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자이베르그-위튼 불변량

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목차

1. 개요

자이베르그-위튼 불변량은 4차원 매끄러운 다양체의 스핀c 구조에서 정수(Z)로의 사상이다. 에드워드 위튼에 의해 도입되었으며, 자이베르그-위튼 방정식의 해인 모노폴의 모듈라이 공간을 사용하여 정의된다. 모듈라이 공간이 0차원일 경우, 불변량의 값은 모듈라이 공간의 원소 개수를 부호를 포함하여 계산한 값이다. 자이베르그-위튼 불변량은 다양체의 위상 불변량으로, 다양체의 스핀c 구조에 따라 값이 달라지며, 단순형 다양체의 경우 모듈라이 공간이 유한 차원을 갖는다.

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자이베르그-위튼 불변량
기본 정보
분야수학, 물리학
유형4차원 다양체 불변량
발견자나탄 자이베르그, 에드워드 위튼
발견 시기1994년
관련 주제
관련 주제게이지 이론
4차원 다양체
도널드슨 불변량
끈 이론

2. 정의

4차원 콤팩트 매끄러운 다양체 M 위에 스핀C 구조 s가 주어졌다고 가정한다.

2. 1. 수학적 정의

M 위의 스핀C 구조 s에 대한 스피너 벡터다발 W=W^+\oplus W^-을 정의한다. W^\pm은 각각 M 위의 복소수 2차원 벡터다발이다. \psi_\alpha가 W^+의 단면이고, A_\mu가 M의 표준 선다발 위의 접속이라고 하자. 그렇다면, '''자이베르그-위튼 방정식'''은 \phi 및 A에 대한 비선형 연립 편미분 방정식이며, 다음과 같다.

:D_\mu\sigma^\mu_{\alpha\dot\beta}\psi_\alpha=0

:F^+_{\mu\nu}=

(\bar\psi\sigma_\mu\sigma_\nu\psi)^+

여기서 D_\mu=\partial+iA_\mu는 A에 의한 공변 미분이며, F^+_{\mu\nu}는 A_\mu의 장세기

:F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu

의 자기 쌍대 성분이며, \sigma_\mu는 파울리 행렬이다.

자이베르그-위튼 방정식의 해는 '''자기 홀극'''이라고 하며, 방정식 해의 모듈라이 공간의, 게이지 군의 작용에 대한 몫공간을 '''자기 홀극 모듈러스 공간'''(monopole moduli space영어)이라고 한다.

매끄럽고 콤팩트한 4차원 다양체 ''M''을 고정하고, ''M'' 위의 spin''c'' 구조 ''s''를 선택하며, ''W''+, ''W''−로 부수적인 spinor bundle|스피너 번들영어을 나타내고, ''L''로 행렬식 라인 번들을 나타낸다고 가정한다. φ로 자기 수반 스피너 장( ''W''+의 단면)을 나타내고, ''A''로 ''L''의 U(1) 접속을 나타낸다고 가정한다.

(φ,''A'')에 대한 자이베르그-위튼 방정식은 다음과 같다.

:D^A\phi=0

:F^+_A=\sigma(\phi) + i\omega

여기서, ''D''''A''는 ''A''의 Dirac operator|디랙 연산자영어, ''F''''A''는 ''A''의 곡률 2-형식, ''F''''A''+는 그 자기 쌍대 부분, σ는 ''W''+에서 허수 자기 쌍대 2-형식으로의 제곱 사상(squaring map), \omega는 실수 자기 쌍대 2-형식으로, 0이 되거나 조화적이라고 할 수 있다.

자이베르그-위튼 방정식의 해 (φ,''A'')는, 이들 방정식이 다양체 ''M'' 위의 질량이 없는 자기 모노폴의 장 방정식(field equation)이므로, '''모노폴'''이라고 불린다.

2. 2. 물리학적 정의

SU(2)left×SU(2)right×SU(2)R×U(1)R뒤튼 뒤 군 표현
SU(2)left×SU(2)right×U(1)R뒤튼 뒤 설명M^*−1반스페르미온(0, 0, ½)0(0,½)0\bar M_{\dot\alpha}N_\alpha+1페르미온(½, 0, 0)−1(½,0)−1N_\alpha\bar N_{\dot\alpha}−1반페르미온(0, ½, 0)+1(0,½)+1\bar N_{\dot\alpha}



이 경우 (\bar M_{\dot\alpha},\bar N_{\dot\alpha})는 Q의 다중항을 이룬다. N은 방정식 DM=0에 대응한다.

3. Spinc 구조

Spinc 군(4차원)은 다음과 같이 정의된다.

:(U(1) \times \mathrm{Spin}(4))/(\Z/2\Z).

여기서 \Z/2\Z는 두 인자에 부호로 작용한다. 이 군은 SO(4) = Spin(4)/±1로 자연스러운 준동형 사상을 갖는다.

콤팩트한 유향 4차원 다양체에 리만 계량과 레비-치비타 접속을 선택하면, 구조군을 연결 성분 GL(4)+에서 SO(4)로 축소할 수 있다. 이는 호모토피 관점에서 무해하다. ''M''에 대한 Spin''c''-구조 또는 복소 스핀 구조는 구조군을 Spin''c''로 축소하는 것, 즉 접선 다발에 대한 SO(4) 구조를 군 Spin''c''로 올리는 것이다. 히르체브루흐와 호프의 정리에 따르면, 모든 매끄러운 유향 콤팩트 4차원 다양체 M은 Spin''c'' 구조를 갖는다.[1]

Spin''c'' 구조의 존재는 두 번째 슈티펠–휘트니 특성류 w_2(M) \in H^2(M,\Z/2\Z)를 클래스 K \in H^2(M, \Z).로 올리는 것의 존재와 동치이다. 반대로, 이러한 올림은 H^2(M,\Z).에서 2차 비틀림까지 Spin''c'' 구조를 결정한다. 스핀 구조는 더 제한적인 조건인 w_2(M) = 0.을 필요로 한다.

Spinc 구조는 U(1)이 곱셈으로 작용하는 Spin(4)의 2차원 복소수 양 및 음 스피너 표현에서 나오는 스피너 다발 W = W^+ \oplus W^-을 결정하며, 이에 의해 결정되기도 한다. 여기서 K = c_1(W^+) = c_1(W^-)이다.

4. 자이베르그-위튼 방정식

M 위의 스핀C 구조 s에 대한 스피너 벡터다발

:W=W^+\oplus W^-

을 정의한다. W^\pm은 각각 M 위의 복소수 2차원 벡터다발이다. \psi_\alpha가 W^+의 단면이라고 하고, A_\mu가 M의 표준 선다발 위의 접속이라고 하면, '''자이베르그-위튼 방정식'''은 \phi 및 A에 대한 비선형 연립 편미분 방정식이며, 다음과 같다.

:D_\mu\sigma^\mu_{\alpha\dot\beta}\psi_\alpha=0

:F^+_{\mu\nu}=

(\bar\psi\sigma_\mu\sigma_\nu\psi)^+

여기서 D_\mu=\partial+iA_\mu는 A에 의한 공변 미분이며, F^+_{\mu\nu}는 A_\mu의 장세기

:F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu

의 자기 쌍대 성분이며, \sigma_\mu는 파울리 행렬이다.

자이베르그-위튼 방정식의 해는 '''자기 홀극'''이라고 한다.

매끄럽고 콤팩트한 4차원 다양체 ''M''을 고정하고, ''M'' 위의 spin''c'' 구조 ''s''를 선택하며, ''W''+, ''W''−로 부수적인 spinor bundle|스피너 번들영어을 나타내고, ''L''로 행렬식 라인 번들을 나타낸다고 가정한다. φ로 자기 수반 스피너 장(''W''+의 단면)을 나타내고, ''A''로 ''L''의 U(1) 접속을 나타낸다고 가정한다.

(φ,''A'')에 대한 자이베르그-위튼 방정식은 다음과 같다.

:D^A\phi=0

:F^+_A=\sigma(\phi) + i\omega

여기서, ''D''''A''는 ''A''의 Dirac operator|디랙 연산자영어이고, ''F''''A''는 ''A''의 곡률 2-형식, ''F''''A''+는 그 자기 쌍대 부분, σ는 ''W''+에서 허수 자기 쌍대 2-형식으로의 제곱 사상(squaring map)이며, \omega는 실수 자기 쌍대 2-형식으로, 0이 되거나 조화적이라고 할 수 있다.

자이베르그-위튼 방정식의 해 (φ,''A'')는, 이들 방정식이 다양체 ''M'' 위의 질량이 없는 자기 모노폴의 장 방정식이므로, '''모노폴'''이라고 불린다.

바이트젠뵈크 공식을 적용하면

:{\nabla^A}^*\nabla^A \phi = (D^A)^2\phi - (\tfrac12\gamma(F_A^+) + s)\phi

및 항등식

: \Delta_g |\phi|_h^2 = 2h({\nabla^A}^*\nabla^A\phi, \phi) - 2|\nabla^A\phi|_{g\otimes h}

을 얻고, 방정식의 해에 적용하면 다음과 같은 등식을 얻는다.

: \Delta|\phi|^2 + |\nabla^A\phi|^2 + \tfrac14|\phi|^4 = (-s)|\phi|^2 - \tfrac12h(\phi,\gamma(\omega)\phi).

만약 |\phi|^2가 최대라면 \Delta|\phi|^2\ge 0이므로, 이는 어떤 해에 대해서도 sup 노름 \|\phi\|_\infty가 스칼라 곡률 s와 자기 쌍대 형식 \omega에만 의존하는 경계로 ''a priori'' 경계됨을 보여준다.

5. 해의 모듈라이 공간

모듈러스 공간은 보통 다양체이다. 일반적인 계량의 경우, 게이지 고정 후 방정식은 해 공간을 가로질러 잘라내어 매끄러운 다양체를 정의한다. 잔류 U(1) "게이지 고정" 게이지 군 U(1)은 \phi = 0인 해, 즉 기약 불가능한 모노폴을 제외하고 자유롭게 작용한다. 아티야-싱어 지표 정리에 의해 모듈러스 공간은 유한 차원을 가지며, "가상 차원"

:(K^2-2\chi_{\mathrm{top}}(M)-3\operatorname{sign}(M))/4

을 갖는다. 이는 일반적인 계량의 경우 기약 불가능한 것에서 벗어난 실제 차원이며, 가상 차원이 음수이면 모듈러스 공간이 일반적으로 비어 있다는 것을 의미한다.

자기 쌍대 2-형식 \omega에 대해, 기약 가능한 해는 \phi = 0을 가지며, F_0 + d A = i(\alpha + \omega)인 L 위의 접속 \nabla_A = \nabla_0 + A에 의해 결정된다. 여기서 \alpha는 반 자기 쌍대 2-형식이다. 호지 분해에 의해 F_0이 닫혀 있으므로, 주어진 \alpha와 \omega에 대해 A에 대한 이 방정식을 푸는 유일한 방해는 \alpha와 \omega의 조화 성분, 또는 동등하게 곡률 형식의 (드람) 코호몰로지류이다. 즉, [F_0] = F_0^{\mathrm{harm}} = i (\omega^{\mathrm{harm}} + \alpha^{\mathrm{harm}}) \in H^2(M, \R)이다. [\tfrac1{2\pi i} F_0] = K 이므로, 기약 가능한 해를 위한 필요충분 조건은

: \omega^{\mathrm{harm}} \in 2\pi K + \mathcal{H}^- \in H^2(X,\R)

이다. 여기서 \mathcal{H}^-는 조화 반 자기 쌍대 2-형식의 공간이다. 이 조건이 ''충족되지 않아서'' 해가 필연적으로 기약 불가능한 경우, 2-형식 \omega를 K-허용이라고 한다.

b^+ \ge 1인 경우, 모듈러스 공간은 일반적인 계량 및 허용 가능한 \omega에 대해 (비어 있을 수도 있는) 콤팩트 다양체이다. b_+ \ge 2이면 K-허용 2-형식의 공간은 연결되어 있는 반면, b_+ = 1이면 두 개의 연결 성분(챔버)을 갖는다. 모듈러스 공간은 양의 조화 2-형식의 공간과 첫 번째 코호몰로지 위의 배향에서 자연스러운 배향을 부여받을 수 있다.

해에 대한 ''선험적'' 경계는 F^{\mathrm{harm}}에 대한 ''선험적'' 경계를 제공한다. 따라서 (고정된 \omega에 대해) 유한 개의 K \in H^2(M,\Z)가 있으며, 비어 있지 않은 모듈러스 공간을 갖는 유한 개의 Spinc 구조가 있다.

모듈라이 공간은 유한 개의 spin''c'' 구조에 대해 비어 있을 수 있으며, 항상 콤팩트하다.

다양체 ''M''이 '''단순형'''이라는 것은 모듈라이 공간이 모든 ''s''에 대해 유한한 경우를 말한다. '''단순형 추측'''(simple type conjecture)은 ''M''이 단일 연결이고 ''b''2+(''M'') ≥ 2이면, 모듈라이 공간은 유한하다는 추측이다. 이 추측은 심플렉틱 다양체에 대해서는 옳다. ''b''2+(''M'') = 1이면, 임의의 높은 차원의 모듈라이 공간을 갖는 다양체의 예가 존재한다.

6. 자이베르그-위튼 불변량

4차원 다양체 ''M''의 자이베르그-위튼 불변량은 ''b''2+(''M'') ≥ 2일 때, ''M'' 상의 스핀''c'' 구조에서 정수 집합 '''Z'''로의 사상이다. 불변량의 값은 (일반적인 메트릭에 대해) 모듈 공간이 0차원일 때 정의하기 가장 쉽다. 이 경우, 그 값은 부호를 포함하여 계산된 모듈 공간의 원소 개수이다.

자이베르그-위튼 불변량은 ''b''2+(''M'') = 1일 때도 정의할 수 있지만, 이때는 챔버의 선택에 따라 달라진다.

다양체 ''M''의 모듈 공간의 예상 차원이 0이 아닐 때 자이베르그-위튼 불변량이 사라지면, ''M''은 '''단순형'''이라고 한다. '''단순형 추측'''은 ''M''이 단일 연결이고 ''b''2+(''M'') ≥ 2이면 다양체가 단순형이라는 것이다. 이는 심플렉틱 다양체에 대해 성립한다.

다양체 ''M''이 양의 스칼라 곡률을 갖는 메트릭을 가지고, ''b''2+(''M'') ≥ 2이면, ''M''의 모든 자이베르그-위튼 불변량은 0이 된다.

다양체 ''M''이 둘 다 ''b''2+ ≥ 1을 갖는 두 다양체의 연결합이면, ''M''의 모든 자이베르그-위튼 불변량은 0이 된다.

다양체 ''M''이 단일 연결이고 심플렉틱이며 ''b''2+(''M'') ≥ 2이면, 자이베르그-위튼 불변량이 1인 스핀''c'' 구조 ''s''를 갖는다. 특히, 이는 ''b''2+ ≥ 1을 갖는 다양체의 연결 합으로 분리될 수 없다.

7. 역사

1994년에 에드워드 위튼은 자이베르그-위튼 이론을 기반으로 자이베르그-위튼 불변량을 도입하였으며, 이와 크론하이머-므로카 기본류의 관계를 제시하였다.[2][3]

물리학적으로는 자이베르그-위튼 불변량이 도널드슨 불변량과 동치라는 사실은 분명하지만, 이는 수학적으로 엄밀하게 증명되지 않았다.

참조

[1] 논문 Felder von Flächenelementen in 4-dimensionalen Mannigfaltigkeiten
[2] 논문 Monopoles and Four-Manifolds 1994
[3] 논문 Integration over the u-plane in Donaldson theory 1998


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