

인 경우

S

는 ('''왼쪽''') '''

U

-작음'''이라고 한다.

위의 정의에서 곱셈의 순서를 바꾸면 '''오른쪽 완전 유계'''의 정의를 얻을 수 있다.

하우스도르프 위상 벡터 공간의 맥락에서 '''사전 콤팩트'''라는 용어가 사용되기도 한다. 이 경우,

X

의 완비화

\widehat{X}

에서

S

의 폐포

\operatorname{cl}_{\widehat{X}} S

가 콤팩트이면

S

는 완전 유계이다.

2. 1. 균등 공간을 통한 정의

균등 공간 $(X,\mathcal E)$에 대하여 다음 조건들은 서로 동치하며, 이를 만족시키는 균등 공간을 '''완전 유계 공간'''이라고 한다.^[8]

임의의 측근 $E\in\mathcal E$에 대하여, $X_1^2,X_2^2,\dots,X_n^2\subseteq E$인 유한 덮개 $X_1,X_2,\dots,X_n\subseteq X$, $\textstyle\bigcup_{i=1}^nX_i=X$가 존재한다.
$(X,\mathcal E)$의 완비화는 콤팩트 공간이다.
$X$ 위의 모든 필터는 코시 부분 필터를 갖는다.
$X$ 위의 모든 극대 필터는 코시 필터이다.

(이 조건들이 동치임을 보이는 것은 선택 공리를 필요로 한다.)

완전 유계성은 유한 덮개의 각 원소가 비슷한 크기를 갖도록 하기 위해 거리 공간의 정의에 나타나며, 이는 균등 구조로 약화될 수 있다. 균등 공간의 부분 집합이 완전 유계가 되는 필요충분 조건은 모든 근방에 대해, 부분 집합을 덮는 유한 덮개가 존재하고, 각 부분 집합의 데카르트 곱이 근방의 부분 집합이 되는 것이다.^[2]

이 정의는 콤팩트 공간과 코시 완비성의 개념을 가진 공간의 모든 범주로 더 확장될 수 있다. 즉, 공간이 완전 유계가 되는 필요충분 조건은 그 (코시) 완비화가 콤팩트 공간이 되는 것이다.

2. 2. 거리 공간을 통한 정의

거리 공간은 자연스럽게 균등 공간 구조를 갖는다.^[10] 거리 공간

(X,d)

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[10]

완전 유계 공간이다. 즉, 임의의 양의 실수 $\epsilon>0$ 에 대하여, 반지름이 $\epsilon$ 인 열린 공들로 구성된 유한 $X$ -덮개가 존재한다.
$X$ 의 모든 점렬은 코시 부분 점렬을 갖는다.

즉, (코시) 필터 대신 (코시) 점렬을 사용할 수 있다.

거리 공간

(M,d)

는 모든 실수

\varepsilon > 0

에 대해, 중심이 ''M''에 있고 합집합이 을 포함하는 반경

\varepsilon

인 열린 공의 유한한 모음이 존재할 때 '''''완전 유계'''''이다.^[1] 이는 유한한 ε-망의 존재와 동치이다.^[1]

각 완전 유계 공간은 유계이다. 반대는 유클리드 공간의 부분 집합(부분 공간 위상)에 대해서는 성립하지만, 일반적으로는 그렇지 않다.^[6] 예를 들어, 이산 거리를 갖춘 무한 집합은 유계이지만 완전 유계는 아니다.^[6]

2. 3. 위상군을 통한 정의

위상군

X

의 부분 집합

S

가 완전 유계(totally bounded)라는 것은, 항등원의 모든 근방

U

에 대해, 유한개의 원소에 의한

U

의 평행 이동으로

S

를 덮을 수 있다는 것을 의미한다. 이는 다음의 동치 조건들로 정의될 수 있다:

항등원 $0$ 의 모든 근방 $U$ 에 대해, $S \subseteq \bigcup_{j=1}^n \left(x_j + U\right)$ 를 만족하는 유한 개의 $x_1, \ldots, x_n \in X$ 가 존재한다.
$0$ 의 모든 근방 $U$ 에 대해, $S \subseteq F + U$ 를 만족하는 유한 부분 집합 $F \subseteq X$ 가 존재한다. 여기서 우변은 민코프스키 합 $F + U := \{ f + u : f \in F, u \in U \}$ 이다.
$0$ 의 모든 근방 $U$ 에 대해, $S \subseteq B_1 \cup \cdots \cup B_n$ 이고 각 $B_j$ 가 $U$ -작은 유한 개의 부분 집합 $B_1, \ldots, B_n$ 이 존재한다.
항등원의 근방 필터 $\mathcal{N}$ 의 주어진 필터 부분 기저 $\mathcal{B}$ 에 대해, 모든 $B \in \mathcal{B}$ 에 대해, $S$ 의 유한 개의 $B$ -작은 부분 집합으로의 덮개가 존재한다.
$S$ 는 '''코시 유계'''이다: 항등원의 모든 근방 $U$ 와 $S$ 의 모든 가산 무한 부분 집합 $I$ 에 대해, $x - y \in U$ 를 만족하는 서로 다른 $x, y \in I$ 가 존재한다. $S$ 가 유한하면 이 조건은 공허하게 만족된다.

S \subseteq X

가

(- S) + S \subseteq U

인 경우

S

는 ('''왼쪽''') '''

U

-작음'''이라고 한다.

위의 정의에서 곱셈의 순서를 바꾸면 '''오른쪽 완전 유계'''의 정의를 얻을 수 있다.

하우스도르프 위상 벡터 공간의 맥락에서 '''사전 콤팩트'''라는 용어가 사용되기도 한다. 이 경우,

X

의 완비화

\widehat{X}

에서

S

의 폐포

\operatorname{cl}_{\widehat{X}} S

가 콤팩트이면

S

는 완전 유계이다.

3. 성질

완전 유계성은 완비화에 대하여 불변이다. 즉, 임의의 균등 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[9]

완전 유계 공간이다.
완비화는 완전 유계 공간이다.

균등 공간에 대한 '''하이네-보렐 정리'''에 따르면, 임의의 균등 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[9]

콤팩트 공간이다.
완비 균등 공간이자 완전 유계 공간이다.

거리 공간에서 집합이 콤팩트하다는 것은 완비이고 전유계인 것과 필요충분조건이다.^[3] 선택 공리가 없으면 정방향만 성립한다. 전콤팩트 집합은 콤팩트 집합과 여러 성질을 공유한다.

콤팩트 집합과 마찬가지로, 전유계 집합의 유한 합집합은 전유계이다.
콤팩트 집합과 달리, 전유계 집합의 모든 부분 집합은 다시 전유계이다.
콤팩트 집합의 연속적인 상은 콤팩트하다. 균등하게 연속적인 전콤팩트 집합의 상은 전콤팩트하다.

모든 콤팩트 거리 공간은 전유계이다.

균등 공간이 콤팩트이기 위한 필요충분 조건은, 그것이 전유계이고, 코시 완비인 것이다. 이는 유클리드 공간에서 임의의 공간으로의 하이네-보렐의 덮개 정리의 일반화로 간주된다. 그 경우, 유계성을 전유계성으로 (그리고 폐성을 완비성으로) 대체할 필요가 있다.

전유계성과 코시 완비화 사이에는 상호 보완적인 관계가 있다. 즉, 어떤 균등 공간이 전유계이기 위한 필요충분 조건은, 그 코시 완비화가 전유계인 것이다 (이는, 유클리드 공간에서 어떤 집합이 유계인 것과, 그 폐포가 유계인 것은 동치라는 사실에 대응한다).

이러한 정리를 조합하여, 어떤 균등 공간이 전유계이기 위한 필요충분 조건은, 그 완비화가 콤팩트라는 것을 알 수 있다. 이는 전유계성의 대체적인 정의가 된다. 또는, 전유계성과는 다른 정의가 사용되지만, 프리콤팩트성의 정의로 여겨지기도 한다. 그러면, 어떤 공간이 전유계이기 위한 필요충분 조건은, 그것이 프리콤팩트라는 정리, 즉 선택 공리가 없는 경우에 유용하다.

4. 예시

유클리드 공간의 부분 집합에 대하여, 유계 공간인 것과 완전 유계 공간인 것은 서로 동치이다.^[3] 실수선의 부분 집합, 또는 더 일반적으로 유한 차원 유클리드 공간의 부분 집합은 유계일 때만 완전 유계이다.^[3] 이는 아르키메데스 성질로부터 따른다.

임의의 바나흐 공간의 단위 초구는 유계 공간이다. 그러나 단위 초구가 완전 유계 공간인 것은 유한 차원 바나흐 공간일때 뿐이다. 힐베르트 공간의 단위 구 또는 더 일반적으로 바나흐 공간의 단위 구는 (노름 위상에서) 공간이 유한한 차원을 가질 때만 완전 유계이다.

모든 (유한 또는 무한) 이산 거리 공간은 유계 공간이다. 그러나 이산 거리 공간이 완전 유계 공간인 것은 유한 집합일 경우 뿐이다. 이산 거리 (임의의 서로 다른 점 사이의 거리는 1)를 갖는 무한 거리 공간은, 유계이지만, 전유계는 아니다.^[7]

모든 콤팩트 집합은 개념이 정의될 때마다 완전 유계이다. 모든 완전 유계 집합은 유계이다.

5. 위상 벡터 공간에서의 완전 유계성

모든 토폴로지적 벡터 공간은 덧셈에 대해 아벨 위상군이므로, 위상군에서의 완전 유계성 정의를 적용할 수 있다. 이 정의는 1935년 존 폰 노이만(John von Neumann)의 논문에서 유래되었다.^[4]

국소 볼록 공간에서 약한 토폴로지를 부여했을 때, 완전 유계 집합은 유계 집합과 같다.

가분 바나흐 공간에서, 완전 유계 집합은 약수렴 함수열의 균등 수렴으로 특징지을 수 있다.^[5] 즉, $X$ 가 가분 바나흐 공간이면, $S \subseteq X$ 에서 모든 약하게 수렴하는 함수열이 $S$ 에서 균등하게 수렴할 때, 그리고 그 때만 $S$ 는 완전 유계 집합이다.

위상 벡터 공간의 완전 유계 부분 집합의 평형 덮개는 다시 완전 유계이다.
두 개의 콤팩트 집합(완전 유계)의 민코프스키 합은 콤팩트(각각 완전 유계)이다.
국소 볼록 (하우스도르프) 공간에서, 완전 유계 집합 $K$ 의 볼록 덮개와 디스크 덮개는 $K$ 가 완비일 때에만 완전 유계이다.

6. 콤팩트성과의 관계

모든 콤팩트 거리 공간은 완전 유계이다.^[3] 균등 공간이 콤팩트이기 위한 필요충분 조건은 완비 균등 공간이자 완전 유계 공간인 것이다.^[9] 이는 하이네-보렐 정리의 일반화로, 유클리드 공간에서의 유계성을 완전 유계성으로, 폐성을 완비성으로 대체하여 일반적인 공간으로 확장한 것이다.

완전 유계 공간의 완비화는 콤팩트 공간이다. 이는 완전 유계성의 대체적인 정의로 사용될 수 있으며, 선택 공리가 없는 경우에 특히 유용하다. 선택 공리가 없는 경우, 모든 준콤팩트 공간은 완전 유계이지만, 그 역은 성립하지 않을 수 있다.^[3]

7. 한국의 관점

참조

_[1] 웹사이트 Cauchy sequences, completeness, and a third formulation of compactness https://people.math.[...]
_[2] 서적 General topology http://hdl.handle.ne[...] Addison-Wesley
_[3] 서적 Elements of the theory of functions and functional analysis, http://hdl.handle.ne[...] Graylock Press
_[4] 논문 On Complete Topological Spaces https://www.jstor.or[...] 1935
_[5] 논문 On Linear Transformations 1940
_[6] 문서 Sutherland p.139
_[7] 문서 Willard, p. 182
_[8] 저널 Sur les espaces uniformes précompacts http://purl.pt/2240/[...] 2016-06-13
_[9] 저널 A totally bounded, complete uniform space is compact
_[10] 서적 Topology http://www.pearsonhi[...]

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