유니터리 표현

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 제1 페터-바일 정리
- 3.2. 제2 페터-바일 정리
4. 조화 해석과의 관계
5. 유니터리화 가능성과 유니터리 쌍대 문제
6. 역사
참조

1. 개요

유니터리 표현은 위상군 G에 대한 복소수 힐베르트 공간 V와 군 준동형 π: G → U(V)로 정의되며, π는 연속 함수여야 한다. 두 유니터리 표현 사이의 유니터리 얽힘 연산자는 유니터리 작용소 T로, Tπ(g) = π'(g)T를 만족하며, 이러한 표현은 유니터리 동치라고 한다. 유니터리 표현은 완전 가약적이며, 유한군 및 콤팩트 군의 유니터리화 가능한 표현을 고려하는 것이 자연스럽다. 콤팩트 위상군의 경우, 제1 페터-바일 정리에 따라 기약 유니터리 표현의 행렬 성분은 정규 직교 기저를 이루고, 제2 페터-바일 정리에 의해 유한 차원 기약 유니터리 표현의 직합으로 분해될 수 있다. 유니터리 표현 이론은 조화 해석학과 밀접하게 관련되어 있으며, 유니터리 쌍대 문제는 미해결 문제로 남아있다. 페터-바일 정리는 1927년에 증명되었으며, 유니터리 쌍대 문제는 20세기 중반부터 활발히 연구되었다.

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유니터리 표현

2. 정의

위상군 $G$ 의 '''유니터리 표현'''은 복소수 힐베르트 공간 $V$ 와 군 준동형 $\pi\colon G\to\operatorname U(V)$ 으로 구성된다. 여기서 $\pi$ 는 연속 함수이며, $\operatorname U(V)$ 에는 작용소 노름 거리 위상이 부여된다.

같은 위상군 $G$ 의 두 유니터리 표현 $(\pi,V)$ , $(\pi',V')$ 사이의 '''유니터리 얽힘 연산자'''(unitary intertwining operator^영어)는 다음 조건을 만족시키는 유니터리 작용소 $T\colon V\to V'$ 이다.

: $T\pi(g)=\pi'(g)T\qquad\forall g\in G$

두 유니터리 표현 사이에 유니터리 얽힘 연산자가 존재하면, 서로 '''유니터리 동치'''(unitarily equivalent^영어)라고 한다.

$G$ 가 위상군일 때, 힐베르트 공간 $H$ 에 대한 $G$ 의 '''강하게 연속적인 유니터리 표현'''은 $G$ 에서 $H$ 의 유니터리 군으로의 군 준동형사상이다.

: $\pi: G \rightarrow \operatorname{U}(H)$

이때, 모든 $\xi \in H$ 에 대해 $g \rightarrow \pi(g) \xi$ 가 노름 연속 함수여야 한다.

3. 성질

위상군 $G$ 의 유니터리 표현 $\pi\colon G\to\operatorname U(V)$ 이 주어졌다고 하자. $W\le V$ 가 $G$ 의 작용에 대하여 불변인 부분 복소수 벡터 공간이면, $\operatorname{cl}(W)$ 와 $W^\perp=\{v\in V\colon\langle w|v\rangle=0\}$ 역시 닫힌 불변 부분 공간이며, 다음이 성립한다.

: $\pi=\pi_{\operatorname{cl}(W)}\oplus\pi_{W^\perp}$

$W^\perp$ 가 불변 공간임을 보이려면, 임의의 $g\in G$ 및 $v\in W^\perp$ 및 $w\in W$ 에 대하여,

: $\langle w|\pi(g)|v\rangle=0$

임을 보이면 된다. 유니터리 표현의 정의에 의하여

: $\langle w|\pi(g)|v\rangle=\langle\pi(g^{-1})w|v\rangle=0$

이다. 특히, $\operatorname{cl}(W)=W^{\perp\perp}$ 역시 닫힌 불변 부분 공간이다. 이에 따라

: $V=\operatorname{cl}(W)\oplus W^\perp$

이다.

유니터리 표현은 완전 가약이다. 즉, 임의의 닫힌 불변 부분 공간에 대해, 직교 여공간은 다시 닫힌 불변 부분 공간이다.^[5] 예를 들어, 유한 차원 유니터리 표현은 대수적인 의미에서 반드시 기약 표현의 직합이다.

유니터리 표현은 일반적인 경우보다 다루기가 훨씬 쉽기 때문에, '''유니터리화 가능한 표현''', 즉 적절한 복소 힐베르트 공간 구조의 도입을 통해 유니터리가 되는 표현을 생각하는 것은 자연스럽다. 이는 임의의 에르미트 구조에 대해 평균을 취하는 논의를 통해, representations of a finite group|유한군의 표현^영어이나 더 일반적으로 콤팩트 군에 대해 매우 잘 적용된다. 예를 들어, 마슈케의 정리의 자연스러운 증명은 이 기법으로 이루어진다.

3. 1. 제1 페터-바일 정리

콤팩트 위상군

G

위의 르베그 공간

L^2(G;\mathbb C)

를 생각하자. 여기서 제곱 적분 가능이란 하르 측도에 따른 것이며, 편의상

\operatorname{vol}(G)=1

로 규격화한다.

G

의 임의의 유한 차원 유니터리 기약 표현

r\colon G\to\operatorname U(V_r)

에 대하여,

V_r

에 임의의 기저를 잡아 행렬 성분들

r_{ij}\colon G\to\mathbb C

(

i,j=1,\dots,\dim_{\mathbb C} V_r)

)을 정의할 수 있다. '''페터-바일 정리'''(Peter–Weyl theorem^영어)에 따르면, 함수들

:

\sqrt{\dim_{\mathbb C}V_r}r_{ij}\colon G\to\mathbb C

은

L^2(G;\mathbb C)

의 정규 직교 기저를 이룬다.

3. 2. 제2 페터-바일 정리

임의의 콤팩트 위상군

G

의 유니터리 표현

(\pi,V)

에 대하여, 유한 차원 기약 유니터리 표현들의 족

(\pi_i,V_i)_{i\in I}

이 존재하여 다음이 성립한다.

::

\pi=\widehat\bigoplus\pi_i

::

V=\widehat\bigoplus V_i

여기서

\widehat\bigoplus

는 힐베르트 공간의 직합, 즉 (대수적) 직합의 완비화이다.^[5]

4. 조화 해석과의 관계

위상군의 유니터리 표현 이론은 조화 해석학과 밀접하게 관련되어 있다. 아벨 군 ''G''의 경우, ''G''의 표현 이론은 폰트랴긴 쌍대성에 의해 설명된다. 일반적으로, ''G''의 기약 유니터리 표현의 유니터리 동치류(정의 참조)는 '''유니터리 쌍대'''를 구성한다. 이 집합은 그룹 C*-대수 구성을 통해 ''G''와 관련된 그룹 C*-대수의 스펙트럼과 동일시될 수 있다. 이것은 위상 공간이다.

플랑셰렐 정리는 유니터리 쌍대 위의 측도를 사용하여 ''L''²(''G'')에서의 ''G''의 정규 표현을 설명한다. ''G''가 아벨 군인 경우, 폰트랴긴 쌍대성 이론에 의해 설명된다. ''G''가 콤팩트인 경우, 페터-바일 정리에 의해 수행된다. 이 경우, 유니터리 쌍대는 이산 공간이며, 측도는 각 점에 차수와 같은 질량을 할당한다.

5. 유니터리화 가능성과 유니터리 쌍대 문제

비콤팩트 군의 경우, 어떤 표현이 유니터리화 가능한지 판별하는 것은 중요한 문제이다. 유니터리 쌍대 문제는 모든 실수 환원 리 군의 기약 유니터리 표현을 분류하는 문제이다. 이는 수학에서 중요한 미해결 문제 중 하나이며, 일부 환원 리 군 (예: SL2(R)의 표현론, 로렌츠 군의 표현론)에 대해서는 해결되었다.

모든 기약 유니터리 표현은 가인 표현이며(정확히는 그들의 하리쉬-찬드라 모듈이), 가인 표현은 랑글란즈 분류에 의해 주어지며, 그중 어떤 것이 비자명한 불변 세스퀴선형 형식을 갖는지 아는 것은 쉽다. 문제는 이 이차 형식이 일반적으로 양의 정부호일 때를 알아내는 것이 어렵다는 것이다.

6. 역사

헤르만 바일과 그의 학생 프리츠 페터(Fritz Peter^de)는 1927년에 페터-바일 정리를 증명하였다.^[9]

참조

_[1] 서적 Warner 1972
_[2] 서적 Reed and Simon 1975
_[3] 서적 Fundamentals of Mathematical Analysis https://books.google[...] American Mathematical Society 2013
_[4] 서적 Proposition 4.8 2015
_[5] 서적 Section 4.4 2015
_[6] 서적 Warner 1972
_[7] 서적 Reed and Simon 1975
_[8] 서적 Fundamentals of Mathematical Analysis https://books.google[...]
_[9] 저널 Die Vollständigkeit der primitiven Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe https://archive.org/[...] 1927

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